Les racines nièmes Rappel La racine carrée : Définition : La racine carrée d'un nombre réel positif x est le nombre positif dont le carré est x. √𝑥 = 𝑦 𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑦 2 = 𝑥 Quelques exemples : la racine carrée du nombre réel 9 est 3, en effet 3 est positif et 3² = 9 la racine carrée du nombre réel 16 est 4, en effet 4 est positif et 4² = 16 la racine carrée du nombre réel 16 9 4 4 4 2 3 3 3 et , en effet est positif et ( ) = 16 9 . ATTENTION ! La racine carrée n'est pas définie pour un nombre négatif, puisque le carré d'un nombre quelconque est toujours positif. Tout réel strictement positif admet deux racines de signes opposés Propriétés : 2 carré d'une racine carrée : (√𝑎) = 𝑎 racine carrée d'un produit : √𝑎. 𝑏 = √𝑎 . √𝑏 racine carrée d'un quotient : √𝑏 = racine carrée d'un carré : √𝑎² = |𝑎| 𝑎 √𝑎 √𝑏 Exercices : 1) Effectue : a) √10000 = 36 b) √81 = e) √5. √5 = f) √7. √14 = g) √10. √125. √8 = c) √100 = 1 169 d) √144 = h) √8. √2 = 1 La racine cubique : Définition : La racine cubique d'un nombre réel positif x est le nombre positif dont le cube est x. 3 √𝑥 = 𝑦 𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑦³ = 𝑥 Quelques exemples : La racine cubique du nombre réel 8 est 2, en effet 2³ = 8 La racine cubique du nombre réel 27 est 3, en effet 3³ = 27 Tableau des dix premiers cubes : Nombre Nombre au cube 1 1 2 8 3 27 4 64 5 125 6 216 7 343 8 512 9 729 10 1000 Petite astuce pour retrouver la racine cubique d’un réel dont la réponse est un nombre entier : Supposez que l’on vous donne à extraire la racine cubique de 287 496. Le dernier chiffre de ce nombre est 6, en allant voir dans le tableau ci-dessus, on remarque que le nombre se terminant par 6 est le cube de 6, donc le dernier chiffre dans ce cas est 6. Pour déterminer le premier chiffre de la racine cubique : supprimez les trois derniers chiffres du cube (quel que soit le nombre de chiffre le composant) pour ne retenir que les chiffres restants. Dans cet exemple on a 287. Dans la table cidessus 287 se situe entre les cubes de 6 et 7. Le plus petit de deux ces chiffres (6) correspond au premier chiffre de la racine du nombre annoncé. La réponse est 66. Exerce-toi ! 3 √21952 = 3 √59319 = Propriétés : 3 la racine cubique d’un nombre négatif est un nombre négatif : √−64 = −4 Attention ! Les propriétés citées pour la racine carrée sont les mêmes pour la racine cubique ! 2 Introduction 1) Complète le tableau suivant. Quelle conclusion peux-tu en tirer ? −3 2 X 3 2 5 7 0 −6 1 √2 −12 |x| X² √𝑥² Conclusion : 2) Complète les tableaux suivants à l’aide de ta calculatrice et tire une conclusion : 0 X −2 −3 4 7 −9 9 1 √𝑥 3 √𝑥 4 √𝑥 7 √𝑥 X 0 −2 1 −1 4 √𝑥³ 6 √𝑥 4 5 √𝑥 3 3 √𝑥 2 𝑛 3) À quelles conditions l’expression √𝑎𝑝 représente-t-elle un réel ? 3 Les racines d’indice n 1. Généralisation : Définitions : Le nombre b est une racine nième du nombre réel a si et seulement si 𝒃𝒏 = 𝒂 𝑛 si n est pair : ∀𝑎, 𝑏 ∊ ℝ+ , √𝑎 = 𝑏 ⇔ 𝑏 𝑛 = 𝑎 (𝑛 ∈ ℕ0 ) 𝑛 si n est impair : ∀𝑎, 𝑏 ∊ ℝ, √𝑎 = 𝑏 ⇔ 𝑏 𝑛 = 𝑎 Notations et vocabulaire : 𝒏 a) La racine nième de a se note √𝒂 et a est appelé le radicand ( ∀𝑎 ∈ ℝ+ 𝑠𝑖 𝑛 𝑒𝑠𝑡 𝑝𝑎𝑖𝑟 𝑒𝑡 ∀ 𝑎 ∈ ℝ 𝑠𝑖 𝑛 𝑒𝑠𝑡 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑖𝑟 ) 𝒏 b) √𝒂 se lit également racine d’indice n de a (ou radical d’indice n) où n est l’indice ( ∀𝑎 ∈ ℝ+ 𝑠𝑖 𝑛 𝑒𝑠𝑡 𝑝𝑎𝑖𝑟 𝑒𝑡 ∀ 𝑎 ∈ ℝ 𝑠𝑖 𝑛 𝑒𝑠𝑡 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑖𝑟 ) Propriétés : 1) Les propriétés des racines carrées sont valables pour toutes racines d’indice pair 2) Les propriétés des racines cubiques sont valables pour toutes racines d’indice impair Donc : Si n est pair : La nième puissance d’un nombre réel est un nombre réel positif Aucun réel strictement négatif n’admet de racine nième 𝑛 √0 = 0 Tout réel strictement positif admet deux racines nièmes opposées Si n est impair : La nième puissance d’un nombre réel possède le même signe que ce nombre réel 𝑛 √0 = 0 Tout nombre réel admet une seule racine nième 4 Opérations sur les racines nièmes : Si n est pair : 𝑛 𝑛 ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ+ : √𝑎. 𝑏 = √𝑎 . √𝑏 ∀ 𝑎 ∈ ℝ+ , ∀ 𝑏 ∈ ℝ0+ : √𝑏 = ∀ 𝑎 ∈ ℝ, ∀ 𝑛 ∈ ℕ0 : √𝑎𝑛 = |𝑎| 𝑛 𝑛 𝑎 𝑛 √𝑎 𝑛 √𝑏 𝑛 Si n est impair : 𝑛 𝑛 ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ ∶ √𝑎. 𝑏 = √𝑎 . √𝑏 ∀ 𝑎 ∈ ℝ, 𝑏 ∈ ℝ0 : √𝑏 = ∀ 𝑎 ∈ ℝ, ∀𝑛 ∈ ℕ0 : √𝑎𝑛 = 𝑎 𝑛 𝑛 𝑎 𝑛 √𝑎 𝑛 √𝑏 𝑛 Autres opérations : 𝑛 𝑛 𝑚 𝑛 𝑚.𝑛 √𝑎 𝑝 = ( √𝑎 ) 𝑝 𝑛𝑝 𝑛 √𝑎 𝑝 = √𝑎 √ √𝑎 = √𝑎 2. Exercice : Simplifier les radicaux suivants si on suppose que a, b, c sont (strictement) positifs 1) 3 √𝑎7 𝑏³ = 2) √𝑎7 𝑏 8 𝑐 = 3) 4) 5) 6) 7) 4 √𝑎8 𝑏 5 = 3 √𝑎14 𝑏 7 𝑐12 = 3 √8𝑎5 = 4 √32𝑎4 𝑏7 = 3 √216𝑎6 𝑏4 = 3 8) √ 𝑎4 𝑏2 = 5 Les exposants fractionnaires 1. Généralisation : Définition : Si n est un entier non nul et si p est un entier positif supérieur ou égal à 2, Alors pour tout nombre réel strictement positif a, on a : 𝑝 𝑛 √𝑎𝑛 = 𝑎 𝑝 Exemples : 1 42 = √4 = 2 83 = √82 = √64 = 4 2 3 3 Règles de calcul : Les règles de calcul vues pour les exposants entiers sont aussi valables pour les exposants fractionnaires 1 𝑎−𝑟 = 𝑎𝑟 𝑎𝑟 𝑎 𝑠 = 𝑎𝑟+𝑠 𝑎𝑟 (𝑎𝑟 )𝑠 = 𝑎𝑟𝑠 (𝑏)𝑟 = 𝑏𝑟 = 𝑎𝑟−𝑠 𝑎𝑠 r et s sont des nombres rationnels a et b sont des réels strictement positifs 𝑎𝑟 𝑎 2. Exercices : Réécris sous forme de radicaux puis calcule à l’aide de ta calculatrice : 1 a) 83 = 1 b) 162 = 1 c) 22 = 2 d) 25 4 (16) = 5 e) 42 = 7 f) 22 = 6 Exercices 1. Écris sous forme d’une puissance à exposant rationnel (a ≥ 0) : a) √2 = d) 3 b) √5 = c) 1 √2 = √3 4 e) √𝑎 = = 3 1 f) 1 5 √23 = 2. Transforme en n’écrivant que des radicaux et des puissances à exposants naturels : On a 𝒂 > 0 1 5 a) 𝑎2 = d) 𝑎4 = 2 b) 𝑎−3 = c) 2 3 − 𝑎 4 e) = 1 = 2 − 𝑎 5 f) 𝑎0 = 3. Calculer sans machine en transformant l’écriture de manière adéquate : 1 1 a) 162 = e) 273 = 1 b) 0,01−2 = 3 1 f) 16−4 = 1 g) 100−2 = c) 42 = 1 1 h) (− )−3 = d) 8−3 = 2 4. Simplifie en utilisant les propriétés : 1 2 5 a) 𝑎2 . 𝑎2 = 2 −5 = d) (𝑎 ) 6 3 b) (𝑎3 ) = e) (4𝑎2 )2 = 1 c) 8𝑎−2 . 𝑎−2 = 7 5. Calcule : 3 a) √122 + 162 = h) √43 − 92 = b) √132 − 122 = i) √(−21)−6 = 3 c) 3√0,000729 = 3 4 3 3 j) √61 + √25 + √8 = 3 k) √5√2 − 1. √5√2 + 1 = 3 l) √3 + 2√2 . √3 − 2√2 = d) √256−1 = e) √33 + 43 = f) √−125.109 = g) √32 + √49 = 4 6. Quel nombre est le plus grand : ( √16)100 ou (√16)25 ? Justifie ! 7. Résous les équations suivantes dans ℝ : a) 𝑥 3 = −64 b) 𝑥 4 = 81 c) 64𝑥 3 = 1 d) 𝑥 4 − 125𝑥 = 0 e) 𝑥 3 + 27 = 0 f) 𝑥 2 + 49 = 0 g) 𝑥 4 − 0,0625 = 0 h) 𝑥 6 = 16−3 i) 𝑥 6 − 64 = 0 8