E.N.S.2009 Paris [p091p1eJS|LI 1 Deux illustrations 1".1 Le facteur 119 des principes de Boltzmann de Boltzmann Ql. On considère un fluide soumis au dramp de pesanteur d'intensité constante notée g, dirigé dans le sens décroissant d'un a:<e vertical noté z. On note P(r) la prassion du fluide et p(z) sa mas.sevolumique à I'altitude z.Déduire de l'équilibre mécanique du fluide une équation différentielle reliant les fonctions P et p. Q2. On suppose que le fluide est un gaz parfait de masse molaire M. En déduire une relation supplémentaire entre P(r) et p(z), en notant T(z) la température du gaz à I'altitude z. - T indépendamment de Q3. On suppose par ailleurs le gaz isotherme, c'est-à-dire que T(r) I'altitude. En déduire la valeur de P(z) pour tout z ; on notera Ps la pression en z - 0. Q4. Exprimer la densité volumique de molécules du fluide n(z). Montrer que I'on peut la mettre sous la forme n0exp[- Er(z)/(kef)], où .Eo est l'énergie potentielle de pesanteur d'une molécule de fluide. b I Q5. Définir une hauteur caractéristique pour ce phénomène. En donner la valeur numérique pour I'air, que I'on assimilera à un gaz parfait de rnassemolairc 29 g.mol-l à la température de 20"c. 7 t. I Q6. [,e modèle étudié dans cet exercice vous sembl+t-il adapté à l'étude de I'atmosphère terrestre ? 7 t 7 Données numériques J Constante des gaz parfaits : R: 8,314 J.mol-l.1ç-t Accélération du dramp de pesanteur : g - 9, 81 m.s-2 Vitesse de la lumière : c:3 108 m.s-l 3 Mesure optique de ,R La dernière partie du problème est conbacréeau principe d'une autre expérience de mesure de -R, ba,seesur l'éIargissement des raies d'absorption moléculaire par effet Doppler à cause du mouvement d.'agitation thermique des molécules d'un gaz. 3.1 Distribution des vitesses dans un gaz parfait On considère un gaz parfait monoatomique, constitué d'atomes de masse m, de densité volumique n, en équilibre thermodynamique à la température T. Les atomes ont donc un mouvement d'agitation thermique, que I'on va caractériser dans les questions suivantes. Dans un premier temps on considère un modèIe schématique du mouvement des particules du gaz : leur vitesse est supposéene pouvoir prendre qu'une des valeurs suivantes, (*u0,0,0), (0, *us,0), (0,0, *t,s), dans un systèmesde coordonnéescartésiennesdont les axes correspondent aux orientations des faces du parallélépipède qui renferme Ie gaz. On fait I'hypothèse que les six valeurs possibles de la vitesse sont également représentéesparmi les atomes du gaz. portion de surface ô,S d'une des parois, efg. Combien d.'atomes entrent en collision avec une pendant un interva,lle de temps infinitesimal ôt ? q64.Quel est le transfert de quantité de mouvement opéré lors du choc entre rrn uro*e et la paroi, liatome étant supposé réfl.échidans la direction opposée à celle de son arrivée ? r paroi est Q55. En déduire que la pression exercée par Ie gaz sur Ia P - lr*rfi d'un gaz parfait si I'on prend eb6. Montrer que ce résultat est compatible avec I'équation d'état us-$æn On reconsidère maintenant ce point à partir du principe général utilisé dans la première partie : la probabilité qu'un atome soit trouvé à la position û à d3d, avec une vitesse u'à d3d près e.st proportionnelle au faeteur de Boltzmann exp[- E(i,d)l@BT)Jd3dd3u-, où E(d, u-) est I'énergie d'un atorne dans un tel état. L26 E.N.S.2009 Paris [p09lp1eJ I0ln Q57. Montrer que la probabilité pour qu'un atome ait une vitesse u-à d3u-près peut s'écrire (7) g(u,)du, g(u)duo g(u,)dr, , où I'on explicitera la fonction g à une constante multiplicative près. Q58. En déduire que la vitesse quadratique moyenne vaut - on utilisera I'identité : d'ae-go' Ë; valable pour toute constante B positive. 2P ' Q59. Tlacer I'allure de Ia fonction g(u). Exprimer la mi-largeur àlf e, que I'on notera u1, définie comme la valeur de u pour laquelle g(a) est divisee par e par rapport à sa valeur maximum, en fonction de ka, T et m. En donner la valeur numérique à 0"C, en prenant pour rn La ma,sse d'une molécule d'ammoniac NH3, de masse molaire LT g.mol-l. On rappelle que R : ke/r/4et que la valeur de R est donnée dans le formulaire au début de I'énoncé. Q6O. Dans quel régime de pression le comportement d'un gaz s'approche-t-il de celui d'un gaz parfait ? Pourquoi ? 3.2 Elargissement Doppler des raies d'absorption moléculaires Q61. On considère une onde plane monochromatique progressive dans Ia direction donnée par le vecteur unitaire d, de pulsation ar et de célérité c, décrite en notation complexe par le champ s(i,t) - "n-(*-') . Un récepteur se déplace à la vitesse t7 dans le champ de cette onde. Quelle est la pulsation uobs qu'il observe ? l- Q62. Citer une manifestation de cet effet dans la vie courante. Q63. On place un gaz moléculaire dans le champ de cette onde. On suppose que le mouvement d'agitation thermique des molécules de masse rn e.stdécrit par la distribution de vitessqs obtenue à l'équation (7). Ces molécule.s peuvent absorber le rayonnement de I'onde lorsque la pulsation qu'elles observent au cours de leur déplacement est égale à r. (à ôa.'près, que I'on traitera comme un infiniment petit). Le coefficient d'absorption o(t.r) est proportionnel à la densité volumique de rnolécules susceptibles d'absorber I'onde incidente. Montrer que a(w) peut se mettre, à une constante multiplicative près, sous la forme (8) Vous expliciterez u et ô en fonction des grandeurs de l'énoncé. fonction de u. Préciser Ia vâleur de c..roù cette Q64. Tbacer l'allure de exp l- ("+\'1en L\/J fonction atteint son maximum, ainsi que les deux pulsations @- I u+ où sa valeur est divisée par e par rapport à son maximum. 727 E.N.S.2009 Paris [p09lp1eJ II I LL Q65. Donner I'ordre de grandeur de u,, et simplifier en conséquenceI'expression de la mi-largeur à lf e, L,w - (r+ - u-)/2.Etait-il légitime de négliger le facteur lf u dans I'expression (8) pour effectuer ce calcul de la mi-largeur de a(w) ? Q66. Déduire des questions précédentes que Ia mesurede 4r.,,permet d'obtenir la valeur de la constante dqs gaz parfaits selon L,\' / R-M", 2T \ * / où M est la masse molaire du gaa considéré. ' Q67. Selon la loi de Beer-Lambert Ie facteur de transmission de I'intensité d'une onde après la traversée d'une épaisseur ,L d'un milieu de coefficient d'absorption o(c^.')est : T (r) - exp[- a(w)Ll . La figure 2 pnisente les résultats d'une expérience de rnesure deT(u) à la traversée d'une vapeur d'ammoniac à la température de 0"C. Les différentes courbes correspondent à différentes valeurs de la pression. Dans quel sens la pression évolue-t-elle quand on passe de la courbe 1 à la courbe 5? Q68. Déterminer Ia mi-Iargeur à L/e (en MHz) de I'absorption a(w) à partir des mesures de T(r) représentéessur la courbe 3 de la figure 2 ; vous préciserez la valeur de T q:uevous mesurez au maximum d'absorption et au bord de la mi-largeur. Q69. Une exploitation plus précise des résultats de I'expérience conduit à une mi-largeur à L/e de 49.9 l|[t[z. En déduire une estimation de la constante des gaz parfaits R. Q7O. Connaissez-vous d'autres causqs d'élargissement des raies d'absorption d'un gM? Dépendent-elles des conditions (température, pression...) dn gaz, et si oui dans quel régime sont-elles minimisées ? t 0.8 -';ffi R\ ,t'rt/ 0,6 tI.rl 0.2 \*tr-/ \__g 0 ?8953,569 28953,694 28953,8TI Ftc. 2 - Profil d'absorption T en fonction de la fréquence de I'onde incidente en GHz. Fin de l'épreuve @ tooj nîl!*W 5& Qss te G? +V = n|(T . J,^. é.-l- P=e=c fvv U *'*^'tr/-f J 'l (r -? "^-1"^'Ï) ffi,R,|JL ( r0\ ttOrrr-o7t'*t al- 0( u',4r- *f^ = y,l' nv V = ,-Hx t= n Otftc irr ;[u l-3 - 4=L,1 11 =( ?+{n*,:Tr *. t"l*44u: "i'l rr< l-+' "- A<N cur'.-< - 'o n"Yt RT Yf c =t"* KT .rn et| h ,^o,r* /' I I (. '^lu *o,)' tn? /<'r;t\-a b,*ftt- L t, tlL.vtrl-v+.++Cttl Ocrr< ^ofr","-Af + = I (tr,t '(^à Q t( *rJ , {= ^l r-'-t5 rrs lt 1 .,, a1 = G*Xl'J*n Lc^ cl"'^'*E Vry on î.f"=^tJ-;,ffi"W*ry I dûrn'< o |('t ^ 1- 4 1= I (, fX tr(: 453 ,-æ' è ,nl â(n*l n*f;^,!!r; fI r= KT ,)^.t =!frr' t';u=ffiI --.1-1 N-.= , " L I u-'"' I I A* "1^ PUUW I ur ; t tar .f= dlu, à e; y* ^lfln\ *"*!!'-; av\eyLL a q+l-v.t-là*d 1f F, , f I t" | ; \J 1?x'(o's P:' I ;fr"';';: :' |"';4în#o',#+ry 4\\ ^.il-;*I f- tTr(',ïX\+T')] ' lnrfii-(& " l'nyrol= H g ,f;r$, n"'-&-q ,) -,-1 n n ,; F., -n t'*' À uopn= * ê-L^-[< ' zo-'"b* ,r;= I @) 0..- 2* elr g g Z(aqra.e r.É.,-' n=t("!4)' !^ "f'^' '!- L ,!{ = z (ff' I L à ,1,o,,*l,,.ln-.o 4-4 4= 4 = Ino A" *d,l,r -€ "o0*Ï- , n4^J^ ,Jo *- ^ (4. ffi::J"'" "r't)J{r u[- 4 i **^ æli{ {u 6&. & (i o,o, ("&" zv. ;its" ;il^, ,^^ a^. 5f ^oî,iËtr;* 5{ â gt Nc N'"{"'- L ikaJ (n* f)-' = t: 9 -n(^= -1,) , ry/ lp'; Qçs(o.) : . ofI =.{ *J.-. ;? 1.-) I tW ^";,t n-Lfl ; à b --o . â.'.Âo^ 4- lî (n l,.*.rÉ,,,'*u€#; f L l^. co'J 'î nY:: ^t à4 P' "* i 1Âr r t' tf"^' fte-Wt+ ç .. êl EvJL l: -& ;wq @ 7 c'-F Ovr u,3 * ;d (;r 4r"*r I I I o'3 À Q&, [1a,, ^ â =. n* ;-r = ,i u* 1,)^ z-- ô ('tr ÎT' I e ,lL = C fv z ô (411 ) .(-) t*t \\ "L 'u = 'i (t- L*) -'ê L u) L ?'o^L *'îh^lî-&t ,r)- btlrrM,rctiluàg._tt àu,-, Lrf td#-' ' (c^'L -' ).-r1 é L h{ lut V"'/^ 4 &"yfu l-,A'&' k;à J* (8) 14o'^" uJ ail b: u) T:* d^ t- LJ1:g r\@-= n ' \ +c ;\;- a. 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