approximation de l`optique géométrique – lois de descartes

APPROXIMATION DE L’OPTIQUE
GÉOMÉTRIQUE – LOIS DE DESCARTES
I. NOTION EXPÉRIMENTALE DE RAYON LUMINEUX
Les phénomènes lumineux correspondent à un transport d’énergie lumineuse émise sous forme de lumière par
des sources lumineuses.
I.1 Présentation des sources lumineuses
a) Sources thermiques
Leur fonctionnement est basé sur l’émission lumineuse d’un corps chauffé à haute température (incandescence). Les
matériaux employés (tungstène, carbone) émettent un rayonnement voisin de celui d’un corps noir. Le spectre est
continu et couvre l’ensemble du domaine visible, si bien que l’œil a l’impression d’une lumière blanche. Ce spectre
s’étend bien au-delà du visible, notamment dans l’infrarouge.
•
Lampes à incandescence ordinaires
Le filament de tungstène est porté à une température d’environ 2800 K. Il est placé dans une atmosphère
gazeuse inerte pour ralentir sa vaporisation. La distribution spectrale visible est à peu près celle d’un
corps noir porté à la même température. Pour le corps noir, la longueur d’onde λm du maximum
d’émission est relié à la température T par : λ m T = 2900 µm.K. La plus grande partie de l’énergie est
donc située dans le domaine infrarouge. Elles peuvent être conçues pour être utilisées en 220 V (éclairage
domestique) ou en basse tension (6, 12 ou 24 V).
•
Lampes à incandescence quartz-halogène (en particulier quartz-iode)
Le principe est le même mais on ajoute à l’intérieur de l’ampoule un gaz halogène. Celui-ci (ici l’iode)
empêche la formation d’oxydes de tungstène qui détérioreraient la surface du filament. Celui-ci peut donc
être porté à une température plus élevée (3200 K) que dans une lampe à incandescence ordinaire et donc
de déplacer l’ensemble du spectre vers le visible, ce qui augmente l’efficacité lumineuse. C’est l’élément
de base de l’éclairage « halogène » et des phares à « iode » des voitures.
Conséquences à rendement accru :
¾
Lumière “plus blanche” : le spectre est toujours continu mais il y a plus de bleu.
¾
Nécessité d’une enveloppe en quartz car aux températures d’utilisation le verre ordinaire se
déformerait.
b) Lampes spectrales
La lumière est émise grâce à une décharge électrique dans un gaz : sodium, mercure, cadmium, hydrogène…
Le spectre de la lumière émise n’est pas continu, c’est un spectre de raies caractéristiques du gaz utilisé.
La lampe est constituée de deux électrodes, alimentées le plus souvent à travers une inductance et placées à l’intérieur d’une
ampoule transparente contenant l’élément qui fournit le spectre d’émission. En régime stationnaire, la lampe est chaude et
l’élément sous forme de vapeur. L’émission thermoélectronique des électrodes provoque un flux d’électrons ; ils entrent en
collision avec les atomes de la vapeur qui subissent des transitions vers des états excités. Leur désexcitation produit l’émission
de lumière.
Longueurs d’onde des principales raies visibles émises par les lampes spectrales utilisées en TP :
Sodium
616 nm
589,6 nm et 589,0 nm 568 nm
515 nm
498 nm
466 nm
rouge
doublet jaune
vert
bleu1
bleu2
violet
576,9 nm
546,1 nm
491,6 nm
435,8 nm
407,7 nm
404,6 nm
jaune vert2
vert intense
vert bleu
bleu intense
violet faible
violet intense
Mercure 579,1 nm
jaune vert1
Les lampes spectrales ont leur propre alimentation. Elles n’éclairent bien qu’un certain temps après avoir été
allumées. Si on éteint une lampe spectrale, elle ne se rallume pas toujours immédiatement, il faut alors attendre
plusieurs minutes qu’elle refroidisse.
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c) Tube fluorescent
Contrairement à ce que l’on croit souvent, ce ne sont pas des tubes au néon mais à vapeur de mercure. Leur principe
de fonctionnement est le même que celui des lampes spectrales. L’ampoule contient du mercure à très basse pression,
ce qui favorise l’émission de raies ultraviolettes. Sur la paroi de l’ampoule est déposée une poudre fluorescente, qui
émet une lumière visible lorsqu’elle est éclairée par l’ultraviolet. Le spectre du tube fluorescent dépend de la
composition de la poudre : il est la superposition d’un spectre continu de fluorescence et de quelques raies du
mercure. L’intérêt de ces tubes par rapport aux lampes thermiques usuelles est que toute l’énergie lumineuse est dans
le domaine visible.
Les lampes à basse consommation sont des lampes fluorescentes qui sont une adaptation du tube fluorescent à usage
domestique : lorsqu’on émet une décharge électrique dans un gaz composé de vapeurs de mesure, il se produit une
lumière ultraviolette. Cette lumière n’est pas directement utilisable, c’est la rencontre entre la lumière ultraviolette et
la paroi du tube en verre recouverte d’une poudre fluorescente qui dégage une lumière visible.
Les avantages par rapport aux lampes traditionnelles : réduction de la consommation d’électricité (lumière diffusée
par lampe basse consommation de 15 Watt correspond à la lumière d’une lampe habituelle de 60 Watt), durée de vie
dix fois plus élevée que les lampes traditionnelles, degré de brûlure moins élevé, considération pour
l’environnement.
d) Lasers : “Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation”
Les lasers couramment utilisés sont les lasers hélium-néon et les diodes laser à semi-conducteurs.
Ce sont des sources de faible puissance lumineuse : 0,5 W ou 0,2 W.
Leurs principaux intérêts sont :
•
lumière monochromatique ( λ0 = 632,8 nm). La raie émise est très fine et connue avec
une très grande précision. Elle est bien plus fine qu’une raie de lampe spectrale. Les plus
répandus émettent dans le rouge ( λ0 = 632,8 nm). D’autres émettent dans le vert ( λ0 =
543,5 nm) ou même dans le jaune ( λ0 = 591,1 nm) ou l’orange ( λ0 = 612,0 nm).
•
faisceau lumineux étroit, sensiblement parallèle et très lumineux. On peut considérer le
laser comme une source ponctuelle. Le faisceau laser peut être assimilé en première
approximation à une onde plane.
•
cohérence [voir cours de deuxième année].
Il est dangereux de regarder directement le faisceau et il faudra contrôler les faisceaux parasites
par interposition d’écrans.
Application à la découpe de matériaux
Usinage « athermique »
Impulsions ultrabrèves (fs)
-> Champ électrique très élevé
-> Arrachement des électrons des couches externes
-> Création d’ions positifs qui se repoussent
-> Éjection de matière sans échauffement
Performances de coupe
plaques d’acier - laser CO2
épaisseur = 12 mm ; P = 3 kW ; vitesse 0,8 m/mn
Précision de coupe : 0,1 mm
Impulsion
Atomes
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Marché des applications laser
Quelques exemples d’utilisation des lasers
Depuis les années 1960, un très grand nombre de lasers ont été mis au point : il en existe actuellement plus d’une centaine de
modèles qui diffèrent par leur milieu actif, la méthode de pompage, la puissance… A cette grande variété correspondent de
très nombreuses applications. Parfois, on cherche une puissance importante, d’autres fois une très grande directivité ou une
bonne monochromaticité, etc. Le choix du laser dépend de l’usage auquel il est destiné.
Télémétrie et vélocimétrie
On trouve dans les magasins de bricolage de petits lasers qui permettent de mesurer les distances. A une autre échelle, la
télémétrie laser est employée pour mesurer précisément la distance Terre-Lune grâce à des miroirs placés sur la Lune lors
des missions Apollo. La mesure du temps d’aller retour de la lumière permet de déterminer la distance avec une très faible
incertitude (3 mm en 1999). Cette mesure est en fait beaucoup plus difficile qu’elle ne paraît. En effet, ce n’est qu’une très
petite fraction des photons émis qui retourne vers le détecteur au sol : de l’ordre de 1 sur 1021 seulement. De plus, il faut les
détecter au milieu d’un bruit de fond considérable.
Dans certaines applications, le laser est employé comme radar : on obtient un lidar. Selon ses variantes, un lidar permet de
mesurer la vitesse des voitures sur les routes, d’analyser la composition de l’air en polluants… ou de déclencher la foudre.
Dans ce dernier cas, il s’agit d’un laser extrêmement puissant (1012 W) émettant des impulsions très brèves (10-13 s) : le
faisceau ionise l’air suffisamment sur son passage pour déclencher la foudre. On obtient ainsi un paratonnerre optique.
Lecteurs CD-DVD
La lecture d’un CD ou d’un DVD passe par l’emploi d’un laser. En effet, le codage binaire, quelque peu similaire au code
morse, qui permet de transcrire une information à l’aide de deux signes (point-trait), deux valeurs (0-1), deux états (on-off)…
se traduit dans les supports CD-DVD par des zones qui renvoient ou non la lumière issue d’un laser. Dans les versions
réinscriptibles de ces supports, c’est encore grâce à un laser qu’une zone peut à volonté être rendue réfléchissante ou non
réfléchissante… Par ailleurs, en raison de la longueur d’onde plus courte de la lumière bleue, l’emploi d’un laser de cette
couleur permet d’inscrire davantage d’informations par rapport à un laser rouge. Les lasers bleus sont en cours de
commercialisation.
Le laser en médecine et en biologie
On emploie les lasers en ophtalmologie, notamment pour recoller par photo coagulation les rétines décollées. Le laser permet
aussi dans certains cas de détruire des tumeurs. On peut également employer des faisceaux laser comme pinces et ciseaux
optiques permettant de manipuler des chromosomes par exemple.
Le laser et l’usinage
L’industrie automobile et l’industrie textile font un grand usage des lasers pour la découpe. A titre d’exemple, avec un laser
CO2 de 800 W, il est possible de découper une tôle de 1 mm d’épaisseur à la vitesse de 5 m à la minute.
La fusion thermonucléaire
Une des voies vers la fusion thermonucléaire contrôlée passe par l’usage de lasers ultra puissants, comme le laser Mégajoule
en développement à Bordeaux : 240 faisceaux laser ultraviolets déposeront 2.106 joules en 10-12 secondes dans un volume
de quelques millimètres cubes enfermant le mélange fusible deutérium-tritium. Ce laser devrait être opérationnel en 2010.
Atomes ultra-froids
En 1997, Claude Cohen-Tannoudji s’est vu décerner le prix Nobel de physique pour ses travaux relatifs au refroidissement
des atomes, travaux grâce auxquels il a su refroidir des atomes aux environs de un millionième de Kelvin seulement audessus du zéro absolu ! Le ralentissement jusqu’à la quasi immobilisation des atomes est obtenu grâce à la pression (de
radiation) de plusieurs faisceaux lasers.
Le laser en chimie
Grâce à des impulsions ultra brèves délivrées par certains lasers, dits « femto secondes », il est possible de suivre à l’échelle
atomique et moléculaire le déroulement d’une réaction chimique. Pour ses travaux en femto chimie, Ahmed Zewail a reçu le
prix Nobel de chimie en 1999.
Lasers naturels
Au cours des années 1960 les physiciens découvrent dans certains nuages denses interstellaires des émissions si intenses
qu’elles ne pouvaient résulter que d’une amplification par émission stimulée. Il s’agissait de rayonnement micro-ondes, donc
de masers. Plus récemment, on a découvert le même phénomène mais dans le domaine optique, dans les atmosphères de
Vénus et de Mars : des raies infrarouges de CO2 à 10,4 et 9,4 micromètres. Il est même possible que l’on ait observé un laser
cosmique UV à 0,25 micromètre dans l’un des nuages issus de l’explosion de l’étoile η Carinae. Dans ces exemples, il n’y a
bien entendu aucun oscillateur ; il s’agit simplement d’une amplification par émission stimulée. Le rôle de « pompe » est
souvent joué par le rayonnement d’une étoile voisine.
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I.2 Propagation rectiligne de la lumière dans un milieu homogène et isotrope
La lumière se propage dans le vide mais aussi dans des milieux que l’on qualifie de « transparents » : gaz (air
par exemple), eau, benzène, solides (quartz, verres)…
Un milieu est homogène s’il a même composition en tous ses points.
Un milieu est isotrope si ses propriétés sont les mêmes dans toutes les directions.
Dans un milieu homogène et isotrope, l’énergie lumineuse se propage alors de façon rectiligne selon
des directions que l’on appelle rayons lumineux.
I.3 Faisceau lumineux, pinceau lumineux, rayon lumineux
Les sources lumineuses sont très complexes et font intervenir des phénomènes physiques et chimiques très
variés et ont une certaine extension spatiale. On ne considérera cette année que des sources lumineuses
ponctuelles à partir desquelles sont émis des faisceaux de lumière divergents.
I
S
•
•
Un faisceau lumineux divergent issu de S est constitué de rayons lumineux rectilignes.
Un faisceau lumineux est parallèle si on se place très loin d’une source. La lumière émise par un laser
est quasiment parallèle.
• Un faisceau lumineux est convergent avec des dispositifs optiques que l’on appellera systèmes
stigmatiques convergents.
Un faisceau lumineux est caractérisé par sa puissance lumineuse (voir cours de deuxième année) et par sa
nature spectrale (voir paragraphe Aspect ondulatoire).
I.4 Tentative pour isoler un rayon lumineux : diaphragme et diffraction
On considère un laser qui émet une
lumière monochromatique rectiligne.
En interposant de la craie sur le
faisceau du laser, on peut mettre
matérialiser la trajectoire du faisceau
LASER
puisque la lumière est diffusée dans
toutes les directions.
craie
Est-il possible d’isoler un rayon
écran
lumineux ? On va placer un
diaphragme de largeur a variable à la sortie du laser. On constante que si la largeur est grande, on observe un
point lumineux sur l’écran.
Par contre, si la largeur a diminue, la
trace du faisceau sur l’écran donne une
tache qui s’élargit à mesure que a
diminue. On observe une structure
complètement différente : une tache
centrale très lumineuse entourée de
taches secondaires beaucoup moins
intenses.
Ce phénomène s’appelle la diffraction. Il
sera étudié en deuxième année.
Le faisceau diffracté est divergent ;
son
ouverture
angulaire
est
approximativement égale à 2
λ0
a
.
http://www.walter-fendt.de/ph14f/singleslit_f.htm
On ne peut donc pas isoler un rayon lumineux. On peut cependant considérer qu’un faisceau de lumière est
formé de rayons lumineux. L’étude de la marche de ces rayons constituant le but de l’optique géométrique.
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I.5 Limites de validité de l’optique géométrique
•
•
Si la dimension de l’obstacle est inférieure à 400λ0 (L < 0,2 mm), la diffraction apparaît. Les lois de
l’optique géométrique sont mises en défaut.
Pour pouvoir appliquer les lois de l’optique géométrique, il faut donc considérer des faisceaux
lumineux limités par des diaphragmes dont les dimensions linéaires sont grandes devant la
longueur d’onde (en pratique supérieure à 400 fois la longueur d’onde, soit > 0,2 mm).
II. ASPECT ONDULATOIRE
Beaucoup de faits expérimentaux (interférences, diffraction…) conduisent à un caractère ondulatoire de la
lumière.
II.1 Lumière monochromatique
Une lumière monochromatique est une vibration idéale purement sinusoïdale de la forme :
s ( M , t ) = A ( M ) cos (ωt − ϕ ( M ) ) (Voir cours de deuxième année pour l’utilisation de cette relation)
où ω est une pulsation constante. A(M) est l’amplitude et ϕ ( M ) le retard de phase au point M.
La vibration lumineuse monochromatique présente également une périodicité dans l’espace. Elle est caractérisée
par :
2π
= 2π f = 2πν ;
• pour les variations temporelles : la période T, la fréquence f ou ν et la pulsation ω =
T
• pour les variations spatiales : la longueur d’onde (période spatiale) λ , le nombre d’onde (fréquence
spatiale) σ .
Attention : la pulsation, la période et la fréquence ne dépendent pas du milieu de propagation.
Par contre, la longueur d’onde dépend du milieu de propagation.
•
Dans le vide où l’onde se propage à la vitesse c, on note λ0 la longueur d’onde de l’onde dans le vide.
λ0 = cT
•
Dans un milieu matériel où l’onde se propage à la vitesse v , on note λ la longueur d’onde.
λ = vT
Dans les exercices, la valeur numérique donnée est toujours la longueur d’onde dans le vide très souvent notée
λ0 mais parfois notée λ dans les problèmes de concours !!!
Dans la suite du cours, nous noterons λ0 la longueur d’onde dans le vide.
II.2 Indice d’un milieu
• La vitesse de propagation de la lumière dans le vide est c = 299 792 458 m.s-1.
On prendra dans les exercices, c = 3×108 m.s-1.
• Dans un milieu matériel où l’onde se propage à la vitesse v.
c
On définit l’indice du milieu n = . Dans les milieux usuels, l’indice est supérieur ou égal à 1.
v
Voir cours de deuxième année : dans les plasmas, on peut définir un indice inférieur à 1.
Exemple :
Milieu
Indice
Vid
e
Air
Eau
Verre
Fluorine
Crown
1
1,000293 ≈ 1
1,33
1,5
1,44
1,52
Flint
lége
r
1,58
L’indice dépend de la longueur d’onde selon la loi de Cauchy : n = A +
B
λ02
Flint
moyen
Flint
lourd
Diamant
1,66
1,9
2,44
.
Très souvent dans les exercices, λ désigne la longueur d’onde dans le vide. On l’écrit alors : n = A +
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B
λ2
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II.3 Longueurs d’onde des ondes électromagnétiques
Une onde électromagnétique assure, par l’intermédiaire d’un champ électrique (et magnétique) variable qui se
propage, un transport d’énergie. Les ondes électromagnétiques, détectables de nos jours, ont des longueurs
d’onde variant environ de 10-14 m jusqu’à 108 m. Elles ont des noms divers selon leur mode d’émission, mais le
phénomène fondamental correspond toujours à une réponde de la matière à une excitation.
Les lumières visibles par l’œil humain ont des longueurs d’onde dans le vide comprise entre 400 nm et 750 nm
environ et une fréquence moyenne de 6×1014 Hz. L’œil perçoit chaque fréquence comme une couleur différente.
λ0 (nm)
< 400
500
550
590
630
> 750
ν (Hz)
6×1014
5,5×1014
5,1×1014
4,8×1014
< 4,0×1014
> 7,5×1014
Couleur
Ultra violet
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Bleu
Vert
Jaune orangé
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Rouge
Infra rouge
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III. LOIS FONDAMENTALES DE L’OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE
III.1 Propagation rectiligne de la lumière
Dans un milieu homogène et isotrope, la lumière se propage en ligne droite
III.2 Principe du retour inverse
L’expérience montre que dans un milieu transparent, isotrope, homogène ou non, le trajet de la lumière est
indépendant du sens de parcours.
Si un rayon lumineux part de A pour aller vers A’ en suivant un certain trajet, un autre rayon lumineux peut
partir de A’ et suivre le même chemin pour aller vers A.
III.3 Principe de l’indépendance des rayons lumineux
Les cheminements de différents rayons lumineux traversant un instrument optique sont indépendants. Ce
principe intervient dans toutes les constructions d’images en optique géométrique et est en général bien
vérifiée par ses conséquences.
Remarque : En fait, si la source S est très fine et si on diminue l’ouverture du diaphragme, l’éclairement en un
point de l’écran est modifié : c’est le phénomène de diffraction. Il existe des conditions particulières où au lieu
d’être indépendants, les rayons lumineux peuvent interférer entre eux : voir cours sur les interférences en deuxième
année. Ce n’est plus de l’optique géométrique.
IV. LOIS DE DESCARTES (OU SNELL-DESCARTES)
IV.1 Définition
a) Dioptre
On appelle dioptre la surface de séparation de deux milieux transparents différents.
Cette surface pour être parfaite du point optique ne doit présenter que des aspérités dont les dimensions
sont très inférieures à la longueur d’onde.
normale au
b) Réflexion et réfraction
dioptre
Un rayon lumineux incident se sépare généralement en deux au
point d’incidence I :
rayon
rayon
• Une partie de la lumière est réfléchie : réflexion de la
incident
réfléchi
lumière
• L’autre partie pénètre dans le milieu avec un changement de
I
dioptre
direction : réfraction de la lumière.
Lorsque le rayon réfracté se rapproche de la normale au dioptre,
le second milieu est qualifié de moins réfringent.
Le plan d’incidence est défini par la direction du rayon
incident et la normale au dioptre au point d’incidence.
rayon
réfracté
Les lois de la réflexion et de la réfraction ont été établies par Snell
en 1621 puis par Descartes en 1637.
IV.2 Lois de Descartes de la réflexion
On peut avoir réflexion de la lumière sur un dioptre ou sur un
miroir.
L’angle d’incidence est l’angle entre la normale au dioptre et le
rayon incident.
L’angle de réflexion est l’angle entre la normale au dioptre et le
rayon réfléchi.
Les angles sont orientés algébriquement.
Sur le schéma, on a i > 0 et r < 0.
i
r
I
dioptre ou
miroir
1ère loi de Descartes de la réflexion : le rayon incident et le rayon réfléchi sont contenus dans le plan
d’incidence.
2ème loi de Descartes de la réflexion : le rayon réfléchi est symétrique du rayon incident par rapport à la
normale à la surface réfléchissante. L’ange de réflexion r est l’opposé de l’angle d’incidence i : r = −i .
Il faut bien orienter algébriquement les angles. On calcule souvent dans les exercices la déviation d’un
rayon lumineux.
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Sur l’exemple ci-dessous, il faut bien faire attention que la déviation vaut D = π − 2i et non 2i.
-i
i
D
I
dioptre ou
miroir
IV.3 Diffusion de la lumière
La diffusion de la lumière est une forme particulière de réflexion. Considérons un corps mat, c'est-à-dire non
brillant ou non poli. La surface de ce corps présente en chaque point un grand nombre de facettes ayant
toutes les orientations. Lorsqu’un rayon lumineux arrive sur une de ces facettes, il est réfléchi comme sur un
miroir. Cela se produit ainsi sur toutes les facettes et comme celles-ci ont toutes les orientations, globalement
il n’y a pas de direction de réflexion privilégiée. On dit que la lumière incidente est diffusée.
Dans la plupart des cas, la lumière diffusée a même longueur d’onde que la lumière incidente. C’est la
diffusion qui nous permet de voir les corps mats. Le polissage d’une surface d’un corps permet d’obtenir des
facettes ayant toutes la même direction locale, donc une direction unique de réflexion pour la lumière.
IV.4 Lois de Descartes de la réfraction
On étudie la réfraction de la lumière sur un dioptre. On ne représente pas le
rayon réfléchi sur le schéma.
L’angle d’incidence est l’angle entre la normale au dioptre et le rayon
incident.
L’angle de réfraction est l’angle entre la normale au dioptre et le rayon
réfracté.
i1
n1
dioptre
I
n2
i2
1ère loi de Descartes de la réfraction : le rayon incident et le rayon réfracté sont contenus dans le plan
d’incidence.
2ème loi de Descartes de la réfraction : n1 sin i1 = n2 sin i2 .
Si n2 > n1 , alors sin i2 < sin i1 et i2 < i1 . Le milieu 2 est plus réfringent que le milieu 1. Le rayon réfracté se
rapproche de la normale du dioptre.
Si n2 < n1 , alors sin i2 > sin i1 et i2 > i1 . Le milieu 2 est moins réfringent que le milieu 1. Le rayon réfracté
s’éloigne de la normale du dioptre.
i1
n1
La déviation algébrique vaut : D = i2 − i1
dioptre
I
n2
i2
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D
a) Milieu 2 plus réfringent que le milieu 1
On a n2 > n1 , donc i2 < i1 . Le rayon réfracté se rapproche de la normale
du dioptre.
−π
π
L’angle i1 peut varier entre
et .
2
2
La valeur maximale de i1 est
n2 sin i2 max = n1 sin
π
π
2
i1
n1
dioptre
I
n2
. On en déduit la valeur maximale de i2 :
, soit sin i2 max =
2
Le rayon réfracté existe toujours.
n1
. Imax existe toujours.
n2
b) Milieu 2 moins réfringent que le milieu 1
On a n2 < n1 , donc i2 > i1 . Le rayon réfracté s’éloigne de la normale du
dioptre.
i2
i1
n1
I
dioptre
n2
i2
On a n1 sin i1 = n2 sin i2 . D’où sin i2 =
n1
sin i1 . L’angle i2 existe uniquement si sin i2 ≤ 1 , soit
n2
n1
sin i1 ≤ 1 . Pour que le rayon réfracté existe, l’angle d’incidence doit donc être inférieur à un
n2
angle limite : i1 ≤ ilimite avec sin ilimite =
n2
n1
Exemple : dioptre eau – air : n1 = 1,33 et n2 = 1,00. On a alors ilimite = 48,8° .
Si i1 > ilimite , la relation entre i1 et i2 ne peut plus être satisfaite. Il n’y a plus de rayon réfracté. Toute
la lumière incidente est alors réfléchie. On dit qu’on a un phénomène de réflexion totale.
Applications : fibre optique.
http://www.cabri.net/cabrijava/refradisok.html
http://www.walter-fendt.de/ph14f/refraction_f.htm
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IV.5 Calcul de la déviation d’un rayon lumineux
Dans beaucoup d’exercices (arc en ciel, prisme…), on demande de calculer la déviation d’un rayon
lumineux. La méthode est de calculer les déviations successives du rayon lumineux et d’en déduire la
déviation en sommant les déviations successives.
IV.6 Calcul d’un minimum de déviation
On a souvent des expressions compliquées de la déviation en fonction d’un paramètre.
Voir le TD corrigé sur l’arc en ciel pour la mise en place des deux méthodes. L’angle α est déterminé à
α = 4r − 2i
 sin i 
. On a donc α = 4Arcsin 
partir des deux relations : 
 − 2i .
 n 
sin i = n sin r
On cherche à calculer l’angle d’incidence i pour lequel
Méthode 1 : Utiliser
dα
cos i
=4
di
n
d ( Arcsin ( x ) )
dx
1
 sin i 
1− 

 n 
2
=
dα
= 0.
di
1
1 − x2
−2
2
On cherche la valeur de i telle que
dα
cos i
 sin i 
= 0 . Soit 2
= 1− 
 . On élève au carré et on utilise
di
n
 n 
cos 2 i + sin 2 i = 1 pour exprimer cos i en fonction de sin i.
(1 − sin 2 i ) = 1 −  sin i 2 , d’où 4 = 3sin 2 i + 1 . On obtient : sin 2 i = 4 − n2
4
m
 n 
3
n2
n2
n2


Méthode 2 On évite des calculs fastidieux avec les fonctions Arcsin en cascade :
α = 4r − 2i
dα = 4dr − 2di
. On calcule la différentielle de ces deux expressions : 
. On peut éliminer

sin i = n sin r
cos i di = n cos r dr
facilement dr.
cos i
dα
cos i
di − 2di , d’où
Soit dα = 4
=4
−2.
n cos r
di
n cos r
dα
= 0 . Soit 2 cos i = n cos r . On élève au carré et on utilise
On cherche la valeur de i telle que
di
cos 2 i + sin 2 i = 1 et cos 2 r + sin 2 r = 1 pour tout exprimer en fonction des sin. Il reste ensuite à utiliser la loi
de Descartes en A.
2 cos i = n cos r ⇔ 4 (1 − sin 2 i ) = n 2 (1 − sin 2 r )
4
sin 2 i
4
3sin 2 i
 sin 2 i 
. On retrouve
D’où 4 (1 − sin 2 i ) = n 2 1 − 2  . On obtient : 2 (1 − sin 2 i ) = 1 − 2 , soit 2 − 1 =
n
n2
n
n
n 

4 − n2
2
bien : sin im =
3
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V. LES FIBRES OPTIQUES
V.1 Principe des fibres optiques
Une fibre optique est formée d'un ensemble de
fins fils de verre ou d'un matériau transparent
d'indice de réfraction élevé, constituant le cœur
(ou l'âme), entouré d'un matériau transparent
d'indice plus faible constituant la gaine.
La lumière se propageant dans la fibre frappe l'interface cœur-gaine sous un angle supérieur à l'angle
limite, ce qui se traduit par une réflexion totale sur cette interface ; la lumière revient dans la fibre où elle
subit une autre réflexion totale etc.
Elle peut ainsi subir des milliers de réflexions et donc se propager dans la fibre sans perte.
Le matériau constituant le cœur doit être le plus pur possible de manière à limiter les phénomènes de
diffraction sur les impuretés : pour que la propagation se fasse sans perte il faut que le trajet de la lumière
ne soit pas perturbé.
Actuellement, le cœur est en quartz très pur. Le diamètre de celui-ci peut être d'une fraction de millimètre
ou même beaucoup plus faible : il existe des fibres dont le cœur mesure quelques nanomètres. Ces fibres
sont associées par centaines et par milliers dans un ensemble dont le diamètre global peut être inférieur au
centimètre.
V.2 Applications
L'application la plus simple des fibres optiques est la transmission de la lumière vers des endroits difficiles à atteindre.
L’ensemble peut également servir à transmettre des images : la lumière est acheminée par certaines fibres, se réfléchit à
l'extrémité et revient par d'autres fibres. Cette application est très utilisée en médecine pour explorer divers endroits du
corps humain (exemple: gastroscopie) ainsi qu'en chirurgie par laser où les fibres acheminent la lumière provenant d'un
laser.
Les fibres peuvent également être utilisées dans le domaine des capteurs, les fibres servant à acheminer les informations
vers les capteurs ou venant de ceux-ci. Ce domaine d'application est à peu près illimité car la lumière se propageant dans
la fibre est sensible à de multiples changements de l'environnement tels la pression, les ondes sonores, les tractions
mécaniques, la chaleur, le mouvement.
Un domaine d'application de plus en plus important est celui des communications. On met à profit le fait que la
capacité de transport d'une fibre augmente avec la fréquence on utilise, de ce fait, un laser. La voix, au lieu d'être
transformée en impulsions électriques comme dans une installation téléphonique traditionnelle, est transformée en
impulsions optiques fournies par un laser. Ces impulsions sont transportées par la fibre et transformées à l'autre
extrémité en impulsions sonores. Le progrès apporté par les fibres optiques est considérable : les câbles permettent de
transmettre trente conversations simultanées, alors que les fibres permettent la transmission de près de deux mille
conversations. D'autre part, les stations d'amplification permettant de régénérer le signal sont distantes d'environ 100
kilomètres, au lieu de 1,5 kilomètre pour les installations à câble. Enfin, le faible encombrement des fibres par
rapport aux câbles permet, à volume égal, des installations beaucoup plus performantes.
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Transmissions par fibres
Utilisation de fibres optiques pour transmettre les informations
Exemple de liaison optique longue distance
Émetteur
Diode laser
continu
modulateur
Codeur
Information
Fibre de ligne
Fibre de ligne
Fibre de ligne
R
Récepteur
R
R:
Modulation d’intensité
Codage binaire
Fibre optique :
pertes
Décodeur
faibles
Travaux de Corning dans les années 1970
--> forte diminution de l’atténuation
(de 100 dB à 0,2 dB par km)
Répéteurs tous les 100 kms
Bande vers 1550 nm
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Répéteurs optiques
Principe d’un amplificateur à fibre dopée erbium
Isolateur
optique
Entrée
Coupleur
5%
Fibre optique dopée
à l’erbium
Isolateur
optique
Coupleur
5%
Diode laser
de pompe
0,98 µm
Photodiode
de contrôle
Sortie
Diode laser
de pompe
1,48 µm
Photodiode
de contrôle
Grande bande passante : jusqu ’à 40 Gbits/s étudié actuellement
Possibilité d’amplifier plusieurs longueurs d’onde en même temps
(1530-1560 nm, bande d ’amplification de l ’erbium)
Ö «multiplexage» en longueur d’onde
ou Wavelength Division Multiplexing (WDM)
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VI. LES MIRAGES
Le principe du phénomène du mirage repose seulement sur la loi
fondamentale de l'optique géométrique gouvernant la trajectoire des
rayons lumineux en milieu non homogène. Le principe de réfraction
et de réflexion totale mis en évidence dans l'expérience régit son
fonctionnement. En effet, dans le cas d'un mirage, c'est l'air,
constitué d'une multitude de couches de températures différentes qui
détourne le trajet de la lumière. L'indice de réfraction d'un gaz
diminue lorsque sa température augmente.
n −1
= cte .
Loi de Gladstone :
z
n3
n2
JJJJG
grad n
n1
ρ
r
Pour un gaz parfait à pression constante, si la température diminue, la masse volumique augmente, et donc
l’indice augmente.
Exercice : Considérer un milieu stratifié. L’indice ne dépend que de l’altitude z. Montrer que si n1 > n2 > n3,
alors i1 < i2 < i3. En déduire que le rayon oblique peu à peu vers les zones d’indice plus élevé.
Un rayon oblique dirigé vers le sol peut donc suivre un chemin courbe à cause des variations de l'indice de l'air.
L'observateur, dont l'œil reçoit ces rayons, a l'impression qu'ils ont été émis par des sources situées sur les
tangentes au niveau de son œil. Pour ces détecteurs, les rayons se trouvent en droite ligne de cette direction. On
trouve trois types de mirages.
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VI.1 Le mirage supérieur
Dans les observations d'objets situés à grande distance, la courbure de la Terre et la courbure naturelle des
rayons lumineux ont pour conséquence qu'au-delà d'une certaine distance, la base d'un objet distant (une
montagne ou une île par exemple, voire tout l'objet) est masquée par la courbure de la Terre. Dans de telles
observations, l'apparition d'un mirage supérieur est intéressante : accentuant la courbure des rayons
lumineux, il permet la réapparition de la zone disparue de l'objet observé, voire de tout l'objet lui-même (il
peut apparaître inversé). Les mirages supérieurs se produisant plus facilement au-dessus d'une mer froide,
cette situation a été plusieurs fois reportée dans des ports, où des navires furent aperçus au loin plusieurs
jours avant leur arrivée : cachés par l'horizon, ils n'auraient pas pu être vus en temps normal !
Mirage supérieur exceptionnel au dessus de la ville de Salers, dans le Cantal
(cliché réalisé par l’abbé Gély vers 1900)
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VI.2 Le mirage inférieur
On peut observer l'effet inverse en présence d'un mirage inférieur affectant la base de l'image d'un objet
observé à grande distance qui peut disparaître sous l'horizon, alors que le reste n'est pas affecté par le mirage
: on a alors l'impression de voir flotter l'objet au-dessus de l'horizon. Les mirages inférieurs apparaissent plus
facilement au-dessus d'une étende de mer ou de terre chaude ; ainsi, en été, on a parfois l'impression de voir
au loin sur une route goudronnée des flaques d'eau qui disparaissent quand on s'approche.
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