PHYSIQUE DES SEMICONDUCTEURS

1
PHYSIQUE DES
SEMICONDUCTEURS
P. Lorenzini
Polytech’Nice Sophia
Dept. Électronique
2
Objectifs du cours
• Comprendre l’intérêt des semi-conducteurs dans la
réalisation des composants électroniques
• Maîtriser des mécanismes de transports et des
phénomènes physiques régissant le fonctionnement des
composants discrets de l’électronique.
• Maitriser le fonctionnement DC et AC de la jonction PN
3
Plan du cours (22,5 h – 2/3 contrôles)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Structure cristalline et cristallographie
mécanique quantique / ondulatoire : l’équation de Schrödinger
Les électrons quasi libres : le modèle de Sommerfeld
Les électrons dans une structure périodique : le modèle de Bloch –
Brillouin
Courant dans les solides : cas particulier des semi-conducteurs
mécanique statistique : la fonction de Fermi Dirac et la fonction de
Maxwell – Boltzmann
Semi-conducteur à l’équilibre
Dopage des semi-conducteurs
Semi-conducteur hors équilibre: courant dans les semi-conducteurs
Jonction PN
4
Références bibliographiques
• C. Kittel, « physique de l’état solide », dunod université, 5° ed.,
1983
• H. Mathieu, « Physique des semiconducteurs et des composants
électroniques », dunod, 5° ed., 2004
• J. Singh, « semiconductors devices: an introduction »,Mc.Graw Hill,
1994
• D.A.Neamen, « semiconductor physics and devices: basic
principles », Mc.Graw Hill, 2003
• Cours de Physique des semiconducteurs, Pr. Rouzeyre, Université
de Montpellier II, 1985
• McMurry and Fay, « Chemistry », Prentice Hall; 4th edition (April 7,
2003) ( les figures du chapitre 1 proviennent majoritairement de cet
ouvrage)
5
CHAPITRE 1
Liaison cristalline et cristallographie
6
structure cristalline et cristallographie
• États cristallin et amorphe
• Liaisons cristallines
• Géométrie des cristaux
• Diffraction cristalline - Réseau réciproque
7
États cristallin et amorphe
• amorphe  verre
• cristal  quartz, SiO2
• Distinction:
• Au niveau macroscopique:
• Si on élève la température du verre, on observe un passage progressif
de l'état solide à l'état de liquide sans palier.
• Pour un cristal, on observe un palier de température dû à une
coexistence (changement) de phase.
• Au niveau microscopique:
• Amorphe
: répartition aléatoire des atomes
• Cristal
: répartition périodique dans l'espace des atomes.
8
États cristallin et amorphe
(D’après Neamen)
Amorphe
(pas d’ordre)
Polycristallin
(ordre à courte portée)
Cristallin
(ordre à longue portée)
9
La liaison cristalline
• Quelles sont les forces qui permettent aux atomes de se lier entre
eux et de former telles ou telles structures?
Le but :
U cristal  U libre  0
• Plusieurs paramètres/effets à prendre en compte:
• Garder les ions chargés positivement éloignés les uns des autres
• Garder les électrons chargés négativement éloignés les uns des
autres
• Garder les électrons proches des ions
• Minimiser l’énergie cinétique des électrons
en les répartissant
10
Electronégativité
• Electronegativité: c’est la capacité d’un atome à attirer les électrons mis en commun dans une liaison chimique. La différence d’électronégativité
En entre deux atomes liés
peut être nulle, faible ou grande.
•ΔEN ~ 0: les électrons sont
égalements répartis
•ΔEN ~ 1: les electrons sont plus proches de l’atome le plus électronégatif. •ΔEN est élevé, les électrons sont
peu partagés (pas mis en commun)
11
La liaison cristalline
• 4 principaux types différents:
• Liaison métallique
• Liaison covalente
• Liaison ionique
• Liaison de Van der Waals (gaz
rares) ou liaison moléculaire
• Un point commun:
• Les atomes essayent
d’avoir leur dernière
couche électronique vide
ou complète !
12
La liaison métallique
• La majorité des éléments chimiques ont un
comportement métallique plus ou moins marqué.
• Construits à partir d’éléments ayant peu d’électrons
de valence /à leur période ou niveau d’énergie
• Exemple:
• Sodium (Na)  1s22s22p63s1
• Cuivre (Cu) 1s22s22p63s23p63d104s1
13
La liaison métallique : le cuivre
Configuration du Cu
(1s22s22p63s23p63d104s1)
14
La liaison métallique
• Les électrons périphériques sont très peu liés à l’atome
• Ce dernier « libère » facilement ce(ces) électron(s)
• Les noyaux constituent alors un ensemble de charges positives  ions
positifs à couche externe saturée
• La cohésion est assurée par le nuage électronique chargé négativement
• Force de cohésion  attraction Coulombienne
• Liaisons « plutôt » faibles  matériaux moins durs et fusion à basse
Température
15
La liaison covalente
• Les cristaux appartiennent à la colonne IV
du tableau périodique
• Liaison du même type que la liaison
hydrogène
• L’Hydrogène:
• 1 électron périphérique
• Pour compléter sa couche, il accepterait « bien »
un deuxième électron
• Un deuxième atome d’H va permettre de mettre
en commun leur électron périphérique
• On obtient la molécule H2
H
H
+
H
H
H2
16
La liaison covalente
• Exemple :le Silicium
• 4 électrons de valence
Si
• Il « manque » 4 électrons de valence pour compléter sa
couche externe
• Il suffit de « rapprocher » 4 autres Silicium
Si
Si
Si
Si
Si
!
À la différence de H2, une fois les
liaisons saturées, les 4 autres Si ont
encore des liaisons « pendantes »  ce
processus peut continuer  on forme
alors un cristal.
17
La liaison covalente
• Énergie plus faible si les électrons
se « baladent » autour des 2 noyaux
• On peut obtenir le même type de
résultats avec des composés II-VI
ou encore III-V.(voir la suite)
18
Liaison ionique
• Association d’un élément chimique fortement
électronégatif ( 7e-) et d’un élément fortement
électropositif (1e-): ex NaCl
• L’électronégatif accepte un e- et devient un ion négatif
(Cl-) , l’électropositif cède son e- et devient un ion
positif (Na+)
3s²3p5
3s1
(D’après McMurry and Fay)
19
Liaison ionique
• La force de cohésion est due à l’attraction
Coulombienne des deux ions  liaison ionique
• En fait, liaison « identique » à la liaison covalente
sauf que les atomes sont très différents (pas la même
colonne)
• La frontière covalente/ionique n’est pas brutale:
dépend de la nature électronique des éléments
associés
•
•
•
•
Col I – VII  essentiellement ionique
Col II-VI  80% ionique 20% covalente (CdTe)
Col III-V  60% ionique 40% covalente (GaAs, GaP, InP)
Col IV-IV  essentiellement covalente (Si, Ge)
20
Liaison ionique
• L’électron libéré par le métal Alcalin (Na) est piégé par
l’Halogène (Cl)
• Aucun électron libéré dans le réseau
• En général les cristaux ioniques sont isolants
• Liaison entre atome très forte  cristaux très durs
21
Liaison de type Van der Waals
• Ceux sont les cristaux les plus simples
• La distribution électronique = atome libre
• Couches électroniques déjà saturées (col. VIII)
• Les atomes s’empilent de façon la plus dense
possible
• Énergie de liaison très faible (qq % de l’énergie
d’ionisation de l’atome) cristaux fondent à basse
température
• Responsable de la cohésion des molécules
22
Géométrie des cristaux
• Un cristal est constitué par la répétition périodique d’un
motif cristallin: c’est la base du réseau.
• pour le Silicium,Ge
• Pour le GaAs
• Pour un crist. moléculaire
base : 1 seul atome
base : 2 atomes
base : Protéine 104-105 at.
• On décrit la structure périodique par un réseau: le
réseau cristallin
• À 2 Dim: Réticule (net)  réseau plan
• À 3 Dim: Réseau (Lattice )  réseau 3D
23
Géométrie des cristaux
  directions
• Postulat de Bravais: il existe
dans le cristal un ensemble de
points Pn qui ont exactement le
même environnement
microscopique que P0 (le pt
origine) ie que le paysage
atomique vu de Pn est le même
qu’en P0 en grandeur et en
direction. Cet ensemble de
points est un ensemble de
points congruents ou sommet du
réseau
• Réseau de Bravais: c’est un
échantillon de réseau qui montre
toutes les translations du
réseau. Il y en en 14 différents

’
’’

P0
P1’
P1
P2
Pn
24
Repérage des plans cristallins
• Repérage des plans cristallins: les nœuds du réseau peuvent être
regroupés sur des ensembles de plans // et équidistants: les plans
réticulaires ( dans notre cas, les plans qui contiennent les atomes du
réseau)
• Méthode :
• coordonnées des intersections des plans avec les directions cristallines
• x1 (distance / origine = x1.a ) en unité de a
• x2 (distance / origine = x2.b ) en unité de b
• x3 (distance / origine = x3.c ) en unité de c
• Prendre les inverses
• Prendre les plus petits entiers dans le même rapport
• Exemple:
• x1=4, x2=1, x3=2
• ¼ , 1, ½
• 1,4,2
(h,k,l) =(1,4,2)
• Nota : si un des indices est négatif, on ajoute une barre sur le dessus
• h,k,l constituent les indices de Miller
h
25
Plan cristallin d’indices (h,k,l)
• A1, A2, A3 : 3 nœuds 
3
Plan 
A3
a3
plan réticulaire 
OAi  pi ai
2
A2
a2
• Soit M (
)
un point de l’espace direct;
il appartient à ssi :
a1
A1
1
En utilisant les indices de Miller, on arrive à : hx1  kx2
plan  est le 2° plan d’indices (h,k,l) après l’origine
OM  x1 a1  x2 a2  x3 a3
x1 x2 x3


1
p1 p2 p3
 lx3  N
. Si N=2, le
26
Directions cristallines
• Toute droite passant par 2 nœuds du réseau définit une direction
cristalline. On peut la repérer par trois indices h,k,l plus petits
entiers ayant même rapport entre eux que les composantes d’un
vecteur colinéaire à la droite.
• Notation: [h,k,l]
• Cas particulier: une direction [h,k,l] est orthogonale au plan de
même indices (h,k,l) ou encore [h,k,l] est le vecteur axial du plan
(h,k,l) .
27
Indices de Miller (suite)
• Permet de définir des directions cristallines et l’orientation
de plans cristallins:
(a,0,0) ou (1,0,0)
(D’après McMurry and Fay)
28
Exemples de plans dans un cristal
cubique.
z
(D’après McMurry and Fay)
x
y
29
Les différentes structures cristallines
Triclinique
Monoclinique
Orthorhombique Orthorhombique
faces centrées
base centrée
Monoclinique
centré
Orthorhombique Orthorhombique
centré
Hexagonal
Rhomboédrique
Tétragonal
Tétragonal
centré
30
Les différentes structures cristallines
Cubique simple
(cs)
Cubique centré
(cc)
Cubique faces centrées
(cfc)
31
Les différentes structures cristallines: notion de
multiplicité de la maille
CS
CC
1 atome (nœud)
par maille
2 atomes (nœuds)
par maille
(D’après McMurry and Fay)
32
Les différentes structures cristallines: notion de
multiplicité de la maille
CFC
Les faces sont inclinées de
54,7° par rapport aux 3
couches atomiques qui se
répètent
(D’après McMurry and Fay)
4 atomes (nœuds)
par maille
33
Les différentes structures cristallines: notion de
multiplicité de la maille
Structure
Hexagonale
Structure
Cubique Faces Centrées
(D’après McMurry and Fay)
34
Choix des vecteurs primitifs
• Pas unique
• Méthode:
• a1 doit être la période
la plus courte du
réseau
• a2 doit être la période
la plus courte du
réseau non // à a1
• a3 doit être la période
la plus courte du
réseau non coplanaire
avec a1 et a2
  directions

’
P0
a1
’’

a2
P1’
P1
P2
On obtient alors une cellule primitive
Pn
35
Le Cubique centré (cc)
z
a1
a2
a3
a1
y
a2
a1  a x
a2  a y
a
a3  ( x  y  z )
2
a3
x
a
( x  y  z )
2
a
a2  ( x  y  z )
2
a
a3  ( x  y  z )
2
a1 
Ou:
36
D’après C. Kittel, Dunod, 5°ed.
37
Densité surfacique d’atomes
Plan (110)
a 2
a
a
a
a
densité surfacique 
1  4 1 / 4
2
14
2


5
.
66

10
at
.
cm
aa 2
(5 10 8 cm) 2  2
38
Le silicium et sa structure« Diamant ».
• Structure cubique CFC
• Deux atomes dans la
base
• Identique à 2 CFC
décalés de ¼ de
diagonale
• Chaque atome a 4
atomes comme plus
proches voisins (liaison
tétragonale)
39
Le réseau réciproque
• A priori:
• tous les phénomènes physiques se déroulent dans l’espace réel
(3D)  c’est l’espace de choix et d’intérêt.
• Mais:
• Pour plusieurs applications/études  plus astucieux de travailler
dans un espace virtuel : l’espace réciproque.
• Raisons: pleinement comprises lors de l’étude de la diffraction RX
et la structure en bandes d’énergie des cristaux.
40
Réseau réciproque: définition
• Une des raisons de l’apparition du RR:
• Structure du cristal périodique  propriétés également (
densité électronique, potentiel électrostatique,…)
• Ces propriétés peuvent être définies par les fonctions ad hoc
qui sont donc elles même périodiques (périodicité du cristal)
f (r  l )  f (r )
41
Réseau réciproque: définition
• À une dimension:
• Structure de période a
a
f ( x  l )  f ( x) avec l  l1a l1 entier
• Décomposition en série de Fourier
f ( x)   An e
n
2inx / a
 Ag e
g
igx
2
1
g   m
avec g n  n
a
42
Réseau réciproque: définition
• On a donc bien
f ( x)   Ag e
g
igx
1
igx
Ag 
f ( x )e dx

a cellule
f ( x  l )   Ag eig ( x l )   Ag eigx eigl  f(x)  Ag eigx
g
2
e  1  gl  n
l1a  nl1  2  entier  2
a
igl
43
Réseau réciproque: définition
• On part des trois vecteurs primitifs du réseau direct RD
(l’espace réel) a1, a2, a3.
• On fait une transformation « simple » pour obtenir trois
nouveaux vecteurs primitifs dans le réseau réciproque b1,
b2, b3:
a2  a3
b1  2
(a1 , a2 , a3 )
a3  a1
b2  2
(a1 , a2 , a3 )
a1  a2
b3  2
(a1 , a2 , a3 )
bi .a j  2 ij avec  ij  0 si i  j ,  ij  1 si i  j
44
Construction du réseau réciproque
• À partir de la même origine O
du RD, on construit le RR.
• soit N sommet du RR

g  ON  hb
1
 k b 2  l b3
• Soit P sommet du RD

l  OP  n a1  p a 2  q a 3
• Le RR n’a pas forcément les
mêmes symétries que le RD
• On a (produit scalaire):
ON .OP  2 hn  kp  lq 
entier
2
hn  kp  lq 
g  ON 
OP
Les dimensions d’un
vecteur du RR:

1
b 
longueur
45
Plan du Réseau direct
Vecteur du RR
Point de Réseau direct
g
l
l’
l’’
46
Propriétés du réseau réciproque
• Chaque vecteur du RR est normal à un ensemble de plans du RD

g  g1 b1  g 2 b 2  g 3 b 3

l  l1 a1  l2 a 2  l3 a 3

g . l  2 ( g1l1  g 2l2  g 3l3 )  2N

• Or
g. l
représente la projection du vecteur l sur la direction de g,
qui à donc une longueur
.
• Mais il y a une infinité de vecteurs qui ont la même projection (l’1 = l1mxg3, l’2 = l2-mxg3, l’1 = l1+mx(g2 +g1))

g . l '  2 ( g1l1  g 2l2  g 3l3 )  2N
• On a construit un de ces plans
47
Propriétés du réseau réciproque
• Si les composantes de g n’ont pas de facteurs communs, alors |g| est
inversement proportionnel à l’espacement (la distance) des plans du
réseau normal à g
• Si (g1,g2,g3) pas de facteurs communs, alors on peut tjs trouver
un vecteur du réseau direct l’’ avec des composantes telles que

''
g. l  2 ( N  1)
• Donc d’’ s’écrit:
2 ( N  1) 2N 2
d''


 d  d hkl
g
g
g
d hkl 
2
g
• De ces deux résultats géométriques, on en déduit que la façon la plus
simple pour caractériser un plan cristallin du RD est de prendre sa
normale exprimée comme un vecteur du RR.
48
Propriétés du réseau réciproque
• Supposons un plan du réseau avec sa normale g

g  hb
1
 k b 2  l b3

g . l  2 hn  kp  lq   2N
tel que est vérifiée pour tous les points sur ce plan. Si on choisit un point tel que p=q=0, on a N
a1
d

n=N/h, donc le plan que l’on a définit coupe l’axe a1 en . 1
h
Idem pour d2 et d3.
N
N
N
d1  a1 , d 2  a2 , d 3  a3
l
k
h
2
2
2
Exemple : d '1  , d '2  , d '3 
5
4
3
N
N
N
d '1  , d '2  , d '3 
l
k
h
3 4 5
 , , 
2 2 2
En unité des vecteurs de base
3,4,5  h, k , l 
On a les mêmes indices pour g (normal au plan) et pour le plan !
49
[3,1,0]
d2
[1,0,0]
d1
50
Rôle physique des plans réticulaires –
importance du RR
• Soit le cristal parcouru par une onde de nature quelconque:
• Onde EM (RX, R)
• Onde sonore (phonons)
• Onde particulaire (électrons, neutrons)
Les électrons (du nuage électronique) rayonnent dans
« tous les sens ». C’est le phénomène de diffusion
51
Rôle physique des plans réticulaires –
importance du RR
• Interférences entre les ondes diffusées:
• Destructives  pas de propagation (b)
• Constructives  on les « voit » (a)
Condition de diffraction de Bragg
(a)
(b)
52
Rôle physique des plans réticulaires –
importance du RR
• Détermination de la loi de Bragg : méthode élémentaire.
• On considère les plans cristallins comme des miroirs
• On calcule la différence de marche (ddm) entre les deux rayons
• Interférence constructive  ddm = n
vecteur du RR, par ex |ON|
(D’après McMurry and Fay)
k
k'
plan (h,k,l)
dhkl
ddm  2d hkl sin 
2d hkl sin   n
53
Rôle physique des plans réticulaires –
importance du RR
l l’
l’’
• loi de Bragg : influence sur les vecteurs du RR
2d hkl sin   n
d hkl . ON  2
2.
2 sin 
ON
 
k .1

2
avec ON vecteur du RR
ON Vecteur période de la rangée [hkl]*



k ON
k ON
2.
2
2   n
ON ON
ON
ON ON
2

ON   2
or le vecteur d' onde k 
,1 
, k .1 
sin 


ON

n

d hkl 

ON
2k  n ON , soit encore k  n
2
54
Cellule unité / cellule de Wigner-Seitz: Première
zone de Brillouin
55
CHAPITRE 2
Diffraction d’une onde par un cristal
Réseau Réciproque
Zone de Brillouin
56
Généralités:
• La diffraction d’1 onde (k = 2 par un cristal intervient
dans deux domaines:
• Cristallographie:
• Diffraction des Rayons X:
E  h 
hc
• Diffraction des Neutrons
• Diffraction des Électrons
deBroglie

hc
12,4 


A
E E (keV )
Dualité onde / corpuscule (de Broglie)

h
12
h
p2
h2
e (A) 

 2
E

2me E
E (eV )
2mn / e 2 mn / e
p
57
Généralités:
• L’objectif de la cristallographie: étudier les directions dans
lesquelles l’énergie diffractée est maximale et en déduire
la distance entre les plans réticulaires, le nb d’atomes de
chaque famille de plans réticulaires,tout cela par la
mesure de l’intensité diffusée.
58
Généralités:
• Le deuxième domaine d’intérêt:
• La physique du solide: on utilise la condition de Bragg (maximum
d’intensité diffractée) pour déterminer les  électroniques qui ne
peuvent se propager dans le cristal (elles sont diffractées!). On
associe à chacune des ces satisfaisant à la loi de Bragg une
bande d’énergie pour l’électron qu’on appelle bande interdite
(« gap »).
59
Loi de Bragg
• Méthode élémentaire (voir chapitre précédent)
2d hkl sin   n
ON
2k  n ON , soit encore k  n
2
Exemple 1: réseau à 1D
N
a
O
|ON|/2
k
O
RD
2a
RR
N
• si –a < k < /a, l’onde n’est pas diffractée.
On est dans la première zone de Brillouin
• si k = ± /a, il y a diffraction, k est en bord
de zone de Brillouin
60
Loi de Bragg / zone de Brillouin
• Exemple 2: réseau à 2 dimensions
A2
a2
a1
1° ZB ┴ A1 (// a2)
A1
RR
RD
Toutes les ondes de
vecteurs d’onde à
l’intérieur de la ZB
peuvent se propager
1° ZB ┴ A2 (// a1)
61
zone de Brillouin d’un CFC
http://fr.wikipedia.org/wiki/Zone_de_Brillouin
62
Loi de Bragg: conditions de Laue
• Méthode directe: utilisation de la théorie de diffusion des
ondes optiques
k
k
D
r
Diffusion : création d’une
onde sphérique
• k, k’ : vecteur d’onde incident/diffusé
• : position de l’atome diffusant
• r : distance atome /détecteur
• R: position du détecteur (loin du cristal)
R, k’

0
63
Loi de Bragg: conditions de Laue
• On suppose une onde plane dans l’espace libre, au
point
:

F (  )  F0 exp i ( k .  t )

• Onde de vecteur d’onde k , de fréquence angulaire ω
et de longueur d’onde   2
k
• On place maintenant le cristal dans le faisceau.
L’origine O est choisie arbitrairement.
• Hypothèses
Le faisceau incident n’est pas perturbé par le cristal
Pas de perte d’énergie
64
Loi de Bragg: conditions de Laue
 est donnée par :
• l’amplitude du faisceau incident en
• Au point


F (  )  F0e
 
ik .   it
e
(3D)
 , l’atome va diffuser : onde sphérique. L’intensité

diffusée par le point
Facteur de
diffusion
va avoir une amplitude en


ik  i ( k r t )

e e
Fdiff ( r )  fF0
r donnée par :
k
r
Diffusion : création d’une
onde sphérique
avec
R
• On va négliger par la suite la différence entre 1/r et 1/R
r  R   cos( ρ, )  R
65
Loi de Bragg: conditions de Laue
• Donc l’onde diffusée s’écrit :
R


ik  i ( k r t )

e e
Fdiff ( r )  fF0
r  R   cos( ρ, )  R
r

fF0e
F (r ) 
  
 
 it ik .  ik R ik cos(  , R )
e
R
 F ( R)
66
Loi de Bragg: conditions de Laue


• On va écrire ik .   ik cos(  , R ) différemment :
 
 
 
 
ik cos(  , R )  ik cos(  , k )  ik '  cos(  , k )  ik .




k
•
est un vecteur dans la direction de R de même norme que k
(diffusion élastique)
• L’équation de diffusion devient :
F ( R) 
fF0e
  
 
 it ik .  ik R ik cos(  , R )
e
R
fF0e  it ei k R i k . 
F ( R) 
e
R
k  k 'k
• Si on somme le signal sur l’ensemble des atomes (des sites atomiques):

F0 ei k R e it i k .  p
F ( R)  
e
fp
R
p
F0ei k R e it
F ( R) 
R
f
p
p
e

i k .  p


67
Loi de Bragg: conditions de
Laue
• L’amplitude peut elle être égale à zéro ?
F0 ei k R e it
F ( R) 
R
f
p
p
e

i k .  p

• Si le nombre de sites est élevé (c’est le cas!!), la
sommation est non nulle si:  p .k  2n
• C’est aussi la définition d’un vecteur du réseau
réciproque. Donc k ( ou vecteur de diffusion) doit être un
vecteur du réseau réciproque G, pour que l’intensité
diffusée soit non nulle.
68
Loi de Bragg: conditions de Laue
• Conclusion: la condition d’une forte intensité de diffraction
est satisfaite uniquement lorsque le vecteur d’onde est
diffusé par un vecteur du réseau réciproque
69
Condition de diffraction de Laue
(construction d’Ewald)
• Diffusion élastique des photons (énergie conservée) |k|
=|k’| .
k
k: // au faisceau incident
k’: // au faisceau diffracté
G
k’


k
RR
2

70
• Nous avons supposé jusqu’ici que le facteur fp était le
même pour tous les sites et qu’il y avait un seul atome
par base. Ce qui est loin d’être le cas ! Il faut donc
généraliser la relation:
• n atomes dans la base
p est la position de la cellule unité
• j est la position de l’atome j dans la cellule unité
•
j
p
71
Loi de Bragg: conditions de Laue
• Facteur de diffusion
F0 ei k R e it
F ( R) 
R
f
p
p
e

i k .  p

F0 ei k R e it
R

p

f j exp  i (  p   j ).k
j
• On décrit la diffusion de chaque atome j de la base par fj (fonction du type
d’atome)
• La sommation est donc faite séparément – une sur les sites du réseau (4
dans un cfc !) et une sur les atomes de la base (2 dans le cas du diamant
!)
F0ei k R e it
F ( R) 
R
 exp i
p
p
.k  f j exp i j .k 
j
décrit la structure
décrit la base

72
F0ei k R e  it
F ( R) 
R
 exp i
p
p
.k  f j exp i j .k 
j
décrit la structure
décrit la base
 j .k   j .G
 j  x j a  y j b  z j c et G  h A  k B  l C
 j .G  ( x j a  y j b  z j c) .(h A  k B  l C )
 j .G  2 ( x j h  y j k  z j l )
 p .G  2 ( x p h  y p k  z p l )
73
Facteur de structure et facteur de forme
atomique
• Facteur de forme atomique: représente la façon dont les
atomes diffusent les RX. Dépend essentiellement du nuage
électronique donc de la nature de l’atome.
2 atomes différents
dans le motif
Chaque nœud du réseau comporte 2 atomes
différents  on doit modifier l’écriture
p
j
: coordonnées du pième nœud dans la maille
: coordonnées de l’atome j dans le motif
constituée ici de 2 atomes.
S hkl   f j exp[i 2 ( x j h  y j k  z j l )] exp[i 2 ( x p h  y p k  z p l )]
j
p
On tient compte ici de la dégénérescence du motif
74
Facteur de structure et facteur de forme
atomique
S   f exp[i 2 ( x h  y k  z l )] exp[i 2 ( x h  y k  z l )]
hkl
j
j
j
Même si la condition de
Bragg (Laue) est vérifiée, la
périodicité du cristal induit
des extinctions (Shkl = 0)
supplémentaires, plus ou
moins fréquentes, en fonction
de la structure cristalline.
j
j
p
p
p
p
75
Les rayons X et les méthodes de
diffraction.
• Rayons X:
• Accélération des électrons
• Bombardement d’une cible (Cu,
Mo, Al, …)
• 2 effets:
• Ralentissement  spectre de
freinage continu.
• Recyclage des photons de
freinage  excitation des
électrons de cœur 
thermalisation des électrons des
couches supérieures.
76
Les rayons X et les méthodes de
diffraction.
• Rayons X:
• Spectre discret: signature de la cible
77
Les méthodes expérimentales de
diffraction
• Méthode de Laue:
• Échantillon monocristallin
• Rayons X polychromatique
• Cristal fixe
(D’après McMurry and Fay)
•Permet de visualiser les symétries du cristal.
•Orientation du cristal
78
Les méthodes expérimentales de
diffraction
• Méthode des poudres:
• Rayons X monochromatiques
1 monocristal  1 plan (hkl)
présente le « bon » angle de Bragg
 1 faisceau diffracté
(hkl)1
(hkl)2
1 poudre  monocristaux
désorientés aléatoirement  plans
(hkl) présentant le bon angle de
Bragg sont portés par un cône
79
Les méthodes expérimentales de
diffraction
• Méthode des poudres:
• R: rayon de la chambre de Debye –Scherrer

• W= R : demi périmètre de la chambre
1
S1  2 R1
La mesure de S1 permet d’en déduire l’angle de Bragg
80
Les méthodes expérimentales de
diffraction
• Méthode des poudres:
Intensité (c/s)
Détecteur RX

81
Les méthodes expérimentales de
diffraction
• Méthode des poudres:
• En fonction de la structure, certaines raies (plans) sont
présentes ou non  permet de déterminer la symétrie de la
structure.
• L’intensité des raies a également son importance.
• Permet de déterminer le(s) paramètre(s) de réseau de la
(des) structure(s).
• Ça « marche » aussi pour des structures mixées (cristaux
mélangés , voir TD!)
82
CHAPITRE 3
Mécanique ondulatoire :
l’équation de Schrödinger
83
La fin de la mécanique classique?
• La matière:
• Position
• Vitesse (quantité de
mouvement)
• La lumière:
• Composante champ
électrique
• Composante champ
magnétique
• Loi de Newton
• Équations de Maxwell
Six variables permettent de
définir parfaitement l’état de
chaque corpuscule
On ne peut séparer la radiation en
corpuscules maintenus localisés
dans l’espace – processus
d’interférence et diffraction
84
La fin de la mécanique classique?
• Au début du 20° siècle:
• Théorie corpusculaire de la matière:
• « marche » même à l’échelle microscopique
• Complexité du pb à cette échelle  mécanique statistique
• Théorie ondulatoire de la lumière:
• Acceptée depuis Fresnel
• Tous les phénomènes connus de la lumière interprétés
• Équations de Maxwell + ondes radio (Hertz)  synthèse optique et électricité
85
La fin de la mécanique classique?
• De nouvelles expériences / découvertes posent des problèmes
d’interprétation:
• Rayonnement du corps noir
« fracture ultraviolette »
E=h
Corps noir: objet qui absorbe toute
radiation qu’il reçoit
86
La fin de la mécanique classique?
• De nouvelles expériences / découvertes posent des problèmes
d’interprétation:
• Rayonnement du corps noir
M. Planck : Il postule que les échanges d’énergie
entre la matière et les radiations ne se font pas de
manière continue mais par des quantités indivisibles
et discrète: quanta d’énergie. Il montre que la
relation entre Energie et Fréquence est donnée par:
E=h
M. Planck : lie l’énergie et la fréquence  modes
autorisés de plus en plus difficile à peupler.
87
La fin de la mécanique classique?
• De nouvelles expériences / découvertes posent des problèmes
d’interprétation:
• Effet photo électrique
The remarkable aspects of the
photoelectric effect when it was first
observed were:
1. The electrons were emitted immediately - no time
lag!
2. Increasing the intensity of the light increased the
number of photoelectrons, but not their
maximum kinetic energy!
3. Red light will not cause the ejection of electrons,
no matter what the intensity!
4. A weak violet light will eject only a few electrons,
but their maximum kinetic energies are greater
than those for intense light of longer
wavelengths!
A. Einstein : quantification de l’énergie de la lumière (photon)  nh, la
lumière comme grain de lumière  aspect corpusculaire !!
88
La fin de la mécanique classique?
89
La fin de la mécanique classique?
• De nouvelles expériences / découvertes posent des problèmes
d’interprétation:
• Dualité onde – particule: la nature corpusculaire ( effet photoélectrique) de la
lumière est acquise , mais la nature ondulatoire est également admise (fentes
de Young) !
• La lumière est composée d’un quantum, une particule quantique qui ne peut
être décrite que par les lois d’une mécanique nouvelle: la mécanique
ondulatoire est née.
• Suivant l’expérience considérée, la nature ondulatoire de la lumière doit être
retenue (propagation de la lumière), dans d’autres c’est l’aspect corpusculaire
(interaction lumière – matière).
90
La fin de la mécanique classique?
• De nouvelles expériences / découvertes posent des problèmes
d’interprétation:
• Louis de Broglie: introduction des ondes de matières. (1924)
• Hypothèse: la dualité onde – corpuscule est une propriété générale d’objets
microscopiques et la matière, comme la lumière, présente à la fois un aspect
ondulatoire et un aspect corpusculaire.
• Hypothèse confirmée par la diffraction des électrons quelques années plus tard
(1927).
ondes de matières  longueur d’onde de de Broglie :
h
h


mv p
91
La mécanique ondulatoire
• L’équation de Erwin Schrödinger:
92
La mécanique ondulatoire
• L’équation de Schrödinger:
Le mouvement d’une particule est décrit par une fonction d’onde
(r,t) dont le carré représente la probabilité de présence (Born) en
un point r. Les fonctions (r,t) obéissent à l’équation de
Schrödinger:
 (r , t )
2

 (r , t )  V (r , t ) (r , t )  i
2m
t
• (r,t) est la fonction d’onde (peut être une quantité complexe)
• V(r) est l’énergie potentielle (le potentiel par abus de langage)
auquel est soumis la particule
• m est la masse de la particule

L’équation de Schrödinger:

tient compte à la fois de la notion de quanta (Planck) et de la dualité
onde – matière (de Broglie)
93
La mécanique ondulatoire
• Un cas particulier qui nous intéresse dans ce cours concerne les régimes
stationnaires où le potentiel V=V(r) auquel est soumis la particule est
indépendant du temps. La méthode de résolution de cette équation consiste
à chercher des solutions en séparant les variables temps et espace. On
suppose que la fonction d’onde (r,t) peut s’écrire:
 (r , t )   (r )  (t )
• r) est une fonction de la position uniquement
• t) est une fonction du temps uniquement
• En injectant cette forme de solution dans l’équation de Schrödinger, on
obtient (on passe à une dimension):
 2 1  2 ( x)
1  (t )

 V ( x )  i
2
 (t ) t
2m  ( x) x
94
L’équation de Schrödinger:
 2 1  2 ( x)
1  (t )

 V ( x )  i
2
 (t ) t
2m  ( x) x
g(x)
f(t)
• La relation ci dessus où une fonction du temps est égale à une fonction de
l’espace, entraîne que ces deux fonctions sont des constantes. On voit
d’autre part que l’équation aux dimensions de la fonction dépendante du
temps est [f(t)] = [Énergie]. Il vient alors:
1  (t )
i
E
 (t ) t
• Avec E, l’énergie de la particule, qui s’écrit :
 (t )  Ae
E  
E
i t

95
L’équation de Schrödinger:
• L’équation de Schrödinger indépendante du temps s’écrit:
 2  2 ( x)

 V ( x) ( x)  E ( x)
2
2m x
• avec :
 iE
 ( x, t )   ( x) exp(
t)

• Conditions aux limites:

  ( x) dx  1
2

• Continuité de la fonction d’onde
• Continuité de la dérivée première
96
L’équation de Schrödinger:
!
• A ce stade, il est important de distinguer la notion
d’état ondulatoire (onde plane) et combinaison
d’états ondulatoires (paquet d’ondes).
97
Onde plane / paquet d’ondes
• Onde plane:
ikx  it
Ae e
• Paquet d’ondes:
 ( x, t ) 
k 0  k / 2
ikx it
Ae
 e dk
k 0  k / 2
• Nous allons montrer que seul un paquet d’onde peut être une
représentation correcte d’une particule.
98
Onde plane / paquet d’ondes
• Supposons qu’une particule se déplace dans un potentiel
constant V(x) =V0 = cte. La force à laquelle elle est
soumise est donnée par F = - grad V0 = 0, c’est à dire que
son mouvement est uniforme et donc son énergie E
constante. On va maintenant :
• Chercher des solutions simples de l’E.S
• Regarder si ces solutions simples correspondent aux domaines physiques
• Si tel n’est pas le cas, on essaiera une combinaison linéaire des solutions
simples car l’E.S est linéaire en .
99
Onde plane / paquet d’ondes
 2  2 ( x)

 V0 ( x)  E ( x)
2
2m x
 2 ( x) 2m( E  V0 )

 ( x)  0 , E  V0  0
2
2
x

Une solution simple de (x) peut être :  ( x )
2m( E  V0 )
avec k 
2
soit encore
 Ae
E
V0
ikx
 2k 2
E
 V0
2m
La question est “Peut on se représenter une particule par cette
fonction ?”. Il suffit de calculer la probabilité de présence dans
l’espace (ou ici à 1 Dim) de cette particule pour répondre à cette
question.
k
100
Onde plane / paquet d’ondes
• Onde plane:
 ( x, t )  Aeikx e  it
 ( x, t )   ( x, t ) ( x, t )   A  cste
2
*
Proba
présence
|A|²
2
2
Résultat attendu ( x = vp.t )
t0
t1
temps
• cette probabilité de présence est indépendante de x et du temps, ce qui est loin
d’être « raisonnable » d’un point de vue physique
101
Onde plane / paquet d’ondes
• On va donc essayer une C.L d’ondes planes centrée sur k1
c’est à dire un paquet d’ondes depuis k1 –k/2 et k1 + k/2 .
La fonction d’onde s’écrit alors:
 ( x, t ) 
k1  k / 2
 Ae
ikx it
e
dk
E
E1
V0
k1  k / 2
k
• Prenons A=cste (hyp)
• à t=0:
 ( x,0) 
k1 –k/2
k1  k / 2
k / 2
k1  k / 2
 k / 2
ik1 x i ( k  k1 ) x
ik1 x

Ae
e
dk
Ae


1
 ( x,0)  Aeik1x . e i ( k  k1 ) x
ix

k / 2
 k / 2
i ( k  k1 ) x
e
d (k  k1 )

kx )
sin(
2
 Aeik1x k
k
x
2
k1
102
Onde plane / paquet d’ondes
• On calcule à nouveau la probabilité de présence en 1 point
x:
2
sin
z
k  x
2
2
avec z 
 ( x,0)  A k
2
2
z
2
2
4
x1  
 x  2 x1 
k
k
1.0
[sin(z)/z]
2
0.8
 x  k  4
0.6
0.4
En améliorant la loi d’Amplitude on aurait
pu obtenir la relation d’Heisenberg:
0.2
0.0
-3
-2
-1
0
1
z ( en unité de  )
2
3
x  k  2
103
Onde plane / paquet d’ondes
• On se place maintenant à t=t1:
 ( x, t1 ) 
k1  k / 2
k / 2
k1  k / 2
 k / 2
i k t1 ikx
ik1 x i1t1
Ae
e
dk
Ae
e


i ( k  k1 ) x i ( k 1 ) t1
e
e
d (k  k1 )

 d 
DL : k  1   k  (k  k1 )  ...
 dk  k1
 ( x, t1 )  Aeik1x e i1t1
k / 2

e
 d 
i ( k  k1 )  k  t1
 dk  k1
i ( k  k1 ) x
e
d (k  k1 )
 k / 2
k / 2
'
 d 
posons x'  x   k  t1   ( x, t1 )  Aeik1x e i1t1  ei ( k  k1 ) x d (k  k1 )
 dk  k1
 k / 2
ik1 x i1t1
 ( x, t1 )  Ae e

e
k '
x
2
e
ix '

k '
x
2
 Bk
k '
x
k ' k

2
x 
x
t1
avec
k '
2
2
2
x
2
sin
104
Onde plane / paquet d’ondes
• On obtient alors le même résultat qu’à t=0 mais pour x’=0, ie
 d 
x
 t1
dk

 k1
dP
x1 (t=t1)
x0 (t=0)
x
La vitesse de la particule = vg = vitesse de groupe qui est calculée au
centre du paquet d’onde:
 d 
vg  

 dk  k1
105
Vitesse de phase/ vitesse de groupe
• Dans le cas d’une onde plane, la
vitesse considérée est la vitesse
de propagation de plans en
phase ou vitesse de phase:
v 

k
(k 
2


2

 )
v T v
h

Raisonnons sur le paquet
d’ondes:
 2k 2
E
 V0
2m
 2 k1
p1
 d 
 dE 




v





g
dk
dk
m
m
 k1
 k1


hk
 k )
d' après de Broglie ( p  
 2
p
 on obtient bien v 
E
²k ²
ω
E E

m
v 

 
 V0
or E 
p
k
p k
2m

Intervient alors que V0=cste!
1 k V0 1 p V0 aucune
intervention sur le mvt de la
 v 



2 m k 2 m p particule; absurde car v=p/m
106
Mécanique ondulatoire: exemples
d’applications
• Le puits de largeur a et de potentiel infini:
• « représente » l’exemple classique d’une particule liée.
Particule
d’énergie E
 2 ( x) 2m
2mE

(
E

V
(
x
))
(
x
)

0
on
pose
k


x 2
2
2



Région II:  (x)=Acos(kx)+Bsin(kx)
Région I et III: (x)=0
Continuité en x=0 et x=a



A=0
Bsin(ka)=0  k=n/a
proba entre 0 et a:

B= 
2
2
ou  i
a
a
107
Mécanique ondulatoire: exemples
d’applications
• Le puits de largeur a et de potentiel infini:
 2 n 2 2
2  nx 
sin
 ( x) 
 avec n  1, 2, 3, ... E  En 
2ma 2
a  a 
Particule
d’énergie E
avec n  1, 2, 3, ...
108
Mécanique ondulatoire: exemples
d’applications
• La marche de potentiel:
• Région I:
V(x)
 21 ( x) 2m
 2 E1 ( x)  0
2

x
 1 ( x)  A1e  B1e
• Région IIikx(0<E<V0)ikx
Particules
incidentes
2mE
avec k 
2
 2 2 ( x) 2m
 2 (V0  E ) 2 ( x)  0
2

x
x
  2 ( x)  A2 e  B2 e
 x
V0
Région I
2m(V0  E )
avec  
2
x=0
Région II
109
Mécanique ondulatoire: exemples
d’applications
• La marche de potentiel:
• A2 =0 (divergence)
V(x)
• Calcul du coefficient de réflexion:
Flux de particules
réfléchies (cm-2 s-1)
vr B B
vr B1

R
vi A A
vi A1
*
1 1
*
1 1
Particules
incidentes
V0
2
Région I
Région II
• dans la région I, V=0  l’énergie est
l’énergie cinétique
2m  1
 mv
k
mv
²


2
 2
 
!
x=0
vi  vr 

k
m
R 1
x)≠0  la particule (à la différence de la méca classique) peut s’y trouver
110
Mécanique ondulatoire: exemples
d’applications
• La barrière de potentiel (E<V0):
1 ( x)  A1e  B1e
ikx
ikx
2mE
avec k 
2
 2 ( x)  A2 e x  B2e  x avec  
3 ( x)  A3eikx  X
B3e ikx
2m
(V0  E )
2

• Facteur de transmission:
vt A3 A3* A3 A3*
4 E (V0  E )
T


0
*
*
2
2
vi A1 A1
A1 A1 4 E (V0  E )  V0 sh 2m(V0  E ) a / 


C’est l’effet tunnel (T~78% avec 1 électron, E=V0/2=1ev et a=1Å)
111
CHAPITRE 4
Les électrons libres :
le modèle de Sommerfeld
112
Électron libre
• Électron libre  potentiel (énergie) est nul partout  V(x)=0:
 2 ( x) 2m
 2 E ( x)  0
2
x

• Solution de cette équation différentielle peut se mettre sous la forme:
 i 2mE
 ( x)  A exp 
 

 i 2mE
x   B exp 




x

• Soit:
 ( x, t )   ( x) exp(i
E
i

 i

t )  A exp  ( x 2mE  Et )  B exp  ( x 2mE  Et )



 

113
Électron libre
 ( x, t )   ( x) exp(i
E
i

 i

t )  A exp  ( x 2mE  Et )  B exp  ( x 2mE  Et )


 


-x
+x
• Onde propagative  une particule dans le vide peut être représentée par
une onde : c’est normal, on est parti de l’éq. de Schrödinger !
• Supposons (simplicité!) que B=0  onde se propageant uniquement vers
les x>0:
• Vecteur d’onde:
• Longueur d’onde:
• Énergie:
k  2 
h
E   ² k ² 2m
2mE
E(k) c’est une parabole
• Probabilité de présence: cste =AA*  en accord avec Heisenberg (k défini=> x
indéfini)  réalité physique :Paquet d’ondes
114
Potentiel de Sommerfeld
• A. Sommerfeld considère 1 cristal unidirectionnel (1D) de longueur L
• Les électrons sont liés au cristal par les forces d’attraction
Coulombiennes.
• Les électrons sont piégés  ils ne peuvent sortir
cristal
V0
2
1
-L/2
3
0
+L/2
115
Potentiel de Sommerfeld
• Simplification: on se rapproche de la réalité en considérant que la
fonction d’onde associée à l’électron s’annule aux limites (±L/2) 
les électrons ne peuvent s’échapper du cristal
• Démarche:
• On cherche des solutions de l’E.S
• On ne garde que celles qui satisfont les conditions de continuités
• On forme un paquet d’ondes avec les conditions aux limites pour
représenter l’électron.
116
Potentiel de Sommerfeld
• Solution en région 2 (idem électron libre):
 2 ( x) 2m
 2 E ( x)  0
2
x

 ( x)  Aeikx
• Conditions aux limites:
• Réelles: s’annulent en ± L/2
Aeikx  cc
2

Aeikx  cc
2

A cos(kx)
A sin( kx)
2mE
k
2
 2k 2
E
2m
E
V0
cosinus
sinus
• Solutions en cosinus
cos k
L

2
 0  k  (2 p  1)  k 
L
L
2
• Solutions en sinus
sin k
L
2
2
0k  p
 k 
L
L
2
k
Le vecteur d’onde est quantifié
 l’énergie l’est également
117
Potentiel de Sommerfeld
• Conditions cycliques de Born von Karmann:
• L’idée est de considérer qu’à l’échelle de la longueur d’onde
électronique, la dimension du cristal est infinie  on assimile le cristal
unidimentionnel de longueur L à un cercle de périmètre L : on « oublie »
les conditions aux limites?
• La situation en x et en x+L est identique:
eikx  eik ( x  L )
eikL  1  kL  p  2
k  p
2
L
Même résultat: il y a encore
quantification de k donc de E
118
Modèle de Sommerfeld
• L’électron de Sommerfeld:
• Soit l’électron en k0: L est de l’ordre
E
de 108Å (1 cm)  on admet que le
paquet d’onde de largeur k,
constitue un pseudo continuum car:

2 2
7
k 
 8  10 /A
L 10
k0
• Vitesse de l’électron:
 2k 2
 d 
vg  
 or E   
2m
 dk  k0
k0 p0
 vg 

m
m
k0 –k/2
k
k0 +k/2
119
Modèle de Sommerfeld
E
• L’électron de Sommerfeld:
• Accélération de l’électron:
-
dE
+
Velec
k0
V(x) = -qVe
k0 –k/2
k
k0 +k/2
L’état (électron) acquiert de l’énergie
 Entre t et t+dt =>dE=F.vg.dt
1  dE 
 dE 
dE  F  v g  dt  
dk
F



 dt
  dk  k0
 dk  k0
 Si E change, k change  la valeur
centrale de k0 a changé (-).
F 
dk0 dp0

dt
dt
120
Modèle de Sommerfeld
• L’électron de Sommerfeld:
• Accélération de l’électron:
F dv g


m dt
ici F   gradV0  Fext
(=0, V0=cste)
-qEelec
1  dE 
 d 
 qEelec et v g  





dk
dk
dt

 k0

 k0
Si on appelle:
 2k 2
1
1  d 2E 
 2  2 
 V0
car E 
m   dk  k
2m
0
dv g
dv g
dv g dE dv g dE dk



dt
dE dt
dE dk dt
F
1  d 2 E  dk 1  d 2 E 
 2  2  F 
   2 
m
  dk  k dt   dk  k
0
0
F 
dk0
dt
F
1
1  d 2E 

 
 
avec
dt
m
m  2  dk 2  k
0
dv g
121
Modèle de Sommerfeld
F
1
1  d 2E 
 
 2  2 
avec
dt
m
m   dk  k
0
dvg
• Nota: la relation F=m est toujours vraie. La masse calculée ainsi n’est
la masse de la particule que si V=V0=cste, ie que les forces résultantes
sont égales aux forces extérieures. Pour un potentiel V(x) non constant,
la relation est identique à condition de remplacer la masse par une
masse efficace ( ou effective m*) qui traduira une réponse (inertie)
différente de la particule (voir plus loin!).
122
Théorie ondulatoire appliquée aux atomes: l’atome de
Bohr – Sommerfeld
• Atome à un électron (Hydrogène):
• Noyau « lourd », chargé positivement (proton)
• Il est ~ fixe
• Électron « léger », chargé négativement
• Attraction coulombienne entre proton et électron:
• e : charge de l’électron
e2
•   permittivité du vide
4 0 r
V (r )  
Équation de Schrödinger à 3 dimensions
123
L’atome de Bohr - Sommerfeld
• Équation de Schrödinger à 3 dimensions (C. sphériques)
 2 (r ,  ,  ) 
2m0
( E  V (r )) (r ,  ,  )  0
2

• Soit:
1    
1
 2

 r²

2
r ² r  r  r ² sin  r ²
1
 
  2m0
 sin
  2 ( E  V (r ))  0
r ² sin   
  
124
L’atome de Bohr - Sommerfeld
• On applique la technique de séparation des variables:
 (r , ,  )  R(r ).( ). ( )
• On obtient:
Fonction de 
uniquement
 
sin 2    R  1  ² sin   

 r²

 sin 

2
R r  r   
  
 
2m0
 r ² sin ² 2 ( E  V )  0

• On pose
1  2
 m²
2
 

1 im
e
avec m  0,1,2,...
2
125
L’atome de Bohr - Sommerfeld
• Si on poursuit la résolution (hors de propos pour ce cours) pour les 2
autres fonctions, on introduit en plus de m deux autres constantes l
et n: on appelle ces entiers les nombres quantiques:
• n= 1, 2, 3,…
 nb quantique principal
• l= n-1, n-2,…, 0
 nb quantique azimutal
• |m|=l, l-1, …, 0
 nb quantique magnétique
• Résultat majeur:
• On retrouve les énergies quantifiées de l’atome d’hydrogène
Ry
m0 e 4
13,6
  2   2 eV
En  
2 2
2
(4 0  ) 2n
n
n
http://scienceworld.wolfram.com/physics/HydrogenAtom.html
126
L’atome de Bohr - Sommerfeld
• L’énergie est quantifiée et la distance proton – électron est donnée
par le rayon de Bohr a0
0
4 0  2
a0 
 0,529 A pour l' Hydrogène
2
m0 e
• Terminologie courante:
• État s
l=0
• État p
l=1
• État d
l=2
• États électroniques:
• 1s 2s 2p 3s 3p 3d …
127
Le modèle de Sommerfeld
• Bilan:
• Compréhension de la chaleur spécifique
• Loi d’Ohm (on verra plus loin)
• …
• Ne permet pas d’expliquer la différence entre un conducteur
(métal) un semiconducteur et un isolant
 métal
 1052 !!!
 isolant
Il doit y avoir « quelque part » dans le modèle une
approximation grossière !
128
CHAPITRE 6
Les électrons dans une structure périodique :
le modèle de Bloch - Brillouin
129
plan
• Formation des bandes d’énergie
• Introduction de la périodicité du cristal
• Le pseudo vecteur d’onde
• Ondes de Bloch
• Modèle de Kronig-Penney
• Diagramme d’énergie dans l’espace des k
130
Formation des bandes d’énergie
• Modèle qualitatif:
1 atome isolé
d’hydrogène
2 atomes
d’hydrogène
adjacents
131
Formation des bandes d’énergie
• Modèle qualitatif pour le Silicium:
• Structure électronique (14 électrons)
• 1s2 2s2 2p6 3s2 3p2
3p2
3s2
132
Formation des bandes d’énergie
3s2 3p2
Bande
d’énergie
États anti-liants (4N)
N atomes
3p2
3s2
États liants (4N)
Bande
de
conduction
Bande interdite
Bande
de valence
133
Formation des bandes d’énergie
• La largeur de la bande interdite dépend (entre autre) de la distance
inter atomique a0
134
Formation des bandes d’énergie
• Modèle « théorique » faisant appel à la mécanique quantique et
l’éq. de Schrödinger.
• Que doit on rajouter par rapport au modèle de Sommerfeld pour arriver
à comprendre la notion de bandes d’énergie permises et interdites?
Le potentiel cristallin dans lequel se « balade » l’électron
n’est pas constant !
135
Formation des bandes d’énergie
a
Le potentiel cristallin est périodique, de
période a (celle du réseau!).
V ( x)  V ( x  a)
(d’après Neaman)
136
Modèle de Bloch Brillouin
• Conditions cycliques de BVK: (permet d’ignorer ce qui se passe en
bout de l’échantillon de longueur L)
• Nb d’atomes ?
• À 1D:
1
 10 7 cm 1
a
13
N  3  10 21 cm  23
a
N
• À 3 D:
a
L=N x a
V ( x  L)  V ( x)
 ( x  L)   ( x)
Le cristal étant périodique de période a, les propriétés du cristal sont les mêmes
en x et x+a. Il en est de même pour la fonction d’onde, donc pour la probabilité de
présence de l’électron.
137
Modèle de Bloch Brillouin
dP ( x)   ( x)
2
dP ( x  a )   ( x  a )
(1)  (2)
(1)
2
(2)
  ( x) * ( x)   ( x  a ) * ( x  a )
• Les deux fonctions d’onde ne peuvent être séparées que
par un facteur de phase:
 ( x  a )  ei ( x) ,  ( x  2a)  ei 2 ( x), ...
  ( x  Na )  e iN ( x)   ( x)
e
iN
2
2a
2
1    p
p
p
a
N
Na
L
138
Modèle de Bloch Brillouin
• Modification d’écriture: introduction du pseudo vecteur d’onde K.
• Si on pose K  p 2
, alors on peut écrire:
L
 ( x  a)  eiKa ( x)
• K n’est pas un vecteur d’onde; il ne traduit que le déphasage entre 2 ondes.
• K est quantifié. Il prend N valeurs consécutives distante de
mêmes valeurs à 2 près.
a
2
L
et prend les
139
Modèle de Bloch Brillouin
• Onde de Bloch:
 ( x  a)  eiKa ( x)  eiK ( a  x ) e iKx ( x)
posons u ( x)  e iKx ( x)   ( x)  u ( x)eiKx
et
u ( x)  e iKx ( x)  e iK ( x  a ) eiKa ( x)  e iK ( x  a ) ( x  a )
 u ( x)  u ( x  a )
• Les fonctions d’onde stationnaire d’un électron dans un potentiel
périodique sont des fonctions de Bloch de la forme (à 1D):
 ( x )  u ( x )e
iKx
x avec u ( x)  u ( x  a )
140
Modèle de Bloch Brillouin
• Différence onde plane / onde de Bloch:
• Onde plane:
 ( x)  Ae
ikx
k
2

et  
2

x
• Onde de Bloch:
 ( x )  u ( x )e
iKx
2
Kp
et   Kx  arg(u ( x))
L
inconnu
141
Modèle de Bloch Brillouin
• La fonction d’onde de Bloch doit être injectée dans l’équation de
Schrödinger  la résolution impose de connaître u(x) !
2 2
ikx
ikx
ikx

(
u
(
x
)
e
)

V

u
(
x
)
e

E

u
(
x
)
e
0
2m x 2
• Pour résoudre le problème il faut connaître parfaitement la forme du
potentiel cristallin (pas trivial!). Un modèle simplifié devrait nous
permettre d’avoir une idée de la structure de bandes d’énergie
142
Modèle de Kronig et Penney
143
Modèle de Kronig et Penney
• On approxime le potentiel périodique cristallin par un potentiel
périodique en créneaux.
III
• Zone I :
• Zone II:
0<x<a V(x)=0
-b<x<0
V(x)=V0
144
Modèle de Kronig et Penney
• Potentiel périodique  Ondes de Bloch
• Les fonctions ( et leurs dérivées) ne diffèrent que d’un facteur de
phase dans la région II et III :
 III ( x)   II ( x  a)e
ika
• Électrons liés au cristal  E<V0
• Potentiel V(x) fini partout  la fonction d’onde et sa dérivée
première doivent être continue partout.
145
Modèle de Kronig et Penney
• Résolution de l’équation de Schrödinger:
• Région I (dans le puits):
 I ( x)  Ae
i x
 Be
• Région II (dans la barrière):
x
 II ( x)  Ce  De
x
 i x
2mE
avec  
2
2m(V0  E )
avec  
2
• Continuité de la fonction d’onde et sa dérivée première en a et en -b:
attention au déphasage en –b !
146
Modèle de Kronig et Penney
• On obtient un système de 4 équations ( 2 par la continuité de la
fonction d’onde et 2 par la dérivée première) à 4 inconnues (A,B, C
et D)
• Solutions non triviales ( A=B=C=D=0) ssi le déterminant du
système est nul.
• On obtient (laborieux mais faisable!!)
2 2
cos k (a  b) 
sin( a ) sinh(b)  cos( a ) cosh(b)
2
Rappel !! : k est le pseudo vecteur d’onde !!
147
Modèle de Kronig et Penney
• Que fait on de cette équation?
2 2
cos k (a  b) 
sin(  a ) sinh(b)  cos( a ) cosh(b)
2
• Résolution numérique ou graphique de façon à obtenir une relation
entre E, V0 et k le pseudo vecteur d’onde.
• De façon à se rapprocher de la réalité et rendre plus « visible » la
résolution graphique, on fait tendre la barrière de potentiel vers des
Dirac ( b=>0 et V0 =>∞), mais avec bV0=cste finie:
mV0ba
sin a
P
 cos a  cos ka avec P 
a
2
148
Modèle de Kronig et Penney
• Diagramme E(k)
sin a
P
 cos  a  f ( a )  cos (ka)
a
f(a)
 2n
a
149
Diagramme E(k)
2mE
2 2

E
2
2m

a
• ka=0 
1 P
sin a
 cos a
a
On en déduit une valeur de  donc de
l’énergie E1.
•
• ka=  a=
On en déduit une valeur de a donc
de l’énergie E2.
2mE2 

2
a

150
Bandes d’énergie
• Le fait que la particule se déplace dans un potentiel périodique induit
l’apparition de bandes d’énergie séparées les unes des autres par des bandes
d’énergie interdite ( ).


Les électrons se « placent »
sur les bandes d’énergies
permises
Il n’est pas nécessaire de
tracer le diagramme sur tout
le domaine de variation de k:
 Périodicité en 2n
cos ka  cos(ka  2n )  cos(ka  2n )
151
Schéma de zone réduite
(d’après Neaman)
Notion de Gap (bande interdite) direct : ils se produisent alternativement en milieu
de zone en k=0 et en bord de zone en k=±/a .Chacun de ces gaps est dit direct en
k car la discontinuité d’énergie se fait sans changer la valeur de k.
152
Limites d’énergie permise
• cos(ka)=±1  ka=n
• on pose P=a tan(
sin a
P
 cos  a  1
a
cos( a   )   cos 
cos(  a   )   cos 
• a = 2n :
• a = 2n+2
h2n2
E1n 
2ma 2
 2
h2
E2 n 
(n  )
2

2ma
Limite supérieure
Limite inférieure
cos(  a   )   cos 
• a = (2n+1)
h2
1 2
E3n 
(n  )
2
2ma
2
h2
1  2
(
n

 )
• a = (2n+1)+2 E4 n 
2
2ma
2 
153
E(k) au voisinage d’un extremum
• Étude de la fonction:
dE
dk
?
0, 

a
• On n’a pas de relation directe entre E et k!
dE dE d

dk d dk
sin a
P
 cos a  cos ka
a
OK !
sin a
d[P
 cos a ]
d [cos ka] d [cos ka] dk
a


d
dk
d
d
???
mais
dE
On montre (voir TD!) qu’en centre de zone et en bord de zone,
dk
0, 

a
0
154
Masse effective de densité d’états
• Au voisinage d’un extremum: (DL à l’ordre 2)
dE
E k  E ( 0) 
dk
1 d 2E
( k  0) 
2
2
!
dk
k 0
( k  0) 2
k 0
=0
1 d 2E
E k  E( 0 ) 
2 dk 2
2 2
2

k
1
1
d
E
 2
avec
k 2  E( 0 ) 
2

2
m
*
m
*
dk
k 0
Dans un certain intervalle autour des extrema
de bandes, on a le droit de confondre la vraie
courbe par une parabole: c’est
l’approximation de la masse effective
(0)
155
Masse effective de densité d’états
• La masse effective est un paramètre qui relie les résultats de la
mécanique quantique aux équations de la mécanique classique
(Newton).
• Le fait que la particule se déplace dans un potentiel périodique
modifie son inertie  masse effective:
1
1  d 2E 
F
 
 2  2 
avec
dt
m*
m *   dk  k
dvg
0
156
Signe de la masse effective
• Bas de bande:
•
 2k 2
E k  E( 0 ) 
*
m
2
Ek >E(0)=Eminimum 1
1° Règle: la masse efficace en bas de bande est un coefficient positif

Sommet de bande:
 2k 2
Ek  EMax 
2m2*
2° Règle: la masse efficace en sommet
de bande est un coefficient négatif
157
Densité d’états (approx. m*)
• le courant déplacement de charges
• Nécessité de dénombrer le nombre de charge dans les
bandes (conduction ou valence)
• Ce nombre est fonction du nombre d’états énergétiques
ou états quantiques disponibles
• Attention: le principe d’exclusion de Pauli
158
Densité d’états (approx. m*)
• Avant de poursuivre:
• Introduction de la notion de spin de l’électron:
 (r , ,  )  R(r ).( ). ( )
En plus des trois nombres quantiques (principal,
azimutal et magnétique), l’électron possède une
propriété supplémentaire qui se traduit par un
moment angulaire intrinsèque quantifié (± ½ )
auquel on attribue un quatrième nb quantique de
spin, s , indépendant des 3 autres.
 Principe d’exclusion de Pauli (dans les solides):
on ne peut trouver deux électrons dans le solide
ayant le même état d’énergie ( mêmes nombres
quantiques).

159
Densité d’états (approx. m*)
• Cristal unidimensionnel de longueur L:
Les états permis pour les électrons sont
2
discrets séparés de k 
L
 Autour du minimum ici, on approxime
E(k) par:
 2k 2
E  Emin 
2m *
 La densité d’états est le nombre de
modes (états, places) par unité d’énergie
et de longueur (L=1!):

1
dN
2m *
g1D ( E ) 

( E  Emin ) 2

dE
J -1m 1
électrons
électrons
160
Densité d’états (approx. m*)
• Cristal 2D de longueur Lx et Ly:
Les états permis pour les électrons sont
toujours quantifiés.
 L’énergie en bord de bande est toujours
approximée par:

Ek  Emin 

2
« Surface » d’un (2 )
état élémentaire Lx Ly
2

 k
(k x2  k y2 )  Emin 
2m *
2m *
2
2
La densité est alors donnée par:
dN
m * -1
m * -1  2
g2D (E) 
 Lx Ly 2 J ou 2 J m
dE


Indépendant de
l’énergie !
161
Densité d’états (approx. m*)
• Cristal 3D de longueur Lx Ly et Lz:
Les états permis pour les électrons sont
toujours quantifiés.
 L’énergie en bord de bande est toujours
approximée par:
2
2
2

 k
(k x2  k y2  k z2 )  Emin 
Ek  Emin 
2m *
2m *
 La densité est alors donnée ( LxLyLz=1 ie
par unité de volume):
3/ 2
2
dN
m*


 4π  2  (E  Emin )1 / 2 J -1m -3
g 3 D(E) 
dE
 h 
(Emax  E)1 / 2
=

kz
(2 ) 3
Lx Ly Lz
ky
kx
bas de bande
sommet de bande
162
Densité d’états 3D
E
Emax
??
Emin

a

a
Les masses effectives ne sont pas les mêmes et
l’approximation de la m* n’est valable qu’en bord de bande !
g(E)
163
Structure de bande réelle!
Si
Eg
(0 0 0.85)
(111)
(000)
(001)
164
Structure de bande réelle!
Ge
Eg
GaAs
165
synthèse
• Cristal  potentiel périodique
• Apparition de structure en bande d’énergie
• Notion de bande interdite
Cela suffit il à expliquer la différence entre métal et
isolant (ou semiconducteur) ?
Suite au prochain chapitre
166
CHAPITRE 7
Courant dans les solides :
cas particulier des semiconducteurs
167
Courant de conduction dans le « cristal »
de Bloch - Brillouin
• Vecteur densité de courant:
• C’est quoi la densité de courant: c’est un déplacement de charges
électriques par unité de temps et de surface
j  q  ni vi  q  vi
• À 1 dim:
i
i
avec ni le nombre (densité volumique) d' électrons de vitesse vi
j  q  vi
i
168
Courant de conduction dans le « cristal »
de Bloch - Brillouin
• Contribution des diverses bandes au courant électrique
• Bande pleine

E



E0
Sur chacune des valeurs permises de k0 on
peut former un paquet d’ondes
La bande est dite pleine si toute les valeurs
de k0 sont utilisées (niveau d’énergie
occupé).
E(k) est paire en k  E(-k0)= E(+k0)  la
probabilité de trouver un électron en k0 ou en
–k0 est identique (démontré chapitre suivant)
Vitesse de la particule vg  1  dE  impaire en
  dk  k
k vg(k)=-vg(-k)
0
-k0
k0
j  q  vi  0 (la bande est pleine)
i
169
Courant de conduction dans le « cristal »
de Bloch - Brillouin
• Règle 1: la contribution au courant électrique d’une bande pleine
est toujours égale à zéro.
• Règle 2: la contribution au courant électrique d’une bande vide est
égale à zéro.
• Corollaire: le courant électrique est dû aux bandes incomplètement
remplies
170
Contribution à J d’une bande
incomplètement remplie
• Cristal parfait,
elec = 0 et T uniforme.
• On est à l’équilibre thermodynamique
• Les probabilités d’occupation des états d’énergie k et –k sont identiques
j  q  vi  0
[v g (k)  vg (  k)]
i
• Résultat non surprenant: pas de champ électrique  pas de courant de
conduction!
k
171
Contribution à J d’une bande
incomplètement remplie
• Cristal parfait,
elec ≠ 0 et T uniforme.
• À t=0, on applique
elec.
• Un paquet d’onde qui « avait » auparavant k0 subit une accélération
dk0

 q elec
dt
• À t>0,

k (t )  k0  q t

Tous les électrons subissent la même variation k
'
0
•
accélération

 k 0   q   t k 0

k
172
Contribution à J d’une bande
incomplètement remplie
• Cristal parfait,
elec ≠ 0 et T uniforme.
k
t=0
k
t=t1>0
k0
Toutes les vitesses ne sont
plus compensées !
k0 
q
t1

J (t1 )  0  0
173
Contribution à J d’une bande
incomplètement remplie
• Cristal parfait,
elec ≠ 0 et T uniforme.
k
k
t2>t1
t3>t2
J (t 2 )  0  0
J (t3 )  0  0 !!!
Bizarre ! Champ électrique constant et courant qui change
alternativement de signe en fonction du temps !!
174
Contribution à J d’une bande
incomplètement remplie
• Dans le cristal de Bloch-Brillouin, on prévoit que l’application d’un

champ électrique continu elec doit engendrer un courant électrique
alternatif.
• La période de ce courant serait:

dk
  q
dt

2 1
  q
a T
T
• Ce résultat n’est pas en cohérence avec les résultats
expérimentaux !!!!
• Le cristal n’est pas aussi parfait que cela!!
 2
q
a
175
Le cristal réel de Bloch-Brillouin
• Cristal réel, elec ≠ 0 et T uniforme.
• Le cristal présente un certain nombre d’imperfections
 grandes catégories:
• Impuretés chimiques
• Défauts ponctuels intrinsèques:
• Lacunes
• Interstitiels
• Anti-sites
• Défauts étendus
• Macles
• Dislocations
• Clusters (groupe d’impuretés)
• Vibration de la chaîne atomique autour de l’équilibre (phonons)
176
Le cristal réel de Bloch-Brillouin
• Cristal réel: conséquence sur les porteurs de charge:
• Le potentiel de B-B n’est plus exactement périodique:
• B-B
• Réel
v1(x)=v1(x+a)
v(x)=v1(x) + v(x)
Aléatoire!
• L’électron dans ce potentiel  soumis à une force (-grad de v(x))
dk0

  q  grad (V ( x))   q  Force aléatoire
dt
• Cette force imprime des impulsions aléatoires ( = à des forces lors des chocs avec les
« impuretés »)

• En moyenne, tout les ( temps moyen entre deux chocs), l’électron change de
direction et surtout perd son énergie cinétique  il acquiert donc en moyenne un
« excédent » de vecteur d’onde:

k  k0  q 

'
0
t
177
Le cristal réel de Bloch-Brillouin
• Cristal réel,

elec
≠ 0 et T uniforme.
k
t=0,
elec=0
k
k0

k  k0  q 

'
0
t≠0 ,
t
elec≠0
k’0
178
Le cristal réel de Bloch-Brillouin
• Bande presque vide:
• Énergie et vitesse de groupe:
•  :
• ≠  :
k
 2 k02
E k 0  Ec 
2m1*
j  q  v gi  -q
i

m1*

j  q  v gi  -q *
m1
i
j  qµ n n elec
j   n elec
avec µ n  q

m
*
1
0
Mobilité (cm²/Vs)

1  dE 


k


* 0
  dk  k0 m1
vg 
k
i
k0'  k0  q 

0
i

i k i  -q m*
1
'
  elec
i ki  q m*  n
1
2
C’est la loi d’Ohm
179
Le cristal réel de Bloch-Brillouin
• Bande presque pleine:
• Astuce: pour calculer la contribution au courant d’une bande presque pleine, on
« ajoute » les électrons manquant puis on les « enlève », ce qui va nous
permettre d’introduire la notion de trous.
E
• N : nb de places (~nb d’atomes)
• N-p: nb d’électrons dans la bande
• p: nb de places vides ( de « trous »)
k
Np
N
p
i 1
i 1
i 1
j  q  vgi   q  vgi  (q  vgi )

p
0
bande pleine
 q  vgi
i 1
Charge
positive!
E
180
Le cristal réel de Bloch-Brillouin
k
• Bande presque pleine:
• Règle: la contribution au courant d’une bande presque pleine est obtenue en
supposant que les états vides sont effectivement occupés par des porteurs de
charges positives +q: des trous. Il suffit de sommer sur le nombre total de trous
• Trous: paquet d’ondes de charges positives
181
E
Notion de trous
(b)
(a)
• Expression de J:


Nota: pour « arracher » 1 e- en (a) il
faut plus d’énergie qu’en (b)  un
trou en (a) est plus énergétique qu’en
Etrous
(b).
2 2
k 0

k
trous
+
E(e ) = -E(h )  Etrous   EV 
 vg 
2m *

 
elec=0  J  q   k0   0
m*


 p 
 elec


J
q
k
q
elec≠0 
 *  0

 m2 i 1 
J  q  p  µ p   elec
m*
2
 q   elec
p
  *
 m2 
avec µ p 
q
m2*
k
182
Notion de trous: conduction
183
Conduction par électrons et trous
• Cas fréquent dans les semiconducteurs:
• En pratique, dans les semiconducteurs, il existe une bande presque
vide que l’on appelle bande de conduction (BC) au dessus d’une bande
presque pleine que l’on appelle bande de valence (BV). Elles sont
séparées par une bande interdite ( « bandgap ou gap »).
J  qnµn  qpµ p  
BC
BV
184
Semiconducteur ou isolant ?
• Comment les différentie on?
Isolant , semiconducteur
T= 0 K
semiconducteur
T≠0K
185
Métal ?
• T=0K ou T≠ 0K
Il existe déjà à 0K et a fortiori à T>0K une bande partiellement
remplie d’électrons, donc qui conduit : c’est un métal.
186
Résumé:
• Métal:
• Très faible résistivité
• Conduit mieux le courant à basse température
• Isolant:
• Ne conduit pas le courant même à haute température
• « gap » supérieur à 3,5 eV (valeur généralement admise)
• Semiconducteur:
• « gap » inférieur à 3 eV ( la tendance est à l’augmentation de ce
critère!)
• Sa conductivité est une fonction non monotone de la température
187
CHAPITRE 8
Mécanique statistique : la fonction de
Fermi – Dirac et la fonction de
Maxwell – Boltzmann
188
Les différentes statistiques
• Statistique de Maxwell – Boltzmann
• Particule discernable
• Molécules de gaz dans une enceinte basse pression
• Statistique de Bose – Einstein
• Particule indiscernable
• Plusieurs particules sur un même état quantique
• Photons, Phonons
• Statistique de Fermi – Dirac
• Particule indiscernable
• 1 seule particule sur un même état quantique (principe
d’exclusion de Pauli)
• Électrons dans les solides
Les particules n’interagissent pas entre elles
189
Les différentes statistiques
États quantiques
• Méthodes de résolution:
n particules
ni
n2
n1
• Conditions :
• Nb de particules est constant
• Énergie interne constante
• Discernables ou indiscernables?
• 1 ou plusieurs par état quantique ?
discernables
: indiscernables
:
n
i
i
n
n E
i
i
i
E
190
Maxwell – Boltzmann
• Discernables
• Chaque état peut contenir grand nombre de particules
• L’état d’équilibre est celui le plus probable


Soit un état d’équilibre avec n1 particules dans c1, n2 dans c2,
…. , ni dans ci.
Quelle est la probabilité d’obtenir cette configuration?
P


n!
n!

n1!n2 !...ni !...  ni !
i
Cette configuration est celle d’équilibre si P ou ln(P) est
maximum d(lnP)=0
On obtient (voir par ex. Mathieu)
ni
f ( Ei ) 
 e ( Ei  EF ) / kT
gi
ni: nb de particules sur Ei
gi : nb de places (états) sur Ei
191
Différence discernable ou non
(1 « bille » par case  Pauli)
Indiscernable
Discernable
gi !
( g i  N i )!
gi !
N i !( g i  N i )!
Ni: nb de particules sur Ei
gi : nb de places (états) sur Ei
192
indiscernables
« Pauli »
« Bose »
( N i  g i  1)!
( g i  1)! N i !
gi !
N i !( g i  N i )!
Ni: nb de particules sur Ei
gi : nb de places (états) sur Ei
193
Statistique de Fermi – Dirac
• Même démarche que précédemment
gi!
Ei
( g i  Nétat
• Niveau d’énergie Ei, gi fois dégénéré (gi « boites »N
ou
i !cellules
i )!
quantiques de même énergie Ei) et Ni particules à distribuer.
• Si maintenant , on a plusieurs (n) niveau d’énergie, le résultat est le
produit de toutes les distributions
Nb de niveau d’énergie
n
P
i 1
gi!
N i !( g i  N i )!
194
Statistique de Fermi – Dirac
• Même démarche que précédemment
E4
gi!
N i !( g i  N i )!
E3
E2
E1
Nb de niveau d’énergie
n
gi!
P
i 1 N i !( g i  N i )!
Niveau de Fermi
n( E )
f (E) 

g (E)
Densité d’électrons
sur le niveau E
1
 E  EF 
1  exp

 kT 
Densité de « places »
sur le niveau E
195
Fonction de Fermi – Dirac
À T= 0K:
E  EF  f ( E )  1
E  EF  f ( E )  0
BC
EF
BV
f (E) 
1
 E  EF 
1  exp

 kT 
196
Fonction de Fermi – Dirac
T = 0K
EF
T> 0K
197
Influence de la température
E1
E2
Ex: T=300K, si E – EF = 3kT, f(E) ?
E3
E4
E5
198
Passage FD  MB ?
• L’utilisation de FD pour
les calculs n’est pas tjs
aisée
• Dans quelle mesure MB
est suffisant ?
• Condition:
Si E - EF > 3 kT, erreur est de 5%

Règle: on confondra la statistique de Fermi – Dirac et
la statistique de Maxwell – Boltzmann pour tous les
niveaux d’énergie tels que | E - EF |> 3kT. À T ambiante,
kT=25 meV  | E - EF |> 75 meV.
199
Passage FD  MB
E
EF -E
EF +E
Pour E < EF, il est facile de montrer que la probabilité de non occupation
1-f(E) est la même à EF - E que la probabilité d’occupation f(E) à EF +
E. Le point f(E) = 0,5 est le centre de symétrie pour la courbe.
200
E
EF
E
g(E)
E
f(E)
E
E
dn(E)/dE
E
EF
g(E)
f(E)
dn(E)/dE
201
CHAPITRE 10
Le semiconducteur à l’équilibre
thermodynamique
202
Le semiconducteur à l’équilibre
• C’est quoi l’équilibre?
• Pas de forces extérieures:
• Pas de tension appliquée
• Pas de champ magnétique
• Pas de gradient de température
203
Densité de porteurs de charges dans les
SC.
• Question: combien y a t il d’électrons dans la BC et de trous dans
la BV dans un semiconducteur à une température T?
• Réponse : (voir chap 9!)
• À une énergie E:
n( E )  g c ( E ) f ( E )
p ( E )  g v ( E )(1  f ( E ))
• Dans la bande de largeur E
n0  
Ec max
Ec min
p0  
Ev max
Ev min
g c ( E ) f ( E )dE
g v ( E )(1  f ( E ))dE
204
Densité de porteurs de charges dans les
SC.
205
Calcul de n0 et p0
• hypothèse: EF est à plus de 3kT sous la BC et à plus de 3
kT au dessus de BV  on peut utiliser l’approximation de
MB.
• Expression de n0:
n0  
Ec max
Ec min
4 (2m )
g c ( E ) f ( E )dE  
Ec min
h3

* 3/ 2
n
E  EC  e
 2m kT 
  ( Ec  E F ) 

avec N C  2
n0  N C exp 

kT


 h

*
n
2
3/ 2
(
E  EF
kT
)
dE
206
Calcul de n0 et p0
 2m kT 
  ( Ec  E F ) 

avec N C  2
n0  N C exp 

kT


 h

*
n
2
3/ 2
 2m kT 
  ( E F  Ev ) 

avec NV  2
p0  NV exp 


 h
kT




*
p
2
3/ 2
Nc et Nv sont les densité d’états effectives (~ le nombre de places)
dans la bande de conduction et la bande de valence
respectivement. L’ordre de grandeur est Nc ~ Nv ~ 2.5 x 1019 cm-3.
207
La loi d’action de masse
• Règle pratique: le produit du nombre d’électrons dans la BC
par le nombre de trous dans la BV est donné par:
Eg
Ec  E v
n  p  N c N v exp(
)  N c N v exp( )  ni2
kT
kT
• Remarque importante: les expressions que nous venons
d’établir pour n et p l’ont été en supposant que EF distant
d’au moins 3kT d’une ou l’autre bande. Ce calcul ne suppose
pas que n = p  la règle n x p = ni2 restera vraie lorsque l’on
dopera le SC, à condition de respecter la condition sur EF.
C’est le cas usuel. Dans le cas contraire (exception) on dit
que le SC est dégénéré.
208
Niveau de Fermi dans un semiconducteur
intrinsèque
• Semiconducteur intrinsèque : semiconducteur sans impuretés , ie que
les niveaux d’énergie permis sont seulement ceux des bandes.
• Les électrons n dans la BC proviennent de la BV; ils laissent des trous
p dans la BV
 n  p  ni
T
209
Conduction bipolaire
• La présence d’électrons et
trous entraîne une
conduction bipolaire dans
les SC

On peut privilégier une
conduction par le dopage
du semi-conducteur, ie
l’introduction d’impuretés
E externe
210
Électrons dans une structure Diamant (ex: Si)
211
Électrons dans une structure Diamant (ex: Si)
212
Niveau de Fermi dans un semiconducteur
intrinsèque
• Postulat: n = p
  ( EFi  Ev ) 
  ( Ec  EFi ) 
n0  N C exp 

  p0  NV exp 
kT
kT




 2 EFi  N C
 ( Ec  Ev ) 

exp 
exp

 kT 
kT



 NV
E Fi
Ec  Ev 1
N V Ec  E v 3
mv* Ec  Ev

 kT ln

 kT ln * 
 E Fi
2
2
NC
2
4
mc
2
~10 meV
213
Niveau de Fermi dans un semiconducteur
intrinsèque
• Quelques valeurs numériques
mc*
m0
mv*
m0
NC
(1019 cm-3)
NV
(1019 cm-3)
Eg
(eV)
ni
(cm-3)
Si
1,06
0,59
2,7
1,1
1,12 1,5x1010
Ge
0,55
0,36
1
0,5
0,66 2,4x1013
0,04
1,3
1,43
0,223
4,6
3,39
1,69
2,49
2,86
0,05
2
1,27
GaAs
GaN
0,067 0,64
0,2
1,4
4H-SiC
InP
0,073 0,87
2x106
214
Variation ni(T)
ni  N c N v exp(
Eg
2kT
)
• Dans un SC intrinsèque:
• ni n’est pas constant
• ni est d’autant plus grand
que:
• Eg est petit
• Température élevée
ni  N c N v exp(
Eg
2kT
)
215
Dopage du semiconducteur
• Va permettre de changer et surtout contrôler les propriétés
électriques du SC
• Introduction d’impuretés (dopants) qui vont modifier la relation n =
p:
• Impuretés de type donneur 
• Impuretés de type accepteur 
n > p  type n
p > n  type p
La position des espèces chimiques dopantes dans le tableau
de Mendeleïev et la position des atomes constituants le réseau
cristallin hôte définissent le rôle des impuretés
216
Semi-conducteur intrinsèque
• Variation exponentielle
de la densité de
porteurs
• Si ni>1015cm-3, le
matériau inadapté pour
des dispositifs
électroniques.
SC à grands « gap »
Type SiC, GaN, Diamant

Remarque:
 Le produit np est
indépendant du
niveau de Fermi
Expression valable même
si semi-conducteur dopé
Introduction du dopage
217
Dopage du semiconducteur
• Considérons le cas du SC Silicium ( col IV)
• Introduisons des atomes dopants de la colonne V:
• Par ex N, As ou P  5 électrons périphériques ie un de « trop » / au Si.
e-
P
P
neutre
e-
+
Ionisé +
Cela « ressemble » à
l’atome d’hydrogène
218
Dopage du semiconducteur
• Atome colonne V : analogie avec l’atome d’hydrogène
• Le « cinquième » électron n’appartient pas à la BV !
• Le « cinquième » électron n’appartient pas à la BC !
• Où est il énergétiquement ?
• Modèle de l’hydrogène « modifié »:
• L’électron ne se déplace pas dans le vide
• L’électron est affecté d’une masse « effective »
219
Niveau d’énergie dus aux impuretés.
• Force
F
1
4 0 vide
q2
r2
On doit remplacer:
• vide par sc
• Potentiel
V 
• Énergie
• Rydberg
En  
R
1
4 0 vide
q2
r
mq 4
2n 2 (4 0 vide  ) 2
mq 4
2(4 0 vide  )
2
 13,6eV
• m par m*.
1 m*
R  Ry 2
 sc m0
*
y
220
Niveau « donneur » dans la Bande
Interdite.
• Application pour le Silicium (
Si=12)
• Dans notre cas E est l’énergie qu’il faut apporter à l’électron pour
l’amener dans la bande de conduction
• E = EC – ED=Ry*/n²=Ry*
1 0,5  m0
R  13,6
 40meV
2
(12)
m0
*
y
• Expérimentalement on trouve:
• P
=>
44 meV
• As
=>
49 meV
• Sb
=>
39 meV
• Bi
=>
67 meV
221
Niveau « donneur » dans la Bande
Interdite.
• Résumé:
• Tant que le « 5ème » électron lié à P (basse température) 
état d’énergie ED et son « orbite » est localisée près de
l’atome
• Lorsque on « l’amène » sur EC  changement de son état
quantique ( lié => état quantique décrit par l’onde de Bloch)
 il peut se propager dans tout le cristal  il participe à la
conduction

SC composés (« compounds SC)
 GaAs ou InP (III-V)



VI à la place de As => Se, Te
IV à la place de Ga => Si, C, Sn
m*=0,05 m0  EC – ED = 5 meV !!
222
Niveau « donneur » dans la Bande
Interdite.
• On remarque que l’on a créé des électrons dans la bande
de conduction sans la présence de trous dans la bande de
valence  n >> p.
• La BV est pleine  ne conduit pas!
223
Niveau « accepteur » dans la Bande
Interdite.
• Considérons le cas du SC Silicium ( col IV)
• Introduisons des atomes dopants de la colonne III:
• Par ex B, Al ou Ga  3 électrons périphériques ie un de « moins » / au
Si.
B
+e
neutre
e+
-
P
Ionisé -
Cela « ressemble » à
l’atome d’hydrogène
224
Niveau « accepteur » dans la Bande
Interdite.
État quantique libre : le niveau de cet état quantique est très proche de la
bande de valence. Même calcul que pour le « donneur »
225
Calcul de la position du niveau énergétique
Ed ou Ea
• Le problème « ressemble »
au modèle de l’atome
d’hydrogène:
m0e 4
13.6
En 
 2 eV
2 2
n
2(4 0 ) 
• Introduction du Rydberg
« modifié » :
 m*   0 
Ed  EC  13.6  
 m0   
2
Exemple de dopants et leurs énergies
226
Niveau « accepteur » dans la Bande
Interdite.
p >> n

13,6 mv*
Ea  EV  2
 sc m0
Expérimentalement on trouve:
 B
=>
45 meV
 Al
=>
57 meV
 Ga =>
65 meV
 In
=>
160 meV
227
Statistique des donneurs et des
accepteurs
• États donneurs:
• Prob. d’occupation un peu différente:
f D (E) 
• Le facteur ½ ?
1
1
E  EF
1  exp(
)
2
kT
• P : 3s²3p3  2 électrons s et 2 électrons p participent à la
liaison => 1électron p sur le niveau Ed (le 5°!). Cet électron
possède 1 spin particulier (up ou down).
• Une fois cet électron « parti », la case ( le niveau) vide peut
capturer un spin up ou down  le mécanisme de capture est
augmenté / à l’émission
f D (E)  f (E)
228
Statistique des donneurs et des
accepteurs
• États donneurs:
• Densité d’électrons sur ED ?
•
ND
nD  N D  f D ( E D ) 
ED  EF
1
1  exp(
)
Soit encore:
kT
2
nd  N d  N d
229
Statistique des donneurs et des
accepteurs
• États accepteurs:
• On ne peut capturer que l’électron qui a le bon « spin » mais on
peut libérer n’importe lequel 
f A (E) 
f (E) 
1
E  EF
1  2 exp(
)
kT
1
E  EF
1  g exp(
)
kT
g : facteur de dégénérescence
1:
intrinsèque
2 ou 4: accepteur
½:
donneur
230
Statistique des donneurs et des
accepteurs
• États accepteurs:
• Densité d’électrons sur EA ?
•
NA
nA  N A  f A ( E A ) 
E A  EF
1  4 exp(
)
Soit encore:
kT
NA
p A  N A  nA  N A  N 
1
EF  E A
1  exp(
)
4
kT

A
231
Ionisation complète et gel des porteurs
• Équation de neutralité:
• Charges positives = charges négatives


 

e p  ND  e n  N A

• Simplifions le problème: NA = 0 ( type n)
n p  N

D
ND
  ( Ec  E F ) 
  ( E F  Ev ) 
N C exp 

- NV exp 


kT
kT



 1  2 exp( ED  EF )
kT
232
Niveau de Fermi EF(T)
• « découpage » du pb en domaine de température:
• TBT: on néglige la densité de trous , oui mais jusqu’à quelle température ?
ni  N D
 kT 
Eg
2 ln[ NcNv 
1/ 2
/ ND ]
Ordre de grandeur : kT autour de Eg/10
ND
  ( Ec  E F ) 
0
N C exp 


E
E
kT
F

 1  2 exp( D
)
kT
233
Niveau de Fermi EF(T)
1/ 2
 1 
Nd ( Ec  Ed ) / kT   

E F  E D  kT ln   1  1  8
e
 
Nc

  
 4 
• kT<<Ec-Ed
EF 
Ec  Ed 1
N
 kT ln d
2
2NC
• E2c-Ed <kT<Eg
( DL de la racine)
, E F (T  0) 
EF
Ec  Ed
E Fmax  N C  N D /2
2
NC
 E c  kT ln
ND
234
EF fonction de la Température
EC
ED
Conduction Band
Fermi Level
EC  EV
2
Temperature
235
Et la densité de porteurs ?
• BT
-
-
- -
- -
-
-
Freeze out (« gel des porteurs »)
• T « intermédiaire »
-
-
- -
- -
-
-
-
Épuisement des donneurs
• « Haute » Température
intrinsèque
+++++++++++++++++
236
Variation de la conduction d’un semi-conducteur dopé en fonction
de la température
Tous les « donneurs
sont ionisés
3 régimes:
•Extrinsèque
•Épuisement des donneurs
•Intrinsèque
237
Distribution à l’équilibre des porteurs
 ( Ec  E f ) 
 ( Ec  E fi )  ( E f  E fi ) 
n0  N c exp 
  N c exp 

kT
kT




 ( Ec  E fi ) 
 ( E fi  E f ) 
n 0  N c exp 
 exp 

kT
kT




 ( E fi  E f ) 
n0  ni exp 

kT


 ( E f  E fi ) 
p0  ni exp 

kT


238
Niveau de Fermi dans un SC extrinsèque
239
Niveau de Fermi dans un SC extrinsèque
240
Dopage d’un SC: type n
241
Dopage d’un SC: type p
242
Concentration de h+ et d’e- à l’équilibre
243
Concentration de h+ et d’e- à l’équilibre
• Neutralité électrique:
n0  N A  p0  N D
• Ionisation totale:
n0  N A  p0  N D avec p0 
n
2
i
• Soit:
n 0  ( N D  N A )n0  n  0
2
2
i
• On obtient:
(ND  N A )
( N D  N A )2
n0 

 ni2
2
4
n0
244
Différence Ef - Efi
• Au lieu d’exprimer Ef en fonction de Nc et Nv, on peut
écrire:
 Nd 

E f  Ei  kT ln
 ni 
 Na 
Ei  E f  kT ln 
 ni 
type n
type p
eFi
245
Différence Ef - Efi
• On peut alors exprimer les densité d’électrons et de trous
à l’équilibre par:
n  ni e
( E F  E Fi ) / kT
p  ni e
avec:
 ni e
 ( E F  E Fi ) / kT
e Fi / kT
 ni e
 e Fi / kT
eFi  EF  EFi  0
type n
eFi  EF  EFi  0
type p
Équations de
Boltzmann
246
CHAPITRE 11
Le semiconducteur hors équilibre
247
Plan:
• Recombinaison et génération
• Courants dans les SC
• Équation de densité de courants
• Équations de continuité
• Longueur de Debye
• Équation de Poisson
• Temps de relaxation diélectrique
248
Phénomènes de Génération - Recombinaison
• Loi d’action de masse:
2
• À l’équilibre thermodynamique:
i
• Hors équilibre: apparition de phénomènes de Génération Recombinaison en excès
np  n
• création ou recombinaison de porteurs :
Unité [g]=[r]=s-1cm-3
• Taux net de recombinaison:
g ' r '  g  g th  r '  g  r
externe
avec
interne
r  r ' g th
249
Phénomènes de Génération - Recombinaison
À l’équilibre le taux de génération g
est égal au taux de recombinaison r
Si T=0K, g = r = 0.
250
Recombinaison: 2 « chemins » possibles
(1)
• Recombinaison directe électron-trou
• Processus fonction du nombre d’électron et de trous
rp 
p
rn 
p
n
n
• Exemple: type n +excitation lumineuse en faible injection (
ie n  p  n0
)
p  p0  p
n  n0  n  n0
• En régime de faible injection le nombre de porteurs
majoritaires n’est pas affecté.
251
Recombinaison: 2 « chemins » possibles
(2)
• Recombinaison par centres de recombinaison:
• En général ces centres se trouvent en milieu de bande interdite
• Le taux de recombinaison s’écrit:
np  ni2
r
 m 2ni  p  n
Équation de Shockley‐Read
1
où
 m est caractéristique du centre recombinant
• Si les 2 processus s’appliquent:
1


1
m

1
 n( p)
252
Recombinaison: 2 « chemins » possibles
(3)
• Si semi-conducteur peu dopé: on applique SR
• Si semi-conducteur dopé n:
rp 
p

Avec
1


1
m

1
p
• Si région « vide » de porteurs (ex: ZCE)
2
np

n
x i
r
 m 2ni  x
p x
n
1
ni
r
0
2 m
Taux net de génération. Création de porteurs
253
Type P
Excitation lumineuse
254
Recombinaison radiative et non
radiative
255
Recombinaisons de surface
256
Courants dans les SC
• Courant de conduction: présence de champ électrique
• Si E=0, vitesse des électrons=vitesse thermique (107 cm/s) mais
=> vitesse moyenne nulle car chocs (« scattering ») avec le réseau
+ impuretés.
• Libre parcours moyen (« mean free path »):
o
l  vth.  100 A
  0.1 ps
257
Vitesse de dérive (« drift velocity »)
258
Courants dans les SC
• Courant de conduction: présence de champ électrique
• Entre deux chocs, les électrons sont accélérés uniformément
suivant
• Accélération:
  qE / m*
• Vitesse:
• Mobilité:
v  qE / m*   µE
µ  q / m
*
Si : 1500 cm2/Vs
GaAs: 8500 cm2/Vs
In0.53Ga0.47As:11000 cm2/Vs
259
Courants dans les SC
• La densité de courant de conduction s’écrit:
• Pour les électrons:
• Pour les trous:
• Pour l’ensemble:
J c n  nev n  neµn E
J c p   pev p  peµp E
J c total  J n  J p  (neµn  peµp ) E
260
Courants dans les SC
• Importance de la mobilité sur les composants
• Mobilité la plus élevée possible
• => vitesse plus grande pour un même E
• Facteurs limitants:
• Dopage
• Défauts (cristallins, structuraux, …)
• Température
• Champ électrique de saturation + géométrie
261
Variation mobilité en fonction de la température
262
Variation de la mobilité
en fonction de la
concentration en dopants
263
Courants dans les SC
• Vitesse de saturation des électrons
• La relation linéaire vitesse – champ valide uniquement
pour:
• Champ électrique pas trop élevé
• Porteurs en équilibre thermique avec le réseau
• Sinon:
• Au-delà d’un champ critique, saturation de la vitesse
• Apparition d’un autre phénomène: « velocity overshoot »
pour des semiconducteurs multivallée.
• Régime balistique:pour des dispositifs de dimensions
inférieures au libre parcours moyen (0.1µm)
264
Vitesse de saturation
• Différents
comportement en
fonction du SC
Survitesse
(« overshoot »)
265
Survitesse dans le cas de SC
multi vallées
266
Courants dans les SC
• Courant de diffusion:
• Origine: gradient de concentration
• Diffusion depuis la région de forte concentration vers la région de
moindre [].
• 1° loi de Fick:
dn
n   Dn
dx
dp
x
pD   D p
dx
x
D
nb d’e‐ qui diffusent par unité de temps et de volume (flux)
nb de h+ qui diffusent par unité de temps et de volume (flux)
267
Courants dans les SC
• Courant de diffusion: somme des deux contributions
(électrons et trous):
•
[
dn
dp
J diff  e(n  p )  eDn
 eDp
dx
dx
Constante ou coefficient de diffusion
x
D
]=cm2/s.
Dn , p
x
D
268
Courants dans les SC
• Courant total: somme des deux contributions (si elles existent)
de conduction et diffusion:
J T  J cond  J diff  J n  J p
dp
dn
J T  (neµn  peµp ) E  e( Dn
 Dp )
dx
dx
• D et µ expriment la faculté des porteurs à se déplacer. Il existe
une relation entre eux: relation d’Einstein:
D kT

µ
e
269
Équations de continuité – longueur de diffusion
• G et R altèrent la distribution des
porteurs donc du courant
dn( x, t )
 J n ( x  x) J n ( x) 
Ax
 A

RG

dt
e
e 

dn( x, t )
dJ n ( x) x
Ax
A
RG
dt
dx e

On obtient alors les équations de continuité
pour les électrons et les trous:
dn( x, t ) 1 dJ n

 rn  g n
dt
e dx
dp ( x, t )
1 dJ p

 rp  g p
dt
e dx
270
Équations de continuité – longueur de diffusion
• Exemple: cas où le courant est exclusivement du à
de la diffusion:
dn
d n n  n0
 Dn 2 
dt
dx
n
2
dn
J n (diff )  eDn
dx
dp
J p (diff )  eD p
dx
dp
d2 p p  p0
 Dp 2 
dx
dt
p
271
Équations de continuité – longueur de diffusion
• En régime stationnaire, les
dérivées par rapport au temps
s’annulent:
d 2 (n  n0 ) n  n0
n  n0


D n n
dx 2
L2n
d 2 ( p  p0 ) p  p0 p  p0


2
D p p
dx
L2p
Ln  Dn n

Lp  D p p
• Solutions:
n( x)  (n( x)  n0 )  n(0)e

 x / Ln

Longueur de diffusion: représente la
distance moyenne parcourue avant
que l’électron ne se recombine avec
un trou (qq microns voire qq mm)
Ln ou Lp >> aux dispos VLSI
R et G jouent un petit rôle sauf
dans qq cas précis (Taur et al)
272
Équation de Poisson
• Elle est dérivée de la première équation de Maxwell. Elle relie le
potentiel électrique et la densité de charge:
d 2V
dE
 ( x)




dx 2
dx
 sc
• Dans les SC, deux types de charges (fixes et mobiles):
d 2V
e






p
(
x
)

n
(
x
)

N
(
x
)

N
D
A ( x)
2
dx
 sc
Charge mobiles
(électrons et trous)
Charges fixes
(dopants ionisés)
273
Longueur de Debye
• Si on écrit l’équation de Poisson dans un type n en exprimant n en
fonction de
:
Fi

d 2  Fi
e
e Fi / kT


N
(
x
)

n
e
d
i
dx 2
 sc
V(x)=
Fi
• Si Nd(x)en
=>remarquant
Nd+Nd(x) ,que:
alors
Fi est

cte
modifié
de Fi
d 2 Fi e 2 N d
e





N d ( x)
Fi
2
 sc kT
 sc
dx
274
Longueur de Debye
• Signification physique?
• Solution de l’équation différentielle du 2° degré:
x
Fi  A exp
LD
avec
LD 
 sc kT
e2 N D
• La « réponse » des bandes n’est pas abrupte mais « prend »
quelques LD ( si Nd=1016 cm-3, LD=0.04µm). Dans cette
région, présence d’un champ électrique (neutralité électrique
non réalisée)
275
Temps de relaxation diélectrique
• Comment évolue dans le temps la densité de
porteurs majoritaires ?
• Équation de continuité (R et G négligés):
n 1 J n

t e x
or
J n  E  E /  n et
E
 en /  sc
x
d’où
n
n

 n sc
t
   n sc
Solution:
n(t )  exp(t /  n sc )
Temps de relaxation diélectrique ( 10-12 s)
276
CHAP 12
Homo-jonction à semi-conducteur
277
Homojonction PN
• Composant à réponse non linéaire
• Dispositifs redresseur ou « rectifier devices »
• 2 types pour arriver au « même » résultat:
• Jonction PN (notre propos)
• Jonction à contact Schottky (chapitre suivant)
278
Mécanisme de formation de la jonction PN
279
Mécanisme de formation de la jonction PN
•Processus de mise à l’équilibre
1° phase : processus de diffusion
2° phase : Apparition d’un E interne:
équilibre la diffusion
Recombinaison de
paires e-h
Niveau de Fermi aligné:
équilibre thermodynamique
E int
280
•Tension de diffusion VD ou
« built in potential VB i »
• Définition : différence de potentiel entre la région N et la région P
VD  VBI  VN  VP
Equation du courant de trous:
Soit encore
p
Dp
E ( x) 
dp ( x) 

J P ( x)  e   P p ( x) E ( x)  D p
0

dx 

1 dp ( x)
p ( x ) dx
ou
En intégrant de la région P à la région N:
Soit finalement:
VD  Vbi 
1 dp( x)
 e dV ( x)

kT dx
p( x) dx
pp
kT
VD 
ln( )
e
pn
kT
N N
ln ( A 2 D )
e
ni
281
•Champ, potentiel et largeur de zone d’espace (1)
• Equation de Poisson:
 ( x)
d 2V ( x)


 sc
dx 2

Dans la région N et P:
d 2V (x)
e


ND
2
 sc
dx
0  x  WN
d 2V (x)
e


NA
2
 sc
dx
WP  x  0
-WP
-WN
282
•Champ, potentiel et largeur de zone d’espace (2)

Champ électrique E(x)
En ( x )  

eN D
 sc
( x W N)
EP ( x)  
eN A
 sc
( x W P)
Continuité du champ en x=0:
N DW N  N AWP
EM  
eN DW N
 sc

eN AW P
 sc
-WP
-WN
283
•Champ, potentiel et largeur de zone d’espace (3)

Potentiel électrique E(x)
Vn ( x )  

eN D
( x W N ) 2  Vn
 sc
eN A
V p ( x) 
( x W P) 2  V p
 sc
Zone de charge d’espace (ZCE)
2
eN DWn2 eN AW p
V (Wn )  V (W p )  Vbi 

2 sc
2 sc
2 sc
ND
W p (Vbi ) 
Wn (Vbi ) 
e N A (N A  ND )
Vbi
2 sc
NA
Vbi
e ND (N A  ND )
2 sc N D  N A
W (Vbi ) 
Vbi
e N AND
-WP
-WN
284
Attention: tout ce que l’on vient de voir était
pour V=0. Lorsque la diode est alimentée par
une tension V sur P, Vd doit être remplacée
par Vbi - V
285
Jonction PN sous polarisation
• Cette polarisation va rompre l’équilibre entre les
forces de diffusion et de conduction: => apparition
d’un courant ?

Hypothèses simplificatrices:





ZCE vide de porteurs
Faible injection
Approximation de Boltzmann
Toute la tension VA appliquée sur la jonction
Pas de phénomènes de Génération Recombinaison
286
Jonction PN sous polarisation
• Polarisation directe
• Tension positive sur P
• Diminution de la tension de
diffusion
• Processus de diffusion
prédomine
• Fort courant
287
Jonction PN sous polarisation
Fdiff e• Polarisation directe
• Diminution du champ interne
par E externe opposé
• Injection d’électrons de N vers
P et Injection de trous de P
vers N, donc des minoritaires
• Fort courant car « réservoir »
plein
Fdiff h+
288
Jonction PN sous polarisation directe
Eext
289
Jonction PN sous polarisation inverse
Fconde• Polarisation Inverse
• Augmentation du champ
interne par E externe dans le
même sens
• Injection d’électrons de P vers
N et Injection de trous de N
vers P , donc des majoritaires
• Faible courant car
« réservoir » presque vide
Fcond h+
290
Jonction PN sous polarisation
À l’équilibre, courant nul  deux composantes (diff et cond)
s’opposent. Pris à part , l’ordre de grandeur de ces composantes
104 A/cm2 (soit 1A pour diode typique) or en faible injection I
est de l’ordre de qq mA à qq 10 mA
•Approximation de Boltzmann: L’approximation de
Boltzmann consiste à dire que la résultante des courants
étant faible devant les composantes de ce courant, on
considère que l’on est encore en quasi-équilibre et donc que
l’équation du courant est encore valide en remplaçant Vd par
Vd -Va:
1 dp ( x)
 e dV ( x)

kT dx
p( x) dx
291
Densité de porteurs injectés à la frontière de la ZCE
p(W N )
eV
 exp( d )
pp
kT
• Si Va=0
• Si Va
0
p ' (W N )
e(Vd  Va )
 exp(
)
pp
kT
ni2
eV A
eV A
)
exp(
)
p ' n  p n exp(
kT
ND
kT
ni2
eV A
eV A
n' p  n p exp(
)
exp(
)
kT
NA
kT
eVa
n * p p  p * nn  n exp(
)
kT
'
p
'
n
2
i
292
Variation de la densité de trous injectés en fonction de
Va
1017
1016
Na= 1E17 cm-3
Vd=0.7 V
1015
1014
1013
P'(Wn) (cm-3)
1012
1011
1010
109
108
107
106
105
104
0,0
0,1
0,2
0,3
Va (V)
0,4
0,5
0,6
0,7
293
Injection de porteurs
En polarisation directe,
phénomènes de diffusion
Une fois injectés, les
porteurs diffusent
294
Distribution des porteurs dans les régions neutres
• Une fois les porteurs injectés,
ils vont diffuser dans la région
neutre et se recombiner avec
les porteurs majoritaires
Distribution des porteurs minoritaires injectés
p
p
 2 p p  pn
J p ( x)  eD p

 Dp

x
t
x ²
p
• La distribution va être fonction
de la géométrie de la région
 x / Lp
 pn  Ae
• Les p
paramètres
 Be
 x / Lp
discriminatoires : la longueur
de diffusion LDn,p des électrons
et des trous et la largeur des
régions neutres dn,p
dp
dn
-WP 0 WN
a: région qcq, b: longue, c:courte,
295
Distribution des porteurs dans les régions neutres
d n , p  L p ,n)
• Régions longues (
p ' ( x )  p n  p n (e
n' ( x )  n p  n p (e

Régions qcq
eVa
kT
eVa
kT

Régions courtes ( d n , p  L p ,n )
eV
 1)e
 1)e
(W N  x ) / L p
( x Wp ) / Ln
p n kTa
p' ( x)  p n 
(e  1)( x c  x)
dn
n p eVkT
n' ( x)  n p 
( e  1)( x 'c  x )
dp
a
eVa
  xc  x  
pn
kT
p' ( x)  p n 
(e  1) sh 

dn
L


p
sh( )
Lp

eVa
 x  xc'
np
(e kT  1) sh 
n' ( x )  n p 
dp
 Ln
sh( )
Ln



296
Courant de porteurs minoritaires dans les régions neutres
• La distribution connue, on peut facilement calculer le courant qui
est un courant de diffusion:
dp ( x)
J p ( x)  eD p
dx

J n ( x)  eDn
dn( x)
dx
Hypothèse : pas de Phénomènes de G-R dans la ZCE
J (V )  J p ( W p )  J n (W p )  J p (Wn )  J n (W p )

On obtient la formule classique:
J (V )  J S (e eV / kT  1)
JS est le courant de saturation de la diode,
ou courant inverse théorique
297
Courant de porteurs minoritaires dans les régions
neutres
• Régions courtes
a: région qcq, b: longue, c:courte,
eni2 D P eni2 Dn
JS 

NDdn
N Ad p

Régions longues
eni2 DP eni2 Dn
JS 

N D LP
N A Ln

Régions qcq
eni2 DP
eni2 Dn
JS 

dn
dp
N D LP th( ) N A Ln th( )
LP
Ln
-WP 0 WN
Courant de porteurs minoritaires
298
Génération –recombinaison dans la ZCE
Génération en inverse
Recombinaison en direct
299
La diode réelle : Phénomènes de générationrecombinaison dans la ZCE
• On affine le modèle on tient compte de la G-R dans la ZCE
• Mécanisme connu (Shockley-Read)
pn  ni2
r
 2ni  p  n
1


eVa
)
On sait également que p (W N )n(W N )  p (WP )n(WP )  ni2 exp(
kT
2
Si on suppose np constant dans la ZCE et >> ni (en
polarisation directe) , le taux r est max pour n=p, soit
encore
ni
 eVa 
rmax 
exp

2
 2kT 
300
La diode réelle : Phénomènes de
génération-recombinaison dans la ZCE
• Le courant de génération recombinaison dans la
ZCE s’écrit alors:
1 dJ n
0
 r  dJ n  erdx
e dx
WN
J GR  e 
WP
rdx

En polarisation inverse ( pn  ni2 ), le taux est
ni
négatif ( r    0 ) et devient un taux net de
génération 2

En polarisation directe , le taux est rmax=cte et le
courant est un courant de recombinaisons.
301
La diode réelle : Phénomènes de générationrecombinaison dans la ZCE
• Le courant de génération recombinaison dans la
ZCE s’écrit alors:
eni
J GR  J
J GR 
WT
2
Le courant global en intégrant cet effet s’écrit:
0
GR

eVa


)  1
 exp(
2kT


0
eVa
eVa



0 
)  1  J GR  exp(
)  1
J (Va )  J S  exp(
2kT
kT





Facteur d’idéalité:
eVa


J (V )  J 0  exp(
)  1
nkT


302
• Effet thermique
• Effet Zener:
Diode en polarisation inverse:
claquage de la jonction
• Passage direct de la BV à la BC
par effet tunnel (0) si champ
électrique supérieur à Ecritique
• Effet Avalanche:
• Avant le « tunneling »,
accélération des électrons qui
excitent par impact des
électrons de BV vers BC (1,2,3)
etc….
• Perçage ou « punchtrough »
VBD 
 .EC2
2eN B
303
Jonction en régime dynamique: capacités de la
jonction
• Capacité associée à charges
• 2 types de charges dans la jonction
• Fixes (les dopants ionisés) dans la ZCE
• Mobiles (les e- et h+) injectés en direct
• 2 types de capacités
• Capacité de transition ou de la jonction
• Capacité de diffusion ou stockage
304
Capacité de transition ou de jonction
Elle est simplement associée à la charge Q contenue dans la ZCE
dQ
CT 
dV
Q  eAN AWP  eAN DWN
W p (Vd  VA ) 
2 sc
ND
(Vd  VA )
e N A (N A  ND )
Soit:
NAND
A
A
2e

CT 
2 (VD  V A ) ( N A  N D ) WT
305
Capacité de diffusion ou de stockage
• Traduit le retard entre la
tension et le courant
• Associée aux charges
injectées dans les
régions neutres:
QSp   p J p
QSn   n J n
QSp
XC
QSp  A e( p ' ( x)  p n ) dx
WN
Densité de trous excédentaires
dans la région neutre N



dn
1 

 e( p ' (0)  p n ) LP coth( ) 
dn 
LP

sh( ) 

LP 

306
Capacité de diffusion ou de stockage
• L’expression précédente peut se mettre sous la
forme:




1 

QSp   ( p ) J P (WN )
 ( p)   P 1 
avec

dn 
 ch( L ) 
P 

 L’expression du temps peut être simplifiée en fonction de
la « géométrie » de la diode:
d n2
 temps de transit
t 
2 DP

Diode courte:  ( p )

Diode longue : ( p )
P
 durée de vie
307
Capacité de diffusion ou de stockage
• Cette étude dans la région N est valable dans la
région P, et en final on obtient:
QS  Q Sn  QSp   ( n ) J n ( W P )   ( p ) J p (W N )
dQS
CS 
Soit à partir de :
dV
e
C S  C Sn  C Sp 
K ( ( n ) I n   ( p ) I p )
kT
Facteur qui dépend de la géométrie
(2/3  courte)
(1/2  longue)
308
Capacité de diffusion ou de stockage
309
Jonction PN en commutation
310
Jonction PN en commutation
Wn
Tant que l’excédent de trous en Wn est
positif
 Diode polarisée en direct
p 'n  pn  pn (e
eVa
kT
 1)
 sd  Temps de stockage ie
p ' (WN )  pn
311
Jonction PN en commutation
• Problème majeur dans les composants à porteurs
minoritaires:
• Expression du temps de stockage:
 sd


If
If
  p ln(1  )  ln(1 
)
Im
I f  I m 

• Expression du temps de descente
If
 F   RC j 
 f  2.3
 avec  
I f  Im
 1  
312
Schéma équivalent jonction pn
dV kT 1
résistance dynamique

dI
e I
e
K ( ( n ) I n   ( p ) I p ) capa de diffusion
Cd  CS  CSn  CSp 
kT
A
2e
N AND
A
capa de jonction

CT  C J 
2 (VD  VA ) ( N A  N D ) WT
rd 
rS résistance série
313
Diode Tunnel – diode Backward
(a)
(b)
 Va
I t  I pe 
V
 pe


 exp1  Va

 V
pe






 4a 2m * e
b
Tt  exp 

3

(c)




(d)
(e)
314
Diodes PIN
• Dispos VLSI modernes  très fort champ électrique
• Pb d’avalanche et effet de porteurs chauds
• Solutions:
• Réduction du champ par augmentation de la ZCE
• Incorporation d’une couche « non dopée » dite intrinsèque d’où le
nom !
315
Diodes PIN
Déplétion région
Région p
Région n
(x)
+ + + +
-Wp
---
d
couche
intrins.
+Wn
x
316
Diodes PIN
champ max ( dans la zone intrinsèque)
eN A x p
eN D ( xn  d )

Em  
 Si
 Si
Tension de diffusion (" built in potentiel" )
Vbi 
Em
( x p  xn  d ) 
2
largeur de la ZCE
Em
2
(Wd  d )
2 Si ( N A  N D )
Wd 
Vbi  d ²  W d20  d ²
e
N AND
capacité
CT Wd 0


CT 0 Wd
champ électrique
1
1
d²
W d20
Em
Wd
d²
d

 1 2 
Em 0 Wd  Wd 0
W d 0 Wd 0