Notions de base sur les séries statistiques Isabelle Cadoret

Notions de base sur les séries statistiques
Isabelle Cadoret
Dans les sources statistiques il existe plusieurs types de séries: des séries en
prix courants, en prix constants, en indice, en taux de croissance,... L’objectif
ici est de rappeler le mode de calcul de ces statistiques.
1
Séries de volumes et de valeurs
Une série exprimée en volume décrit des quantités: 1 kg de pomme de terre,
1 tonne de fuel,.... Il s’agit d’une série réelle dont l’évolution ne dépend que
des quantités. Une série exprimée en prix constants, en prix 1990...représente
également une série réelle car son évolution est indépendante des prix.
Une série exprimée en valeur courante indique la valeur monétaire des quantités mesurées avec les prix courants, c’est-à-dire au prix en vigueur à la date
d’observation. A une date donnée, la valeur monétaire d’un bien correspond
au prix du bien multiplié par les quantités. Il s’agit d’une série nominale dont
l’évolution dépend de l’évolution des prix et des quantités. Les séries exprimées
en monnaie nationale courante, en dollars courants, en prix courants, sont des
séries nominales.
Le tableau 1 présente des séries fictives de quantités et de prix de bonbons et
le calcul de la valeur des quantités exprimées en monnaie courante et constante.
Tableau 1: Evolution des quantités et des prix de bonbons (séries fictives)
1990
1991
1992
1993
1994
1995
Quantités
en tonnes
Prix / tonne
en euro
1200
1100
900
1000
1300
1500
5.00
6.00
6.50
7.00
7.30
7.10
Valeur
en prix
courants
6000
6600
5850
7000
9490
10650
Valeur
en prix 1990
6000
5500
4500
5000
6500
7500
Soient Qt et Pt les séries de quantités et de prix de bonbons l’année t.
La colonne valeur en prix courants est calculée en multipliant les séries Qt et
Pt . La colonne valeur en prix 1990 donne, pour chaque année, le produit des
séries P1990 et Qt on obtient ainsi la valeur des quantités en prix constants
1990. Par exemple la valeur des quantités en prix courants en 1992 est égale à
900 × 6.5 = 5850, en prix 1990 cette valeur est égale à 900 × 5 = 4500.
1
Dans le tableau 1, la valeur des quantités est exprimée en euro et le tableau
2 présente le calcul de la valeur des quantités en dollars courants et en dollars
constants. La série de taux de change (tc) permet d’effectuer ce calcul. Elle
exprime la valeur de 1 dollar en euro, on suppose qu’en en 1990 un dollar
s’échange contre 1.1 euro.
Tableau 2: Calcul de la valeur des quantités en dollars courants et constants
1990
1991
1992
1993
1994
1995
Taux de
Change
Prix
en dollars
Valeur
en dollars
1.10
1.05
1.00
0.98
0.99
1.01
4.545
5.714
6.500
7.143
7.374
7.030
5455
6286
5850
7143
9586
10545
Valeur
en dollars
1990
5455
5000
4091
4545
5909
6818
La colonne prix en dollars correspond au prix par tonne en euro divisé par le
taux de change (Pt /tct ). On obtient ainsi la valeur d’une tonne de bonbons en
dollars. La colonne valeur en dollars exprime la valeur des quantités de bonbons
en dollars courants, on multiplie la série Qt par le prix en dollars de l′ année
t. Enfin, la colonne valeur en dollars 1990 s’obtient en multipliant Qt par le
prix en dollars de l′ année 1990. Par exemple, en 1993 un dollar est échangé
contre 0.98 euro, le prix d’une tonne de bonbons est donc égale à 7/0.98 = 7.14
dollars. La valeurs en dollars courant des quantités de bonbons est donnée par
1000×7.143 = 7143 et la valeur en dollars constants 1990 par 1000×4.545 =
4545.
2
2.1
Séries d’Indices
Les indices élémentaires
Un indice élémentaire reflète l’évolution d’une série. Il mesure le coefficient de
variation de la série par rapport à une année de base. Il est calculé en rapportant
la série à l’année de base choisie. Soit xt la valeur de la série x à la date t, son
indice en base 1990 (Ixt,90 ) est donné par:
Ixt,90 =
xt
x90
× 100
La valeur de cet indice est égal à 100 l’année de base: Ix90,90 = 100.
Le tableau 3 présente le calcul des indices de volume et de valeur des quantités de bonbons.
2
Tableau 3: Calcul des indices de volume et de valeur - base 100 en 1990
Indice de
volume
1990
1991
1992
1993
1994
1995
Indice de
valeur en
euro
100
110
98
117
158
178
100
92
75
83
108
125
Indice de
valeur en
dollars
100
115
107
131
176
193
L’indice de volume peut-être calculé à partir de la série de quantité exprimée
en tonnes ou en en prix constants (euro ou dollars) , par exemple l’indice de
volume en 1992 en base 1990 des quantités de bonbons est égal à
900
4500
4091
=
=
= 75
1200
6000
5455
Un indice de volume exprime l’évolution des quantités, en revanche un indice
de valeur tient compte des évolutions des prix et des quantités. Par conséquent,
les indices de valeurs calculés avec des séries en euro et en dollars courants sont
différents. En 1993, en base 1990, l’indice de valeur en euro est donné par le
rapport 7000/6000 = 117, en dollars il est égal à 7143/5455 = 131.
De manière générale, l’indice de volume base 1990 s’obtient en calculant le
rapport Qt /Q1990 et l’indice en prix 1990 (euro ou dollars) est identique car il
se calcule de la manière suivante:
P1990
Qt ×
Qt
tc1990
=
P1990
Q1990
Q1990 ×
tc1990
L’indice de valeur en dollars est donné par:
Pt
tct
P1990
Q1990 ×
tc1990
Qt ×
et l’indice de valeur en euro est mesuré par:
Qt × Pt
Q1990 × P1900
Dans les séries statistiques longues, on observe parfois des changements
de base des indices de volume et de valeur. Il faut dans ce cas raccorder les
deux séries d’indices. Le tableau 4 présente un exemple de raccordement d’un
indice, exprimé initialement en base 1990, en base 1992.
3
Tableau 4: Raccordement d’une série d’indice
Indice
de valeur
en dollars
base 1990
100
115
107
1990
1991
1992
1993
1994
1995
Indice
de valeur
en dollars
base 1992
100
122
164
180
Reconstitution
de la série
en base 1992
93
107
100
122
164
180
Dans cet exemple on dispose, d’une part, de l’indice de valeur des quantités
de bonbons en base 1990 sur la période 1990 1992 et, d’autre part, de l’indice
de valeur des quantités de bonbons en base 1992 sur la période 1992 1995. Le
problème consiste alors à reconstituer l’indice en base 1992 pour les années 1990
et 1991.
Pour l’année 1990, Ix90,90 = 1001 et Ix90,92 est donné par:
x90
x90
1
× 100 . × 100 =
Ix90,92 =
x92
x92
x90
x90
=100
= Ix90,90 ×
100
= 93
Ix92,90
107
De la même manière, pour l’année 1991, on obtient Ix91,92 = 115/107 × 100 =
107.
2.2
Les indices synthétiques: indices de Laspeyres, de
Paasches et de Fisher
Considérons N biens, i = 1...N, on note Pit le prix du bien i à la date t et Qit
les quantités de bien i à la date t. Les indices synthétiques donnent l’évolution
des prix et des volumes de l’ensemble des N biens.
L’ indice des prix de Laspeyres est un indice synthétique qui décrit l’évolution
du prix moyen d’un ensemble de biens entre deux dates. Soit Lp l’indice de prix
de Laspeyres:
Lp =
N
i=1
Ipi,t,t−1
valeuren t−1 Pit
× 100 × (Pit−1 × Qit−1 )
Pit−1
N
(Pit−1 × Qit−1 )
i=1
1 la
valeur de l’indice de la série x en 1990 en base 1990
4
avec Ipi,t,t−1 l’indice de prix élémentaire du bien i à la date t en base t − 1.
L’indice de Laspeyre des prix est une moyenne arithmétique des indices de prix
élémentaires Ipi,t,t−1 , pondérée par la valeur du bien au cours de l’année de
base. L’expression précédente peut se simplifier, on obtient:
Lp =
N
i=1
N
i=1
(Pit × Qit−1 )
(Pit−1 × Qit−1 )
× 100
L’indice de volume de Laspeyres retrace l’évolution des quantités, les prix
étant constants.
Lq =
N
i=1
N
i=1
(Pit−1 × Qit )
(Pit−1 × Qit−1 )
× 100
Le tableau 5 fourni un exemple de calcul des indices de prix et volume de
Laspeyres. On considère un panier composé de 5 biens dont les prix et les
quantités sont connues aux dates t et t − 1.
Tableau 5: Calcul de l’indice de prix et de volume de Laspeyres
Pt-1
5
2
1
4
6
Bien 1
Bien 2
Bien 3
Bien 4
Bien 5
Total
Lp
118.94
Lq
100.38
Qt-1
50
100
70
40
20
Pt
6.00
2.50
1.25
4.75
6.20
Qt
55.00
101.00
72.00
35.00
19.00
PtQt-1 Pt-1Qt-1
300.00 250.00
250.00 200.00
87.50
70.00
190.00 160.00
124.00 120.00
951.50 800.00
Pt-1Qt
275.00
202.00
72.00
140.00
114.00
803.00
La valeur de l’indice de prix de Laspeyres du panier composé des 5 biens
est égale à: (951.5/800) × 100 = 118.94. L’indice de volume est donné par le
rapport (803/800) × 100 = 100.38. Les indices de Laspeyres sont calculés en
prenant comme référence la période t − 1.
Les indices de prix et de volume de Paasches décrivent l’évolution respectivement du prix et des quantités d’un panier de bien. La différence avec les indices
5
de Laspeyre porte sur l’année de référence, car dans le calcul des indices de
Paasches l’année de base est t. L’indice de prix de Paasche est donné par:
Pp =
N
i=1
N
i=1
(Pit × Qit )
(Pit−1 × Qit )
× 100
et l’indice de volume de Paasche s’écrit:
Pq =
N
i=1
N
i=1
(Pit × Qit )
(Pit × Qit−1 )
× 100
Le tableau 6 donne le calcul des indices de Paasche pour le panier de 5 biens
précédent (tableau 5).
Tableau 6: Calcul de l’indice de prix et de volume de Paasche
Pt-1
5
2
1
4
6
Bien 1
Bien 2
Bien 3
Bien 4
Bien 5
Total
Pp
119.12
Pq
100.53
Qt-1
50
100
70
40
20
Pt
6.00
2.50
1.25
4.75
6.20
Qt
55.00
101.00
72.00
35.00
19.00
PtQt-1
300.00
250.00
87.50
190.00
124.00
951.50
PtQt
330.00
252.50
90.00
166.25
117.80
956.55
Pt-1Qt
275.00
202.00
72.00
140.00
114.00
803.00
L’indice de prix de Paasche est donné par Pp = (956.55/803) × 100 = 119.12
et l’indice de volume est égal à Pq = (956.55/951.50) × 100 = 100.53.
Les indices de Laspeyres et Paasche peuvent conduire à des résultats assez
différents et Fisher propose de calculer une moyenne géométrique simple2 des
2 La moyenne géométrique simple G d’une série de valeurs x , i = 1...N est définie par la
i
relation:
√
G = N x1 × x2 × ... × xN
6
deux indices. Les indices de Fisher de prix (Fp ) et de volume (Fq ) se calculent
de la manière suivante:
Fp =
Lp × Pp ,
Fq =
Lq × Pq
Les exemples 3.1 et 3.2 permettent de calculer les indices de Fisher de quantité
et de prix des 5 biens considérés:
√
Fp = 118.94 × 119.12 = 119.03
Fq =
√
100.38 × 100.53 = 100.45
L’indice de valeur des prix multiplié par les quantités est donné par le rapport suivant:
IV aleur =
N
i=1
N
i=1
et on constate que:
IV aleur
(Pit × Qit )
(Pit−1 × Qit−1 )
× 100
= (Lp × Pq )/100 = (Lq × Pp )/100
= (Fp × Fq )/100
Par exemple, l’indice de valeur du panier de 5 biens (tableaux 5 et 6) est égal à:
(956.55/800.00) × 100 = 119.57
et on vérifie que:
( 118.94
× 100.53
)/100 = 119.57
Lp
Pq
( 100.38
× 119.12
)/100 = 119.57
Lq
Pp
( 119.03
× 100.45
)/100 = 119.57
Fp
Fq
7
2.3
Les indices de Divisia
Diewert a montré l’importance du choix d’un indice d’agrégation. En particulier
il a montré que ce choix dépend de la forme de la vrai fonction d’utilité ou de
production. Les indices d’agrégation de Laspeyres ou Paasches ne sont pas des
indices exacts car ils ne sont pas dérivés d’une vraie fonction de production ou
d’utilité.
Supposons que l’on souhaite disposer d’un indice correspondant à l’agrégat
de la quantité d’énergie (QE ) produite à partir de différentes énergies: gaz,
pétrole, électricité, charbon,..(Qi , i = 1...N )
QE = f (Qi , i = 1...N )
Un indice exact de cet agrégat entre la période t et t−1 est donné par le rapport
QEt /QEt−1 . De même, l’indice exact du prix de cet agrégat est donné par le
rapport: PEt /PEt−1 avec PE la fonction de coût unitaire duale de la quantité
d’énergie, fonction du prix des différentes énergies Pi , i = 1..N.
PE = C(Pi , i = 1..N )
L’indice de quantité (prix) de Fisher est un indice exact pour une fonction
de production (fonction de coût duale) linéaire, qui suppose les énergies infiniment substituables, mais aussi pour une fonction Léontieff qui n’admet aucune
substitution entre les biens composants l’agrégat et de manière plus générale à
une fonction quadratique homogène.
Les indices d’agrégation exacts correspondant à une fonction d’utilité ou de
production homogène Translog sont les indices de Divisia. Soit Sit la part de
dépense en bien i:
Pit × Qit
Sit = N
(Pit × Qit )
i=1
L’indice de quantité de Divisia (Dq ) est mesuré de la manière suivante:
Dq =
N
i=1
Qit
Qit−1
12 (Sit +Sit−1 )
à cet indice de quantité correspond l’indice de prix Divisia implicite (DpI ):
IV aleur
DpI =
× 100
Dq
L’indice de prix de Divisia (Dp ) est dérivé de la fonction de coût unitaire duale:
Dp =
N
i=1
Pit
Pit−1
8
12 (Sit +Sit−1 )
et l’indice de quantité implicite correspondant (DqI ) est :
IV aleur
× 100
DqI =
Dp
Il est nécessaire de calculer l’indice implicite de prix relatif à l’indice de quantité
de Divisia et l’indice de quantité implicite relatif à l’indice de prix de Divisia
car: (Dq × Dp ) /100 = IV aleur .
Le détail du calcul des indices de divisia du panier de 5 biens est donné dans
le tableau 7.
Tableau 7: Calcul des indices de Divisia
Bien 1
Bien 2
Bien 3
Bien 4
Bien 5
Total
Dp
Dq
Pt-1
5
2
1
4
6
Qt-1
50
100
70
40
20
Pt
6.00
2.50
1.25
4.75
6.20
Qt
55.00
101.00
72.00
35.00
19.00
St
0.35
0.26
0.10
0.17
0.12
1.00
St-1
0.31
0.25
0.09
0.20
0.15
1.00
Qt/Qt-1 Pt/Pt-1
1.10
1.20
1.01
1.25
1.03
1.25
0.88
1.19
0.95
1.03
119.02
100.45
Les indices de Divisia implicites correspondants aux indices exacts de Divisia
Dq et Dp sont égaux à :
119.57
DpI =
× 100 = 119.02
100.45
DqI =
2.4
119.57
119.02
× 100 = 100.45
L’indice des prix à la consommation et le taux d’inflation
Un indice synthétique très connu est l’Indice des Prix à la Consommation (IPC).
Il est calculé pour un panier de biens de référence. Le tableau donne un exemple
de calcul de l’IPC d’un panier composé de 5 litres de lait (Q1 ), 1 kg de pommes
de terres (Q2 ) et 12 oeufs (Q3 ).
Tableau 8 - Calcul de l’Indice des Prix à la Consommation (IPC)
9
lait
5
prix/L
2.00
2.50
2.25
2.75
3.00
2.70
1995
1996
1997
1998
1999
2000
pommes œufs
coût du
de terre
panier
1
12
prix/kg prix/œuf
5.00
1.00
27.00
6.00
0.80
28.10
5.50
0.90
27.55
4.00
1.20
32.15
5.00
1.00
32.00
5.50
1.10
32.20
IPC
base
1995
100.00
104.07
102.04
119.07
118.52
119.26
Taux
d'inflation
4.07%
-1.96%
16.70%
-0.47%
0.63%
Le coût du panier en francs en 1995 s’élève à :
(2 × 5) + (5 × 1) + (1 × 12) = 27 =
3
i=1
(Pi,95 × Qi )
avec Pi,95 le prix unitaire du produit i en 1995 et Qi la quantité de produit i
composant le panier.
L’IPC est égal à 100 en 1995 car c’est l’année de référence choisie. Pour
l’année 1996, le coût du panier est égal à:
28.1 =
3
i=1
(Pi,96 × Qi )
et l’IPC est égal à:
104.07 =

3
 i=1
28, 1
× 100 = 

3
27
i=1
(Pi,96 × qi )
(Pi,95 × qi )


 × 100

ect...
Le taux d’inflation mesure le taux de croissance du niveau général des prix,
il est donné par:
taux d’inflation =
IP Ct − IP Ct−1
× 100
IP Ct−1
L’indice des prix à la production se calcule de manière identique.
3
Séries macro-économiques en Parité de Pouvoir d’Achat (PPA)
L’utilisation du taux de change permet de comparer des séries internationales en
unité monétaire commune. Exprimer le PIB français en dollars constants 1990
10
est utile si on veut comparer son évolution à celui du PIB américain exprimé
en dollars constants 1990. La comparaison des séries internationales implique
que ces séries soient rapportées à une même échelle. L’utilisation du taux de
change présente cependant deux inconvénients majeurs. Le premier est que le
taux de change varie au jour le jour et parfois, pour des raisons de spéculation
monétaire, fluctue de manière importante. Le second est que le taux de change
ne reflète pas simplement le prix relatif des biens et services produits dans un
pays, ils sont affectés par le prix relatif des biens échangés et par des facteurs
monétaires tel que le taux d’intérêt. L’utilisation des PPA est conceptuellement
préférable. Une série internationale, telle que le PIB, convertie en une monnaie
commune sur la base des PPA est évaluée avec un ensemble de prix commun.
Les PPA constituent des outils statistiques utilisés pour comparer des séries
internationales. Elles sont calculées par l’OCDE et eurotat. Les PPA sont des
taux de conversion qui égalisent le pouvoir d’achat des différentes monnaies en
éliminant les différences de niveaux de prix entre les pays. Dans leur forme
la plus simple les PPA sont des prix relatifs. Par exemple si le prix d’un kg
de bonbons en France est égal à 2 euro et à 1.5 $ aux Etats-Unis, alors la
PPA pour les bonbons entre la France et les Etats-Unis est égale à 1.33 Francs
(2/1.5) . Avec 1.33 euro et 1$ on achète la même quantité de bonbons en France
et aux Etats-Unis (0.66kg). La PPA est calculée pour un produit mais aussi
pour des groupes de produits. La PPA d’un groupe de biens est une moyenne
géométrique des prix relatifs des différents biens composants le groupe.
Pour calculer le PIB en PPA on procède en deux étapes. Dans la première
étape on calcule la PPA pour différents groupes de biens et services. Dans la
seconde étape, on procède à une agrégation de ces PPA jusqu’au niveau du PIB.
On calcule une moyenne pondérée des PPA des différents groupes de produit.
Les pondérations correspondent aux dépenses dans le groupe de produits.
4
4.1
Calculs sur les séries
Les statistiques descriptives usuelles
Il est souvent utile dans un premier temps d’avoir quelques indications globales
sur une série. La moyenne arithmétique est égale à la somme des valeurs prises
par la série divisée par le nombre de valeurs observées. Soit la série xi , i = 1, ..N,
sa moyenne s’écrit:
x=
N
xi
i=1
N
Une autre statistique souvent utilisée est l’écart-type de la série qui caractérise
la dispersion de la série autour de sa moyenne, elle traduit les fluctuations de la
11
série:
σx =
N
(x − x)2
i=1 i
N
La moyenne et l’écart-type sont mesurés dans la même unité que la série. Un
exemple de calcul de ces deux statistiques est donné tableau 9.
Tableau 9: Calcul de la moyenne et de l’écart-type des quantités
de sapins de Noël vendus (série fictive)
Années
Quantités
Moyenne
Ecart-type
x=
1150 + 1230 + 1100 + 1300 + 1400 + 1250 + 1325 + 1401 + 1375 + 1410
10
σx =
4.2
1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999
1150 1230 1100 1300 1400 1250 1325 1401 1375 1410
1294
110
(1150 − 1294)2 + (1230 − 1294)2 + .... + (1410 − 1294)2
10
Variations absolues et relatives
La variation absolue d’une série mesure l’écart entre sa valeur finale et sa valeur
initiale, par exemple entre la période t et t + 1 la variation absolue de la série x
est donnée par:
∆x = xt+1 − xt
La variation relative d’une série correspond à son taux de croissance entre
deux périodes:
xt+1 − xt
xt+1
∆x
=
=
−1
xt
xt
xt
12