Chapitre 1 : Tension, courant et résistance électrique 1.1. L`atome
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Chapitre 1 : Tension, courant et résistance électrique 1.1. L’atome, les électrons 1.2. Notion de charge électrique 1.3. Tension électrique 1.4. Courant électrique Matériaux conducteurs, effets du courant électrique 1.5. Résistance électrique Résistivité matériaux, codes couleurs, tolérance 1.6. Exos associés : résistivité, résistances, incertitudes Durée : 2 séances cours, 1 séance TD à environ 5h Chapitre 1 : Tension, courant et résistance électrique 1. L’atome, les électrons L’atome est la plus petite partie d’un élément. On trouve dans la nature des corps constitués d’un seul type d’atomes (le fer, le cuivre, l’oxygène…) : se sont des corps simples. D’autres sont constitués de plusieurs types d’atomes (l’eau, le méthane, l’aspirine…) : se sont des corps composés. Les atomes ont tous une structure similaire, composée d’un noyau et d’un nuage d’électrons. Le noyau peut être composé de un ou plusieurs protons (particules positives +) et de neutrons (particules non chargées). Les électrons sont des particules négatives -. Il résulte que l’atome est lui-même électriquement neutre. Les atomes s’associent pour former des matériaux en s’arrangeant de façon ordonnée ou non, suivant trois états : solide, liquide et gazeux. La cohésion des matériaux est assurée par les liaisons chimiques entre les atomes. Ces liaisons font intervenir les électrons des externes de l’atome (les plus éloignés du noyau couches atomique). 2 conceptions différentes de l’atome et de la répartition des électrons. Dans la première, les électrons sont représentés sur des orbites de rayon fixe (atome de Bohr), correspondant aux énergies accessibles aux particules. Depuis les années 1930, on propose une vision liée aux concepts véhiculés par la MQ : les électrons sont immergés dans un nuage électronique, ils n’ont pas de position définie mais une probabilité de présence en certains points. On parle de nuage électronique. En électronique on utilise trois types de matériaux : les conducteurs, les semiconducteurs et les isolants. La structure des matériaux solides conducteurs est telle qu’ils possèdent des électrons libres de se déplacer : ils peuvent conduire l’électricité. Les isolants, eux, ne peuvent pas conduire l’électricité. Le cas des semiconducteurs est particulier parce qu’ils possèdent des propriétés qui les rendent conducteurs dans certaines conditions (à haute température) alors qu’ils sont isolants à 0°K. Dans les cas précédents, les porteurs sont les électrons : ce sont eux qui transportent l’électricité, sous forme de charges électriques. Il existe aussi d’autres types de porteurs : les ions (positifs et/ou négatifs) dans les solutions d’électrolyse, les trous (absence d’électrons) dans les semiconducteurs… 2. La charge électrique Dans l’atome, les électrons portent une charge négative, les protons une charge positive. La charge d’un électron et celle d’un proton sont égales en valeur absolue. La charge électrique se mesure en Coulombs (C). La 10 -19 charge d’un électron vaut : qe = -1.6 C. Atome d’hydrogène avec un électron de charge –q et un proton de charge q. Des charges de signes opposés s’attirent, des charges de même signe s’opposent. Si on a deux charges q1 et q2, la force électrique (force de Coulomb) générée par q1 sur q2 sera de la forme : → 1 q1 q2 q1 q2 r12 soit en module : F12 = F12 = 3 4πε 0 r122 4πε 0 r12 → 1 → r12 M1 q1 M2 q2 → F12 Ex pour des charges positives r12 est la distance entre les deux charges (m). La force s’exprime en Newtons (N). Si l’on raisonne en terme de champ électrique, on peut décrire la force subie par une charge électrique q2 dans un champ électrique → → → E (M ) : F = q2 E ( M 2 ) . → q1 r12 q1 génère en M2 un champ électrique E ( M 2 ) tel que : E ( M 2 ) = 4πε 0 r123 → → r12 M1 M2 q2 → → E(M 2 ) q1 Champ électrique créé en M2 par la charge q1. L’unité du champ électrique est le V/m. Dans cas, on dira que la charge q1 est la source du champ électrique. Le potentiel électrique créé en M par la charge électrique q s’écrit : V (M ) = q 4πε 0 r son unité est le volt (V) 3. La tension électrique Une tension électrique est une différence de potentiel électrique entre deux points d’un circuit. La présence d’une tension électrique entre deux points suppose celle d’un champ électrique entre ces deux points. L’unité de la tension est le volt (V). La tension se mesure dans un circuit électrique avec un voltmètre placé en parallèle. La tension entre deux points A et B de potentiels électriques VA et VB se notera UAB = VA-VB. Elle se représente avec une flèche comme un vecteur, ayant un sens et une direction. Lorsqu’une tension est constante dans un circuit, c’est qu’une différence de potentiel est générée et entretenue dans ce circuit. Cela peut être obtenu par un générateur de tension (cf chap 3), une résistance (cf plus loin) ou d’autres composants électriques dans lesquels circule un courant électrique. 4. Courant électrique Définitions : Electrostatique : étude des phénomènes d'influence entre charges immobiles Electrocinétique : étude du courant électrique (charges en mouvement) 4.1 Notion de courant électrique : Rupture d’équilibre électrostatique La rupture d'un équilibre électrostatique entre deux points entraîne l'apparition d'un courant électrique transitoire (non permanent). Soit la situation suivante dans laquelle on trouve deux régions de l’espace, chargées différemment de charges positives (notées +++). L’état de départ est tel que la région A est plus fortement chargée que la région A2. Etat initial : V1>V2 et Q1>Q2 : il existe une différence de potentiel entre 1 et 2. On installe entre les deux régions un fil doté d’un interrupteur K. Etat final : V1'=V2', avec : Ql'=Ql- ΔQ et Q2'=Q2-ΔQ . La différence de potentiel finale entre 1 et 2 est nulle. A la fermeture de l'interrupteur K, il y a un transfert de charges + de A1 vers A2 afin de générer un nouvel équilibre électrique. Ce transfert correspond à un courant instantané i(t) allant de Al vers A2 : le sens conventionnel du courant (historique, défini avant la découverte des atomes et électrons) va du potentiel le plus fort vers le potentiel le plus faible. En réalité ce ne sont pas des charges + qui se déplacent, mais les électrons libres du matériau conducteur. Leur sens de déplacement est contraire à celui du courant. En résumé : • • un courant est un transfert de charges le courant va du potentiel le plus élevé vers le potentiel le moins élevé • le courant cesse quand V1=V2 Que se passe t il ? On avait une différence de potentiel entre deux points de l’espace. En les reliant par un fil, on crée un champ électrique dans le fil. Ce champ provoque le mouvement des charges suivant la force électrique (F = qE) Le courant électrique est le taux d’écoulement des charges électriques, c'est-à-dire la quantité de charges passant par la surface du conducteur en une seconde. On le représente avec une flèche (sur le fil ou au dessus). 4.2 Courant permanent Permanent = constant dans le temps. La création d'un courant permanent entre deux points d'un circuit nécessite de maintenir une tension constante entre ces deux points. Cette fonction est remplie par le générateur de courant. Générateur de tension : Un générateur de tension continue est un appareil qui maintient une différence de potentiel (ddp) constante entre ses bornes. Une fois inséré dans un circuit électrique, il délivre un courant qui circule de la borne + vers la borne - à l'extérieur du générateur. Exemples de générateurs de tensions continues : piles, batteries, alimentation stabilisées,etc. Remarque : Un générateur variable crée une ddp variable au cours du temps entre ses bornes et le courant généré est lui même variable. Par exemple un GBF (Générateur Basse Fréquence) est un appareil courant de laboratoire qui est capable de générer plusieurs types de signaux : signal sinusoïdal, signal "carré", signal "triangulaire". En régime permanent, l'intensité du courant qui parcourt un circuit série est la même en tout point, quel que soit la section du fil conducteur. Il n'y a pas d'accumulation de charges en un point du circuit. 4.3 Intensité du courant ♦ Définition : L'intensité du courant dans un conducteur représente la quantité de charges qui traverse la section de ce conducteur par seconde : I = dq/dt ♦ En courant continu, I est indépendant du temps et on a simplement : q=I.t ♦ Dimension : [I]=T -1 Q ♦ Unité SI : Ampère (A) ♦ Définition : On appelle "lignes de courant" les trajectoires (moyennes) des charges dans le conducteur. 4.4 Densité de courant Le courant continu est le même quelque soit la section du conducteur. Ce qui change c’est la densité de courant. Soit S la section du conducteur (⊥ aux lignes de courant) Les lignes de courant sont plus ou moins serrées selon la section. Pour traduire cet effet, on introduit la notion de densité de courant. Définition : La densité de courant est un vecteur j tel que ♦ Orientation : tangent aux lignes de courant ♦ Sens : sens du courant ( = sens de déplacement des charges positives) dI ♦ Module : j = dS Le module de la densité de courant représente donc le courant par unité de section. ♦ Dimension : [j]=L -2 T -1 Q ♦ Unité SI : A/m2 Relation entre densité et intensité de courant : Si j est uniforme (cad constant dans le matériau), on a simplement I = jS . 4.5 Relation entre densité de courant et vitesse des électrons La densité de courant est proportionnelle à la vitesse des électrons : j = nq v n : nombre de charges par unité de volume (en m-3). q : charge de l’électron (1,6×10-19 C) v : vitesse des charges positives. (Les charges réelles sont en fait des e . Tout se passe comme s’il y avait des charges positives qui se déplacent en sens contraire des e-.) Exercice de cours : Soit un fil de cuivre de section S = 1 mm2 parcouru par un courant I = 1A. Déterminer la vitesse des électrons dans ce fil de cuivre. Données sur le cuivre : Masse volumique ρ = 8,9×103 kg.m-3 (densité 8,9) Masse atomique M = 63,5 g.mol-1 = 63,5×103 kg.mol-1 Nombre d’Avogadro : N = 6,022×1023 atomes. (N exprime pour & élément donné le nombre d’atomes contenus dans sa masse atomique) Degré de valence du cuivre (nombre d’électrons libres pour la conduction) ? Voir classification périodique des éléments (tableau de Mendeleïev) ⇒ Le cuivre est monovalent ♦ A partir de la masse volumique ρ de l’élément, on peut en déduire le nombre d’atomes par unité de volume. Le cuivre étant monovalent, il libère 1 e- par atome pour la conduction électrique. On en déduit que n le nombre d’e- libres par unité de volume est égal au nombre d’atomes par unité de volume. Dans le cas du cuivre, on trouve n = 8,53×1028 e-/m3 ♦ On sait que I = jS et que j = nqv, d’où : v = I nqS I et S sont donnés, q = 1,6×10-19 C. On trouve v = 0,073 mm.s-1. On commente alors la valeur extrêmement faible (et à priori surprenante) de la vitesse. Question : Comment se fait-il que l’information véhiculée par le courant soit instantanément transmise à l’autre bout d’un circuit ? Réponse : En fait, c’est l’aspect collectif du mouvement qui assure la transmission. 4.6 Types et effets du courant électrique Il peut exister différents types de courants : • Courant de conduction : les charges se déplacent dans un support conducteur (métal, semiconducteur, électrolyte, plasma (gaz fortement ionisé)) • Courant de convection : les charges sont fixes dans un support en mouvement. Il n'y aura pas d'effet Joule correspondant, mais les effets magnétiques existent. • Courant particulaire : déplacement des particules dans le vide : canons à électrons, canons à ions, etc. Quelques effets physiques liés au courant • Effet calorifique : c'est l'effet Joule qui est dû à la résistance au déplacement de particules chargées (chocs consécutifs des électrons sur les ions du réseau cristallin). Cet effet est utilisé avec profit pour la production de chaleur électrique. Pour la plupart des autres applications l'effet Joule correspond à une perte d'énergie. • Effet chimique : l'électrolyse, Exemple : fabrication de l'aluminium (oxydo-réduction). On part de l’oxyde d’Aluminium Al2O3, on dispose d’électrodes en carbone. L’Al2O3 se dissout dans 1 électrolyte (liquide) (Al3+, O2-) Cathode : électrode négative Cation : ion porteur de charge positive, le cation se déplace vers la cathode ( par extension, l’anion (<0) se déplace vers l’anode (>0)) • Effet électromagnétique : tout courant génère un champ magnétique, exemple : l'expérience d'Oersted : l'aiguille aimantée placée à proximité d'un fil conducteur modifie son orientation lorsque ce fil est parcouru par un courant. 5. Matériaux conducteurs/résistance électrique On l’a vu plus haut, les matériaux conducteurs présentent des propriétés différentes les uns des autres. La mobilité et la conductivité sont très variables d’un matériau à l’autre. La résistivité r est l’inverse de la conductivité : . Elle s’exprime en Ohm.mètres (Ω.m). La résistivité r d'un matériau est une grandeur intrinsèque qui dépend de la température θ selon la loi phénoménologique : r=r0(1+αθ) ; α est appelé coefficient de température. Matériau Métaux r0 (Ω . cm) Argent (Ag) Cuivre (Cu) Or Isolant Verre Semiconducteurs InP InSb (non dopés) Si -8 3,8.10 1,6.10 -8 3,93.10 2.44×10−8 0.0034 1,5.10 10 6 Mobilité 2 cm /(V.s) -3 -3 (~ 50) 4600 77000 6,40 GaSb Nanotubes de carbone -1 α (degré ) -0.07 1500 < 3000 -4 10 100 000 • Pour les métaux et alliages, la résistivité croît avec la température car l'agitation thermique augmente les collisions des électrons avec le réseau. • Pour les semiconducteurs, la résistivité décroît avec la température (au zéro absolu, il n'y a aucun électron libre pour la conduction, mais quand la température augmente le nombre d'électrons libres créé augmente) • Citons pour finir quelques phénomènes physiques liés à la conduction. Thermistance : utilisation de la variation de la résistance avec la température pour mesurer les températures. Exemple le composé Fe 2 0 3 /Mg0/Cr 2 03) Photorésistance la résistance est fonction de l'éclairement (cellule photoélectrique de sélénium (Se)). Phénomène de supraconductivité. Par supraconducteur (r=0) en-dessous de 7,2K. exemple, le plomb (Pb) devient La résistance d’un fil de longueur L et de section S s’exprime en fonction de la résistivité suivant la relation suivante : R - résistance – Ω ρ – résistivité – Ω.m L – longueur – m S – surface de la section – m² Exercices 1) Une charge électrique de 5 C franchit un point dans un circuit en 40 s. Quelle est l’intensité du courant associée ?? 2) Calculer la résistance d’une piste de circuit microélectronique d’épaisseur 50 nm, de largeur 20 µm et de longueur 1 mm. Le matériau qui constitue la piste a une résistivité égale à 2.5x10-6 Ω.m. 3) Mobilité électrique d’un métal On montre que la mobilité électrique µ est reliée à la conductivité des matériaux suivant la relation suivante : σ = nqµ. -1 σ - conductivité – Ω .m -1 n – densité de porteurs – m 2 -1 µ – mobilité – m .V .s -3 -1 q – charge d’un porteur – C a. Montrez grâce aux équations aux dimensions, que l’unité de µ est le m2.V-1.s-1. b. Le cuivre est un métal. On suppose que chaque atome de Cu libère un électron. La masse atomique du Cu est M=63.6 g.mol-1, sa masse volumique 8.8.103 kg.m-3. Déterminer n, le nombre d’électrons par m3 (densité de porteurs volumique). c. A 20°C, la conductivité du cuivre est de σ = 5.8 107 Ω-1.m-1 . Déterminer sa mobilité. On donne N = 6.02 1023 mol-1 4) Mobilité d’un semiconducteur, le germanium Dans un semiconducteur, le nombre d’électrons qui participent à la conduction dépend de la température, suivant la loi de Boltzmann : a. Montrez qu’un semiconducteur est isolant à basse température. b. Pour le germanuim, à T=300K, ni = 2.1013 cm-3. Déterminez n0 en cm-3. c. Déterminez ni à 400K. La résistivité du Ge est de 10 Ω.cm. Déterminez sa mobilité à 400K. On donne : Eg = 0.7 eV, 1eV == 1.6 10-19 J, k = 1.38 10-23 J.K-1 Chapitre 2 : Loi d’Ohm, énergie et puissance 2.1. Loi d’Ohm Def, convention de signes, exemples d’application des conventions 2.2. Energie et puissance Defs et unités, ex de calcul 2.3. Puissance dans une résistance Effet joule, puissance nominale des résistances 2.4 Code des couleurs 2.5. Calculs d’erreurs 2.5. Exos associés : calculs de tolérances, résistivités, ex de consommations électriques 2.1 Loi d’Ohm 2.1.1 Enoncé On doit à George Simon Ohm (1787-1854) un des principes fondamentaux de l’électricité et l’électronique : la loi d’Ohm. Le rapport entre la tension U appliquée aux bornes d’un conducteur et le courant I qui le parcourt est un nombre constant. Ce nombre caractérise une propriété du conducteur : sa résistance R. La résistance d’un corps est l’opposition qu’il offre au passage du courant électrique. Le courant évolue de manière linéaire avec la tension (et vice-versa). Le terme linéaire signifie qu’en augmentant ou en diminuant une grandeur d’un certain pourcentage, l’autre grandeur augmente ou diminue du même pourcentage. Par exemple, si la tension aux bornes d’une résistance triple, le courant triple aussi. Si la tension est diminuée de moitié, le courant suivra la même variation. La loi d’Ohm aux bornes d’une résistance (également appelée conducteur ohmique) placée entre les points A et B s’écrit : U AB = V A − V B = R × I (1) > Unité SI : l'Ohm (Ω). > Dimensions: vérifier que : [R]=M.L2.T-1.Q-2 2.1.2 Conventions de signes et de fléchages des courants et des tensions : Soit une résistance R placée entre 2 points A et B d’un circuit. • La tension entre A et B est représentée par une flèche dont l’orientation obéit aux conventions suivantes : Si on désigne UAB = VA – VB, la flèche pointe du côté du point A Si on désigne UBA = VB – VA, la flèche pointe du côté du point B Remarque : Si l’on souhaite lire la tension UAB sur un voltmètre il convient de brancher l’appareil de manière à ce que sa borne "+" soit en "A" et sa borne "-" en "B". Si l’on inverse le branchement c’est UBA qui est mesurée et on obtient donc une valeur de signe opposé. • Le courant entre A et B est représenté par une flèche. La valeur algébrique du courant est donnée par les conventions suivantes : Si le sens réel du courant va dans le sens de la flèche, il est positif, dans le cas contraire, il est négatif. 2.1.3 Conventions d’écriture de la loi d’Ohm • Quand la tension et le courant sont en sens opposés la loi d’ohm est comptée positivement. UAB = VA – VB = + R.I (convention récepteur) • Quand la tension et le courant sont dans le même sens la loi d’ohm est comptée négativement. UBA = VB – VA = - R.I (convention générateur) Les 2 écritures sont équivalentes. En effet, étant donné que UAB = -UBA on trouve bien UAB = + R.I Exo de cours : Calculer l’intensité du courant I dans R et donner son sens réel de circulation. Réponse : I = 10 mA et I circule de A vers B. 2. 2 Energie et puissance : Lorsqu’un courant traverse une résistance, l’énergie électrique est convertie en chaleur ou sous une autre forme d’énergie, comme de la lumière. Un exemple de ceci est une ampoule devenue trop chaude pour qu’on puisse la toucher. Le courant dans le filament émet une lumière et une chaleur parasite du fait de la résistance du filament. Le dégagement de chaleur qui accompagne le passage du courant à travers une résistance s’appelle effet Joule (James Prescott Joule : physicien britannique (1818 – 1889)). Ses conséquences sont tantôt utiles : éclairage par incandescence, chauffage électrique, protections électriques (fusibles, dispositifs ‘’thermiques’’ des disjoncteurs pour lutter contre les surcharges). Mais en règle générale, l’effet Joule est souvent nuisible, il diminue le rendement des machines électriques, en provoquant des échauffements, il accélère le vieillissement des matériaux. Enfin il peut conduire à des dommages irréparables, des incendies etc. L’énergie W mise en jeux par le déplacement d’une charge q se déplaçant sous la différence de potentiel (VA-VB) est W = q (VA-VB). Sachant que q = I×t (cf. Chapitre 1), on obtient : W = I×t×(VA-VB) = I×t×UAB, exprimée en Joules (J) La puissance P, est le dégagement d’énergie par unité de temps (t) et son équation est : P = W / t = UAB×I, exprimée en Watts (W) Notez que l’énergie s’écrit en italique et le Watt en non italique. Si on mesure la puissance dégagée sous forme de chaleur dans une résistance pour plusieurs intensités différentes, on peut alors tracer la courbe p=f(i) qui présente la forme d’une parabole d’équation : P P P=R×I2. La loi de Joule s’exprime par la formule : W =R×I2×t. i I Les électriciens emploient souvent le kilowattheure comme unité d’énergie, cela permet de manipuler des nombres plus petits. 1 kWh = 1000 W ×1h = 1000 J × 3600 s = 3,6 ⋅106 J s Les compteurs d’énergie mis en place par Electricité de France (EDF) chez les particuliers ou au sein des entreprises totalisent l’énergie consommée en kWh. Ex : puissance nominale type de plusieurs appareils ménagers. Appareil Puissance nominale (Watts) Climatiseur 860 Sèche-cheveux 1300 Horloge 2 Sèche-linge 4800 Lave-vaisselle 1200 Chaufferette 1500 Four micro-ondes 800 Four de cuisinière 12000 Réfrigérateur 1800 Téléviseur 250 Machine à laver 400 Chauffe-eau 2500 Remarque : En électronique, il est fréquent de retrouver des puissances inférieures à un Watt. Dans certaines applications, on parle en mW ou en µW. Dans le domaine de la production d’électricité les unités les plus employées sont le kilowatt (kW) et le mégawatt (MW) (cf. cours sur l’énergie). Exo de cours : Sur une période de 24h, vous utilisez les appareils suivants pendant les durées spécifiées : Climatiseur : 15h, Sèche-cheveux : 10 min, Horloge : 24 h, Sèche-linge : 1h, Lave-vaisselle : 45 min, Four micro-ondes : 15 min, Réfrigérateur : 12h, téléviseur : 2h, chauffe-eau : 8h. Déterminer le nombre total de kWh et la facture d’électricité à payer pour cette journée, si le prix est de 0.115 euros (source EDF mars 2011, option de base sans tarif heures creuses). 2.3 Puissance nominale des résistances Les résistances sont disponibles dans une large gamme de valeurs ohmiques déterminées en usine. Elles sont fabriquées selon diverses méthodes et avec différents matériaux. La conception la plus courante est dite au carbone et se compose d’un mélange de carbone réduit en poudre fine, d’un remplissage isolant et d’un liant résineux. Le mélange est façonné en tige dans laquelle on place des broches de connexion. Ensuite l’élément résistif est encapsulé dans un revêtement isolant protecteur. (Mettre dans chapitre 1.) La puissance nominale est la puissance maximale qu’une résistance peut dissiper sans être endommagée par une accumulation excessive de chaleur. La puissance nominale n’est pas déterminée par la valeur ohmique du composant mais essentiellement par la composition physique, la taille et la forme de la résistance. Dans des conditions équivalentes, une résistance ayant une aire de surface plus grande pourra dissiper plus de puissance. L’aire de surface d’une résistance cylindrique est égale au produit de la longueur (l) par la circonférence c. Les résistances courantes utilisées dans les circuits ont des puissances nominales allant de ¼ W à 1 W. (Pour certaines applications, les puissances nominales peuvent toutefois être bien supérieures) Exo de cours : Choisissez la bonne puissance nominale pour chacune des résistances. Remarque : Il faut calculer la puissance maximale dissipée dans le circuit puis choisir une valeur nominale qui correspond à la première valeur standard qui dépasse ce maximum. 2.4 Code des couleurs Les résistances portent un code de couleurs à 4 (ou 5) anneaux pour désigner la valeur ohmique et la tolérance. Voici comment déchiffrer le code des couleurs à quatre anneaux : 1. Commencez par l’anneau le plus rapproché d’une borne. Le premier anneau indique le premier chiffre de la résistance. Si vous ne savez pas par quel anneau commencer choisissez l’anneau qui n’est ni or ni argent. 2. Le deuxième anneau indique le second chiffre de la valeur ohmique. 3. Le troisième anneau indique le nombre de zéro après le deuxième chiffre. Il correspond au coefficient multiplicateur. 4. Le quatrième anneau indique la tolérance et il est généralement de couleur or ou argent. 2.5 Calcul d’erreurs Le calcul d’erreur permet d’évaluer l’erreur que l’on obtient sur une grandeur calculée à partir de grandeurs mesurées. Une grandeur mesurée M va toujours s’écrire de la façon suivante : M ±∆M. Prenons l’exemple de calcul d’erreur suivant. Soit l’expression : I =U/R Supposons que l’on ait mesuré U = 5V, avec une certaine précision ∆U = 0.1V (limitée par l’appareil de mesure) et que l’on ait une précision de ±5% de R = 1kΩ, qui est donnée pour toute résistance. Avec ces deux grandeurs et leurs précisions respectives, on cherche à savoir quelle précision ∆I on obtient sur le courant I lorsque l’on effectue son calcul. La technique qui permet d’accéder à la précision sur I est une technique de calcul d’erreur. On en dénombre deux qui sont présentées ici. La démarche globale est toutefois toujours la même : 1. Différencier l’expression par le calcul, par l’une ou l’autre des deux méthodes qui sont proposées, 2. Regrouper les différents termes, 3. Calculer l’erreur elle même en prenant les valeurs absolues de chaque terme. Méthode 1 : Utilisation de la différentielle totale C’est une technique qui fonctionne toujours mais qui nécessite un nombre de calculs qui peut être important. L’idée générale est de d’abord exprimer la différentielle totale de l’expression. Si nous reprenons l’expression I = U/R, la différentielle totale s’écrit : dI = ∂I ∂I dR + dU ∂R ∂U On a donc besoin de calculer deux dérivées partielles : ∂I U ∂I 1 = − 2 et = ∂R ∂U R R On a donc : dI = − U R 2 dR + 1 dU R Passons maintenant au calcul d’erreur lui-même, en prenant la valeur absolue de chaque terme : ΔI = U R2 ΔR + 1 ΔU R Calculons numériquement cette valeur : l’erreur sur la résistance est donnée en erreur relative (5%). En erreur absolue, cela donne : ΔR = 5 × 1000 = 50Ω 100 Il vient donc : ΔI = 5 1000 2 × 50 + Soit ΔI = 0.35mA 1 × 0.1 1000 Méthode 2 : Différentielle Logarithmique Cette méthode se base sur les propriétés du logarithme, notamment sur l’idée que l’on peut transformer un produit en somme, un rapport en différence, et une puissance en produit. Elle ne s’applique donc correctement que pour des expressions mathématiques exclusivement composées de produits, rapports, racines et puissances. Si l’expression contient notamment des sommes ou des différences, on peut s’attendre à "tomber dans une impasse" et ne jamais arriver au résultat. Cependant, lorsqu’elle est applicable, cette méthode peut faire gagner beaucoup de temps puisqu’elle permet d’éviter le calcul des dérivées. Elle consiste d’abord à prendre le logarithme népérien de l’expression considérée. A partir de notre exemple, celà donne : ⎛ U ⎞ ln (I ) = ln⎜ ⎟ ⎝ R ⎠ On utilise ensuite les propriétés des logarithmes : Ln(I ) = ln (U ) − ln (R ) On calcule l’accroissement en dérivant l’expression terme à terme, ce qui est excessivement simple : d (Ln(I )) = d (ln(U )) − d (ln(R )) dI dU dR = − I U R Passons au calcul d’erreur en prenant la valeur absolue de chaque terme : ΔI ΔU ΔR = + I U R D’où : ΔI = U ⎛ ΔU ΔR × ⎜⎜ + R ⎝ U R ⎞ ⎟⎟ ⎠ Numériquement : ΔI = ⎛ 0.1 5 5 × ⎜⎜ + 1000 ⎝ 5 100 ⎞ ⎟⎟ = 0.35mA ⎠ On trouve donc exactement le même résultat par les deux techniques, elles sont donc équivalentes. 2.6 Exercices associés : Exercice 1: La tension aux bornes d'un conducteur ohmique AB est UAB=2,5V. L'intensité du courant qui le traverse 47mA. 1. Donner le sens du courant qui traverse ce dipôle. 2. Calculer la résistance de ce conducteur ohmique. Exercice 2: 1. En utilisant le code des couleurs, déterminer la résistance du conducteur ohmique cicontre (jaune, violet, rouge, or). 2. Quelle est l'intensité du courant qui le traverse lorsque la tension à ses bornes est de 12V? Calculer l’incertitude sur la valeur du courant sachant que la tension est mesurée à ±0.05 V Exercice 3 : Puissance d’une ampoule électrique a) Évaluer le courant consommé par une ampoule électrique de 60 W sous 230 V. b) Quelle est sa résistance ? Calculer ∆R sachant que la puissance est donnée avec une précision de 1 W et la tension avec une précision de 1 V. c) Que deviennent le courant et la puissance de cette ampoule si sa résistance est réduite de moitié ? d) Quel est son rendement, sachant que la puissance lumineuse utile est de 10 W ? Exercice 4 : Puissance et énergie consommée – 1 a) L’éclairage d’une maison est assuré par 9 lampes de 60 W. Quelle est l’énergie (en kWh) consommée par ces lampes en 4 heures. b) Sachant que l’électricité coûte 15 centimes par kilowattheure, et supposant que ces lampes brûlent chaque nuit pendant une année, que coûtera cet éclairage ? c) Quel serait le gain si elles sont remplacées par des lampes dites économiques, fournissant la même lumière tout en ne consommant que 15 W ? Exercice 5 : Puissance et énergie consommée – 2 Un grille-pain branché sur 230 V consomme 3 A. Quelle est sa puissance et quelle énergie (en kWh) consomme-t-il pour faire des toasts en 5 minutes ? Exercice 6 : Un dispositif d'éclairage domestique alimenté par le secteur (230 V) comporte 6 ampoules de 60 W. 1. Comment sont branchées les 6 ampoules ? 2. Quelle est la puissance électrique totale reçue ? 3. Quelle est l'intensité du courant dans les fils d'alimentation du dispositif ? Exercice 7 : Une résistance radio R de 150 ohm supporte une puissance maximale Pm de 0,5 W. 1. Elle est soumise à une tension U1 de 6 V. Calculer l'intensité I1 du courant qui la traverse et la puissance électrique P1 reçue. Vérifier si cette puissance reste dans la limite admissible. 2. Elle est maintenant soumise à une tension U de 12 V. Calculer l'intensité I2 du courant qui la traverse et la puissance électrique P2 reçue. Vérifier si cette puissance reste dans la limite admissible. Que se passe-t-il ? Exercice 8 : Dans une installation domestique alimentée en 230 V, un électricien ne peut pas monter plus de 8 prises sur une ligne de 16 A. 1. Quelle est la puissance moyenne disponible sur chaque prise ? 2. Une salle de séjour dispose de 5 prises sur la même ligne. On branche un radiateur de 2000 W sur une des prises. Quelle est la puissance disponible sur les 4 autres prises ? 3. Outre l'appareil de chauffage, un téléviseur de 200 W est allumé ainsi qu'une lampe à halogène de 300 W. Que se passe-t-il si on branche un fer à repasser de 1500 W ? 4. Pourquoi impose-t-on une limite au nombre de prises ? Exercice 9 : Supposons qu’un technicien doive acheter, pour un montage électronique, une résistance dont la valeur doit être comprise entre 140 Ω et 150 Ω. Auquel (ou auxquels) des fournisseurs ci-dessous devrat-il s’adresser ? - Fournisseur 1 : résistances de 147 Ω± 1%, - Fournisseur 2 : résistances de 145 Ω± 5%, - Fournisseur 3 : résistances de 147 Ω± 2%. - Fournisseur 4 : résistances de 142 Ω± 1%. - Fournisseur 4 : résistances de 142 Ω± 5%. Si les fournisseurs omettent de donner la précision de leurs produits, est-il possible de faire un choix correct ? Exercice 10 La longueur, la largeur et la hauteur d’une salle sont les suivantes : longueur 10.2 ± 0.1 m largeur 7.70 ± 0.08 m hauteur 3.17 ± 0.04 m Calculez les grandeurs suivantes et donnez les résultats avec leurs incertitudes absolues : a) le périmètre b) la surface du sol c) le volume de la salle. Rép. 35.80 ± 0.36 m. 78.54 ± 1.59 m2. 248.97 ± 8.17 m3. Exercice 11 La fréquence de resonance d’un circuit RLC est donnée par : 𝑓 = !! ! !" L et C sont connus avec des incertitudes ΔL et ΔC. On suppose pi parfaitement connu. Déterminer les incertitudes relative et absolue sur f par les deux méthodes que vous connaissez. Chapitre 3 : Générateurs, récepteurs et circuits 3.1. Générateurs/Récepteurs : définitions 3.2 Loi d’Ohm aux bornes d’un générateur et d’un récepteur : conventions de signe 3.2.1 Générateur 3.2.2 Récepteur 3.2.3 Loi d’Ohm généralisée 3.2.4 Loi de Pouillet 3.3 Notion de circuit et lois associées 3.3.1 Définitions des éléments d’un circuit 3.3.2 Les lois de Kirchhoff 3.3.3 Diviseur de tension 3.3.4 Diviseur de courant 3.3.5 Lois d’association des résistances 3.4. Générateur de tension / générateur de courant 3.4.1 Cas général 3.4.1 Générateur de tension 3.4.2. Générateur de courant 3.5. Exos associés : utilisation des conventions, calculs simples de courants/tension dans des mailles, applications des diviseurs 3.1 Générateurs/Récepteurs : définitions D’une manière générale, tout circuit électrique peut se représenter sous la forme d’un « générateur » d’énergie alimentant un « récepteur » chargé de transformer l’énergie électrique reçue en une autre forme exploitable, les deux dispositifs étant reliés par des conducteurs. Dans le cas d’un générateur on dit qu’il fournit une force électromotrice (f.e.m) E. Dans le cas, d’un récepteur on parle de force contre-électromotrice (f.c.e.m) E’. Les générateurs et récepteurs simples possèdent en général deux bornes. Ce sont des dipôles électriques. Les dipôles générateurs sont dit actifs, ceux qui ne font que consommer de l’énergie sont dits passifs. Parmi les générateurs on distingue entre autres : les piles et les batteries. Les récepteurs peuvent aussi être vus comme des dipôles qui reçoivent de l’énergie électrique et qui la convertissent en une autre forme d’énergie. Exemples de récepteurs : 1. La résistance : 2. La lampe : 3. Le moteur : 3.2 Loi d’Ohm aux bornes d’un générateur et d’un récepteur : conventions de signe 3.2.1 Générateur : En fonctionnement réel, une partie de l’énergie est perdue dans le générateur par effet Joule. On attribue donc une résistance interne r à un générateur réel. La loi d’Ohm aux bornes d’un générateur s’écrit : UAB = VA – VB = E- r.I Convention générateur : Tension et courant dans le même sens. La puissance fournie par le générateur est égale à : P=E×I 3.2.2 Récepteur : On attribue une résistance interne r’ à un récepteur réel. En effet, il ne transforme pas la totalité de l’énergie qu’il reçoit. L’énergie perdue peut se modéliser par cette résistance interne. La loi d’Ohm aux bornes d’un récepteur s’écrit : UAB = VA – VB = E’+ r’.I Convention récepteur : Tension et courant dans des sens opposés. La puissance reçue par le récepteur est égale à : P’=E’×I 3.2.3 Loi d’Ohm généralisée U AB = ∑ ( fcem) − ∑ ( fem) + ∑ (r ). I avec I allant de A vers B. 3.2.4 Loi de Pouillet Si l’on referme sur elle-même la branche AB précédente, on obtient une seule maille pour laquelle on a le courant : I= ∑ ( fem ) − ∑ ( fcem) ∑ (R ) 3.3 Notion de circuit et lois associées 3.3.1 Définitions des éléments d’un circuit > Réseau : ensemble de composants électriques (générateurs, récepteurs, résistances) formants des circuits fermés > Noeud : point de jonction d'au moins trois conducteurs > Branche : portion de circuit située entre deux noeuds > Maille : circuit fermé constitué d'un nombre quelconque de branches > Circuit électrique (ou circuit) = réseau de conducteur 4 nœuds : A,B,C,D 6 branches : AB,AC,AD,BC,BD,CD 7 mailles : ABCA,ACDA,BDCB, ABDA (3 branches) et ABCDA,ABDCA,ACBDA (4 branches) 3.3.2 Les lois de Kirchhoff a) Lois des nœuds La loi des nœuds traduit simplement la non-accumulation de charges en un point du circuit. En tout nœud d'un circuit, la somme des intensités des courants entrants est égale à la somme des intensités des courants sortants. Ou encore : La somme algébrique des courants entrants (+) et sortants (-) est nulle Σ± I=0 avec + si entrant et – si sortant b) Lois des mailles La loi des mailles correspond simplement à une façon systématique d'écrire la loi d'Ohm généralisée pour une maille donnée, avec des conventions de signe bien précises : 1 / On choisit un sens de parcours arbitraire sur la maille et des sens de courant arbitraires pour chaque courant de branche. 2 / On écrit alors l'expression de la chute de potentiel le long de la maille : Σ(±RI) + Σ(±E)=0 Avec : +RI, si le courant dans R est dans le sens de parcours, et +E, si la borne + est la première borne rencontrée dans le sens de parcours. 3 / Après résolution les équations aux nœuds et aux mailles, on obtient des courants de branches Ib qui sont soit positifs, soit négatifs : • • Si Ib>0, le sens du courant choisi a priori correspond au sens réel du courant dans la branche Si Ib<0, le sens du courant choisi a priori correspond au sens inverse du sens réel du courant 3.3.3 Diviseur de tension VC − V B = R2 × (V A − V B ) R1 + R 2 Si B est à la masse, VB = 0 V et on a : VC = R2 ×VA R1 + R 2 Démonstration : • 1 courant I circule entre A et B • On utilise la loi d’Ohm aux bornes d’une résistance : Donc I = V A − VB R1 + R1 donc : VC − V B = R2 × (V A − V B ) R1 + R 2 3.3.4 Diviseur de courant : I1 = R2 I R2 + R1 et I2 = R1 I R2 + R1 Démonstration : • 2 courants de branche I1 et I2. • Loi des nœuds en A : • loi des mailles : Maille ABA : R1I1 – R2I2 = 0 On remplace I1 par l’expression Soit R1×(I-I2)-R2I2 = 0 ou I2 par l’expression ou R1I1-R2(I-I1) = 0 On obtient donc : I2 = R1 I R1 + R2 ou I1 = R2 I R1 + R2 3.3.5 Lois d’association des résistances (Savoir le démontrer) n • En série : Req = ∑ Ri i =1 . Démonstration : n n n U = ∑ U i = U 1 + U 2 + ..... + U n = ∑ Ri I = I × ∑ Ri = I × Req i =1 • En parallèle : i =1 n 1 1 =∑ Req i =1 Ri Cas à 2 résistances : Req = Démonstration : R1 R2 R1 + R2 i =1 U = U 1 = U 2 = .....U n n n n Ui n U 1 U =∑ =U × ∑ = Req i =1 Ri i =1 Ri i =1 Ri I = ∑ Ii = ∑ i =1 3.4. Générateur de tension / générateur de courant 3.4.1 Cas général Soit un générateur de interne r, de f.e.m E débitant sur une résistance de charge R. 3.4.2 Générateur de tension : R >> r U AB = R. E E = R+ r 1+ r R Si R >> r → UAB ≅ E Dans ces conditions, on dit que le générateur fonctionne en générateur de tension. La tension à ses bornes est constante, indépendante de la charge, c'est-à-dire du courant débité. Symboles : 3.4.3 Générateur de courant : R << r En écrivant la loi de Pouillet, il vient : I= E E = R+ r r 1+ R ( r ) Si R << r → I ≅ E/r = Constante Dans ces conditions, on dit que le générateur fonctionne en générateur de courant. Il fournit un courant constant, indépendant de la charge qui lui est connectée. Symboles : Pour un générateur réel, sa résistance n’est pas infinie. On obtient : I= U E U AB − = I 0 − AB r r r Le générateur de courant réel peut être modélisé par une source idéale de courant en parallèle avec sa résistance interne r. 3.4 Technique de résolution de circuit Soit un circuit contenant n nœuds et b branches. > II y a autant d'inconnues (courant de branches) que de branches : b inconnues > On dispose de (n-1) équations aux nœuds indépendantes (en effet, l'équation obtenue pour le dernier des n nœuds n'est qu'une combinaison des équations précédentes ( cf. exercice de cours) > II faut donc trouver b-(n-l) équations aux mailles indépendantes pour déterminer les b inconnues > Recherche des mailles indépendantes : o Toutes les branches doivent être couvertes o Ne pas choisir une maille qui est la superposition d'autres mailles Exercice d’application Ecrire pour le circuit donné ci-dessous, les 4 équations de noeuds et montrer que la quatrième équation n'est qu'une combinaison-des autres. A C B Maille 1 : 2(j-­‐k)-­‐3+4+16j+8i =0 Soit 8i+18j-­‐2k=-­‐1 Maille 2 -­‐6k+5(i-­‐j)-­‐2-­‐16j-­‐4 = 0 Soit 5i-­‐21j-­‐6k=6 Maille 3 -­‐24+(i-­‐j+k)+5(i-­‐j)-­‐2+8i = 0 Soit 14i-­‐6j+k=26 La résolution donne i = 1,5A, j = -­‐0,5A et k = 2A. Donner les valeurs des autres courants dans les autres branches. 3.5. Exos associés : utilisation des conventions, calculs simples de courants/tension dans des mailles, applications des diviseurs Exercice 1 : Calculer la résistance équivalente du dipôle AB. Exercice 2 : Déterminer la valeur du courant I circulant dans le circuit. Exercice 3 : Déterminer les potentiels de tous les points du circuit. Exercice 4 : Sur chacun des deux schémas (a) et (b), déterminer les tensions U inconnues. Exercice 5 : Sur chacun des schémas (a) et (b), déterminer les courants inconnus qui circulent des les résistances R. Exercice 6 : Déterminer la valeur de la tension U aux bornes du générateur de courant. Exercice 7 : Dans le schéma ci-dessus, les quatre résistances ont chacune une valeur de 100Ω et le générateur délivre une tension E = 20V. Déterminer la valeur du courant I. Exercice 8 : Déterminer la résistance équivalente du dipôle AB. Exercice 9 : comportement et choix d’un potentiomètre de puissance Un potentiomètre est une résistance dotée de trois bornes : (a) et (b) sont fixes (aux extrémités de la résistance) alors que (c) est un curseur (mobile). La position de borne peut être repérée par un paramètre X avec 0 < X < 1. Si la résistance totale est RH, elle se décompose en une résistance X.RH entre (b) et (c) et une résistance (1-X).RH entre (a) et (c). Le montage potentiomètrique ci-dessus est alimenté par un générateur de tension continue E. Il alimente une charge R sous une tension U qui dépend de la position X du curseur. (X = 0 ↔ U = 0 ; X = 1 ↔ U = E). 1) exprimer U en fonction de E, X et RH . R Compléter le tableau suivant : A partir des valeurs ci-dessus, représenter l’allure des courbes U(X) pour et RH = 10 . R RH R = 0. 1 , H = 1 R R 2) Exprimer la résistance équivalente RT entre les bornes du générateur E en fonction de X, RH et R. d (RT ) Pour tout 0 < X < 1, on peut montrer que : < 0 . En déduire l’expression du courant dX I Tmax en fonction de E, RH et R. N.B : lorsque le curseur est presque au maximum, on peut considérer que la partie supérieure de RH est traversée par ce courant I Tmax . Ce courant doit demeurer inférieur au courant maximum admissible par le potentiomètre sous peine de la détruire. 3) Soit E = 220V et R = 200Ω. On dispose de trois potentiomètres : RH1 : 75 Ω / 3.6 A ; RH2 : 201 Ω / 2.2 A et RH3 : 1000 Ω / 1.5 A (L’intensité indiquée est la valeur maximale à ne pas dépasser). Choisir le potentiomètre qui ne sera pas détruit et qui donnera la variation U ( X ) la plus régulière. Exercice 10 : Un générateur de courant I = 10 mA et de résistance interne r = 1 MΩ débite dans 2 résistances R1 = 500Ω et R2 = 800Ω placées en parallèle à ses bornes. Déterminer la valeur du courant dans R2. Exercice 11 Soit le circuit représenté ici : 1. Donner l’expression littérale du courant I. 2. Soit E1 = 12 V et E2 = 9 V. Exprimer I en fonction de R 3. Déterminer la valeur de la tension V. Exercice 12 Déterminer les intensités des courants dans les branches du circuit : Exercice 13 Déterminer l’intensité I. Chapitre 4 : Composants de base (traitement temporel) 1. Le condensateur/capacité Def, notion d’accumulation d’énergie, condensateur réel Caractéristiques physiques des C calcul de capacité, différents C 2. Le C en circuit continu Circuit RC, charge et décharge, équa diff 1er ordre, constante de temps 3. La bobine/inductance Def, bobine de base Caractéristiques physiques des L Calculs de L, différentes L existantes 4. La L en circuit continu Equa diff 1er ordre circuit RL 5. Exos associés Durée 5 séances à 7h30 1. Le condensateur 1.1 Définition Un condensateur est un composant électrique capable d’emmagasiner de l’énergie électrique puis de la restituer. Dans sa version la plus basique, c’est une double armature constituée de deux plaques conductrices métalliques séparées par un matériau isolant (diélectrique) : Le symbole électrique du condensateur est le suivant : Lorsque l’on branche un condensateur à un générateur de tension continue, des charges s’accumulent sur les armatures : l’une portera des charges +, l’autre des charges -­‐. La valeur absolue de ces charges sera la même : q. On montre que cette charge électrique est proportionnelle à la différence de potentiel appliquée entre les deux armatures. La constante de proportionnalité s’appelle la capacité C : q = CU q -­‐ charge du condensateur – C C – capacité – F (Farad) U – tension aux bornes du condensateur – V Si l’on déconnecte le générateur de tension, le condensateur reste chargé : il retient ses charges. Dans cette configuration, une énergie électrique est accumulée sous la forme du champ électrique qui règne entre les armatures du condensateur. On considère ce champ constant si la distance d entre les armatures et petite devant leur surface (c’est le cas des condensateurs utilisés en électronique). Ce champ électrique est orienté de l’armature positive vers l’armature négative (orientation vers les potentiels décroissants car E = −GradV ). Son module vaut : E = U/d (Volts/m). 48 1.2 Capacité d’un condensateur La capacité d’un condensateur plan dépend des paramètres physiques et géométriques du condensateur. On montre que : ε S C= r d C – capacité – F (Farad) avec ε r = ε εS 0– surface des armatures – m² d – distance séparant les armatures – m ε0 – constante diélectrique du vide (8.85 10-­‐12 F/m) 1.3 Types de condensateurs εr – permittivité relative Il existe différents types de condensateurs, de tailles et de composition très variées en fonction des applications visées. Voir scan ‘techno-­‐C’ 2. Le condensateur en circuit continu 2.1 Charge et intensité du courant On relie un condensateur non chargé à une pile de tension U : que se passe t il ? De quelle manière la tension U va t elle s’établir entre les deux armatures ? Lorsqu’on connecte la pile, des charges + s’accumulent sur l’armature A pendant que des charges – s’accumulent sur l’armature B. Les charges sur chaque armature sont identiques en valeur absolue : qA = -­‐ qB. Un courant i apparait donc. Il vaut i = dq A . dt Lorsque VA-­‐VB = U, on atteint un équilibre, le condensateur est chargé, qA = -­‐qB = Q et le courant i cesse. La tension aux bornes de C vaut U. 2.2 Association de condensateurs a) En série 49 1 C equ n 1 1 1 1 = + + ......... + C C C C 1 2 n i =1 i =∑ La capacité équivalente est inférieure à la plus petite des capacités mises en jeu. b) En parallèle n C equ = ∑ C i =C 1 + C 2 + .......C n i =1 2.3 Circuit RC, charge d’un condensateur a) Equation différentielle On place en série un condensateur de capacité C, non chargé, et une résistance R. 50 A l’instant t=0, on ferme l’interrupteur k. Un courant i s’instaure le temps de la charge du condensateur à travers la résistance. On a : U = tension (constante) de la pile UR = tension aux bornes de la résistance, UC = tension aux bornes de C. U = UR + UC (loi d’additivité des tensions) qA > 0 UR = Ri, UC = qA/C et i = dqA/dt donc i = C.(dUC/dt) Il vient l’équation différentielle suivante : U = RC dU c + U c dt C’est une équation différentielle du premier ordre à coefficients constants. RC est homogène à un temps : on nommera ce produit τ = RC : constante de temps du circuit. b) Résolution de l’équation U = RC dU c + U c dt Les termes en UC (l’inconnue) sont regroupés et forment le premier membre de l’équation. U (ici c’est une constante), est le second membre de l’équation. Méthode : -­‐ Résolution de l’équation sans second membre (ESSM) 0 = RC dU c + U c dt On a : dU c 1 dU C dt → = −U C × =− dt RC UC RC On intègre : t dU C dt → ln U + K = − = − C ∫ U C ∫ RC RC On obtient : U C = Ae − t RC , solution de l’équation sans second membre. 51 -­‐ Solution particulière de l’équation avec second membre Dans le cas ou le second membre est constant, une solution constante est solution particulière : Si on pose UC = B constante, alors dUC/dt = 0 et l’équation avec second membre devient : U = UC = B. -­‐ Solution générale = somme solution sans second membre + sol particulière U C = Ae − t RC + U -­‐ On détermine A avec les conditions initiales A t=0, la tension aux bornes du condensateur est nulle, soit : UC(0) = 0. On en déduit A = -­‐U. La solution de l’équation différentielle est finalement : t ⎛ − ⎜ RC = U ⎜ 1 − e ⎝ UC ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ c) Allure de la courbe de charge -­‐ déterminer la pente de la tangente à l’origine : comment peut on déduire de la courbe la valeur de la constante de temps RC ? 0 − dU C (t = 0) = U e RC = U dt RC RC U Tangente à l’origine : y (t ) = t RC Donc y(τ ) = U τ peut être obtenue à partir du point d’intersection de la l’origine et de la droite y=U. tangente à 52 -­‐ Déterminer le temps de montée : tm = t90% - t10% : c’est le temps nécessaire au signal pour passer de 10% à 90% de la valeur finale (on trouve tm = RC ln9) t90% ??? t ⎛ − 90% ⎞ 90 ⎜ U = U 1 − e RC ⎟ ⎜ ⎟ 100 ⎝ ⎠ − 10 → =e 100 t10% ??? t90% RC → ln t ⎛ − 10% 10 ⎜ U = U ⎜ 1 − e RC 100 ⎝ t 10 10 = − 90% → t 90% = − RC × ln 100 RC 100 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ t − 10% t 90 90 90 → = − 10% → t 10% = − RC × ln = e RC → ln 100 RC 100 100 tm = t90% - t10% 90 ⎞ ⎛ 10 ⎛ 1 ⎞ t m = − RC × ⎜ ln − ln ⎟ = − RC ln⎜ ⎟ = RC ln 9 100 ⎠ ⎝ 100 ⎝ 9 ⎠ Physiquement, la constante de temps correspond donc au retard que met la charge (donc la tension UC) à atteindre sa valeur d’équilibre dans le circuit. 2.4 Circuit RC, décharge d’un condensateur Le traitement de la décharge d’un condensateur se fait sensiblement de la même manière. Cette fois on suppose qu’on connecte un condensateur chargé à la tension U à une résistance R. On n’a plus de source de tension (pile) dans le circuit. La charge qA est supposée positive. Un courant i apparait donc, orienté comme sur la figure, le temps de la décharge du condensateur dans la résistance R. à t = 0, lorsqu’on ferme l’interrupteur, UC = U = qA/C. On a UC +UR = 0 à tout moment. L’équation différentielle est la suivante (démo) : 53 0 = RC dU C + U C dt La solution est (démo) : U C = Ue − t RC 2.5 Fonctions mathématiques associées aux circuits CR et RC Pour simuler le circuit précédent, avec ou sans pile, on peut utiliser une source de tension stabilisée qui fournit une tension carrée variant entre 0 et U. Sur la partie positive de la tension, on se retrouve dans la configuration étudiée en 2.3 et sur la partie nulle on retrouve la configuration 2.4. -­‐ -­‐ -­‐ On a U = VC + VR. Faire les figures a), b), c au tableau. Commentaires : Ve est la source de tension carrée. Elle varie entre 0V et UV. VR est la tension aux bornes de R. VR = Ri. Cette tension est proportionnelle au courant dans le circuit, avec i = C.(dVC/dt). VC est la tension aux bornes de la capacité. Aux bornes de C, la tension est 1 proportionnelle à la primitive du courant. VC = ∫ idt C 54 Circuit CR dérivateur (basse fréquence T >> τ) dV e dt (Si on met un signal triangulaire en entrée, on aura un carré aux bornes de R.) VC ≅ Ve donc V R = RC Faire un dessin: la constante de temps de la charge ne change pas et on a l’impression que la courbe VC tend vers une fonction carrée. VR est la dérivée de cette fonction. VR tend vers une valeur très élevée sur la partie transitoire puis s’annule lorsque VC devient constante. Circuit RC intégrateur (haute fréquence T << τ) VC est très petit devant VR dVC 1 → VC = Ve dt dt RC ∫ VC est l’intégrale de Ve. Ve ≅ RC 55 3. La bobine 3.1 L’inductance d’une bobine Un fil conducteur enroulé autour d’un axe constitue une bobine. Le courant qui traverse cette bobine crée un champ magnétique, proportionnel au nombre de spires et au courant. Ce champ magnétique génère une tension (force électromotrice) aux bornes de la bobine donc un courant induit (on parle d’auto-­‐induction), qui s’oppose au passage du courant initial (loi de Lenz). L’inductance est la propriété d’un fil à s’opposer à un changement du courant. Le symbole de la bobine L (ou self) est le suivant : Champ magnétique dans la bobine : B = µ0 i(N/LB) (orientation : règle de la main droite), B en Tesla, µ0 perméabilité magnétique du vide (H/m), N nombre de spires dans la bobine, LB longueur de la bobine, i en ampères. . e = -­‐L (di/dt) force électromotrice induite (auto-­‐induite) aux bornes de la bobine de N spires. Si le courant est croissant, e est négative ; s’il est décroissant, e est positive. Par exemple, pour que cette force électromotrice s’oppose au courant croissant qui l’a créé, il faut qu’elle soit orientée comme le schéma suivant (e négative) : Avec la convention récepteur, on écrit le courant et la tension aux bornes de la bobine ainsi : L est l’inductance de la bobine. Unité : Henry H 3.2 Calcul d’inductance La valeur de l’inductance est liée au nombre de spires que compose la bobine. En général cette dernière est traversée par un entrefer (noyau) dont les propriétés magnétiques diffèrent selon les matériaux. On a : 56 N – nombre de spires A – surface de la section – m² L – longueur du noyau – m -­‐7 avec µ = µ0µr et µ0 = 4π 10 H/m µ – perméabilité du noyau – H/m µr – perméabilité relative 3.3 Types de bobines Il existe de nombreux types de bobines différentes. Elles peuvent être fixes ou variables, de tailles très différentes. Elles sont classées selon le type de matériau du noyau. Voir scan ‘techno L’. 3.4 Association d’inductances Les lois d’association des inductances, en série ou en parallèle, sont les même que celles des résistances. 4 La bobine en courant continu : le circuit RL, établissement d’un courant 4.1 Equation différentielle à t = 0, on ferme l’interrupteur K. Un courant i croissant va tenter de s’établir dans le circuit, du à la présence de la pile U. Lors de l’établissement de ce courant (c'est-­‐à-­‐dire lors du passage d’un courant nul à un courant positif), la bobine va réagir en produisant une force contre électromotrice qui va s’opposer à i. On aura alors : UR = Ri UL = L (di/dt) Donc une équation différentielle de la forme : U = Ri + L di dt A mesure que le temps passe, le taux d’augmentation du courant (sa dérivée) diminue et la fcem diminue aussi. 57 Lorsque le courant aura atteint une valeur constante, la fcem aux bornes de la bobine sera nulle, la bobine jouera le rôle d’un fil de résistance nulle (cas d’une bobine idéale). Le rapport L/R, homogène à un temps, est la constante de temps du circuit LR. Il correspond au temps nécessaire au circuit pour établir un courant constant. C’est le retard induit dans l’augmentation du courant. 4.2 Résolution de l’équation différentielle L’équation différentielle du circuit LR, en courant, est semblable à l’équation différentielle qui régit l’établissement de la charge d’un condensateur dans un circuit RC. Sa résolution est similaire et ne sera pas refaite en détails. Il faudra cependant être capable de la faire. R − t ⎞ U ⎛⎜ On trouve : i (t ) = 1 − e L ⎟⎟ ⎜ R ⎝ ⎠ Résolution : U = Ri + L di dt 1) équation sans second membre R − t di 0 = Ri + L → i (t ) = Ae L dt 2) solution particulière i = U / R R − t U 3) solution générale i (t ) = + Ae L R 4) condition initiale i (t = 0) = 0 donc A=-­‐U/R R − t U ⎛⎜ L ( ) i t = 1 − e D’où ⎜ R ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ R di U − t U L (t ) = L → U L (t ) = e L dt L R ⎛ − t ⎞ ⎜ U R (t ) = Ri → U R (t ) = U ⎜ 1 − e L ⎟⎟ ⎝ ⎠ 58 Faire la courbe, commenter brièvement comme pour le RC. 4.3 Circuit RL : déconnexion de la pile On suppose au départ le circuit avec l’interrupteur K dans la position 1. Le circuit voit l’établir un courant i, c’est ce que l’on vient d’étudier (4.2). Lorsque le courant a atteint sa valeur stabilisée (t à ∞) on bascule l’interrupteur dans la position 2. Que se passe t il ? La valeur d’équilibre du courant est : i = U/R. La pile n’existe plus, l’équation différentielle qui régit le circuit est la suivante : R U − Lt La solution est simple à trouver et vaut : i (t ) = e R 4.4 Fonctions mathématiques associées aux circuits RL et LR Pour simuler le circuit précédent, avec ou sans pile, on peut utiliser une source de tension stabilisée qui fournit une tension carrée variant entre 0 et U. Sur la partie positive de la tension, on se retrouve dans la configuration étudiée en 4.2 et sur la partie nulle on retrouve la configuration 4.3. 59 Faire les figures a), b) et c) sur le tableau. Changer ε en VE. Commentaires : -­‐ -­‐ -­‐ VE est la source de tension carrée. Elle varie entre 0V et UV. VL est la tension aux bornes de l’inductance. VL = L di/dt. VR est la tension aux bornes de R. VR = Ri. Cette tension est proportionnelle au courant dans le circuit. -­‐ Lorsque VE = UV, le courant s’établit et atteint sa valeur d’équilibre. Il diminue ensuite lorsque VE passe à 0V. -­‐ Aux bornes de l’inductance, la tension est proportionnelle à la dérivée du courant. Elle est de signe contraire selon que le courant augmente ou diminue. Circuit intégrateur LR (haute fréquence T << τ) -­‐ Faire un dessin de ce qui se passe lorsqu’on augmente la fréquence du signal : la constante de temps du circuit ne bouge pas, et les exponentielles tendent vers des droites. VR tend vers une fonction triangle : (VR) i est l’intégrale de VE, ou VE est la dérivée de i. Ex : R=400Ω, L=20mH soit τ=50µs f=50kHz T=20µS 60 VR ≅ 0 VL ≅ Ve donc Ve = L di 1 R → i = ∫ Ve dt → V R = ∫ Ve dt dt L L Circuit dérivateur RL (basse fréquence T >> τ) -­‐ Si on diminue la fréquence du signal, VL devient presque nul. VL est la dérivée de VE. Ex : R=400Ω, L=20mH soit τ=50µs f=833Hz T=1200µS VL ≅ 0 VR ≅ Ve donc i = Ve di L dV e → VL = L = R dt R dt 61 5. Exercices associés Exo 1 Calculs de capacités -­‐ -­‐ Les armatures parallèles d’un condensateur sont distantes de 1 mm. Le diélectrique entre ces armatures est de l’air. Quelle doit être la superficie de ces armatures pour que la capacité de ce condensateur soit de 1 Farad ? (A = 1.1 108 m²) Commentaires ? Déterminer la capacité d’un condensateur à armatures parallèles ayant une aire de 0.2 m² et un écartement de 0.005 m. Le diélectrique est de la céramique (εr = 1200) (0.425 µF). Exo 2 Dans le circuit suivant, déterminer la tension entre les points A et B. Exo 3. On suppose que le condensateur n’est pas chargé. A t = 0 on ferme l’interrupteur. Déterminer la tension aux bornes du condensateur à t = 30 µs. (réponse 14.3V) Exo 4 : On suppose le condensateur chargé à 25V. Déterminer la tension du condensateur à l’instant t = 6 ms après la fermeture de l’interrupteur. Exo 5. Charge/décharge d’un condensateur : réponse à une tension carrée 62 Un circuit RC (R = 2.2 kΩ, C = 10 nF) est alimenté avec une source de tension en créneaux (0-­‐5V de fréquence f = 1 kHz. 1. Représenter le montage électrique. Comment connecteriez-vous un oscilloscope qui permettrait de mesurer UE la tension d’entrée et UC, la tension aux bornes du condensateur ? 2. En parallèle avec la résistance, on place une diode supposée idéale en série avec un interrupteur K. Dans un premier temps, l’interrupteur K est ouvert. 2.1. Résolvez l’équation différentielle du circuit et établissez l’expression du courant dans le circuit. 2.2.Calculez la constante de temps et tracez, en justifiant, l’allure de la tension aux bornes de R et de C sur deux périodes. 3. On ferme l’interrupteur K. Représentez la nouvelle allure du chronogramme. 4. On remplace la source de tension créneaux par une source triangle. Représentez UR et UC. Exo 6 Constante de temps d’un circuit RL Une bobine a une inductance de 50 H et une résistance (en série) de 30 Ω. On la relie à une pile de 100V. A bout de combien de temps le courant atteint il la moitié de sa valeur d’équilibre ? (réponse : 1.2s) Exo 7 Dans le circuit suivant, le courant initial est nul. Déterminer la tension aux bornes de la bobine à l’instant t = 40 µs. (rep 0.27V) Exo 8. On suppose qu’à t = 0, le courant dans la bobine est de 114 mA. On ouvre INT1 et on ferme INT2 simultanément. Déterminez la tension de la bobine à l’instant t=1.5 ms. Exo 9 réponse d’un circuit RL à une tension triangle 63 On cherche à déterminer la valeur de l’inductance L de la bobine. On réalise le montage suivant, avec un générateur de tension triangulaire. On enregistre les tensions et on obtient le graphique ci-­‐dessus (à agrandir et imprimer pour distribuer aux étudiants). Les coordonnées des points A et B sont : A(375, -­‐3.7) et B(555, 3.6). Justifiez l’allure des courbes obtenues. Quelle est la valeur de l’inductance L ? (rep env 5.5 mH) Exo 10 réponses comparées à un échelon de tension 64 On réalise le montage ci-­‐dessous. Initialement le condensateur n’est pas chargé. A l’instant t, on ferme l’interrupteur, et fait l’acquisition des tensions UR1 et UR2. R1 = R2 = 1 Ohm, C = 3 mF, L = 1 mH. Faire la résolution des équations différentielles régissant les courants dans les branches et établir les expressions des courants I1 et I2 dans R1 et R2. Tracer, en justifiant, l’allure des courbes UR1 et UR2. 65
