énoncé - LaCIM

Nom
Prénom
Code permanent
Examen final
Date : 17 décembre 2015
Titre du cours : Conception et analyse des algorithmes
Sigle et groupe : INF7440
Enseignant : Alexandre Blondin Massé
Instructions
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
Vous avez trois heures pour répondre à l’examen ;
Vous pouvez répondre aux cinq questions de l’examen ;
Les quatre meilleurs résultats seront comptabilisés ;
Vous avez droit à toute votre documentation ;
Il est interdit d’utiliser un ordinateur, peu importe sa taille et sa forme (téléphone portable, agenda électronique, etc.) ;
Il est interdit de parler et de prêter de la documentation à un autre étudiant ;
Au besoin, utilisez le verso comme brouillon ;
À moins d’avis contraire, justifiez toutes vos réponses et donnez le détail de vos calculs ;
Indiquez clairement vos réponses finales ;
Question
1
2
3
4
5
Total
Sur
25
25
25
25
25
100
Note
INF7440 — Conception et analyse des algorithmes
Automne 2015
Question 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (25 points)
Soit T un tableau d’entiers longueur n triés en ordre croissant. Dans cette question, on
s’intéresse à la conception et l’analyse d’un algorithme qui effectue une fouille trichotomique :
Diviser À chaque étape, on scinde le tableau courant en 3 sous-tableaux (en réalité, on
ne scinde pas le tableau, mais on utilise des curseurs qui délimitent la portion de
tableau qui nous intéresse).
Régner On explore le sous-tableau parmi les 3 sous-tableaux qui contient potentiellement la valeur recherchée.
(a) (10 points) Écrivez le pseudocode d’une fonction récursive
fonction Existe(T : tableau d’entiers triés, x : entier) : booléen
qui retourne vrai si et seulement si l’entier x se trouve dans T en se basant sur une
fouille trichotomique.
(b) (15 points) Analysez la complexité asymptotique de votre algorithme dans le meilleur
et le pire cas à l’aide de la notation Θ. Justifiez.
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Automne 2015
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Automne 2015
Question 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (25 points)
Considérons un ensemble de n points E situés dans le plan 2D. On s’intéresse à une
version géométrique du voyageur de commerce qui consiste à visiter les n points puis à
revenir à notre point de départ en minimisant la distance totale parcourue (on suppose
qu’on se déplace en ligne droite lorsqu’on passe d’un p
point à un autre, de sorte qu’on
utilise la distance euclidienne dist((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) = (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 .
(a) (10 points) Écrivez le pseudocode d’un algorithme glouton qui visite les n points
en choisissant, à chaque étape, un des points les plus proches parmi ceux qui n’ont
pas encore été visités. Vous pouvez utiliser la notation p.x et p.y pour accéder aux
coordonnées d’un point p = (x, y).
(b) (5 points) Analysez la complexité de votre algorithme aux meilleur et pire cas.
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(c) (5 points) Donnez un exemple d’un ensemble de 5 points pour lequel l’algorithme
glouton donne toujours une solution optimale.
(d) (5 points) Donnez un exemple d’un ensemble de 5 points pour lequel l’algorithme
glouton ne donne jamais une solution optimale.
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Question 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (25 points)
Michel le mouton aime beaucoup les carottes. Malheureusement, il est très limité dans
ses déplacements : il ne peut aller que vers le bas ou vers la droite d’une unité.
Supposons qu’il se trouve dans une grille de ` lignes et c colonnes. Il souhaite concevoir
un algorithme qui lui permettra de manger le plus possible de carottes. Par exemple,
dans la grille ci-bas
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
s’il effectue les déplacements ddbbddbbdd (où d signifie “droite” et b signifie “bas”), il
récupère 5 carottes, soit celles aux coordonnées (1, 2), (2, 3), (3, 3), (4, 5) et (5, 5).
Supposons que Michel commence toujours à la case (1, 1) et termine à la case (`, c).
Vous pouvez également supposer qu’il n’y a jamais de carottes à la case (1, 1). Pour
i = 1, 2, . . . , ` et j = 1, 2, . . . , c, soit C(i, j) le nombre maximum de carottes que Michel
peut récupérer en se déplaçant de la position (1, 1) à la position (i, j).
(a) (10 points) Donnez une formule récursive pour calculer C(i, j) (en n’oubliant pas
les cas de base).
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(b) (10 points) Donnez un algorithme basé sur la programmation dynamique qui permet de calculer le nombre maximum de carottes que Michel peut récupérer pour une
grille de ` lignes et de c colonnes en supposant que la fonction ExisteCarotte(i, j)
retourne 1 s’il y a une carotte à la ligne i et la colonne j, ou 0 sinon.
(c) (5 points) En justifiant brièvement, calculez la complexité de votre algorithme à
l’aide de la notation Θ.
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Question 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (25 points)
(a) (10 points) Vrai ou faux ? Supposons qu’on ait démontré qu’un certain problème
P est NP-complet. Alors nécessairement, tout algorithme résolvant le problème P
aura une complexité exponentielle. Justifiez brièvement votre réponse.
(b) (15 points) Soit G = (V, E) un graphe non orienté connexe et k un entier positif. On
dit que G est k-coloriable s’il existe une fonction (association) c : V → {1, 2, . . . , k}
telle que pour toute arête {u, v} ∈ E, on ait c(u) 6= c(v). Autrement dit, il existe
un coloriage des sommets utilisant au plus k couleurs de sorte que deux sommets
adjacents ne soient pas de la même couleur.
On s’intéresse aux deux fonctions suivantes :
1. EstColoriable(G : graphe non orienté connexe, k : entier positif) : booléen
retourne vrai si et seulement si le graphe G est k-coloriable.
2. Coloriage(G : graphe non orienté connexe, k : entier positif) : coloriage ou
rien retourne un k-coloriage de G s’il existe ou la valeur rien sinon.
Montrez que les deux fonctions sont polynomialement équivalentes. Indice : Il suffit
de montrer que la première fonction peut être implémentée à partir de la deuxième
avec une complexité polynomiale en supposant que la deuxième s’effectue en temps
constant (et vice-versa).
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Question 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (25 points)
Considérez l’algorithme randomisé suivant qui retourne le k-ième plus petit élément d’un
tableau d’entiers T de n éléments :
1: fonction KiemeElement(T : tableau d’entiers) : entier
2:
Soit y une valeur de T choisie aléatoirement de façon uniforme
3:
Soit G un tableau contenant les éléments de T strictement plus petits que y
4:
Soit D un tableau contenant les éléments de T strictement plus grands que y
5:
si |G| = k − 1 alors
6:
retourner y
7:
sinon si |G| ≥ k alors
8:
retourner KiemeElement(G, k)
9:
sinon
10:
retourner KiemeElement(D, k − |G| − 1)
11:
fin si
12: fin fonction
Montrez que la complexité moyenne de cet algorithme est Θ(n). Indice : Écrivez une
équation de récurrence et résolvez-la à l’aide du théorème général.
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