Résumé du cours d`Optique de Fourier

Résumé du cours d’Optique de Fourier
Arnaud Dubois
Octobre 2016
Les résultats rappelés ici peuvent être utilisés directement pour résoudre les exercices (en particulier à
l’examen), sans être redémontrés (sauf si demandé explicitement).
ONDES MONOCHROMATIQUES
Fonction d’onde complexe : U(r, t) = U(r) exp(j2πνt),
où U(r) = a(r)exp[jϕ(r)] est appelée amplitude complexe.
2
- U (r) = I ( r) = intensité de l’onde
- Arg{U(r)} = ϕ(r) = phase de l’onde
Fronts d’onde : ϕ(r) = 2πq (q entier).
Onde plane
Amplitude complexe : U(r) =Aexp(-jk.r) = A exp[-j(kxx + kyy + kzz)]
A = envelope complexe (constante)
k = (kx, ky, kz) = vecteur d’onde.
Helmholtz ð Le module de k est égal au nombre d’onde k = 2πν c = ω c
Les front d’onde sont des plans distants de λ = 2π/k = c/ν (λ = longueur d’onde)
Onde sphérique
Amplitude complexe : U(r) = (A/r) exp(±jkr)
(signe - si divergente; signe + si convergente)
où r est la distance à l’origine et k = 2πν/c = ω/c.
Fronts d’onde = sphères concentriques séparées d’une distance radiale λ = 2π/k = c/ν.
⎛
A
x2 + y2 ⎞
exp − jkz exp ⎜ − jk
⎟ (Approximation parabolique de l’onde sphérique, valable dans
z
2z ⎠
⎝
le cadre de l’approximation de Fresnel (toujours utiliser cette approximation dans le cadre du cours !))
U (r) ≈
(
)
Approximation de Fresnel valable si :
N Fθ m2
a2
(nombre de Fresnel)
<< 1 avec N F =
4
λz
1
TRANSMITTANCE D’UNE LENTILLE MINCE
⎛ x2 + y2 ⎞
⎛ x2 + y2 ⎞
t(x, y) = h0 exp ⎜ jk
⎟ = h0 exp ⎜ jπ
⎟
2f ⎠
λf ⎠
⎝
⎝
f = focale de la lentille.
h0 = exp ⎡⎣− jnk0 d0 ⎤⎦ est un terme de phase constant (on considère généralement h0 = 1)
On ne tient pas compte ici de la pupille.
PROPAGATION DANS L’ESPACE LIBRE
Fréquences spatiales d’une onde plane
Fréquences spatiales : νx = kx/2π et νy = ky/2π.
⎪⎧sin θ x = λν x
Relation angles du vecteur d’onde / fréquences spatiales : ⎨
⎩⎪sin θ y = λν y
Si kx << k et ky << k (régime paraxial) :
⎧⎪θ x = λν x
⎨
⎪⎩θ y = λν y
Méthodes de calcul de la propagation dans l’espace libre
Valables dans le cadre de l’approximation de Fresnel
- Méthode dans l’espace direct : l’onde est considérée comme superposition d’ondes paraboloiques
élementaires (ondes sphériques). Conforme au principe d’Huygens-Fresnel
- Méthode dans l’espace de Fourier : l’onde est décomposée en une somme d’ondes planes.
2
∗hd (x, y)
U ( x, y,0)
U ( x ', y ', z )
TF-1
TF
×H d (ν x ,ν y )
U! (ν x ,ν y ,0)
hd (x, y) =
(
j exp − jkd
λd
) exp⎡⎢− jπ ( x
⎢⎣
U! (ν x ,ν y , z)
+ y2 ⎤
⎥
λ d ⎥⎦
2
)
H d (ν x ,ν y ) = exp (− jkd ) exp ⎡⎣ jπλ d (ν x2 + ν 2y )⎤⎦
La méthode par convolution consiste à calculer « l’intégrale de Fresnel » (ou « transformée de
Fresnel ») :
⎡
(x − x ') 2 + ( y − y ') 2 ⎤
U (x, y,d ) = h0 ∫∫ U (x ', y ',0)exp ⎢− jπ
⎥dx 'dy '
λd
⎣
⎦
⎛ j ⎞
où h0 = ⎜ ⎟ exp ⎡⎣− jkd ⎤⎦
⎝ λd ⎠
H d (ν x ,ν y ) est appelée fonction de transfert de l’espace libre.
Approximation de Fraunhofer
Dans l’approximation de Fraunhofer, l’amplitude complexe U ( x, y, d ) d’une onde monochromatique
de longueur d’onde λ, en z = d, est proportionelle à la TF de l’amplitude complexe U ( x, y,0) en z = 0,
ν x = x / λd and ν y = y / λd . L’approximation est valide si
U ( x, y,0) est confinée à un cercle de rayon b tel que N F = b2 / λ d << 1 et si U ( x, y, d ) est confinée à
un cercle de rayon a tel que N F ' = a 2 / λ d << 1 (conditions plus restrictives que Fresnel)
TF calculée aux fréquences spatiales
U (x, y,d ) ∝U! (
x y
,
,0)
λd λd
Remarque : Si d = infini , alors « Fresnel = Fraunhofer »
Amplitude dans le plan focal d’une lentille
L’amplitude complexe d’une onde monochromatique au point (x, y) dans le plan focal arrière d’une
lentille convergente de focale f est proportionelle à la TF de l’amplitude complexe de l’onde dans le
3
plan focal avant, calculée aux fréquences spatiales ν x = x / λ f et ν y = y / λ f . Cette relation est valide
dans l’approximation de Fresnel. Le plan focal arrière de la lentille est appelé plan de Fourier.
Sans lentille, la relation de TF entre les amplitudes complexes n’est valable que dans l’approximation
de Fraunhofer, qui est plus restrictive.
DIFFRACTION
Figure de diffraction = distribution transverse d’intensité d’une onde ayant traversé une ouverture
(fonction pupillaire p) après propagation sur une distance d. Selon que la propagation peut être décrite
avec l’approximation de Fresnel ou l’approximation de Fraunhofer, on parle de diffraction de Fresnel
ou de diffraction de Fraunhofer.
* La figure de diffraction de Fraunhofer est proportionnelle au module carré de la TF de la fonction
pupillaire p(x, y), TF évaluée aux frequences spatiales ν x = x / λd et ν y = y / λd :
⎛ x y ⎞
I (x, y) ∝ p! ⎜ , ⎟
⎝ λd λd ⎠
2
* Au foyer d’une lentille de focale f, dans l’approximation de Fresnel, on a
⎛ x y ⎞
I (x, y) ∝ p! ⎜
,
⎟
⎝λ f λ f ⎠
2
FILTRAGE
Le montage 4f : dans le plan de Fourier, on a accès aux fréquences spatiales de l’objet. On peut
ainsi réaliser du filtrage des fréquences spatiales et ainsi modifier l’image.
4
FORMATION DES IMAGES
5