Sur des problèmes elliptiques avec des conditions aux limites non

Sur des problèmes elliptiques avec des conditions
aux limites non locales à coefficients opérateurs dans
le cadre holdérien
Ahmed Medeghri
Laboratoire de Mathématiques Pures et Appliquées, Université de Mostaganem
A. Medeghri (UMAB)
EDA avec des conditions aux limites non locales
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H. Hammou, R. Labbas, S. Maingot, A. Medeghri : On Some Elliptic Problems
with Nonlocal Boundary Coefficient-operator Conditions in the Framework of
Hölderian Spaces, EJQTDE,2013 No. 36, p.1-32.
A. Medeghri (UMAB)
EDA avec des conditions aux limites non locales
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Quelques Motivations
Motivation
1. En DIM1, un exemple d’équation d’évolution non linéaire à conditions
non locales est :
A. Medeghri (UMAB)
EDA avec des conditions aux limites non locales
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Quelques Motivations
Motivation
1. En DIM1, un exemple d’équation d’évolution non linéaire à conditions
non locales est :
A. Medeghri (UMAB)
EDA avec des conditions aux limites non locales
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Quelques Motivations
Motivation
1. En DIM1, un exemple d’équation d’évolution non linéaire à conditions
non locales est :
8
∂u
∂2 u
>
>
>
x,
t
=
(x, t) + f (u(x, t)) , (x, t) 2 (0, 1) (0, T )
(
)
> ∂t
>
∂x2
<
u (x, 0) = v (x) , x 2 (0, 1)
R1
>
>
>
u (0, t) = 0 φ (ξ, t) u (x, t) dx + g1 (t) , t 2 (0, T )
>
>
R1
:
u (1, t) = 0 ψ (x, t) u (x, t) dx + g2 (t) , t 2 (0, T ) .
(Voir pour le cas linéaire, J. Martin-Vaquero, J. Vigo-Aguiar) où φ, ψ sont
des poids donnés.
A. Medeghri (UMAB)
EDA avec des conditions aux limites non locales
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Quelques Motivations
Motivation
1. En DIM1, un exemple d’équation d’évolution non linéaire à conditions
non locales est :
8
∂u
∂2 u
>
>
>
x,
t
=
(x, t) + f (u(x, t)) , (x, t) 2 (0, 1) (0, T )
(
)
> ∂t
>
∂x2
<
u (x, 0) = v (x) , x 2 (0, 1)
R1
>
>
>
u (0, t) = 0 φ (ξ, t) u (x, t) dx + g1 (t) , t 2 (0, T )
>
>
R1
:
u (1, t) = 0 ψ (x, t) u (x, t) dx + g2 (t) , t 2 (0, T ) .
(Voir pour le cas linéaire, J. Martin-Vaquero, J. Vigo-Aguiar) où φ, ψ sont
des poids donnés.
Le problème statique linéarisé qu’on doit étudier (sans le temps) est un
problème aux limites non locales de type
8 2
∂ u
>
>
>
< ∂x2 λu = F(x)
R1
>
u (0)
φ (x) u (x) dx = 0,
>
>
R01
:
u (1)
0 ψ (x) u (x) dx = 0 .
A. Medeghri (UMAB)
EDA avec des conditions aux limites non locales
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Quelques Motivations
A. Medeghri (UMAB)
EDA avec des conditions aux limites non locales
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Quelques Motivations
2. En DIM 2 (voir travaux de Pavel Gurevich, entre autres), par exemple
sur l’ouvert cylindrique Ω =]0, 1[ ]0, 1[ :
8
∂u
>
>
(x, y, t) = ∆x,y u(x, y, t) + f (u(x, y, t)) , (x, y, t) 2 Ω (0, T )
>
>
∂t
>
>
< u (x, y, 0) = v (x, y) , (x, y) 2 Ω
u (0, y, t) = Ru0 (y, t) ,
>
>
>
y
>
u (1, y, t) + 0 φ (ξ, t) ∂u
>
>
∂x (0, ξ, t) dξ = u1,0 (y, t)
:
u(x, 0, t) = u(x, 1, t) = 0
en statique, le problème linéarisé à étudier est de la forme :
A. Medeghri (UMAB)
EDA avec des conditions aux limites non locales
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Quelques Motivations
2. En DIM 2 (voir travaux de Pavel Gurevich, entre autres), par exemple
sur l’ouvert cylindrique Ω =]0, 1[ ]0, 1[ :
8
∂u
>
>
(x, y, t) = ∆x,y u(x, y, t) + f (u(x, y, t)) , (x, y, t) 2 Ω (0, T )
>
>
∂t
>
>
< u (x, y, 0) = v (x, y) , (x, y) 2 Ω
u (0, y, t) = Ru0 (y, t) ,
>
>
>
y
>
u (1, y, t) + 0 φ (ξ, t) ∂u
>
>
∂x (0, ξ, t) dξ = u1,0 (y, t)
:
u(x, 0, t) = u(x, 1, t) = 0
en statique, le problème linéarisé à étudier est de la forme :
A. Medeghri (UMAB)
EDA avec des conditions aux limites non locales
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Quelques Motivations
2. En DIM 2 (voir travaux de Pavel Gurevich, entre autres), par exemple
sur l’ouvert cylindrique Ω =]0, 1[ ]0, 1[ :
8
∂u
>
>
(x, y, t) = ∆x,y u(x, y, t) + f (u(x, y, t)) , (x, y, t) 2 Ω (0, T )
>
>
∂t
>
>
< u (x, y, 0) = v (x, y) , (x, y) 2 Ω
u (0, y, t) = Ru0 (y, t) ,
>
>
>
y
>
u (1, y, t) + 0 φ (ξ, t) ∂u
>
>
∂x (0, ξ, t) dξ = u1,0 (y, t)
:
u(x, 0, t) = u(x, 1, t) = 0
en statique, le problème linéarisé à étudier est de la forme :
8
∆x,y u(x, y) λu(x, y) = F (x, y, ) , (x, y) 2 Ω
>
>
<
u (0, y) = Ru0 (y) ,
(P)
y
∂u
>
>
: u (1, y) + 0 φ (ξ ) ∂x (0, ξ ) dξ = u1,0 (y)
u(x, 0) = u(x, 1) = 0
A. Medeghri (UMAB)
EDA avec des conditions aux limites non locales
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Quelques Motivations
3. Il est classique de chercher des fonctions harmoniques lorsqu’on se donne
des conditions de type Dirichlet, Neumann, ou Robin, pour peu que l’ouvert
soit régulier mais pas lorsqu’on a des conditions non locales.
A. Medeghri (UMAB)
EDA avec des conditions aux limites non locales
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Quelques Motivations
3. Il est classique de chercher des fonctions harmoniques lorsqu’on se donne
des conditions de type Dirichlet, Neumann, ou Robin, pour peu que l’ouvert
soit régulier mais pas lorsqu’on a des conditions non locales.
Si on cache la variable y,et si par rapport à cette variable, on se place dans
L2 (0, 1), le problème (P), sécrit
8
< uxx (x, .) + Au(x, .) = F (x, .) , x 2]0, 1[
u (0, .) = u0 ,
(P)
:
u (1, .) + H (ux (0, .))(.) = u1,0
où
D(A) = H2 (0, 1) \ H01 (0, 1)
(Aϕ) (y) = ϕ00 (y) λϕ
et
H : ϕ 7! H ( ϕ) = Ψ avec Ψ(y) =
Z y
0
φ (ξ ) ϕ(ξ )dξ
D’où l’écriture opérationnelle de (P)
8 00
< u (x) + Au(x) = F (x) , x 2]0, 1[
u (0) = u0 ,
(P)
:
u (1) + Hu0 (0) = u1,0
A. Medeghri (UMAB)
EDA avec des conditions aux limites non locales
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Quelques Motivations
3. Il est classique de chercher des fonctions harmoniques lorsqu’on se donne
des conditions de type Dirichlet, Neumann, ou Robin, pour peu que l’ouvert
soit régulier mais pas lorsqu’on a des conditions non locales.
Si on cache la variable y,et si par rapport à cette variable, on se place dans
L2 (0, 1), le problème (P), sécrit
8
< uxx (x, .) + Au(x, .) = F (x, .) , x 2]0, 1[
u (0, .) = u0 ,
(P)
:
u (1, .) + H (ux (0, .))(.) = u1,0
où
D(A) = H2 (0, 1) \ H01 (0, 1)
(Aϕ) (y) = ϕ00 (y) λϕ
et
H : ϕ 7! H ( ϕ) = Ψ avec Ψ(y) =
Z y
0
φ (ξ ) ϕ(ξ )dξ
D’où l’écriture opérationnelle de (P)
8 00
< u (x) + Au(x) = F (x) , x 2]0, 1[
u (0) = u0 ,
(P)
:
u (1) + Hu0 (0) = u1,0
A. Medeghri (UMAB)
EDA avec des conditions aux limites non locales
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Quelques Motivations
3. Il est classique de chercher des fonctions harmoniques lorsqu’on se donne
des conditions de type Dirichlet, Neumann, ou Robin, pour peu que l’ouvert
soit régulier mais pas lorsqu’on a des conditions non locales.
Si on cache la variable y,et si par rapport à cette variable, on se place dans
L2 (0, 1), le problème (P), sécrit
8
< uxx (x, .) + Au(x, .) = F (x, .) , x 2]0, 1[
u (0, .) = u0 ,
(P)
:
u (1, .) + H (ux (0, .))(.) = u1,0
où
D(A) = H2 (0, 1) \ H01 (0, 1)
(Aϕ) (y) = ϕ00 (y) λϕ
et
H : ϕ 7! H ( ϕ) = Ψ avec Ψ(y) =
Z y
0
φ (ξ ) ϕ(ξ )dξ
D’où l’écriture opérationnelle de (P)
8 00
< u (x) + Au(x) = F (x) , x 2]0, 1[
u (0) = u0 ,
(P)
:
u (1) + Hu0 (0) = u1,0
La deuxième condition de ce problème est non locale à coefficient
opérateur.
A. Medeghri (UMAB)
EDA avec des conditions aux limites non locales
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Position du problème
Position du problème
A. Medeghri (UMAB)
EDA avec des conditions aux limites non locales
6 / 43
Position du problème
Position du problème
Soit X un espace de Banach complexe. On considère dans X l’Eq. Diff. Opé.
complète suivante :
u00 (x) + 2Bu0 (x) + Au(x) = f (x),
A. Medeghri (UMAB)
EDA avec des conditions aux limites non locales
x 2 (0, 1),
(1)
6 / 43
Position du problème
Position du problème
Soit X un espace de Banach complexe. On considère dans X l’Eq. Diff. Opé.
complète suivante :
u00 (x) + 2Bu0 (x) + Au(x) = f (x),
x 2 (0, 1),
(1)
avec les conditions aux limites abstraites non locales :
u(0) = u0 , Hu0 (0) + u(1) = u1,0 ,
A. Medeghri (UMAB)
EDA avec des conditions aux limites non locales
(2)
6 / 43
Position du problème
Position du problème
Soit X un espace de Banach complexe. On considère dans X l’Eq. Diff. Opé.
complète suivante :
u00 (x) + 2Bu0 (x) + Au(x) = f (x),
x 2 (0, 1),
(1)
avec les conditions aux limites abstraites non locales :
u(0) = u0 , Hu0 (0) + u(1) = u1,0 ,
(2)
Où u0 , u1,0 sont des éléments donnés de X et A, B, H sont des opérateurs
linéaires fermés dans X.
A. Medeghri (UMAB)
EDA avec des conditions aux limites non locales
6 / 43
Position du problème
Position du problème
Soit X un espace de Banach complexe. On considère dans X l’Eq. Diff. Opé.
complète suivante :
u00 (x) + 2Bu0 (x) + Au(x) = f (x),
x 2 (0, 1),
(1)
avec les conditions aux limites abstraites non locales :
u(0) = u0 , Hu0 (0) + u(1) = u1,0 ,
(2)
Où u0 , u1,0 sont des éléments donnés de X et A, B, H sont des opérateurs
linéaires fermés dans X.
Le problème (1)-(2) peut être étudié dans deux cadres différents
A. Medeghri (UMAB)
EDA avec des conditions aux limites non locales
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Position du problème
1er cas f 2 Lp (0, 1; X), 1 < p < +∞.
2nd cas f 2 Cθ ([0, 1]; X), 0 < θ < 1.
quand B = 0
A. Medeghri (UMAB)
EDA avec des conditions aux limites non locales
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Position du problème
1er cas f 2 Lp (0, 1; X), 1 < p < +∞.
2nd cas f 2 Cθ ([0, 1]; X), 0 < θ < 1.
quand B = 0
Le cas H = 0, (conditions de Dirichlet), a été étudié par :
R. Labbas : Problèmes aux Limites pour une Equation Différentielle Abstraite
de Type Elliptique, Thèse d’état, Université de Nice, 1987.
A. Medeghri (UMAB)
EDA avec des conditions aux limites non locales
7 / 43
Position du problème
1er cas f 2 Lp (0, 1; X), 1 < p < +∞.
2nd cas f 2 Cθ ([0, 1]; X), 0 < θ < 1.
quand B = 0
Le cas H = 0, (conditions de Dirichlet), a été étudié par :
R. Labbas : Problèmes aux Limites pour une Equation Différentielle Abstraite
de Type Elliptique, Thèse d’état, Université de Nice, 1987.
A. Medeghri (UMAB)
EDA avec des conditions aux limites non locales
7 / 43
Position du problème
1er cas f 2 Lp (0, 1; X), 1 < p < +∞.
2nd cas f 2 Cθ ([0, 1]; X), 0 < θ < 1.
quand B = 0
Le cas H = 0, (conditions de Dirichlet), a été étudié par :
R. Labbas : Problèmes aux Limites pour une Equation Différentielle Abstraite
de Type Elliptique, Thèse d’état, Université de Nice, 1987.
Le cas H = αI, (cas particulier de notre problème) a été étudié par
R. Labbas and S. Maingot : Singularities in Boundary Value Problems for an
Abstract Second-order Differential Equation of Elliptic Type, Applied
Mathematics and Computation, 148 (2004), 645-663.
A. Medeghri (UMAB)
EDA avec des conditions aux limites non locales
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Position du problème
1er cas f 2 Lp (0, 1; X), 1 < p < +∞.
2nd cas f 2 Cθ ([0, 1]; X), 0 < θ < 1.
quand B = 0
Le cas H = 0, (conditions de Dirichlet), a été étudié par :
R. Labbas : Problèmes aux Limites pour une Equation Différentielle Abstraite
de Type Elliptique, Thèse d’état, Université de Nice, 1987.
Le cas H = αI, (cas particulier de notre problème) a été étudié par
R. Labbas and S. Maingot : Singularities in Boundary Value Problems for an
Abstract Second-order Differential Equation of Elliptic Type, Applied
Mathematics and Computation, 148 (2004), 645-663.
Ces auteurs ont utilisé une méthode directe basée sur les techniques des
intégrales de Dunford pour établir une formule de représentation de la
solution.
A. Medeghri (UMAB)
EDA avec des conditions aux limites non locales
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Position du problème
Dans cet exposé, on suppose que f 2 Cθ ([0, 1]; X), 0 < θ < 1 et on étudie
l’équation
u00 (x) + Au(x) = f (x), x 2 (0, 1),
A. Medeghri (UMAB)
EDA avec des conditions aux limites non locales
(3)
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Position du problème
Dans cet exposé, on suppose que f 2 Cθ ([0, 1]; X), 0 < θ < 1 et on étudie
l’équation
u00 (x) + Au(x) = f (x), x 2 (0, 1),
(3)
avec les conditions aux limites
u(0) = u0 , Hu0 (0) + u(1) = u1,0 ,
A. Medeghri (UMAB)
EDA avec des conditions aux limites non locales
(4)
8 / 43
Position du problème
Dans cet exposé, on suppose que f 2 Cθ ([0, 1]; X), 0 < θ < 1 et on étudie
l’équation
u00 (x) + Au(x) = f (x), x 2 (0, 1),
(3)
avec les conditions aux limites
u(0) = u0 , Hu0 (0) + u(1) = u1,0 ,
A. Medeghri (UMAB)
EDA avec des conditions aux limites non locales
(4)
8 / 43
Position du problème
Dans cet exposé, on suppose que f 2 Cθ ([0, 1]; X), 0 < θ < 1 et on étudie
l’équation
u00 (x) + Au(x) = f (x), x 2 (0, 1),
(3)
avec les conditions aux limites
u(0) = u0 , Hu0 (0) + u(1) = u1,0 ,
(4)
Une formule de représentation du problème est trouvée en utilisant les
semi-groupes analytiques, les puissances fractionnaires d’opérateurs
ainsi que la méthode de réduction de l’ordre de Krein.
A. Medeghri (UMAB)
EDA avec des conditions aux limites non locales
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Position du problème
Dans cet exposé, on suppose que f 2 Cθ ([0, 1]; X), 0 < θ < 1 et on étudie
l’équation
u00 (x) + Au(x) = f (x), x 2 (0, 1),
(3)
avec les conditions aux limites
u(0) = u0 , Hu0 (0) + u(1) = u1,0 ,
(4)
Une formule de représentation du problème est trouvée en utilisant les
semi-groupes analytiques, les puissances fractionnaires d’opérateurs
ainsi que la méthode de réduction de l’ordre de Krein.
A. Medeghri (UMAB)
EDA avec des conditions aux limites non locales
8 / 43
Position du problème
Dans cet exposé, on suppose que f 2 Cθ ([0, 1]; X), 0 < θ < 1 et on étudie
l’équation
u00 (x) + Au(x) = f (x), x 2 (0, 1),
(3)
avec les conditions aux limites
u(0) = u0 , Hu0 (0) + u(1) = u1,0 ,
(4)
Une formule de représentation du problème est trouvée en utilisant les
semi-groupes analytiques, les puissances fractionnaires d’opérateurs
ainsi que la méthode de réduction de l’ordre de Krein.
Les techniques utilisées sont inspirées des travaux de
Cheg-Fav-Lab-Maing-Med et Fav-Lab-Maing-Tanab-Yag.
A. Medeghri (UMAB)
EDA avec des conditions aux limites non locales
8 / 43
Position du problème
Dans cet exposé, on suppose que f 2 Cθ ([0, 1]; X), 0 < θ < 1 et on étudie
l’équation
u00 (x) + Au(x) = f (x), x 2 (0, 1),
(3)
avec les conditions aux limites
u(0) = u0 , Hu0 (0) + u(1) = u1,0 ,
(4)
Une formule de représentation du problème est trouvée en utilisant les
semi-groupes analytiques, les puissances fractionnaires d’opérateurs
ainsi que la méthode de réduction de l’ordre de Krein.
Les techniques utilisées sont inspirées des travaux de
Cheg-Fav-Lab-Maing-Med et Fav-Lab-Maing-Tanab-Yag.
A. Medeghri (UMAB)
EDA avec des conditions aux limites non locales
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Position du problème
Dans cet exposé, on suppose que f 2 Cθ ([0, 1]; X), 0 < θ < 1 et on étudie
l’équation
u00 (x) + Au(x) = f (x), x 2 (0, 1),
(3)
avec les conditions aux limites
u(0) = u0 , Hu0 (0) + u(1) = u1,0 ,
(4)
Une formule de représentation du problème est trouvée en utilisant les
semi-groupes analytiques, les puissances fractionnaires d’opérateurs
ainsi que la méthode de réduction de l’ordre de Krein.
Les techniques utilisées sont inspirées des travaux de
Cheg-Fav-Lab-Maing-Med et Fav-Lab-Maing-Tanab-Yag.
Notre but est de donner des conditions nécessaires et suffisantes pour
obtenir une unique solution u du Problème (3)-(4) satisfaisant la
régularité maximale.
A. Medeghri (UMAB)
EDA avec des conditions aux limites non locales
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Hypothèses
Hypothèses
Sur les deux opérateurs A et H
[0, +∞[
ρ (A) et sup λ (A
λ>0
D (Q)
8 ζ 2 D(H ) : A
λI )
1
D (H ) ,
1
Λ=
Hζ = HA
2HQeQ + I
< +∞,
(5)
(6)
0 2 ρ (Λ) ,
où
L(X)
1
ζ,
(7)
(8)
e2Q ,
qui est bien défini sur X et appartient à L(X) d’après (5)-(6). On voit que cet
opérateur Λ est dans un certain sens le «déterminant» du problème (3)-(4)
A. Medeghri (UMAB)
EDA avec des conditions aux limites non locales
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Hypothèses
Remarque
1
2
Sous les hypthèses (5) (7) on a, pour tout ζ 2 D(H ), λ 2 ρ(A), µ 2 ρ(Q)
et x > 0
8
1
1
< (λI A) Hζ = H (λI A) ζ
(µI Q) 1 Hζ = H (µI Q) 1 ζ
:
HexQ ξ = exQ Hξ.
Sous l’hypothèse (5), il existe εA > 0, βA 2 0, π2 tel que ρ (A) contient un
domaine sectoriel
SεA ,βA = fz 2 Cn f0g : jarg (z)j < βA g [ B (0, εA ) ,
vérifie
9MβA > 0 : 8z 2 SεA ,βA ,
de plus
ρ ( A)
A. Medeghri (UMAB)
(A
zI )
1
L(X)
fz 2 Cn f0g : jarg (z)j > π
EDA avec des conditions aux limites non locales
6
M βA
1 + jzj
.
βA g .
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Hypothèses
Nous chercherons 3 types de solutions :
une solution semi-classique du problème (3)-(4) est une fonction u telle
que
u 2 C ([0, 1] ; X) \ C2 ([0, 1[; X) \ C ([0, 1[; D(A)) ,
et qui satisfait (3)-(4) ; de plus nous disons que cette solution
semi-classique satisfait la propriété de régularité maximale si
u 2 Cθ ([0, 1] ; X) et
u00 , Au 2 Cθ ([0, 1 ε]; X) pour tout ε 2]0, 1[.
A. Medeghri (UMAB)
EDA avec des conditions aux limites non locales
(9)
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Hypothèses
Nous chercherons 3 types de solutions :
une solution semi-classique du problème (3)-(4) est une fonction u telle
que
u 2 C ([0, 1] ; X) \ C2 ([0, 1[; X) \ C ([0, 1[; D(A)) ,
et qui satisfait (3)-(4) ; de plus nous disons que cette solution
semi-classique satisfait la propriété de régularité maximale si
u 2 Cθ ([0, 1] ; X) et
u00 , Au 2 Cθ ([0, 1 ε]; X) pour tout ε 2]0, 1[.
(9)
une solution semi-stricte du problème (3)-(4)est une solution
semi-classique du problème (3)-(4), de plus elle vérifie
u 2 C1 ([0, 1] , X) \ C ([0, 1] , D(Q)). Nous dirons que cette solution
semi-stricte vérifie la propriété de régularité maximale si elle satisfait (9) :
u0 , Qu 2 Cθ ([0, 1] , X) .
A. Medeghri (UMAB)
EDA avec des conditions aux limites non locales
(10)
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Hypothèses
A. Medeghri (UMAB)
EDA avec des conditions aux limites non locales
12 / 43
Hypothèses
une solution stricte u du problème (3)-(4) est une fonction u telle que
C2 ([0, 1]; X) \ C ([0, 1]; D(A)) ,
et qui vérifie (3)-(4) cette solution stricte satisfait la propriété de régularité
maximale si
u00 , Au 2 Cθ ([0, 1] ; X) .
(11)
A. Medeghri (UMAB)
EDA avec des conditions aux limites non locales
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Quelques résultats
Quelques résultats
Proposition
Soit L un opérateur générateur d’un semi-groupe analytique généralisé. exL
1
2
x 0
.
Soit ϕ 2 X. Alors les deux assertions suivantes sont équivalentes
(a) e.L ϕ 2 C ([0, 1] ; X) .
(b) ϕ 2 D (L).
Soit θ 2 ]0, 1[ , g 2 Cθ ([0, 1] ; X) , ϕ 2 X. Posons
S(x) = exL ϕ +
Z x
0
e(x
s)L
g (s) ds, x 2 [0, 1] .
Alors les deux assertions suivantes sont équivalentes
1
(a) S 2 C1 ([0, 1] ; X) \ C ([0, 1] ; D (L)) .
(b) ϕ 2 D (L) et g (0) + Lϕ 2 D (L).
A. Medeghri (UMAB)
EDA avec des conditions aux limites non locales
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Quelques résultats
Quelques résultats
On rappelle que pour un opérateur P dans X qui vérifie ρ(P)
9C > 0, 8λ > 0,
(P
λI )
1
L(X)
6
nous définissons l’espace d’interpolation DP (θ, +∞) par
(
DP (θ, +∞) =
x 2 X : sup tθ P (P
tI )
t>0
A. Medeghri (UMAB)
EDA avec des conditions aux limites non locales
1
]0, +∞[ et
C
,
λ
x < +∞
)
.
14 / 43
Quelques résultats
Quelques résultats
Proposition
Soient θ 2 ]0, 1[ et L un opérateur générateur d’un semi-groupe analytique
généralisé. exL x 0
1
2
Alors les deux assertions suivantes sont équivalentes
(a) e.L ϕ 2 Cθ ([0, 1] ; X) .
(b) ϕ 2 DL (θ, +∞) .
Soit g 2 C ([0, 1] ; X) et ϕ 2 X. Posons
S(x) = exL ϕ +
3
Z x
0
e(x
s)L
g (s) ds, x 2 [0, 1] .
Alors les deux assertions suivantes sont équivalentes
(a) S 2 C1,θ ([0, 1] ; X) \ Cθ ([0, 1] ; D (L)) .
(b) g 2 Cθ ([0, 1] ; X) , ϕ 2 D (L) et g (0) + Lϕ 2 DL (θ, +∞) .
R1
Soit g 2 Cθ ([0, 1] ; X) . Alors L 0 esL (g (s) g (0)) ds 2 DL (θ, +∞) .
A. Medeghri (UMAB)
EDA avec des conditions aux limites non locales
15 / 43
Quelques résultats
Pour ces deux propositions voir
E. Sinestrari : On the Abstract Cauchy Problem of Parabolic Type in Spaces of
Continuous Fonctions , J. Math. Anal. App. 66 (1985) 16-66.
A. Medeghri (UMAB)
EDA avec des conditions aux limites non locales
16 / 43
Quelques résultats
Pour ces deux propositions voir
E. Sinestrari : On the Abstract Cauchy Problem of Parabolic Type in Spaces of
Continuous Fonctions , J. Math. Anal. App. 66 (1985) 16-66.
Notation Soient g et h deux fonctions définies sur [0, 1] à valeurs dans X
et θ 2 ]0, 1[ .
Nous écrivons
g 'θ h
si
g
h 2 Cθ ([0, 1] ; X) .
En utilisant la Proposition 2 on obtient
Proposition
Soit g 2 Cθ ([0, 1] ; X) , ϕ 2 D (L) et posons
S (x) = exL ϕ +
alors
Z x
0
e(x
s)L
g (s) ds, x 2 [0, 1] ;
LS ( ) 'θ e L (Lϕ + g (0)) .
A. Medeghri (UMAB)
EDA avec des conditions aux limites non locales
16 / 43
Représentation de la solution
Représentation de la solution
On suppose (5) (8) et que u est une solution semi-classique du problème
(3)-(4). Puisque
u 2 C ([0, 1[; D(A))
on a
u0 = u(0) 2 D(A).
Dans la suite nous supposons que u1,0 2 D(A).
Lemme 1.
On a
u (x) = exQ ξ 0 + e(1
où ξ 0 , ξ 1 2 X et
Ix =
1
Q
2
A. Medeghri (UMAB)
1
Z x
0
e(x
s)Q
x)Q
ξ 1 + Ix + Jx , x 2 [0, 1],
f (s) ds et Jx =
1
Q
2
1
EDA avec des conditions aux limites non locales
Z 1
x
e(s
x)Q
f (s) ds.
(12)
17 / 43
Représentation de la solution
Représentation de la solution
Pour simplifier la représentation on montre d’abord le lemme suivant.
Lemme 1.
1
Il existe W 2 L (X) tel queWQ
1
=Q
W (X )
1W
+T∞
etΛ
1
=I
W avec
D Qk .
k =1
2
On a
8
1
>
>
J = Q
>
< 0
2
>
>
>
: I1 = 1 Q
2
1
Z 1
esQ (f (s)
Z 1
esQ (f (1
0
1
0
1
f (0)) ds + Q
2
s)
2 eQ f
1
f (1)) ds + Q
2
(0)
2 eQ f
1
Q
2
(1)
2f
(0)
1
Q
2
2f
(1) .
(voir Propositions 2 et 3).
A. Medeghri (UMAB)
EDA avec des conditions aux limites non locales
18 / 43
Représentation de la solution
La représentation de la solution est
u = uR + v + w,
(13)
avec la partie régulière uR sur [0, 1] donnée par
= exQ eQ ϕ0 + e(1
uR (x)
x)Q Q
e ϕ1
1 xQ Q
e e Q
2
2
f (0)
(14)
1 (1 x)Q Q 1 2
e
e Λ Q f (1)
2
e(1 x)Q W (u1,0 HQu0 + 2HQJ0 I1 )
1 (1 x)Q Q 2
e
e Q f (1) + e(1 x)Q eQ HQ 1 f (0) ,
2
les termes qui donnent le comportement près de 0
v(x)
A. Medeghri (UMAB)
1
1
= S x, u0 + Q 2 f (0) , Q 1 f
2
2
Z
1 xQ 1 1 sQ
e Q
e (f (s) f (0)) ds,
2
0
EDA avec des conditions aux limites non locales
(15)
19 / 43
Représentation de la solution
et celui au sujet du comportement non local dans 0 et 1
w(x)
(16)
1
x, Ψ, Q
2
= S 1
+e
(1 x)Q
1 (1
e
2
où Ψ =
HQu0
A. Medeghri (UMAB)
HQ
1f
H
x)Q
Z 1
0
Q
1
f (1
.)
esQ (f (s)
1
Z 1
0
f (0)) ds
esQ (f (1
1
(0) + u1,0 + Q
2
2f
s)
f (1)) ds,
(1) .
EDA avec des conditions aux limites non locales
20 / 43
Lemmes techniques
Lemmes techniques
Lemme 1.
On suppose (5) (8). Soit f 2 Cθ ([0, 1] , X) et u0 2 D (A). Alors
1
2
3
uR , AuR 2 C∞ ([0, 1] , X) .
v 2 C2 (]0, 1], X) \ C (]0, 1], D (A)) .
Av 'θ e Q [Au0 f (0)] et donc
8
< Av 2 C ([0, 1]; X) , Au0
:
A. Medeghri (UMAB)
Av 2 Cθ ([0, 1]; X) , Au0
f (0) 2 D (A)
f (0) 2 DA (θ/2, +∞) .
EDA avec des conditions aux limites non locales
21 / 43
Lemmes techniques
Lemme 1.
On suppose (5) (8). Soit f 2 Cθ ([0, 1] , X) et u0 , u10 2 D (A). Alors
1. w 2 C2 ([0, 1[, X) \ C ([0, 1[, D (A)) .
2. w 'θ e(1
(
3. w ([0, 1])
)Q HQ 1 (Au
0
f (0)) et donc
w 2 C ([0, 1] , X) , HQ
1
w 2 Cθ ([0, 1] , X) , HQ
D(Q) () HQ
4. En supposant HQ
1
Au0
Qw 'θ e(1
1
f (0)] 2 D (A)
[Au0
1
Au0
[Au0
f (0)] 2 DA (θ/2, +∞) .
f ( 0 ) + If 2 D ( Q ) .
f (0) + If 2 D(Q) on obtient
)Q
QHQ
1
Au0
f ( 0 ) + If ,
et donc
(
w0 , Qw 2 C ([0, 1] , X) , QHQ 1 Au0 f (0) + If 2 D (A)
w0 , Qw 2 Cθ ([0, 1] , X) , QHQ 1 Au0 f (0) + If 2 DA (θ/2, +∞) .
A. Medeghri (UMAB)
EDA avec des conditions aux limites non locales
22 / 43
Lemmes techniques
Lemme 2.
5. w ([0, 1])
D(Q2 ) () HQ
6. En supposant HQ
Q2 w 'θ e(1
1
)Q
Au0
1
Au0
f (0) + If 2 D(Q2 ).
f (0) + If 2 D(Q2 ) on obtient
Q2 HQ
1
Au0
f ( 0 ) + If
et donc
8
Aw 2 C ([0, 1] , X) si et seulement si
>
>
>
> Q2 HQ 1 Au0 f (0) + If
[Au1,0
<
>
>
>
Aw 2 Cθ ([0, 1] , X) si et seulement si
>
: 2
Q HQ 1 Au0 f (0) + If
[Au1,0
A. Medeghri (UMAB)
[Au1,0
f (1)] ,
f (1)] 2 D (A)
f (1)] 2 DA (θ/2, +∞) .
EDA avec des conditions aux limites non locales
23 / 43
Lemmes techniques
Lemme 1.
Supposons (5) (8). Soit f 2 Cθ ([0, 1] , X) et u0 , u1,0 2 D (A).
1
2
Si H 2 L(X) alors Qw 'θ e(1 )Q H [Au0 f (0)] .
Si H 2 L(X) avec H (X) D(Q) alors QH 2 L(X) et
Q2 w 'θ e(1
)Q
(QH [Au0
f (0)]
[Au1,0
f (1)]) .
Ces deux derniers cas correspondent, par exemple, aux opérateurs H = αI et
H = αQ 1 (α 2 Cn f0g , Re α 0) qui seront étudiés par la suite.
Lemme 1.
On suppose (5) (8) et soit u0 , u1,0 2 D (A).
1. Si f 2 Cθ ([0, 1] , D(Q)) alors
w ([0, 1])
et si HQ
1 Au
0
A. Medeghri (UMAB)
D(Q) () HQ
2 D(Q) on a Qw 'θ e(1
1
Au0 2 D(Q),
)Q QHQ 1 [Au
0
EDA avec des conditions aux limites non locales
f (0)] .
24 / 43
Lemmes techniques
Lemme 2.
2. Si f 2 Cθ [0, 1] , D(Q2 ) alors
w ([0, 1])
et si HQ
1 Au
0
D(Q2 ) () HQ
1
Au0 2 D(Q2 ),
2 D(Q2 ) on a
Q2 w 'θ e(1
)Q
Q2 HQ
1
[Au0
f (0)]
[Au1,0
f (1)] .
Par des arguments similaires, nous pouvons prouver le lemme suivant.
Lemme 1.
On suppose (5) (8) et u0 , u10 2 D (A). Si H 2 L(X) et f 2 Cθ ([0, 1] , D(Q)) alors
w ([0, 1])
D(Q2 ) () HAu0 2 D(Q),
et si HAu0 2 D(Q) on a
Q2 w 'θ e(1
A. Medeghri (UMAB)
)Q
(QH [Au0
f (0)]
[Au1,0
EDA avec des conditions aux limites non locales
f (1)]) .
25 / 43
Résultats principaux
Résultats principaux
Théorème 1.
On suppose(5) (8), supposons que u0 , u1,0 2 D (A) et
f 2 Cθ ([0, 1] , X) avec θ 2 ]0, 1[ . Alors :
1. Il existe une solution semi-classique u du problème (3)-(4) si et seulement si
Au0 f (0) 2 D (A),
2. il existe une solution semi-classique u du problème (3)-(4) ayant la propriété de
régularité maximale (9) si et seulement si Au0 f (0) 2 DA (θ/2, +∞) ,
3. il
(existe une solution semi-stricte u du problème (3)-(4) si et seulement si
Au0 f (0) 2 D (A), HQ 1 Au0 f (0) + If 2 D(Q)
et QHQ 1 Au0 f (0) + If 2 D (A),
4. il existe une solution semi-stricte u du problème (3)-(4) ayant la propriété de
régularité maximale (9)-(10) si et seulement si
Au0
f (0) 2 DA (θ/2, +∞) , HQ 1 Au0 f (0) + If 2 D (Q)
et QHQ 1 Au0 f (0) + If 2 DA (θ/2, +∞) ,
A. Medeghri (UMAB)
EDA avec des conditions aux limites non locales
26 / 43
Résultats principaux
Lemme 2.
5. il existe une solution stricte u du problème (3)-(4) ssi
8
>
< Au0 f (0) 2 D (A),
HQ 1 Au0 f (0) + If 2 D(A) et
>
: Q2 HQ 1 Au
f ( 0 ) + If
[Au1,0 f (1)] 2 D (A).
0
6. il existe une solution stricte u du problème (3)-(4) ayant la propriété de
régularité maximale (11) si et seulement si
8
< Au0 f (0) 2 DA (θ/2, +∞)
HQ 1 Au0 f (0) + If 2 D(A) et
: 2
Q HQ 1 Au0 f (0) + If
[Au1,0 f (1)] 2 DA (θ/2, +∞) .
De plus, dans les 6 cas u est unique et donnée par
u = uR + v + w
où uR , v, w sont définies dans (14),(15) et (16).
Nous étudions maintenant quelques situations où plus de régularité est
A. Medeghri
EDA avecpermet
des conditionsd’éviter
aux limites nonles
localesconditions sur I .
donnée
sur H(UMAB)
ou f ce qui nous
27 / 43
Résultats principaux
Corollaire
On suppose (5) (8). Soit f 2 Cθ ([0, 1] , X) et u0 , u10 2 D (A).
1
Supposons que H 2 L(X) alors : il existe une solution semi-stricte u du
problème (3)-(4) si et seulement si Au0 f (0) 2 D (A).
Dans le
corollaire précédent,
nous obtiendrons, pour chaque cas, la régularité
A. Medeghri (UMAB)
EDA avec des conditions aux limites non locales
28 / 43
Résultats principaux
Corollaire
On suppose (5) (8). Soit f 2 Cθ ([0, 1] , X) et u0 , u10 2 D (A).
1
2
Supposons que H 2 L(X) alors : il existe une solution semi-stricte u du
problème (3)-(4) si et seulement si Au0 f (0) 2 D (A).
Supposons que H 2 L(X) avec H (X) D(Q) alors : il existe une solution
stricte u du problème (3)-(4) si et seulement si Au0 f (0) 2 D (A) et
QH [Au0 f (0)] [Au1,0 f (1)] 2 D (A).
Dans le
corollaire précédent,
nous obtiendrons, pour chaque cas, la régularité
A. Medeghri (UMAB)
EDA avec des conditions aux limites non locales
28 / 43
Résultats principaux
Corollaire
On suppose (5) (8). Soit f 2 Cθ ([0, 1] , X) et u0 , u10 2 D (A).
1
2
3
Supposons que H 2 L(X) alors : il existe une solution semi-stricte u du
problème (3)-(4) si et seulement si Au0 f (0) 2 D (A).
Supposons que H 2 L(X) avec H (X) D(Q) alors : il existe une solution
stricte u du problème (3)-(4) si et seulement si Au0 f (0) 2 D (A) et
QH [Au0 f (0)] [Au1,0 f (1)] 2 D (A).
Supposons que f 2 Cθ ([0, 1] , D(Q)) alors : il existe une solution semi-stricte u
du problème (3)-(4) si et seulement si Au0 2 D(QHQ 1 ) \ D (A) et
QHQ 1 [Au0 f (0)] 2 D (A).
Dans le
corollaire précédent,
nous obtiendrons, pour chaque cas, la régularité
A. Medeghri (UMAB)
EDA avec des conditions aux limites non locales
28 / 43
Résultats principaux
Corollaire
On suppose (5) (8). Soit f 2 Cθ ([0, 1] , X) et u0 , u10 2 D (A).
1
2
3
4
Supposons que H 2 L(X) alors : il existe une solution semi-stricte u du
problème (3)-(4) si et seulement si Au0 f (0) 2 D (A).
Supposons que H 2 L(X) avec H (X) D(Q) alors : il existe une solution
stricte u du problème (3)-(4) si et seulement si Au0 f (0) 2 D (A) et
QH [Au0 f (0)] [Au1,0 f (1)] 2 D (A).
Supposons que f 2 Cθ ([0, 1] , D(Q)) alors : il existe une solution semi-stricte u
du problème (3)-(4) si et seulement si Au0 2 D(QHQ 1 ) \ D (A) et
QHQ 1 [Au0 f (0)] 2 D (A).
Supposons que f 2 Cθ [0, 1] , D(Q2 ) alors : il existe une solution stricte u du
problème (3)-(4) si et seulement si Au0 2 D(Q2 HQ 1 ) \ D (A) et
Q2 HQ 1 [Au0 f (0)] [Au1,0 f (1)] 2 D (A).
Dans le
corollaire précédent,
nous obtiendrons, pour chaque cas, la régularité
A. Medeghri (UMAB)
EDA avec des conditions aux limites non locales
28 / 43
Résultats principaux
Corollaire
On suppose (5) (8). Soit f 2 Cθ ([0, 1] , X) et u0 , u10 2 D (A).
1
2
3
4
5
Supposons que H 2 L(X) alors : il existe une solution semi-stricte u du
problème (3)-(4) si et seulement si Au0 f (0) 2 D (A).
Supposons que H 2 L(X) avec H (X) D(Q) alors : il existe une solution
stricte u du problème (3)-(4) si et seulement si Au0 f (0) 2 D (A) et
QH [Au0 f (0)] [Au1,0 f (1)] 2 D (A).
Supposons que f 2 Cθ ([0, 1] , D(Q)) alors : il existe une solution semi-stricte u
du problème (3)-(4) si et seulement si Au0 2 D(QHQ 1 ) \ D (A) et
QHQ 1 [Au0 f (0)] 2 D (A).
Supposons que f 2 Cθ [0, 1] , D(Q2 ) alors : il existe une solution stricte u du
problème (3)-(4) si et seulement si Au0 2 D(Q2 HQ 1 ) \ D (A) et
Q2 HQ 1 [Au0 f (0)] [Au1,0 f (1)] 2 D (A).
Supposons que H 2 L(X) et f 2 Cθ ([0, 1] , D(Q)) alors : il existe une solution
stricte unique u du problème (3)-(4) si et seulement si Au0 2 D (A) \ D(QH )
et [Au1,0 f (1)] QH [Au0 f (0)] 2 D (A).
Dans le
corollaire précédent,
nous obtiendrons, pour chaque cas, la régularité
A. Medeghri (UMAB)
EDA avec des conditions aux limites non locales
28 / 43
Cas particuliers
Cas particuliers
Nous étudions d’abord le cas particulier H = αI, α 2 Cn f0g , Re α
on considère le problème
8 00
< u (x) + Au (x) = f (x) , x 2 ]0, 1[
u (0) = u0
:
αu0 (0) + u (1) = u1,0 .
0 donc
(17)
La difficulté principale est l’hypothèse (8) et nous avons besoin de quelques
résultats de calcul fonctionnel.
Ici, notre principale hypothèse sur A est
8
< A est un opérateur fermé dans X, σ(A) ] ∞, 0[ et
1
(18)
< +∞,
: pour tout θ 2]0, π [, sup λ (A λI )
L(X)
λ 2Sθ
où Sθ := fz 2 Cnf0g : jarg zj < θ g. Puisque H = αI alors
Λ=I
2αQeQ
e2Q ,
nous devons étudier les fonctions F, G définies par
F(z) = 1 + G(z), G(z) = 2αze
A. Medeghri (UMAB)
z
e
EDA avec des conditions aux limites non locales
2z
, z 2 C.
29 / 43
Cas particuliers
D’abord nous fixons ε0 > 0 telque B(0, 4ε20 )
ρ (A).
Lemme 1.
Posons S = Sπ/4 , on obtient :
1
2
3
F, G sont des fonctions holomorphes sur un voisinage de S.
x > 0 implique jF(x)j > 0.
2αze z + e 2z = 0 et alors
lim
Re z!+∞, z2S
a. il existe x0 > 0 tel que z 2 S et Re z > x0 implique que 2
b. F est borné sur S.
4
jF(z)j
1/2.
Il existe θ 0 2]0, π/4[ tel que F(z) n’est pas nulle sur
Σ0 = fz 2 C : Re z
ε0 et jarg(z)j
θ0 g ,
et min jF(z)j = r > 0.
z2 Σ0
Lemme 1.
Sous ’l’hypothèse (18), l’opérateur Λ = I
Λ 1 = I Ψ ( Q).
A. Medeghri (UMAB)
2αQeQ
e2Q admet un inverse borné et
EDA avec des conditions aux limites non locales
30 / 43
Cas particuliers
Théorème 1.
Sous (18), on suppose que u0 , u1,0 2 D (A) et
f 2 Cθ ([0, 1] , X) avec θ 2 ]0, 1[ .
Alors :
1
2
3
il existe une solution semi-stricte unique u du problème (17) si et seulement si
Au0 f (0) 2 D (A),
il existe une solution semi-stricte unique u du problème (17) ayant la régularité
(9)-(10) si et seulement si Au0 f (0) 2 DA (θ/2, +∞),
il existe une solution stricte unique u du problème (17) si et seulement si
8
< Au0 f (0) 2 D (A),
Au0 f (0) + If 2 D(Q) et
:
αQ Au0 f (0) + If
[Au1,0
A. Medeghri (UMAB)
EDA avec des conditions aux limites non locales
f (1)] 2 D (A).
31 / 43
Cas particuliers
Remarque : Soit α 2 Cn f0g , Re α
0.
Par les mêmes techniques nous pouvons considérer H =
e G
e definies par
l’hypothèse (18), on étudie les fonctions F,
e(z) = 1 + G
e (z), G
e (z) =
F
et on peut montrer que Λ = I + 2αQ2 eQ
Λ
1
=I
2αz2 e
z
e
αQ sous
2z
e2Q admet un inverse borné
e
G
( Q),
e
1+G
alors (5) (8) sont vérifiées et donc on peut appliquer Théorème 1.
A. Medeghri (UMAB)
EDA avec des conditions aux limites non locales
32 / 43
Cas particuliers
Remarque : Soit α 2 Cn f0g , Re α
0.
Par les mêmes techniques nous pouvons considérer H =
e G
e definies par
l’hypothèse (18), on étudie les fonctions F,
e(z) = 1 + G
e (z), G
e (z) =
F
et on peut montrer que Λ = I + 2αQ2 eQ
Λ
1
=I
2αz2 e
z
e
αQ sous
2z
e2Q admet un inverse borné
e
G
( Q),
e
1+G
alors (5) (8) sont vérifiées et donc on peut appliquer Théorème 1.
Noter que nous pouvons également résoudre le problème
8 00
< u (x) + Au (x) = f (x) , x 2 [0, 1[
u (0) = u0
:
αu0 (0) + Qu (1) = u1,0 ,
puisque on peut écrire la deuxième condition aux limites :
αQ
1 0
u (0) + u (1) = Q
1
u1,0 ,
ici H = αQ 1 , Λ = I + 2αeQ e2Q 2 L(X) et, en supposant (18), on
peut appliquer le corollaire 5 assertion 2.
A. Medeghri (UMAB)
EDA avec des conditions aux limites non locales
32 / 43
Problème avec un paramètre spectral
Problème avec un paramètre spectral
Afin de fournir des résultats pour H général satisfaisant (8), nous
considérerons un certain nombre positif grand ω et le problème
8 00
< u (x) + Au (x) ωu(x) = f (x) , x 2 [0, 1]
u (0) = u0
:
u (1) + Hu0 (0) = u1,0 .
En fixant ω 0
0 et en posant, pour ω
Aω = A
(19)
ω0
ωI,
alors le Problème (19) est le Probleme (??) avec A remplacé par Aω .
A. Medeghri (UMAB)
EDA avec des conditions aux limites non locales
33 / 43
Problème avec un paramètre spectral
Problème avec un paramètre spectral
Nos hypothèses principales sur les opérateurs sont
8
< Aω0 est un opérateur linéaire fermé dans X, [0, +∞[
: sup λ (Aω0
λ>0
λI )
1
L(X )
< +∞,
8ζ 2 D(H ) : Aω01 Hζ = HAω01 ζ,
D (Qω 0 )
A. Medeghri (UMAB)
D (H ) .
EDA avec des conditions aux limites non locales
ρ (Aω0 ) et
(20)
(21)
(22)
34 / 43
Problème avec un paramètre spectral
Remarque :
1
L’hypothèse (20) implique que pour ω ω 0
8
Aω est un opérateur linéaire fermé dans X,
>
>
<
[ω 0 ω, +∞[ ρ (Aω ) et
> sup
< +∞.
(λ + ω ω 0 ) (Aω λI ) 1
>
:
L(X)
(23)
λ>ω 0 ω
mais
sup λ (Aω
λI )
λ>0
1
L(X)
(λ + ω
sup
λ>ω 0 ω
ω 0 ) (Aω
λI )
1
L(X)
,
1
ainsi, pour tout ω ω 0 , Qω = ( Aω ) 2 ,est un générateur infnitésimal
d’un semi-groupe analytique generalisé sur X. Notons que
c0 = sup
λ>ω 0 ω
2
(λ + ω
ω 0 ) (Aω
λI )
et alors c0 ne dépend pas de ω.
L’hypothèse (21) implique que ω
8λ > ω 0
A. Medeghri (UMAB)
ω, 8ζ 2 D(H ), (λI
1
L(X)
= sup λ (Aω0
λ>0
λI )
1
L(X)
,
ω0
Aω )
1
Hζ = H (λI
EDA avec des conditions aux limites non locales
Aω )
1
ζ,
35 / 43
Problème avec un paramètre spectral
Lemme 1.
ω 0 tel que, pour ω > ω , l’opérateur
On suppose (20) (22), alors il existe ω
Λω = 2HQω eQω + I e2Qω admet un inverse borné.
Théorème 1.
On suppose (20) (22), supposons que u0 , u1,0 2 D (A) et
f 2 Cθ ([0, 1] , X) avec θ 2 ]0, 1[ . Pour tout ω > ω
1
2
3
il existe une solution semi-classique uω du problème (19) si et seulement si
Au0 f (0) 2 D (A),
il
(existe une solution semi-stricte uω du problème (19) si et seulement si
Au0 f (0) 2 D (A), HQω 1 Au0 f (0) + If 2 D(Q) et
Qω HQω 1 Au0 f (0) + If 2 D (A),
il
(existe une solution stricte uω du problème (19) si et seulement si
Au0 f (0) 2 D (A), HQω 1 Aω u0 f (0) + If 2 D(A) et
Q2ω HQω 1 Aω u0 f (0) + If
[Aω u1,0 f (1)] 2 D (A).
De plus, dans les 3 cas u est unique et donnée par uω = uω,R + vω + wω où
uω,R , vω , wω sont définies dans (14),(15) et (16) et on remplace A, Q, Λ par
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Problème avec un paramètre spectral
Remarque : Dans le théorème 3, nous obtiendrons, dans chaque cas, la
régularité maximale de la solution uω si on remplace D (A) par
DA (θ/2, +∞).
Cas Particulier du Problème (19)
On considère ici H = α (Qω0 ) β avec α 2 Cn f0g et β 2] ∞, 1]. Ainsi le
problème (19) devient
8 00
< u (x) + Au (x) ωu (x) = f (x) , x 2 ]0, 1[
u ( 0 ) = u0
:
u (1) + α (Qω0 ) β u0 (0) = u1,0 .
(24)
Si on suppose (20) , (21) et (22) vérifiées on peut appliquer le théorème 3 (de
plus H 2 L(X) si β 2] 1, 0] et H 2 L(X) avec H (X) D(Q) pour
β 2] ∞, 1]. Dans ces cas nous pouvons appliquer le corollaire5). Par
exemple si β = 0 nous obtenons le problème abstrait suivant
8 00
< u (x) + Au (x) ωu (x) = f (x) , x 2 ]0, 1[
u ( 0 ) = u0
(25)
:
u (1) + αu0 (0) = u1,0 ,
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