10.Ondes élastiques et ondes électromagnétiques. Champ de

Chapitre V
Ondes élastiques et ondes électromagnétiques.
Champ de pesanteur
Chapitre V
Ondes élastiques et ondes électromagnétiques.
Champ de pesanteur
V.1 Ondes élastiques dans un milieu homogène
volumiques de densité F et des contraintes internes, décrites par le tenseur de contraintes
La forme générale de l’équation est :
Les ondes élastiques se propagent dans un corps solide sous l’effet des forces
=
+ ,
où u est le vecteur du mouvement, - la densité et t le temps.
.
(V. 1)
Pour un milieu linéaire et isorope ; le vecteur u (M, t) est décrit par le tenseur de
déformation ε (M, t), dont les composantes sont :
=
#
#
=
=
=
=
1
2
=
#
#
;
!
+
;
!
1
= $
+
2 %
ε'' =
=
1
2
'
%
%
;
+
";
#
&;
#
!
".
(V. 2)
Selon la loi de Hooke, le tenseur de contraintes et lié au tenseur des déformations par :
= 2(
+ )*
+
+ ## + ;
=
= 2( ;
= 2(
##
+ )*
+
+
# = # = 2( # ;
= 2( ## + )*
+
+
# = # = 2( # .
61
## +;
## +;
(V. 3)
Chapitre V
Ondes élastiques et ondes électromagnétiques.
Champ de pesanteur
Les coefficients ( et ) sont les coefficients de Lamé, qu’on exprime en fonction du
module d’Young par :
(=
)=
;
2(1 + )
.
(1 + )(1 − 2 )
(V. 4)
Si l’on pose dans (V.3) les expressions du tenseur de déformation, alors, les
composantes du tenseur de contraintes s’expriment par :
=
#
=
##
#
=
= 2(
+)
012
0
=μ
= 2(
#
#
4
!
=(
+)
!
= ($
= 2(
;
#
%
%
+)
%
+
5
";
+
#
&;
+
#
!
;
".
(V. 5)
En remplaçant (V.5) dans (V.1), on obtient l’équation d’oscillations
= grad () div ) + rot(( rot ) + div(2( grad) ,
(V. 6)
Pour un milieu homogène et isdrope on a :
d u μ
λ+μ
= Δu +
grad div u.
(V. 7)
dt
ρ
ρ
Le vecteur de mouvement u peut être décomposé en partie potentielle uD et
solonoidale uE , c'est-à-dire :
=
F
+
G ; HI
F
= 0;
G
= 0.
(V. 8)
Les ondes du mouvement uE sont transversales alors que celles de uD sont longitudinales.
Elles satisfont :
G
=
L
M G;
F
62
=
N
M
F,
(V. 9)
Chapitre V
Ondes élastiques et ondes électromagnétiques.
Champ de pesanteur
L
(
=P ,
N
=P
) + 2(
Elles peuvent s’écrire en fonction du potentiel scalaire Q et du potentiel vectoriel A sous
forme de : uD = grad Φ; uE = rot A.
V.2 ondes électromagnétiques dans un milieu conducteur
Le champ électromagnétique est l’ensemble des vecteurs E (M, t) et B (M, t) agissant
sur une charge q se déplaçant à une vitesse :
= VW- (X, ) +
× Z (X, )[.
(V. 10)
L’ectrodynamique macroscopique se base sur le système d’équations de Maxwell :
ε\ c rot B =
rot - = −
ε\ Z
;
+ ^; div Z = 0;
\
div - = .
(V. 11)
où ε\ est perméabilité diélectrique du vide, c- la vitesse de la lumière dans le vide. La
densité _ du courant et la densité de charge sont liées par :
+ div _ = 0.
(V. 12)
du courant est composée de la densité des
Dans un milieu matériel, la densité
courants de déplacement, de conductibilité, de magnétisation et externes :
J = (ε − ε\ c )
-
1
+ σE + rot $ − ε\ c & B + Jb4c
μ
(V. 13)
où
est la perméabilité diélectrique du milieu,
la conductivité du milieu, (- la
perméabilité magnétique du milieu. La densité de la charge est :
= div( −
\)
×-+
defg
+
On doit satisfaire les équations de continuité :
ijkl
b4c
+ div*σE+ = 0;
+ divJb4c = 0.
Les équations de Maxwell dans un milieu matériel sont :
63
h L
Chapitre V
+ σE + Jb4c u
s
s
div*μIl+ = 0;
rot Il = ε
m
-
Ondes élastiques et ondes électromagnétiques.
Champ de pesanteur
pq
t
;
rot E = −μ
s
s
div *εE+ = ρdefg + ρb4c r
(V. 14)
où H = μ B est le champs magnétique.
w
Pour un espace homogène, les équations de Maxwell permettent d’avoir :
1
.
1
-
.
+
pq
1 yz{
.
+ HI HI - = −(
;
x
|
+
1 pq
.
+ rot rot Il = rot Jb4c,
x
(V. 15)
où v = 1/√εμ- la vitesse de propagation du champ d’électromagnétique dans le milieu, D =
w
- le coefficient de diffusion du champ électromagnétique dans le milieu conducteur.
~μ
En pratique on prend :
•
≪ |.
(V. 16)
où L- est la dimension du domaine, T- la période d’oscillations. Alors (V.15) devient :
rot p q = - + yh L .
rot - = −(\
∂p q
.
∂t
(V. 17)
Le champ magnétique est déterminé dans ce cas par la loi de Biot-Savart pour un
courant stationnaire :
HI ‚ = - + ^h L ; HI - = ƒ(‚ ,
où E, H, jb4c - les transformées de Fourrer de E, H et J respectivement.
‡
1
- (X, ) =
† - (X, ƒ)‰ ˆNŠL ƒ;
2…
ˆ‡
‡
1
p q (X, ) =
† ‚ (X, ƒ)‰ NŠL ƒ;
2…
ˆ‡
64
(V. 18)
Chapitre V
‡
Ondes élastiques et ondes électromagnétiques.
Champ de pesanteur
1
y(X, ) =
† ^h L (X, ƒ)‰ ˆNŠL ƒ.
2…
ˆ‡
Les équations (V.18) décrivent le cas quasi stationnaire. En général, on prend à la
place de la conductibilité électrique , la conductibilité complexe - iƒ .
Pour le cas d’un milieu hétérogène, il faut considérer les conditions aux limites au
niveau des surfaces de séparation.
Alors :
W-‹ [G = 0;
W‚‹ [G = 0;
m
Ž
-‹ = *Œ × - + × Œ; ‚‹ = *Œ × |‚ + × Œ,
(V. 19)
où n est la normale à la surface de séparation des paramètres du milieu, -• , ‚• - vecteur
tangentiels à la surface S. Pour une distribution locale arbitraire des paramètres
électromagnétiques dans un domaine V, le champ se transforme en champ d’ondes
sphériques dans lequel :
lim
’→‡
-”
(
"=– ;
‚•
E˜
μ
lim $ & = −– .
—→‡ H™
ε
(V. 20)
où E™ , E˜ , H™ , H˜ - sont les composantes des champs électrique et magnétique en
coordonnées sphériques.
Soit une distribution initiale de la conductibilité électrique σD et de la perméabilité
magnétique μD . les champs initiaux sont ED et HD . Ils satisfont :
HI ‚ F =
F-
F
+ ^h L ; HI - F = ƒ(F ‚ F .
Les champs recherchés seront les champs secondaires :
EE = E − ED; HE = H − HD,
Qui satisfont :
HI ‚ G = - G + * −
F +-
F
;
HI - G = ƒ(‚ G + ƒ*( − (F +‚ F
(V. 21)
(V. 22)
et qui sont crées par les champs initiaux. On prend en général ( = (\ = 4…. 10ˆš ›/• pour
la terre et :
65
Chapitre V
Ondes élastiques et ondes électromagnétiques.
Champ de pesanteur
H=
1
rot A; E = iωA + grad φ.
μ\
(V. 23)
Le potentiel scalaire est calculé par le jouge de Lorentz :
=
1
(\
¡.
Le potentiel vectoriel satisfait l’équation de Helmoltz :
∆¡ + £ ¡ = (\ ^h L .
(V. 24)
(V. 25)
V.3 Champ de pesanteur
La force d’attraction entre deux masses m1 et m2 situées à une distance r est :
=¤
•w •
,
H
où G = 6,67.10-11 (N. m²)| kg² est la constante de gravitation
Si l’accélération de la pesanteur g est connue, alors :
F = mGg.
(V. 26)
La force exercée sur un corps de densité ρ (M) est :
F = G † † † ρ (M)g(M)dV¨ .
¦
(V. 27)
Le champ gravitationnel satisfait le système d’équation :
HI g = 0,
m
g = −4… (X),
(V. 28)
g(M) = grad U (M).
(V. 29)
©
c'est-à-dire :
Le potentiel de gravitation satisfait l’équation de Poisson
∆«(X) = −4… (X),
où (X) ≥ 0 − est la distribution des densités des masses en attraction.
(V. 30)
En pratique, on calcule l’anomalie du champ en considérant U = Un + Ua, où Un est le
potentiel normal pour une répartition moyenne de la densité, et Ua est l’anomalie de
gravitation qui satisfait l’équation :
∆«- (X) = −4…® (X),
66
Chapitre V
Ondes élastiques et ondes électromagnétiques.
Champ de pesanteur
où ® est la variation de la densité du milieu par rapport à la densité moyenne. La solution
de l’équation de Poisson est un potentiel Newtonien :
U¯ (M) = † † †
¦
δρ(M\ )
dV¨² .
R ¨¨²
(V. 31)
Les surfaces pour lesquelles le potentiel Newtonien est constant s’appellent surfaces
équipotentielles.
L’énergie du champ gravitationnel est exprimée par :
³=−
‡
¤
† † † « (X) (X) µ¶ ;
2
´
¤
«
«
µ
³=−
† † † ·$ & + $ & + $ & ¸ µ¶ .
8…
!
%
ˆ‡
(V. 32)
(V. 33)
La variation de l’énergie gravitationnelle permet de résoudre le problème de Gauss sur
la distribution des masses pour une surface donnée et qui satisfait :
† † † « (X)® (X) µ¶ = 0;
´
† † † ® (X) µ¶ = 0,
´
où ® est la variation de la densité.
Bibliographie
1- Coulomb J, Jobert G. Traité de géophysique interne. Masson et Cie, Paris 1973
2- Landau L. Lifchitz .E. Théorie des champs. Mir, Moscou 1972.
3- Smirnov V. Cours de mathématiques supérieures, T2. Mir, Moscou 1970.
67
(V. 34)