Les TD - Université Jean Monnet
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CITSE 2 Université Jean-Monnet-Télécom St-Etienne TD Phénomènes vibratoires 2009-2010 N°1 Exercice 1 On considère un oscillateur mécanique amorti constitué d'une masse m attachée à l'extrémité d'un ressort horizontal, l'autre extrémité étant fixe. Le système est en oscillation et on mesure la position instantanée de la masse. Le graphe suivant décrit cette évolution. 1. Quel est le régime d'évolution de l'oscillateur ? Donner l'équation différentielle faisant intervenir le coefficient d'amortissement et la pulsation propre 0 à laquelle satisfait x(t). Donner l'expression générale de x(t). 2. Déterminer graphiquement la pseudo-période d'oscillation que l'on notera T1. 1 x(t) . ln n x(t nT1 ) Déterminez-le graphiquement, puis exprimez-le littéralement en fonction du coefficient d'amortissement et de la pseudo-période. 3. On rappelle que le décrément logarithmique est donné par 4. Déduire les valeurs du coefficient d'amortissement, de la période propre et du facteur de qualité. CITSE 2 Université Jean-Monnet-Télécom St-Etienne Exercice 2 Un piston de section S, de masse m, mobile sans frottement dans un cylindre, emprisonne au repos un volume V0 d’air sous la pression atmosphérique P0 et à la température T0. On donne une impulsion sur le piston initialement immobile. On néglige la viscosité de l’air. 1. Dans l’hypothèse où la masse d’air emprisonnée suit la loi d’évolution adiabatique P.V=cte, établir différentielle en x(t) qui régit le mouvement du piston. On prendra |V’|<<V0, |P’|<<P0, |T’|<<T0. 2. Calculer la pulsation propre 0. De quel type de régime s’agit-il ? S, m P0 T0 V0 P0 T0 0 V=V0+V’ P=P0+P’ T=T0+T’ x P0 T0 Exercice 3 Un microphone électrodynamique est constitué d'une bobine mobile, de longueur l, reliée au boîtier par une membrane élastique (fig. 1). L'ensemble mobile sera noté D dans la suite (sa masse est m, sa vitesse est v , il est relié à un bâti fixe par un ressort de raideur k et soumis à une force de frottement F1 = - f v , f > 0). Les spires de la bobine sont en permanence plongées dans un champ magnétique radial B de module constant (fig. 2). Les deux extrémités de la bobine sont reliées à un conducteur ohmique de résistance R (non représenté sur la figure 2) pour former un circuit fermé. Le déplacement de D sous l'action des ondes sonores provoque l'apparition d'un courant d'intensité i dans le circuit. Figure 1 Figure 2 CITSE 2 Université Jean-Monnet-Télécom St-Etienne Ce courant est créé par le phénomène d’induction magnétique et son expression est donnée Blv par : i R La force F2 agissant sur D est la somme d'une force Fa = Fa u d'origine acoustique et d'une B2 l 2 v u d'origine électromagnétique ( u vecteur unitaire porté par l'axe force Fe = Fe u = R Ox de la bobine). 1. Déterminer l'équation différentielle vérifiée par x. Montrer que cette équation différentielle peut se mettre sous la forme : mx f ' x kx Fa Donner f' en fonction de f, B, l et R. 2. Une onde sonore sinusoïdale est envoyée sur le microphone et crée une force Fa = Fa cos(t) u . Calculer, en régime permanent, la tension uR aux bornes du conducteur ohmique, signal électrique fourni par le microphone. On écrira uR = URM cos(t + '). 3. Application numérique : m = 10-3 kg ; k = 104 N.m-1. Calculer la fréquence No, pour laquelle URM est maximal. Exercice 4 : ensemble de poulies Chercher la fréquence propre du système en admettant que le fil est inextensible et que les poulies ont une masse nulle k1 k1x1 x x1 T T x2 T m k2 x m Exercice 5 : cylindre lesté C’ C Le système pendulaire ci-dessus roule sans glisser sur un plan horizontal. Il est constitué d’un cylindre de masse M, de moment d’inertie J, relié rigidement par une tige à une masse m supposée ponctuelle. La masse de la tige étant négligeable, établir, par dérivation de l’énergie mécanique, l’équation x O O’ y L m A’ A CITSE 2 Université Jean-Monnet-Télécom St-Etienne différentielle des petits mouvements autour de la position d’équilibre. Rappels : L’énergie ménanique est la somme de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle. L’énergie du système est la somme de l’énergie de la masse et de l’énergie du cylindre. Pour le cylindre, l’énergie cinétique présente une composante liée à la translation du centre d’inertie et une composante liée à la rotation du cylindre. Exercice 6 : mesure du coefficient de viscosité d’un liquide Une masse sphérique de centre C, de rayon R, de masse volumique est suspendue en O par un fil de masse négligeable de longueur L = OC. Elle est O =7800 kg/m3 complètement immergée dans de l’huile de masse ’=970 kg/m3 volumique ’. On supposera R<<L et ’<< . R=10 cm L=0,98 m Etablir l’équation différentielle du mouvement de ce L g=9,81 m/s² pendule. On donne l’expression de la force de frottement visqueux : Ff 6R Vc Où est le coefficient de viscosité dynamique de l’huile. C Déterminer pour que ce pendule soit à huile l’amortissement critique. Exercice 7 : Puissances et énergies en régime forcé On donne l’équation du mouvement d’un pendule à ressort en oscillations forcées : cx kx F cos t mx Dont la solution est x=Xcos(t-) On désigne les forces d’inertie, de frottement, d’élasticité et d’action extérieure de la source par : Fi mx Ff cx Fel kx Fext F cos t 1- Calculer la puissance instantanée et la puissance moyenne par rapport au temps, mise en œuvre par chacune de ces sources. 2- Ecrire le bilan de ces puissances et en déduire une expression de sin en fonction de X, c, F et . Retrouver l’expression de la puissance réactive. 3- En intégrant chaque puissance et en choisissant conventionnellement la plus petite constante d’intégration qui rende chaque énergie positive ou nulle, calculer les travaux des 4 forces précédentes. Interpréter. 4- Calculer les rapports d’énergies suivants : R1=Wi(cinétique maxi)/Ws(dissipée pendant une période T) R2=Wélas(potentielle maxi)/Ws en fonction de Q et =/0. Exercice 8 : Pendule CITSE 2 Université Jean-Monnet-Télécom St-Etienne On considère le mouvement d'un pendule simple qui oscille dans un milieu où les forces de frottement sont inexistantes. Le pendule est constitué d'un objet ponctuel M de masse m, accroché par l'intermédiaire d'un fil rigide au point O fixe. On suppose le fil rigide sans masse. L'ensemble est plongé dans le champ de pesanteur terrestre uniforme. On écarte le fil de sa position d'équilibre d'un angle q(t=0) = q0 et on le lâche sans vitesse initiale. OM=l=1,0 m Oscillations de faible amplitude : 1. Enoncer le théorème du moment cinétique appliqué à un point matériel. 2. Etablir l'équation différentielle vérifiée par l'angle (t) en fonction du temps. Donner l'expression de la pulsation 0 du mouvement. 3. On mesure pour 20 périodes une durée de 40,12 s. En déduire la valeur de g. Cas général : On se place dans le cas d'oscillations d'amplitude plus importante. On désigne par Em l'énergie mécanique, Ep l'énergie potentielle et Ec l'énergie cinétique du pendule. 1. Donner les expressions des énergies cinétique et potentielle en fonction de m, g,l , et d/dt. On prend l'origine de l'énergie potentielle pour = 0. 2. En déduire que l'équation de la trajectoire dans le plan de phase du point P de coordonées (t) 2 et y = 1/0d/dt peut se mettre sous la forme : y + 2(1-cos) = 2Em/ (mgl). L'allure générale du portrait de phase de cette équation est donnée ci-dessous : 3. Quelles sont les trajectoires de phase correspondant à Em<2mgl ? 4. A quelle situation correspondent les points A ? 5. Quelles sont les courbes correspondant : - à un mouvement oscillatoire périodique autour d'une position d'équilibre stable ? - A un mouvement de révolution. Exercice 9 : Circuit RLC On considère un circuit électrique RLC composé de trois éléments montés en série : un condensateur C, une bobine L de résistance interne négligeable et une résistance variable R. On donne C=10µF et L=100mH. Le condensateur est initialement chargé. A l'instant t=0, on ferme l'interrupteur K et on laisse le système évoluer librement. On rappelle que la tension aux bornes du condensateur satisfait à l'équation CITSE 2 différentielle : Université Jean-Monnet-Télécom St-Etienne d 2u c R du c 1 u c 0 . On donne successivement à la valeur de la résistance 3 dt 2 L dt LC valeurs différentes : 100 , 150 et 250 1. Déterminer dans chacun des cas le régime de fonctionnement de cet oscillateur. Dans quel(s) cas observe-t-on des oscillations ? En déduire alors la pseudo-période. (3 pts) 2. Quelle valeur faut-il donner à R pour être en régime critique ? (2 pts) Exercice 10 : Vibrations longitudinales d’une molécule diatomique Deux particules M1 et M2 ponctuelles, de masses respectives m1 et m2, sont reliées par un ressort de raideur k et de longueur à vide l0. Les deux masses mobiles sans frottement sur une tige fixe horizontale, sont écartées de leur position d’équilibre puis relâchées sans vitesse ; elles sont repérées à chaque instant t par les abscisses x1(t)= GM1 et x2(t)= GM2 où G désigne le centre de masse des particules. 1- Si on pose X(t)=x2(t)-x1(t), établir l’équation différentielle du 2nd ordre dont X(t) est solution. 2- Exprimer en fonction de m1, m2 et k, la période T avec laquelle les masses oscillent l’une par rapport à l’autre. 3-Deux masses égales (m1=m2=m=0,1 Kg) couplées oscillent avec une période de 1s ; calculer la raideur du ressort de couplage. 4-Ce système modélise les vibrations longitudinales d’une molécule d’oxyde de carbone CO dont la longueur d’onde associée à la fréquence propre f0 est 0= 4,6 µm. Calculer f0 et le k de la liaison atomique C-O avec mC=2.10-26 kg et mO=2,67.10-26 kg. Exercice 11 : Oscillations forcées d’un système couplé à 2 ressorts On considère les mouvements de translation verticale de M1 et de M2 définis par leurs abscisses x1(t) et x2(t) repérées par rapport à leur position d’équilibre x10 et x20 La masse M2 est soumise à une force excitatrice sinusoïdale (régime harmonique) de pulsation w réglable : F(t)=F0cos(t) 1- Ecrire le système d’équations différentielles du second ordre en x1 et x22- En régime forcé, une solution particulière de ce système d’équations est de la forme (en notation complexe) k j t j t x1 A1e 1 , x 2 A 2 e 2 a- pour quelle valeur 0 de la masse M2 demeure-t-elle immobile? M m b-Pour quelles valeurs ’ et ’’ de , en fonction de 0, le système est-il en résonance d’amplitude? k 3- Dans quels domaines de pulsations les masses vibrent-elles en phase et en opposition de phase avec la force extérieure? M 4- Tracer l’allure des graphes A1() et A2() m Exercice 12 : Circuits L-C couplés par une inductance L0. Pulsations propres en régime libre. Régime forcé On considère deux circuits oscillants L-C identiques, couplé par une bobine d’inductance propre L0. On négligera les résistances électriques. CITSE 2 Université Jean-Monnet-Télécom St-Etienne A- régime libre 1-Etablir le système de 2 équations différentielles vérifiées par les tensions u1 et u2 aux bornes de chacun des deux condensateurs. 2-Montrer que tout état de ce système est la superposition de 2 modes propres d’oscillations électriques sinusoïdales dont on exprimera les pulsations ’ et ’’ en fonction de L, C et L0. 3-Interpréter physiquement les expressions des pulsations ’ et ’’ des modes propres de ce système couplé. B-Régime forcé Le circuit précédent est alimenté par un générateur BF de fém e1=E1exp(j t) de pulsation réglable et d’impédance négligeable. On notera u1=V1exp(j t) et u2=V2exp(j t) les ddp complexes aux bornes de chacun des 2 condensateurs, en régime forcé. 1- Calculer les amplitudes complexes V1 et V2 de ces tensions en régime forcé, en fonction de la pulsation du générateur. 2- Calculer les pulsations de résonance et d’antirésonance de la ddp u1 3- Allure des graphes V1() et V2(). Exercice 13 : Circuits L-C couplés par inductance mutuelle. Régime libre. Régime forcé A- Régime libre Soient 2 circuits LC identiques, de résistance négligeable. Le couplage par inductance mutuelle est caractérisé par le coefficient de couplage k=M/L. On posera 0²=1/LC. 1- Ecrire les 2 équations différentielles vérifiées par les charges q1 et q2 des condensateurs des circuits 1 et 2 2- En déduire les équations différentielles vérifiées par la somme S= q1+ q2 et la différence D= q1 - q2. Déterminer les pulsations propres ’ et ’’ en fonction de 0 et k. 3- On admet le couplage lâche (k<<1). A l’instant t=0, où on ferme l’interrupteur K, le condensateur du circuit 1 porte la charge q10 et celui du circuit 2 est déchargé. Montrer que la charge du condensateur du circuit 1 évolue au cours du temps selon la loi : q1 t q10 cos t.cos 0 t Exprimer en fonction de 0 et k.En déduire la loi d’évolution de la charge q2(t) du condensateur du circuit 2. CITSE 2 Université Jean-Monnet-Télécom St-Etienne 4- Tracer l’allure des graphes q1(t) et q2(t) . Donner l’expression de la pseudo-période T, de la période des battements TB et de la période TA pour l’amplitude. B- Régime forcé Le circuit primaire est maintenant alimenté par un générateur sinusoidal de fém e1=E1cos(wt). On étudie le circuit en régime forcé permanent. 1- Exprimer en régime forcé les charges q1(t) et q2(t) sous la forme : q1 (t) Q1 cos t , q2 (t) Q 2 cos t , où on déterminera les amplitudes Q1() et Q2() en fonction de E1, L, 0 et k. 2-Déterminer la pulsation d’antirésonance pour laquelle Q1(A) = 0 ; en déduire Q2(A). 3- Tracer l’allure des graphes |Q1()| et |Q2()|. CITSE 2 Université Jean-Monnet-Télécom St-Etienne Exercice 14 : Pendule double O OA et AB : tiges rigides de masse négligeable de longueur l. On néglige les frottements. TA module de la force que la tige OA exerce sur la tige AB. G : l centre de masse de la tige AB. 1Ecrire le moment cinétique de la tige AB (avec les TA masses m et 2m aux extrémités B et A respectivement) 2m en G. A 2- Appliquer le théorème du moment cinétique en G et l déterminer une des équations différentielles régissant m le mouvement de la tige. B 3- Trouver deux autres équations différentielles en appliquant le principe fondamental de la dynamique à la tige AB. 4- On suppose que le pendule n’est soumis qu’à de petites oscillations. Faire un DL au premier ordre des 3 x équations du mouvement et en déduire 2 équations différentielles du 2nd ordre en et en faisant intervenir le paramètre 0=(g/l)0.5. 5- Quelles sont les pulsations propres de ce pendule double ? 6- Exprimer l’énergie mécanique. y Exercice 15 : Chaine de pendules Considérons les trois pendules représentés cicontre, de longueur L. A l’équilibre ces trois pendules sont verticaux, les trois masses sont équidistantes sur une même horizontale et les ressorts ont leur longueur naturelle. On pose 02=k/m et 02=g/l 1- Ecrire l’énergie cinétique et l’énergie potentielle du système et utiliser les equations de Lagrange-Euler pour déterminer le système d’équations différentielles vérifiées par les élongations angulaires i pour de petites oscillations. 2- Déterminer les pulsations propres de ce système. 2 3 1 k k m m 3- Déterminer les matrices de raideur et d’inertie du système. Et montrer que Ec et que Ep 1 T M 2 1 T K 2 4- Déterminer les rapports des amplitudes angulaires propres. m 2m et 3m pour chacun des modes 1m 1m CITSE 2 Université Jean-Monnet-Télécom St-Etienne Exercice 16 : Corde plombée en oscillations transversales On dispose sur un plan horizontal parfaitement lisse N plombs (ponctuels) de même masse m, reliés entre eux et reliés aux points fixes A et B par des cordes élastiques de masse F négligeable de même longueur l, tendues avec une tension F. On posera 0 et on ml notera y1, y2,…,yn les eptits déplacements transversaux des plombs par rapport à leur position d’équilibre sur la droite AB. 1- Corde à N=2 plombs 1.a- Etablir les 2 équations différentielles en y1(t) et y2(t). 1.b- Calculer les pulsations propres d’oscillation en fonction de 0 . 2- Corde à N=3 plombs 2.a- Etablir les 3 équations différentielles en y1(t), y2(t) et y3(t). 2.b- Calculer les pulsations propres d’oscillation en fonction de 0 . 3- Corde à N plombs 3.a- Ecrire l’équation différentielle qui lie le déplacement du nème plomb (1nN) aux déplacements transversaux yn-1, yn+1 des plombs voisins. CITSE 2 Université Jean-Monnet-Télécom St-Etienne 3.b- On cherche des solutions du type y n A n cos t , où tous les plombs vibrent à la même ² . 220 On notera N le déterminant d’ordre N des coefficients An. Déterminer, d’après les questions 1 et 2, les déterminants 1, 2 et 3 en fonction du seul paramètre , sous forme d’un rapport de 2 sinus. En déduire, par récurrence, l’expression du déterminant N en fonction de N et . 3.c- En déduire que les pulsations propres p de la corde à N plombs équidistants sont p données par : p 20 .sin où p est un entier compris entre 1 et N. 2 N 1 pulsation . On posera cos 1 Exercice 17 : modes propres de torsion et oscillations forcées d’un système de trois disques couplés Sur un arbre OO’ horizontal et fixe, de masse négligeable, encastré à ses extrémités O et O’, sont fixés 3 disques (D1), (D2) et (D3) de centres respectifs O1, O2 et O3 et de même moment d’inertie J par rapport à leur axe commun OO’. On désignera par 1(t), 2(t) et 3(t), les angles de rotation de chacun des 3 disques par rapport à leur position de repos. Les quatre parties de l’arbre OO1, O1O2, O2O3 et O3O’ de l’arbre ont même constante de C . torsion C. On posera 0 J 1- Régime libre. Modes propres. 1.a- Ecrire les équations différentielles du second ordre vérifiées par les angles 1(t), 2(t) et 3(t). 1.b- En déduire les trois pulsations propres , ’, ’’ de ce système en fonction de 0 . 1.c- Déterminer pour chacun des 3 modes propres les amplitudes angulaires des disques (D2) et (D3) si l’amplitude angulaire de (D1) est 10=1 radian. 1.d- Calculer l’énergie macanique totale E de cette chaîne de 3 disques, pour chacun des modes propres, en fonction de C et de l’amplitude angulaire 10 du disque (D1). 2- Régime forcé. Résonance. On applique au seul disque (D1) un couple moteur sinusoïdal de moment 1.cos t , de pulsation réglable et d’amplitude 1 . 2 1.a- Etablir en fonction du paramètre fréquentiel X , les amplitudes angulaires A1, A2 0 et A3 de chacun des disques en régime forcé. 1.b- pour quelles valeurs de X ce système est-il en résonance ?
