Lycée Gustave Eiffel Formulaire sur les nombres complexes

Année 2011-2012
Lycée Gustave Eiel
PTSI 2
Formule fondamentale :
Formulaire sur les nombres complexes
Module d'un nombre complexe :
Puissance de i :
i2 = −1
1
i = −i
i
i4k = 1
4k+2
= −1
i
i4k+1 = i
4k+3
=−
i
Si z = a + ib √où (a, b) ∈ R2 ,
alors(|z| = a2 + b2 ≥ 0
|Re(z)| ≤ |z|
|Im(z)| ≤ |z|
k∈Z
i
i
i
i
i
i
Parties réelle et imaginaire :
i
i
i
i
i
ex+iy = ex eiy
ei(θ+θ ) = eiθ eiθ
eiθ + e−iθ
Re
iIm
Re et Im
Im
Re
Re
Re
Re
Re
Im
Im
Im
Im
Im
Re i
Im
Im i Re
0
i
cos(θ) =
einθ = (eiθ )n
eiθ = eiθ ⇐⇒ θ = θ0 [2π]
|ez | = eRe(z)
2
ez+z
0
Im(z)
z + z 0 = z̄ + z¯0
z¯n = z n
z = − z̄
1
(z) = (z − z̄)
2
Im
i
~
i
O
−
Im(z)
ee
i
i
i
ez = ez̄
az 2 + bz + c = 0 (E)
δ∈C
δ2 = ∆
tel que :
On pose : ∆ = b − 4ac.Soit
Si ∆ = 0, alors l'ensemble des solutions de (E) est {− 2ab } (racine double)
Si ∆ 6= 0, alors l'ensemble
dessolutions
de (E)
est { −b2a+ δ , −b2a− δ } (racine simple)
2
|z|
arg(z)
i
Im(z) = 0 ⇐⇒ z = z̄
Re(z) = 0 ⇐⇒ z = −z̄
M (z)
×
0
= z 0
( iθ )−1 = eiθ = e−iθ
eiθ − e−iθ
sin(θ) =
2
cos(nθ) + sin(nθ) = (cos(θ) + sin(θ))n
e
0
Équation du second degré
Caractérisation nombres réels et
imaginaires purs :
z ∈ R ⇐⇒
z ∈ R ⇐⇒
arg(zz 0 ) = arg(z) + arg(z 0 )
arg(z −1 ) = arg(z̄) = − arg(z)
arg(z n ) = n arg(z)
Exponentielle complexe :
Re
Conjugaison :
z = 0 ⇐⇒ |z| = 0
|z|2 = z.z̄
z̄
1
= 2
z
|z|
|z + z 0 | ≤ |z| + |z 0 |
Argument d'un nombre complexe :
U = {z ∈ C / |z| = 1}
∀z ∈ U z −1 = z̄ ∈ U
∀z ∈ C∗ z ∈ U ⇐⇒ z −1 = z̄
z = (z) +
(z)
z = z 0 ⇐⇒
(z) = (z 0 )
(z) = (z0 )
0
0
(z + z ) = (z) + (z )
(λz) = λ (z)
λ∈R
(z + z 0 ) = (z) + (z 0 )
(λz) = λ (z)
( z) = − (z)
( z) = (z)
Re
|z n | = |z|n , n ∈ Z
Nombre complexe de module 1 :
i
(a1 + b1 ) + (a2 + b2 ) = (a1 + a2 ) + (b1 + b2 )
(a1 + b1 ).(a2 + b2 ) = (a1 .a2 − b1 .b2 ) + (a1 .b2 + b1 .a2 )
(a + b).(a − b) = a2 + b2
a
b
1
(a + b)−1 = 2
− 2
= 2
(a − b)
a + b2
a + b2
a + b2
2
2
z1 + z2 = (z1 + z2 )(z1 − z2 )
z̄¯ = z
z.z 0 = z̄.z¯0
λz = λz̄, λ ∈ R
1
(z) = (z + z̄)
2
|z̄| = |z|
|z.z 0 | = |z|.|z 0 |
Calculs élémentaires :
i
|z| ≥ 0
|z| = OM
Re(z)
~
az 2 + bz + c = a z −
z1
et z2 sont les solutions de
b
1) z1 + z2 = −
a
×
M 0 (z̄)
1
−b + δ
−b − δ
z−
2a
2a
(E)
c
2) z1 z2 =
a
si, et seulement si,
Racine nème
Similitude
e
zn = 1
Si z0n = ω, alors :
zn = ω
e
e
2ikπ
n
2ikπ
⇐⇒ ∃k ∈ Z z = z0 n
⇐⇒ ∃k ∈ {0, . . . , n − 1} z = z0
Si ω = reiθ , alors :
−
Soient →
v (z0 ), Ω(ω), θ ∈ R et λ ∈ R.
Représentation complexe :
−
Translation de vecteur →
v : z 0 = z + z0
Rotation de centre Ω et d'angle θ : z0 = eiθ (z − ω) + ω
Homotétie de centre Ω et de rapport λ : z0 = λ(z − ω) + ω
Similitude directe :
Soit (a, b) ∈ C∗ × C.
Soit F la similitude directe de représentation complexe :
z 0 = az + b
1) Si a = 1, alors F la translation de vecteur d'axe b.
2) Si a 6= 1, alors F est la similitude de centre Ω(ω), d'angle θ et de rapport λ
avec ω = aω + b, θ = arg(a)[2π] et λ = |a|.
De plus, la similitude F est la composée de la rotation d'angle θ
et de l'homothétie de rapport λ de centre Ω.
2ikπ
⇐⇒ ∃k ∈ Z z = n
⇐⇒ ∃k ∈ {0, . . . , n − 1} z =
e
e
2ikπ
n
√ θ+2kπ
⇐⇒ ∃k ∈ Z z = n r i n
√ θ+2kπ
⇐⇒ ∃k ∈ {0, . . . , n − 1} z = n r i n
zn = ω
Géométrie :
e
Barycentre :
Soient A1(a1), . . . , An (an ) n points.
n
X
Soient (αk )nk=1 ∈ Rn tel que : αk 6= 0.
k=1
On note z0 l'axe
du
barycentre
de (A1, α1 ), . .., (An , αn ).
n
X
Alors : z0 =
αk ak
k=1
n
X
αk
k=1
Soient A(a), B(b)
et C(c).
→
−
−
Soient →
v (z) et v 0 (z 0 ).
Distances :
−
k→
v k = |z|
AB = |b − a|
Angles :
z0
[2π]
z
−−→ −→
c−a
[2π]
(AB, AC) = arg
b−a
→
−0
→
−
v
v
→
−
→
−
v
v0
→
−
−
(→
v , v 0 ) = arg
et
et
sont colinéaires si, et seulement si, zz ∈ R
0
sont orthogonaux si, et seulement si, zz ∈ iR
0
2