3IMRT, Particule chargée dans les champs électrique et magnétique

3IMRT, Particule chargée dans les champs électrique et magnétique
III - Le cyclotron (énoncé et corrigé)
Un cyclotron est constitué par deux demi-boites cylindriques D
et D' à l'intérieur desquelles on établit un champ magnétique de

vecteur représentatif B . Dans l'espace compris entre les deux
demi-boites, on établit une tension UDD’allternative de valeur
maximale U. Des ions positifs de charge q, de masse m sont
injectés en O avec une vitesse négligeable.
1. La tension UDD’est positive.
a) Établir les expressions littérales en fonction de q, U et m,
de l'énergie cinétique EC1 et de la vitesse v1 de ces ions à leur
première arrivée en D'.
Onappl
i
quel
et
héor
èmedel
’
éner
gi
eci
nét
i
queàuni
ondemassem etdechar
geqsoumis à la
tension ou différence de potentiel UDD’= VD- VD’pendant son déplacement de DàD’
dans le référentiel terrestre supposé galiléen (
Lepoi
dsdel
’
i
onestnégl
i
geable par rapport à la force
électrique exer
céesurl
’
i
on)

EC(D’
)–EC(D) = WDD’( Félectrique ) donc : EC1 –0 = q(VD –VD’) = qUDD’ soit : EC1= |q|U
(en assimilant UDD’àsaval
eurmaxi
mal
eUpendantl
et
r
aj
ett
r
èscour
tdeDàD’
)
2EC1
2 | q|U
EC1 = ½ mv2 donc : v1 =
soit : v1 =
m
m
Calculer EC en joule puis en électron-volts ainsi que la vitesse v.
-19
-27
5
Données : q = 3,2. 10 C, m = 3,3.10 kg, U = 10 V.
EC1 = 3,2 x 10 -19 x 105 = 3,2 x 10 -14 J = 3,2 x 10 -14 / 1,60 x 10-19 = 2 x 105 eV ( = 200 keV)
2 3,2 1019 105
= 1,4 x 106 m.s-1
3,3 1027
V1 =
b) Ces ions pénètrent alors dans D'. Quel est ensuite leur mouvement ?
Exprimer en fonction de B, q, U et m le rayon R1 de leur trajectoire.
Calculer R1 si B = 1 T.
Mouvement circulaire uniforme ; R1 =
R1 =
mv1
m
2 | q|U
1 2mU
=
soit : R1 =
| q|B | q|B
m
B |q|
1 2 3,3 1027 105
= 0,045 m = 4,5 cm
1
3,2 1019
2. Les ions ressortent de D'. On inverse alors la tension UDD’en lui gardant la même valeur U. Établir les expressions :
a) de leur vitesse v2 à l'entrée de D et leur énergie cinétique;
L’
i
onsedépl
acedeD’avecl
’
éner
gi
eEC1 j
usqu’
àDavecl
’
éner
gi
e EC2 ; on applique le TEC :

EC(D) –EC(D’
) = WD’D( Félectrique ) donc EC2 –EC1 = q(VD’–VD) = qUD’D = |q|U
Soit : EC2 = EC1 +|q|U et comme EC1 = |q|U on obtient : EC2 = 2|q|U = 2EC1
2EC2
4EC1
2EC1
2EC1
v2 =
=
= 2
et comme v1 =
on obtient : v2 =
m
m
m
m
b) du rayon R2 de leur trajectoire dans D
mv2
mv1 2
R2 =
| q|B
=
|q|B
soit : R2 =
2 x v1
2 x R1
c) du rayon de la trajectoire des ions en fonction de n, nombre de passages entre D et D' et de R1.
premier passage, n= 1 : R2 =
2 x R1
deuxième passage, n= 2 : R3 =
2 x R2 =
2 x 2 x R1 = ( 2 )2 R1
troisième passage, n= 3 : R4 =
2 x R3 =
2 x( 2 )2 R1 = ( 2 )3 R1
en remarquant que
2 est à la puissance n , on généralise la formule du rayon :
Rn+1 = ( 2 )n R1 ou bien Rn+1 = 2n/2 R1
3. Le cyclotron ayant un rayon de 49,5 cm, calculer le nombre de tours décrit par ces ions el leur énergie cinétique à leur
sortie (en eV).
( 2 )n = Rn+1/R1 = 49,5/4,5 = 11 et en utilisant le logarithme népérien :

n(
2 )n = 
n(11)
Soit : n =
soit n.
n ( 2 ) =

n(11) ;
n.
n (21/2 ) = 
n(11) ;
2 ln(11)
≈7 ;
ln(2)
n

n(2) = 
n(11)
2
2
mv sortie
| q | BR
| q | BR 
Rn+1 = Rcyclo = R =
donc vsortie =
et EC(sortie) = ½ m v2sortie = ½ m x 

| q|B
m
 m 
soit : EC(sortie) =
q2B2R 2
≈ 3,80 x 10-12 J ≈ 23,8 MeV
2m