Td Bilans en mécanique des fluides

PSI Moissan 2013
TD Bilans en mécanique des fluides
Septembre 2013
Td Bilans en mécanique des fluides
I
Jet d’eau sur une plaque
∆
D1 •
α
h
Dm
~v
D2
Une plaque homogène, de largeur 2l, de masse m, est mobile sans frottement autour d’un axe fixe horizontal
∆, coı̈ncidant avec l’un de ses côtés. On envoie sur cette plaque un jet de liquide horizontal, parallèle et
filiforme ; le liquide est parfait, homogène, incompressible de masse volumique µ. Le débit massique Dm
du jet est constant et la vitesse du liquide dans le jet est ~v , également constante. La distance du jet à ∆
est notée h. La pression du milieu ambiant est uniforme : P0 . On négligera tout effet de la pesanteur sur
le fluide.
a. Montrer que partout où l’écoulement est unidirectionnel (trajectoires dans le liquide rectilignes et
parallèles) la pression dans le liquide est égale à P0 .
b. À son arrivée sur la plaque, on suppose que le liquide s’écoule en un film de faible épaisseur le long
de cette plaque. Déterminer alors l’angle α que fait la plaque avec la verticale descendante, à l’équilibre,
le régime permanent étant atteint. On exprimera α en fonction de m, g, h, Dm , v et l.
c. Plus précisément, on suppose que le jet, après avoir frappé la plaque, se sépare en deux jets filiformes
longeant la plaque, dans le plan vertical du jet incident, l’un vers le bas et l’autre vers le haut. Déterminer
les débits massiques D1 et D2 de ces deux jets, en fonction du débit incident Dm et de l’angle α.
II
Force exercée sur un coude de canalisation
On considère un écoulement permanent et de débit de masse D à l’intérieur d’une conduite horizontale
courbée. La vitesse est supposée uniforme dans chaque section droite de la conduite. Déterminer les
composantes Rx et Ry de la force exercée par le fluide sur la canalisation entre les sections S1 et S2
(caractérisées par les pressions P1 et P2 ) et les vitesses ~v1 “ v1~ex et ~v2 “ v2 cos α~ex ` v2 sin α~ey ).
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III
Septembre 2013
Éolienne/hélice
Dans un fluide parfait, homogène et incompressible de masse volumique ρ (air ou eau), est immergée
une hélice. On se place dans le référentiel R, supposé galiléen, où l’hélice est animée d’un mouvement de
rotation autour de son axe x1 x, fixe, à vitesse angulaire constante. Nous ferons les hypothèses suivantes :
– Le mouvement du fluide autour de l’hélice est supposé stationnaire, dans R, et à symétrie de
révolution autour de x1 x.
– La figure représente un tube de courant dans R, dans l’hypothèse où SA ą SB . Loin de l’hélice,
hormis dans la veine à l’aval de la section SB , la vitesse du fluide est uniforme et vaut ~vA “ vA~ex
dans R ; dans la veine aval, elle vaut ~vB “ vB ~ex , toujours à grande distance de l’hélice.
– La pression, à grande distance de l’hélice, et dans toutes les directions, est uniforme et vaut P0
(c’est vrai en particulier sur SA et sur SB ).
– Les sections Σ1 et Σ2 du tube, très voisines de l’hélice, ont leurs aires pratiquement égales, de valeur
S ; les pressions du fluide y sont supposées uniformes et de valeurs respectives P1 et P2 .
– La vitesse du fluide, dans R, au voisinage de l’hélice, est supposée uniforme, de valeur ~v “ v~ex
(l’inclinaison des pales par rapport au plan perpendiculaire à l’axe x1 x permet le glissement du
fluide en satisfaisant à la continuité de la vitesse normale sur les pales ; ce glissement est supposé
ne s’accompagner d’aucune dissipation d’énergie mécanique par frottement).
– Les effets de la pesanteur sur le fluide sont négligeables.
~vA
~vA
SA
Σ1
~vA
~v
Σ2
~v
x1
SB
~vB
P0
x
P0
a.
Écrire deux relations entre SA , vA , SB , vB , S et v.
Ñ
Ý
b. Évaluer les pressions P1 et P2 en fonction de P0 , ρ, vA , vB et v. En déduire la résultante F des efforts
Ñ
Ý
exercés par l’hélice sur le fluide, en fonction de ρ, S, vA et vB . Discuter le sens de F .
Ñ
Ý
c. Évaluer F par ailleurs à partir d’un bilan de quantité de mouvement. En déduire la relation donnant
v en fonction de vA et vB .
d.
Évaluer la puissance Pf ( mesurée dans R) fournie par l’hélice au fluide :
Ñ
Ý
– à partir de la valeur de F ;
– En appliquant le premier principe de la thermodynamique à un système convenable. On exprimera
Pf en fonction de vA , vB et du débit massique Dm circulant dans le tube de courant représenté sur
la figure.
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III.1
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Septembre 2013
Application à la propulsion d’un vaisseau (bateau ou avion)
Le vaisseau a, par rapport à la Terre où le fluide est immobile à grande distance de l’hélice, une vitesse
constante ~u “ ´u~ex , u ą 0 . Le fluide est éjecté vers l’arrière de l’hélice à une vitesse ~ve “ ve~ex , à grande
distance de celle-ci, ~ve étant mesurée par rapport à la Terre.
e. Évaluer le rendement énergétique η “ Pu {Pm de la propulsion ; Pu est la puissance fournie à la coque
du vaisseau, mesurée dans le référentiel terrestre, et Pm est la puissance fournie par le moteur actionnant
l’hélice. On exprimera η en fonction de u et ve seulement.
f.
Dans quelles conditions η serait-il maximal ? Qu’en penser ?
g.
Application numérique : Calculer le rapport ve {u pour η “ 0, 85 (avion) et pour η “ 0, 60 (bateau).
III.2
Application à une éolienne
Dans ce cas, R est le référentiel terrestre et vB ă vA .
h.
Quelle est alors la forme du tube de courant ?
i. Soit P la puissance obtenue sur l’arbre de l’éolienne. On pose x “ vB {vA p0 ă x ă 1q ; S et vA étant
donnés, pour quelle valeur de x, P est-elle maximale ?
j. Le rendement énergétique r est défini comme le rapport de P au débit d’énergie cinétique de l’air à
travers la section SA du tube de courant. Exprimer r en fonction de x. Que vaut r lorsque P est maximale ?
k. Application numérique : Calculer la puissance maximale avec ρ “ 1, 3 kg ¨ m´3 ; vA “ 8 m ¨ s´1 ; le
diamètre de l’hélice est 10 m.
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