Douine – Cours - Chapitre 6 – Conditionnement et indépendance Probabilité conditionnelle A et B sont deux événements. On suppose que p B 0 . On appelle « probabilité de A sachant B » notée pB A le quotient p A B . Cette probabilité est appelée probabilité p B conditionnelle et vérifie les propriétés d’une probabilité : 0 pB A 1 et pB A pB A 1 Formule des probabilités totales A , B et C sont trois événements. On suppose que ces trois événement forment une partition de l’univers . On considère un événement D quelconque. p D p A p A D p B pB D p C pC D Ceci est la formule des probabilités totales. A la première génération de branches de l’arbre, on fait apparaître les probabilités simples des événements A , B et C . A la seconde génération de branches de l’arbre, on fait apparaître les probabilités conditionnelles. En bout de branche apparaissent les probabilités des intersections obtenues en effectuant le produit d’une probabilité conditionnelle et de la probabilité simple correspondante. Propriété Soit et p une loi de probabilité. Si A et B sont deux événements de probabilités non nulles, alors les trois égalités suivantes sont équivalentes : p A B p A p B pB A p A pA B p B Définition et conséquences Les deux événements A et B sont indépendants si et seulement si p A B p A p B . Si A et B sont deux événements indépendants, alors les événements A et B sont eux aussi indépendants. Remarque : A et B sont indépendants, A et B sont indépendants également. 1 Douine – Cours - Chapitre 6 – Conditionnement et indépendance La loi binomiale On répète n fois de manière indépendante une même expérience aléatoire présentant deux issues S et S de probabilités respectives p et q 1 p . On considère la variable aléatoire X égale au nombre de succès S obtenus au cours de ces n expériences. La loi de probabilité de la variable aléatoire X s’appelle alors loi binomiale de paramètres n et p , notée n, p . k pX k 0 n n q 0 1 2 … n n 1 pq 1 n 2 n2 p q 2 … n 1 n n 1 p q n 1 n n n n p On retrouve dans la loi binomiale les coefficients binomiaux qui correspondent au nombre de chemins de l’arbre pondéré permettant d’obtenir k « succès » au cours des n générations. Une formule à retenir n Pour tout entier k tel que 0 k n on a : p X k p k q n k k Propriétés Pour une loi binomiale, l’espérance, la variance et l’écart type sont donnés par les formules : V X n pq EX n p X n p q Définition Soit n un entier naturel et k un entier tel que 0 k n . n On note , et on lit « k parmi n » le nombre de chemins qui réalisent exactement k succès (et k par conséquent n k échecs) dans l’arbre à n générations associé à un schéma de Bernoulli. Ces nombres sont appelés coefficients binomiaux. Ils peuvent être obtenu avec une calculatrice. Cas particuliers n n 1 0 n Symétrie n n n 1 n 1 n n k nk Formule de Pascal n 1 n n Si n est un entier naturel et si k est un entier tel que 0 k n 1 alors k 1 k k 1 Cette relation (dite de « récurrence » permet de déterminer « pas à pas » la valeur des coefficients binomiaux. Pour cela on peut s’organiser dans un tableau triangulaire appelé « triangle de Pascal ». 2