le transformateur monophase

Terminale Génie Électrotechnique
Chapitre 3
LE TRANSFORMATEUR MONOPHASE
I.
INTRODUCTION
1. Fonction
Un transformateur est une machine statique permettant, en alternatif, le changement de
grandeurs (tension et intensité) sans changer leur fréquence. On peut rencontrer plusieurs types
de transformateurs : monophasés, triphasés.
Il joue un rôle important en électrotechnique car c’est l’appareil de base pour le transport de
l’énergie électrique. Il est également utilisable avec des courants ou des tensions variables mais
non alternatifs (ex : transfo d’impulsions).
Les transformateurs monophasés sont utilisés essentiellement pour l’obtention de très basse
tension (6V-12V-24V) , pour isoler galvaniquement deux circuits et pour produire de forts
courants sous de faibles tensions.
2. Constitution
La constitution du transformateur monophasé est assez simple : c’est un quadripôle constitué
de deux enroulements entourant un circuit magnétique.
Primaire
(convention récepteur)
Secondaire
(convention générateur)
a. Inducteur
Il est constitué de deux parties :
- l’enroulement primaire.
- Le circuit magnétique.
Il est alimenté par une tension alternative, généralement le réseau EDF, il se
comporte comme un récepteur.
- avec un seul noyau qui porte la totalité de l’enroulement primaire. (fig. 2)
L’enroulement primaire est traversé par un champ magnétique variable, il est donc le
siège de pertes magnétiques (pertes par courants de Foucault et par hystérésis).
On limite :
- les pertes par courants de Foucault en utilisant un circuit feuilleté.
- Les pertes par hystérésis en utilisant un acier au silicium.
1
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Chapitre 3
b. Induit
Dans les représentations, on le laisse apparaître le plus souvent comme s’il était bobiné sur
un noyau différent du primaire. Il n’en est pas ainsi dans la pratique car pour limiter les fuites, on
s’efforce d’enchevêtrer le primaire et le secondaire. A cet effet on utilise les montages suivants :
II.
CONVENTIONS
1. Notations
Les grandeurs relatives au primaire seront affectées de l’indice 1, celles relatives au
secondaire seront affectées de l’indice 2.
Nous appellerons :
-
e1 et e2 les f.é.m. induites au primaire et au secondaire.
i1 et i2 les intensités du courant primaire et secondaire.
R1 et R2 les résistances des enroulements.
N1 et N2 les nombres de spires des enroulements.
ϕ1 et ϕ2 les flux respectifs traversant chacune des spires du primaire et du secondaire.
ℜ =
-
ℜ la réluctance du circuit magnétique (
circuit magnétique).
2
lm oy
µ 0 .µ r .S
, µ perméabilité , S section du
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Chapitre 3
2. Signes
Nous choisirons un sens arbitraire pour le flux (sens d’une ligne de champ), les autres signes
en découlent. Les sens des courants i1 et i2 sont pris de telle façon que les flux créés soient
positifs donc additifs. Le primaire est un récepteur, nous adoptons la convention récepteur, le
secondaire est un générateur, nous adopterons la convention générateur.
e1 et e2 ont un sens opposé à ϕ1 et ϕ2 car e = −
dΦ
dt
3. Bornes homologues
Les bornes marquées par un point sont dites homologues. Ce sont des bornes telles qu’un
courant entrant correspond à un flux positif. Les tensions qui pointent vers ces points sont en
phase. (cf. figure précédente)
Détermination des bornes homologues :
-
On peut le faire en visualisant les tensions primaires et secondaires.
L’autre méthode est la suivante :
A
C
A
D
B
V2
C
V1
B
D
Si V1 < V2 alors A et D sont des bornes homologues.
Si V2 < V1 alors A et C sont des bornes homologues.
4. Principe de fonctionnement
Les transformateurs utilisent le phénomène d’induction électromagnétique : la bobine du
primaire est soumise à une tension variable introduisant un champ magnétique variable donc
un flux magnétique variable. Grâce au circuit magnétique, la variation de flux magnétique au
primaire entraîne une variation du flux au secondaire donc une nouvelle f.é.m. induite
variable.
5. Equations générales
On peut écrire en valeurs instantanées :
3
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Chapitre 3
dϕ 1
dt
dϕ
− u2 = R2 .i2 + N 2 . 2
dt
u1 − R1 .i1 + e1 = 0
u1 = R1 .i1 + N 1 .
− u2 − R2 .i2 + e2 = 0
ϕ1 et ϕ2 représentent respectivement les flux par spire des enroulements primaire et
secondaire. On va transformer ces relations en faisant apparaître le flux ϕ commun aux deux
enroulements, flux que l’on appelle flux utile.
ϕ 1 = ϕ + ϕ 1
ϕ 2 = ϕ + ϕ 2
Si l1 et l2 désignent les inductances de fuites du primaire et du secondaire, on a par
définition :
N1.ϕ 1 =  1. i1
N1.ϕ 1 =  1. i1
D’autre part, si on applique le théorème d’Ampère :
D’où H . L =
Donc
∑
I=
L
.ϕ
µ .S
(
∑
I
∑
 
H . dl =
∑
I
avec ϕ = B.S et B = µ.H
ou encore ∑ I = ℜ ϕ loi d ' Hopkinson
)
On a donc les relations générales suivantes :
di1
dϕ
+ N1 .
dt
dt
di 2
dϕ
− u2 = R2 .i2 +  2 .
+ N2 .
dt
dt
N1.i1 + N 2 .i2 = ℜ .ϕ
u1 = R1.i1 +  1.
III.
(1)
( 2)
( 3)
TRANSFORMATEUR PARFAIT
1. Définition
Le transformateur parfait (ou idéal) est un transformateur pour lequel on néglige :
-
-
les pertes par effet Joule ⇔ on considère que R1 et R2 sont nulles.
les pertes magnétiques, c’est-à-dire les pertes par hystérésis et les pertes par courants de
Foucault. Cela revient à considérer que la caractéristique du matériau magnétique est une
droite.
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-
Chapitre 3
la réluctance du circuit magnétique est nulle ℜ = 0. Cela signifie que la perméabilité du
circuit magnétique est infinie ou qu’il n’y a pas de fuites :
ϕ 1 = ϕ  2 = 0 ⇒
2. Formule de Boucherot
ϕ1 = ϕ2 = ϕ
Les relations (1) , (2) et (3) deviennent pour un transformateur parfait :
dϕ
( 4)
dt
dϕ
− u2 = N 2 .
(5)
dt
N1 .i1 + N 2 .i2 = 0
(6)
u1 = N1 .
Le flux commun qui traverse chacune des spires du primaire et du secondaire étant
sinusoïdal, il est de la forme :
ϕ = Φ .sin(ω t ) ( 7 )
u1 = N1. Φ .ω .cos(ω t ) (7) mais u1 peut s’écrire sous la
u1 = U1 . 2 .cos(ω t ) et comme on a ω = 2πf et Φ = B . S , en identifiant
En utilisant (4) et (7), on obtient
forme :
on obtient :
U1 =
Soit
2π
. N .Φ . f
2 1
U1 = 4,4 4. N1.S. f .B
3. Relation entre les tensions et entre les courants
On définit le rapport de transformation comme le quotient entre le nombre de spires du
secondaire et le nombre de spires du primaire.
m=
N2
N1
5
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Soit, en utilisant (4) , (5) et (6) , on obtient en expressions instantanées :
u2
= −m
u1
et
i1
= −m
i2
(8)
Les tensions sont donc en opposition de phase, de même que les intensités.
Rem 1: Les relations (8) sont aussi vraies en notation complexe ou avec les vecteurs de
Fresnel correspondants. En valeurs efficaces, elles deviennent :
U2
=m
U1
et
I1
=m
I2
(9)
Rem 2: - Si N2 > N1 , on dit que le transformateur est élévateur de tension (abaisseur de
courant)
- Si N2 < N1 , on dit que le transformateur est abaisseur de tension (élévateur de
courant)
4. Diagramme de Fresnel

I1

U1

U2
ϕ1
ϕ2

I2
Rem : ϕ2 est imposé par la charge et on a ϕ1 = ϕ2.
5. Puissances
Puissance apparente : au primaire
S1 = U1.I1
Au secondaire S2 = U2.I2
 I1 
 = U1 . I1 = S1
 m
En utilisant (9) , S2 = ( mU1 )
Puissance active :
au primaire
P1 = U1.I1.cosϕ1
au secondaire P2 = U2.I2.cosϕ2
comme S1 = S2 et ϕ1 = ϕ2 , alors P1 = P2.
Puissance réactive :
au primaire
Q1 = U1.I1.sinϕ1
au secondaire Q2 = U2.I2.sinϕ2
comme S1 = S2 et ϕ1 = ϕ2 , alors Q1 = Q2.
Rendement :
η =
P2
= 1
P1
pour un transformateur parfait.
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6. Circuits équivalents
a. Vu de la charge
Vu de la charge, le transformateur
parfait se comporte comme une
source de tension parfaite
U2 = E2 = ZC.I2
b. Vu de l’alimentation
Vu de l’alimentation du transformateur, on
a:
− m=
et
U2
U1
et
− m=
I1
I
U 2 = ZC . I2
d ' où U1 =
ZC
m2
. I1
Le transformateur parfait se comporte donc vu de l’alimentation comme
un dipôle passif d’impédance :
Z =
7
ZC
m2
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IV.
Chapitre 3
TRANSFORMATEUR RÉEL
1. Bilan énergétique
Pu est la puissance disponible au secondaire (puissance utile pour la charge)
Pa est la puissance absorbée par le primaire, elle est supérieure à P u , car on doit ici tenir
compte des pertes suivantes :
-
pj : les pertes par effet Joule (dues à R1 et R2)
pmag : les pertes magnétiques (ou pertes dans le fer p f) c’est-à-dire les pertes par
hystérésis et les pertes par courants de Foucault.
Rem :
- les pertes dans le fer sont proportionnelles à U12 .
- les pertes par effet Joule sont constantes pour un courant I1 donné.
2. Chute de tension
Contrairement à un transformateur parfait, pour un transformateur réel, la tension U 2 en
charge est différente de la tension à vide U20. U2 diminue lorsque l’intensité I2 du courant
débité au secondaire augmente. La différence entre U 20 et U2 est la chute de tension au
secondaire du transformateur. Cette chute de tension est due aux résistances des
enroulements et aux fuites magnétiques.
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La différence ∆U2 = U20 – U2 est la chute de tension au secondaire du transformateur.
3. Rendement
Le rendement s’exprime :
η =
Pu
Pa
On peut déterminer le rendement par deux méthodes comme pour les machines tournantes :
-
-
la mesure directe qui consiste à mesurer directement la puissance absorbée et la
puissance utile par l’intermédiaire de wattmètres. Mais cette méthode n’est pas souvent
utilisée car elle engendre des essais en charge qui ne sont pas faciles à réaliser quand le
transformateur est de grande taille.
La mesure indirecte qui consiste à mesurer les pertes fer par un essai à vide et à mesurer
les pertes par effet Joule par un essai en court-circuit. C’est la méthode des pertes
séparées.
A titre d’indication, voici l’évolution des pertes en fonction du courant I2.
rem : le rendement est maximal pour pj = pf ( point d’intersection des deux courbes )
a. Essai à vide
Pour effectuer cet essai, il faut que la tension primaire soit égale à la tension primaire
nominale U1n . Le wattmètre indique une puissance P10 qui représente la somme des
pertes magnétiques et des pertes par effet Joule au primaire (pas au secondaire car
I20 = 0). L’intensité I10 est très faible (I10 = 5% I1n) , donc soit on néglige les pertes par
effet Joule à vide pj0 devant pf , soit on les retranche à P10.
D’où
P1 0 = p f + R1. I12 0
pour U10 = U1n
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Si on néglige les pertes par effet Joule à vide devant pf , alors
P10 = pf
b. Essai en court-circuit
La tension au primaire est réglée afin d’obtenir au secondaire le courant nominal
( U1cc = 10% U1n ) le wattmètre indique une puissance P1cc qui représente la somme des
pertes magnétiques et des pertes par effet Joule au primaire et au secondaire. L’essai se
faisant sous tension réduite les pertes magnétiques sont négligeables (elles sont
proportionnelles à U12 . L’essai en court-circuit permet donc de déterminer les pertes par
effet Joule.
P1cc = pfcc + pjcc ≈ pjcc
D’où
pour I2cc = I2n
Rem : les pertes par effet Joule peuvent être calculées aussi par la relation
p j = R1 . I12 + R2 . I 22 si les résistances du primaire et du secondaire sont connues.
c. Rendement pour un fonctionnement nominal
η =
Pu
Pu + p f + p j
a v e c Pu = U 2 . I 2 .c o ϕs 2
d. Rapport de transformation
Comme nous avons une chute de tension :
− m=
u2 0
U
e te nv a l e ue rf f i c amc =e 2 0
u1
U1
10
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V.
Chapitre 3
MODÈLE EQUIVALENT DU TRANSFORMATEUR RÉEL
1. Linéarisation du circuit magnétique
Si on utilise un matériau au silicium, le cycle d’hystérésis devient très étroit. De plus, en
évitant la saturation et en limitant l’amplitude de la tension, on peut associer un modèle
linéaire au circuit magnétique, dans lequel les éléments du circuit modélisé sont des
constantes indépendantes des courants i1 et i2.
Allure à vide de u1 et i10 :
i10 n’est pas sinusoïdal mais nous allons
le supposer.
2. Modèle à vide
A vide, le transformateur se comporte comme une bobine à noyau ferromagnétique, elle peut
être modélisée par une résistance Rf en parallèle avec une inductance L :
Rf est traversée par la composante active I10a du courant I10.
L est traversée par la composante réactive I10r du courant I10.
Diagramme de Fresnel :
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3. Modèle en charge
Le transformateur fonctionne à flux forcé. Le flux est imposé par U 1 donc B est imposé, d’où
H est imposée. La valeur instantanée de ce flux conserve la même expression quelque soit la
charge. Ce flux créé par les courants i1 et i2 dépend de la relation (3) c’est-à-dire :
N 1 .i1 + N 2 .i2 = ℜ .ϕ . Cette somme a donc la même valeur en charge qu’à vide.
A vide, on a :
i1 = i10 et i2 = 0 d’où ℜϕ = N1.i10 à vide.
On peut donc écrire l’égalité en charge et à vide :
Soit :
N1.i1 + N2.i2 = N1.i10
i1 = -m.i2 + i10
4. Modèle complet du transformateur
Si nous reprenons les relations générales sans simplification :
di
dϕ
u1 = R1.i1 +  1. 1 + N1.
(1)
dt
dt
di
dϕ
− u2 = R2 .i2 +  2 . 2 + N 2 .
(2)
dt
dt
N1.i1 + N 2 .i2 = N1.i1 0
(1 0)
Traduisons ces relations électriques par un schéma électrique en tenant compte du courant
magnétisant i10
5. Modèle de Thévenin vu du secondaire
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Chapitre 3
Obtention des éléments de ce modèle
-
Essai à vide : détermination de Es
A vide, on a I2 = 0A on a alors U2 = U20 = Es
D’où
-
Es = U20
Détermination des éléments Rf et L :
Les éléments Rf et L peuvent être calculés à partir de l’essai à vide :
Rf =
U1
U
e t Lω = 1
I1 0a
I1 0r
avec I =
-
P1 0
e t I1 0r = I120 − I120a
U1
Essai en court-circuit : détermination de Zs , Rs et Xs.
m.U1c c
Zs =
I 2c c
P1c c
Rs = 2
I 2c c
o r Zs = Rs + jLsω = Rs + jXs d o n c X s = Zs2 − Rs2
6. Hypothèse de Kapp
Dans l’hypothèse de Kapp, on considère le circuit magnétique comme parfait et la
perméabilité infinie. Ainsi, on néglige les courants de Foucault et le phénomène d’hystérésis.
On négligé donc le courant I10 , d’où le schéma équivalent :
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Chapitre 3
Dans ces conditions, la relation entre les intensités i1 et i2 se simplifie :
N1.i1 + N2.i2 = 0
D’où
i1 = -m.i2
7. MET du transformateur dans l’hypothèse de Kapp
L’hypothèse de Kapp a pour but de permettre de déterminer les éléments du MET équivalent
au transformateur, vu du secondaire, en fonction de U1 , m , R1 , R2 , l1 et l2 .
On peut montrer que :
E s = −m.U 1 = U 20
Rs = m2 . R1 + R2
Ls = m2 .  1 +  2
8. Diagramme de Kapp
a. Représentation vectorielle
On effectue la construction de Fresnel relative à l’équation complexe donnée par
l’approximation de Kapp.




U 20 = U 2 + Rs . I 2 + jX s . I 2
Nous pouvons prévoir la chute de tension au secondaire à l’aide de cette construction :
o Choisir une échelle pour les tensions et une pour les courants.

o Tracer le vecteur U 2 horizontalement

o
Tracer la direction du vecteur I 2 n (l’angle ϕ2 doit être connu)
o
Tracer en partant de U 2 , le vecteur Rs . I 2 n
o
Tracer à partir de ce vecteur le vecteur jX s . I 2 n
o
Tracer en partant de l’origine, le vecteur U 20
o
La distance entre l’arc et U 2 nous donne la chute de tension au secondaire en
charge.





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Chapitre 3
b. Valeur approchée de la chute de tension au secondaire
On peut montrer par une démonstration mathématique que :
∆ U 2 = U 2 0 − U 2 = Rs . I2 .cosϕ 2 + X s . I2 .sinϕ 2
15