Corrigé

Cours d’Algèbre I
Prof. E. Bayer Fluckiger
Bachelor Semestre 3
21 octobre 2013
Test 1
Exercice 1.
Donner la liste des sous-groupes de Z/4Z.
Solution.
Nous avons Z/4Z = {[0]4 , [1]4 , [2]4 , [3]4 }. Deux premiers sous-groupes sont les
sous-groupes triviaux {[0]4 } et Z/4Z. Si H est un sous-groupe non-trivial, alors
|H| ≥ 2 et [1]4 6∈ H (car h[1]4 i = Z/4Z). Comme [3]4 = −[1]4 , on a également
[3]4 6∈ H. Ainsi, la seule possibilité est
H = {[0]4 , [2]4 } = 2Z/4Z,
qui est bien un sous-groupe de Z/4Z.
Nous donnons une seconde solution, basée sur un résultat vu après le test, mais qui
se généralise pour tout groupe cyclique. Les sous-groupes de Z/4Z sont les images
des sous-groupes de Z contenant 4Z par la surjection canonique π : Z → Z/4Z.
Comme tous les sous-groupes de Z sont de la forme aZ pour un certain a ∈ Z,
on trouve que les sous-groupes de Z contenant 4Z sont
4Z, 2Z, Z.
Par conséquent, les sous-groupes de Z/4Z sont
π(4Z) = {[0]4 }, π(2Z) = 2Z/4Z et π(Z) = Z/4Z.
Exercice 2.
(1) Donner la liste des générateurs de Z/7Z.
(2) Donner la liste des générateurs de Z/9Z.
Solution.
(1) Par l’exercice 2 de la série 3, [a]7 engendre Z/7Z si et seulement si (a, 7) = 1.
Par conséquent, l’ensemble des générateurs de Z/7Z est
{[i]7 : 1 ≤ i < 7}.
(2) De même, on trouve que les générateurs de Z/9Z sont
[1]9 , [2]9 , [4]9 , [5]9 , [7]9 , [8]9 .
2
Exercice 3.
Soit G le sous-ensemble de C défini par G := e2iπk/6 : k ∈ Z .
(1) Montrer que G est un sous-groupe cyclique de C∗ .
(2) Donner l’ordre de G.
(3) Donner la liste des générateurs de G.
Solution.
(1) On rappelle l’équation fonctionelle de la fonction exponentielle : pour
tout a, b ∈ C, on a ea eb = ea+b . En particulier, pour tout entier k, on
k
a e2iπk/6 = e2iπ/6 . Le groupe G est donc égal au sous-groupe de C∗
engendré par ζ = e2iπ/6 . Il est donc cyclique.
(2) Rappelons que pour tout x ∈ R, on a e2iπx = 1 si et seulement si x ∈ Z
(se référer au cours d’analyse). Pour un entier k ≥ 1, on a donc ζ k = 1
si et seulement si k/6 ∈ Z, i.e. si k ∈ 6Z. Il suit que l’ordre de ζ est égal
à 6. Or ζ est un générateur de G, donc |G| = 6.
(3) Comme ζ est un générateur de G, et ζ est d’ordre 6, on a G ∼
= Z/6Z, et
on peut vérifier que l’application
f : Z/6Z → G
[i]6 7→ ζ i .
est bien définie et est isomorphisme de groupes. Les générateurs de Z/6Z
sont les classes [a]6 avec (a, 6) = 1, c’est-à-dire [1]6 et [5]6 . Par conséquent,
les générateurs de G sont ζ et ζ 5 .
Exercice 4.
Le groupe S3 est-il cyclique ? Justifier votre réponse.
Solution.
Rappelons que comme
(12)(13) = (132) 6= (123) = (13)(12),
le groupe S3 n’est pas commutatif. Comme tout groupe cyclique est commutatif,
on en conclut que S3 n’est pas cyclique, de même pour Sn (n ≥ 3).
Exercice 5.
Soit G le sous-groupe de GL2 (R) défini par G :=
Montrer que G est isomorphe au groupe (R, +).
Solution.
1 a
0 1
: a∈R
.
3
L’application f : R → G définie par
f (a) =
1 a
0 1
pour tout a ∈ R est une bijection. De plus, il s’agit d’un homomorphisme de
groupes puisque
1 a+b
1 a
1 b
f (a + b) =
=
= f (a)f (b)
0
1
0 1
0 1
pour tous a, b ∈ R. Ainsi, G est isomorphe à (R, +).