Enoncé

L1 SVT Majeure STU – Année 2005-2006
Cycles externes – Atmosphère
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TD no.3 – Mouvements de l’atmosphère
Référentiels géocentrique et terrestre
Définitions
Un référentiel est un système d’axes fixes entr’eux, assorti d’un repère de temps (chronologie), par rapport auxquels ont va
décrire le mouvement d’un corps. Ce mouvement va donc dépendre du référentiel choisi.
Pour l’étude des mouvements de l’air dans l’atmosphère terrestre, deux référentiels différents vont nous être utiles :
• Le référentiel géocentrique : le centre de la Terre est un point fixe et les axes pointent vers trois étoiles fixes. Dans ce
référentiel la Terre tourne sur elle même en 24 h (23h 56min pour être précis).
• Le référentiel terrestre : la Terre y est fixe. C’est le référentiel auquel nous nous référons le plus dans la vie courante – par
exemple en y repérant les positions par les latitudes et longitudes.
Notons que le référentiel terrestre a un mouvement de rotation uniforme par rapport au référentiel géocentrique.
Question préliminaire : Calculer la vitesse angulaire Ω de rotation propre de la Terre dans le référentiel géocentrique ( rappel : la vitesse angulaire d’un corps en rotation est l’angle balayé par ce corps par
unité de temps ; c’est une quantitité relative au référentiel considéré ; l’unité SI est le rad/s – radian par
seconde).
Principes de la mécanique – Notion de référentiel galiléen
Le principe1 de l’inertie est à la base de la toute la mécanique classique. Il s’énonce de la façon suivante :
Il existe une famille de référentiels, dits galiléens, dans lesquels tout point matériel soumis à un ensemble de forces de résultante
nulle possède un mouvement rectiligne et uniforme (vitesse constante en norme et direction). Tous les réferentiels galiléens ont
les uns par rapport aux autres un mouvement de translation2 rectiligne et uniforme.
Un autre postulat important est le principe fondamental de la dynamique (PFD) : dans un référentiel galiléen, l’accélération ~a
~ = ΣF
~i des forces F
~i qui lui sont appliquées, selon
d’un point matériel de masse m varie proportionnellement à la résultante F
la relation
~.
m~a = F
Propriétés des référentiels géocentrique et terrestre
En bonne approximation on peut considérer le référentiel géocentrique comme galiléen. Cela signifie qu’un point matériel
soumis à un ensemble de forces qui se compensent y a un mouvement rectiligne uniforme, et qu’à contrario, si sa vitesse change
en norme ou direction c’est qu’une résultante de forces non nulle s’applique.
Le référentiel terrestre, en rotation par rapport à ce dernier, n’est pas un référentiel galiléen (du moins pour l’étude de l’atmosphère, où on considère des mouvements sur 24h ou plus, durée sur laquelle la rotation de la Terre est significative). Ceci va
induire des effets particuliers sur les mouvements dans l’atmosphère tels que nous les ressentons, que nous allons illustrer dans
ce TD.
1
En physique, un principe est une affirmation qui ne se démontre pas, mais dont les conséquences sont intéressantes dans la
mesure où elles permettent d’interpréter et même de prévoir certains faits expérimentaux.
2
C’est-à-dire, un déplacement sans rotation.
1
1 La force de Coriolis
Dans un jardin public, un enfant se trouve placé au centre d’un tourniquet en rotation uniforme à la vitesse
angulaire Ω (angle balayé par unité de temps). Il observe un oiseau volant tout droit à vitesse constante
v0 et passant juste au dessus de lui. On prendra pour origine du temps l’instant t = 0 où l’oiseau est à la
verticale de l’enfant. La situation est résumée sur le schéma suivant :
Ω
x’
θ
v0
x
O
Ox est la direction de vol de l’oiseau, Ox 0 la direction (fixe dans le référentiel du tourniquet) dans
laquelle regarde l’enfant. On suppose de plus qu’à t = 0 les directions Ox et Ox 0 sont confondues.
1.1 Déterminer à un instant quelconque t l’angle θ(t) que fait la direction de vol de l’oiseau Ox par
rapport à la direction d’observation de l’enfant Ox 0 .
1.2
Déterminer à un instant quelconque t la distance de l’oiseau à l’axe du tourniquet (distance radiale).
1.3 Application numérique : on suppose v 0 = 10 m/s, Ω = 150◦ /s. Sur le schéma suivant représentant
le plateau du tourniquet, de rayon R = 2 m, placer les positions successives de l’oiseau dans le repère
du tourniquet aux instants t = 0, 0.05, 0.10, 0.15 et 0.20 s.
x’
O
Dessiner l’allure de la trajectoire de l’oiseau dans le référentiel du tourniquet.
1.4 En déduire l’existence, du point de vue de l’observateur placé dans le référentiel tournant, d’une
force apparente exercée sur l’oiseau. Cette force apparente est appelée force de Coriolis. Quelle est la
caractéristique principale de cette force ?
On admettra que l’intensité de la force de Coriolis vaut 2mΩv pour un mobile de masse m se déplaçant
à la vitesse v dans un référentiel tournant à la vitesse angulaire Ω par rapport à un référentiel galiléen.
2
~i à condition d’inclure
De façon plus générale, on pourra dans un référentiel non-galiléen écrire une relation de type m~a = Σ F
dans le bilan des forces deux forces, dites d’inertie : la force d’entraînement (par exemple la force centrifuge qu’on ressent
quand on prend un virage en voiture) et la force de Coriolis.
Dans le référentiel terrestre, la force d’entraînement est prise en compte dans la définition du champ de gravité ~g . Elle est de
toute façon de faible intensité. Seule la force de Coriolis a des effets notables sur les mouvements dans l’atmosphère.
Le paramètre de Coriolis
Dans le cas de la Terre, l’analogie avec le tourniquet n’est strictement vraie qu’au pôle nord (ou sud en
inversant le sens de rotation), où la surface locale est perpendiculaire à l’axe de rotation de la Terre (donc
la verticale locale parallèle à l’axe de rotation). Aux autres latitudes c’est la vitesse de rotation autour
de la verticale locale (comme pour le tourniquet) qui va compter dans la déflexion des mouvements
horizontaux. Cette vitesse est nulle au niveau de l’équateur (puisque la rotation de la Terre se fait autour
d’un axe sud-nord qui est purement horizontal à l’équateur). La vitesse de rotation ω autour de la verticale
locale à la latitude λ est en fait ω(λ) = Ω sin λ, où Ω = 7.3 10 −5 rad/s est la vitesse de rotation de la
Terre autour de son axe.
En définissant le paramètre de Coriolis comme la quantité f = 2Ω sin λ, l’intensité de la force de
Coriolis s’exerçant sur un mobile de masse m, situé à la latitude λ et se déplaçant à la vitesse v est alors
simplement |mf v|.
Notons que f est négatif dans l’hémisphère sud, traduisant le fait que les mouvement y sont déviés à
gauche, et non à droite comme dans l’hémisphère nord.
2 Analyse du champ de pression
Dans le chapitre 1 du cours, nous avons surtout insisté sur la variation de la pression atmosphérique sur la
verticale, car c’est en effet selon cette direction que la pression varie le plus vite (typiquement -800 hPa
en 10 km). Cependant le champ de pression présente aussi des variations sur l’horizontale de quelques
dizaines d’hectopascals, à condition de considérer des distances de plusieurs centaines de kilomètres.
Bien que beaucoup plus lentes ces variations du champ de pression sont essentielles car ce sont elles qui
sont à l’origine des vents.
Champ de pression, vecteur gradient de pression
On appelle champ de pression à un instant donné la fonction P des trois variables x, y et z permettant de
repérer la position d’un point quelconque dans le référentiel terrestre par ses coordonnées cartésiennes :
P = P (x, y, z).
~ P et ainsi défini :
On appelle gradient de pression le vecteur noté grad
~ P = ∂P ~ux + ∂P ~uy + ∂P ~uz .
grad
∂x
∂y
∂z
Dans cette expression, ∂P/∂x, par exemple, est la dérivée partielle par rapport à x, qui n’est autre que
la dérivée de la fonction P (x) obtenue en considérant x comme seule variable et en gardant constantes
y et z.
On considère le déplacement dans l’espace entre deux points M (x, y, z) et M 0 (x0 , y 0 , z 0 ) très voisins. On
notera dx = x0 − x, dy = y 0 − y, dz = z 0 − z, si bien que M~M 0 = dx ~ux + dy ~uy + dz ~uz .
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Nous admettrons une propriété (mathématique) très commode du vecteur gradient : la variation de pression dP entre M et M 0 voisins est donnée par l’expression
~ P
dP = P (x + dx, y + dy, z + dz) − P (x, y, z) = M~M 0 · grad
2.1 Analyse d’un champ de pression à altitude fixée
On suppose qu’on se place à altitude z = z 0 fixée et qu’on ne s’intéresse qu’aux variations de P sur l’horizontale. Autrement dit on ne considèrera que des déplacements M~M 0 horizontaux : M~M 0 = dx ~ux +
~ P = ∂P/∂x ~ux + ∂P/∂y ~uy .
dy ~uy . On notera la projection horizontale du gradient de pression : grad
h
De même qu’on représente sur une carte la topographie par des lignes de niveau (courbes d’égale élévation du terrain), une carte de pression (à altitude donnée) peut être représentée par des isobares (courbes
d’égale pression). Un exemple est donné dans la figure suivante.
Sur la carte, la pression correspondant à chaque ligne isobare est indiquée en hPa. Le niveau d’altitude
considéré est celui de la mer (z = 0).
2.1.1 Repérer où se situent les zones de haute pression (ou anticyclone) et de basse pression (dépression).
2.1.2
Montrer qu’à z fixé, l’expression de dP se réduit à
~ h P.
dP = M~M 0 · grad
2.1.3 En considérant maintenant M et M 0 placés sur une même isobare, démontrer que le vecteur
~ P est perpendiculaire à la ligne isobare.
grad
h
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2.1.4 En considérant enfin M0 , par rapport à M , du côté des hautes pressions d’une part, des basses
~ P par rapport à la variation de pression.
pressions d’autre part, préciser le sens de grad
h
2.2 Forces de pression
Nous allons voir ici que ce sont bien les variations horizontales de la pression qui mettent l’air en mouvement.
On considère comme système mécanique une petite parcelle d’air parallélépipédique de dimensions dx,
dy, dz, le point M (x, y, z) constituant un des coins inférieurs.
2.2.1 Calculer la force de pression s’exerçant sur la face x d’une part, x + dx d’autre part. Préciser
pour chacune d’elle l’intensité, la direction et le sens. En déduire que la résultante de ces deux forces
vaut −∂P/∂x.dxdydz.~ux .
2.2.2 En déduire que la résultante des forces de pression s’exerçant sur la parcelle d’air considérée
s’écrit
~ P
F~P = −δV grad
2.2.3 Quel résultat retrouve-t-on si on considère que la composante verticale de cette force équilibre le
poids de la particule ?
~ P . En se plaçant en un
2.2.4 La composante horizontale de F~P est par conséquent F~P h = −δV grad
h
point quelconque d’une isobare de la carte, préciser la direction et le sens de F~P h .
2.3 Isohypses
Si les météorologues utilisent bien des cartes de pression au niveau de la mer comme montrée plus haut,
ils restent en revanche fidèles à leur habitude d’utiliser la pression, et non l’altitude, comme coordonnée
verticale. Leurs cartes sont donc tracées sur des surfaces P = cte. Sur de telles cartes, le champ de
pression, par définition uniforme, ne donne évidemment aucune information. En revanche ces surfaces
ne sont pas horizontales, elles présentent des bosses et des creux qu’on représente par des lignes de
niveau, appelées isohypses. Le principe de cette représentation est donné dans la figure suivante :
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Voici maintenant un exemple de carte d’isohyspses, qui représente la topographie de la surface isobare
P = 500 hPa sur l’Europe. Les hauteurs des isohyspses sont données en décamètres (dam). :
2.3.1 A l’aide d’un schéma dans le plan vertical représentant le profil de quelques isobares, expliquer
pourquoi une bosse d’une surface isobare correspond à une zone de haute pression, un creux à une zone
de basse pression.
2.3.2
Déterminer les zones de haute et basse pression sur la carte.
Dans la suite du TD, nous revenons toutefois à la représentation du champ de pression sur des surfaces
horizontales, plus simple à comprendre et à utiliser.
3 Le vent
3.1 L’équation du vent
Le vent résulte bien évidemment du déplacement de masses d’air. Pour décrire complètement l’écoulement d’un fluide, on divise par la pensée le fluide en une infinité de parcelles élémentaires, telles que
considérées plus haut, qu’on va considérer comme autant de points matériels. Les lois de la mécanique
s’appliquent à chacun de ces points.
En nous plaçant dans le référentiel terrestre (non galiléen, ne pas oublier les forces d’inertie !), nous
v
savons donc déterminer à chaque instant l’accélération ~a = d~
dt d’une parcelle quelconque de masse
(élémentaire) δm connaissant le bilan des forces qui s’y excercent :
δm~a = δm ~g + F~P + F~C
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~ P est la force de pression et F~C la force de Coriolis).
(où F~P = −δV grad
Les vitesses verticales étant typiquement beaucoup plus faibles (qqs cm/s) dans l’atmosphère que les
vitesses horizontales (qqs m/s), nous négligerons les mouvements verticaux. En première approximation,
l’équation du vent est purement horizontale et peux s’écrire :
δm
d~vh
~ P + F~C
= −δV grad
h
dt
où ~vh est le vent horizontal.
Supposons une parcelle d’air initialement au repos (~v h = 0) et plongé dans un champ de pression à
gradient uniforme dirigé, par exemple, d’est en ouest.
3.1.1 Que vaut la force de Coriolis à t = 0 ? Décrire qualitativement le mouvement de la particule peu
après l’instant initial – tant que la vitesse de la parcelle reste faible.
vh
3.1.2 On définit le nombre de Rossby comme le rapport des modules du terme d’accélération δmd~
dt
et de la force de Coriolis. Déterminer, en ordre de grandeur , au bout de combien de temps la force
de Coriolis ne sera plus négligeable – i.e. le nombre de Rossby cessera d’être grand devant 1. Que se
passe-t-il une fois que la force de Coriolis se fait ressentir ?
3.1.3 On dit qu’on a atteint l’équilibre géostrophique à partir du moment où la vitesse est parallèle aux
isobares et son module tel que la force de Coriolis compense la force de pression. Le terme d’accélération
est alors négligeable. Déterminer la vitesse du vent en fonction du gradient de pression, et sa direction
et son sens par rapport aux isobares. Dans quel sens le vent s’écoule-t-il autour des dépressions, des
anticyclones ? Comment peut-on en pratique évaluer la vitesse du vent à partir d’une carte d’isobares ?
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