Newton et la gravité

MAT-4171-2
Modélisation algébrique et graphique en contexte fondamental 1
SITUATION D’APPRENTISSAGE
Newton et la gravité
Guide de l’enseignant
Jocelyne Lavoie
Yves Létourneau
2
MAT-4171-2
Guide de l’Enseignant
Procédés intégrateurs



Représenter une situation par un modèle algébrique ou graphique
Interpoler ou extrapoler à partir d’un modèle algébrique ou graphique
Généraliser à un ensemble de situations par un modèle algébrique ou graphique
Famille de situation d’apprentissage prescrite

Relations entre quantités
Compétences disciplinaires



Utiliser des stratégies de résolution de situations-problèmes
Déployer un raisonnement mathématique
Communiquer à l’aide du langage mathématique
Savoirs essentiels/prescrits



Manipulation d’expressions algébriques;
Relation et fonction
o Observation, interprétation et représentation de fonctions réelles
 Polynomiales du 2e degré
 forme générale
 forme canonique
Passage d’une forme d’écriture à une autre pour la fonction du 2e degré
Démarche et stratégies



Représentation d’une expérimentation en lien avec la physique
Détermination de la valeur expérimentale et comparaison avec la valeur théorique
Analyse de situations à partir de modèles algébriques
Intentions pédagogiques


Exploiter les technologies de l’information et de la communication (TIC)
Manipuler des expressions mathématiques en lien avec le domaine des sciences
o Utiliser la notation scientifique et la calculatrice scientifique
o Convertir les unités de mesures

Observer, interpréter et représenter une fonction du 2e degré
Domaine général de formation ciblé

Environnement et consommation
3
MAT-4171-2
Guide de l’Enseignant
Brève description de la SA
Cette situation d’apprentissage intègre des notions mathématiques par le biais d’un
phénomène bien connu : le mouvement d’un corps en chute libre.
L’adulte aura l’occasion de se familiariser avec la théorie de Newton sur l’attraction
universelle. Dans un premier temps, il utilisera des données expérimentales afin de
déterminer l’accélération gravitationnelle due l’attraction terrestre. Par la suite, il
comparera son résultat à celui obtenu à partir du modèle algébrique de Newton. L’analyse
des résultats lui permettra de savoir si ce modèle peut être appliqué à d’autres cas.
À titre de réinvestissement des compétences, l’adulte utilisera le même concept pour
calculer l’accélération gravitationnelle sur la lune. La notion d’apesanteur l’amènera à
traduire en langage mathématique la courbe décrite par des objets en chute libre ayant
une vitesse initiale.
Suite à cette situation d’apprentissage, l’adulte aura exploré des exemples de
modélisation de phénomènes à l’aide d’équations algébriques. De plus, il pourra sans
doute réaliser que certaines théories scientifiques du XVIIe siècle n’ont pas encore été
contestées.
Cette SA pourrait être faite au milieu du cours MAT-4171-2.
La durée prévue est d’environ 3 heures.
Production attendue
L’adulte doit compléter le tableau de la tâche 1 en effectuant les calculs lui permettant de
déterminer g expérimentalement. Au cours de la tâche 2, il déterminera g sur la Terre et
g sur la lune à partir du modèle algébrique de Newton et il pourra comparer le résultat
expérimental à la valeur théorique. Durant l’activité de réinvestissement, l’adulte
interprètera une fonction du 2e degré et décrira ses propriétés.
4
MAT-4171-2
Guide de l’Enseignant
Activation des connaissances antérieures
Au cours la tâche 1
Au cours de cette tâche, l’enseignant pourrait inciter l’adulte à s’interroger sur le fait
qu’on ait choisi une boule de billard et non une feuille de papier…
L’adulte aura peut-être besoin d’un peu d’aide pour débuter; voici quelques propositions :
 compléter la 3e et la 4e colonne du tableau comme suit; arrondir au dixième près :


v = d/△t
exemple : 8,7 / (1/30) = 261,0
△v = v2 – v1
exemple : 261,0 – 228,0 = 33,0
compléter la dernière colonne du tableau en calculant g c'est-à-dire △v/△t en
tenant compte des unités (mettre en m/s2 en divisant par 100).
faire la moyenne des valeurs obtenues de g et arrondir au dixième près.
Avant d’aborder la tâche 2, l’adulte devrait idéalement :



maîtriser la notation scientifique;
savoir utiliser sa calculatrice;
être à l’aise avec les unités de mesure (simplifier et convertir).
Réinvestissement
Cette partie introduit des savoirs nouveaux concernant l’équation de 2e degré. L’adulte
devrait préalablement s’être familiarisé avec les caractéristiques de cette fonction.
N.B. : Lorsqu’on décrit théoriquement la trajectoire d’un projectile, on suppose que la
résistance de l’air est nulle.
5
MAT-4171-2
Guide de l’Enseignant
CORRIGÉ
Tâche 1
△t (s) d (cm) v (cm/s)
1/30
7,6
228,0
1/30
8,7
261,0
1/30
9,8
294,0
1/30
10,9
325,5
1/30
12,0
359,7
1/30
13,1
392,7
1/30
14,2
425,4
1/30
15,2
456,0
1/30
16,3
489,0
1/30
17,5
523,5
1/30
18,5
555,6
△v (cm/s)
33,0
33,0
31,5
34,2
33,0
32,7
30,6
33,0
34,5
32,1
△v/△t (m/s2)
9,9
9,9
9,5
10,3
9,9
9,8
9,2
9,9
10,4
9,6
Moyenne de g:
9,8
N.B. :



Une mesure obtenue d’un instrument, si précis soit-il, comporte toujours une
erreur. C’est pour cette raison qu’on fait la moyenne des résultats.
Le déplacement (d) de la boule de billard a été obtenu en faisant la différence
entre deux mesures de sa position selon la verticale. On observe que la différence
entre 2 déplacements est une constante. Cette caractéristique nous indique
qu’une fonction du second degré définit la position de l’objet en fonction du
temps.
△v/△t étant une constante, il s’agit d’une fonction affine reliant v et t .
6
MAT-4171-2
Guide de l’Enseignant
Tâche 2

L'accélération due à l’attraction de la Terre étant de 9,8 N / Kg ou 9,8 m / s2, cela
signifie que la vitesse d’un corps en chute libre augmente de 9,8 m/s à chaque
seconde.

La valeur de g obtenue suite au traitement des données de l’expérience est égale à
la valeur de g calculée à partir du modèle algébrique de Newton.
OBJECTIVATION

La théorie sur l’attraction Universelle de Newton est encore valide aujourd’hui
puisque la valeur théorique résultant de son modèle algébrique égale la valeur
obtenue expérimentalement. Il va de soi que sa théorie est applicable pour
calculer l’accélération gravitationnelle sur la lune ou sur une autre planète.

La valeur de g sur la Lune est de 1,6 N / Kg ou 1,6 m / s2

L’attraction sur la Lune est environ 6 fois plus petite que celle sur la Terre. En nous
référant au modèle algébrique de Newton, nous pouvons constater que g est
proportionnel à la masse et inversement proportionnel au carré du rayon. La
masse de la Lune étant environ 100 fois plus petite que celle de la Terre, c’est pour
cette raison que son accélération gravitationnelle est plus petite.
Réinvestissement
- Durant les 2 phases d’hyper-pesanteur, l’accélération maximum est environ 1,8 g
- Réponse personnelle en ce qui concerne une situation semblable.
- La section de la courbe qui représente une parabole :
7
MAT-4171-2
Guide de l’Enseignant

Équation canonique : f(x) = -4,86 (x – 42)2 + 8700

Équation générale :

domf = [30, 54]

imaf = [8000, 8700]
f(x) = -4,86 x2 + 408,3 x + 125
OBJECTIVATION

- La trajectoire de la balle est une parabole.

- Exemples de projectiles : une flèche, un caillou, un obus, etc.

- L’équation de la parabole étant y = -0,00771(x – 110)2 + 95 , la distance de la
flèche est de 221 mètres.
*
*
*