15 Magnetisme
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15 Magnétisme v 7 1 Quelques champs magnétiques dans le système solaire Soleil Enveloppe magnétique de la terre dévie les particules chargées du vent solaire 2 Magnetar Système binaire. Une des étoiles explose et devient une étoile "à neutrons" qui va cannibaliser l'autre. Dans ce processus, elle augmente son énergie rotatoire. A la fin, on a un pulsar avec période de l'ordre d'un ms 3 Le magnétisme Une vieille application: la boussole. Seulement en 1820, H. C. Hoersted découvre qu'un courant électrique induit un champ magnétique (électroaimant). On observe aussi le phénomène réciproque: un champ magnétique affecte les charges électriques. On peut ainsi induire un courant par l'action d'un champ magnétique (dynamo). 4 Boussole Le champ magnétique B Nord géo- graphique Convention: les lignes du champ magnétique B sont orientées à l'extérieur de l'aimant du Nord vers le Sud 5 Force exercée par un champ B N En utilisant des aimants très longs, on a pu montrer que la force entre deux pôles est proportionnelle à 1/r2. N En introduisant une substance dans un champ magnétique on en modifie l'intensité. On introduit la constante magnétique Km (comparer à la constante diélectrique K). S Types de substance diamagnétique: Km<1 paramagnétique: Km>1 ferromagnétique: Km>>1 S r 6 Champ magnétique et courant électrique B I I B 7 Force magnétique sur une charge en mouvement r r r F = qv × B Force de Lorentz F F est orthogonal à v et à B € B q v Puisque v et F sont orthogonaux, le travail est nul: W = Fdl = Fvdt = 0 8 Le Tesla L'unité du champ magnétique est le Tesla (T). 1 T est défini à partir des courants électriques qui permettent de le générer (voir plus loin). Champ magnétique terrestre ~ 10-4 T Plus fort champ dans un aimant ~ 10 T (impulsions 100 T) Pulsar ~108 T I R fil rectiligne B 2k'I B= R I = 1 A, k' = 10-7 T m A-1 =10-7 N A-2 R = 2 m ⇒ B = 10 -7 T € µ 0I Autre forme: B = 2πR µ0=4πk' 9 Force magnétique sur un fil dQ est la charge qui circule sur un segment dL du fil dans un temps dt = dL/v avec v la vitesse (de dérive) I = dQ/dt I B θ dL I = dQ (v/dL) donc: dQ = I dL/v F = dQ v × B = I (dL/v) (v × B) F = I B sinθ dL F = I (dL × B) F est orthogonal à l'élément de fil dL et au champ B 10 Force magnétique sur une boucle B I courant dans la boucle surface A = hL F1 h F1 = I L B F2 = I L B I F2 L La force totale est nulle mais le champ B va faire pivoter la boucle autour d'un axe // L Moment du couple de forces τ = h × F1 τ = h I L B = IAB τ = IA (n × B) // à L n est le vecteur unité normal à la boucle 11 Moment dipolaire magnétique Déf.: µ = IAn est le moment dipolaire magnétique n d'où τ = IA (n × B) = µ × B A I La situation d'équilibre du dipôle est quand µ//B. De façon analogue au dipôle électrique, l'énergie potentielle de µ dans un champ B vaut U = - µB cosθ 12 µ d'une charge sur une orbite fermée A. M. Ampère avait imaginé que l'origine du champ magnétique macroscopique d'un aimant était le très grand nombre de courants électriques microscopiques présents dans chaque atome. Calculons le moment dipolaire magnétique pour une charge q en mouvement circulaire. r est le rayon de l'orbite, parcourue à vitesse v. Courant I = dQ/dt, valeur moyenne: I = q/T T est la période T = 2πr/v qv I= 2πr r v q Surface A = πr2 qv 2 qrv µ= πr = 2 € 2πr 13 µ d'une charge sur une orbite fermée .2 qrv µ= 2 € r v q On peut aussi tirer une relation avec le moment cinétique L L = mvr entraîne: q µ= L 2m € 14 Champ B par un courant Loi de Biot et Savart dL I r dL × rˆ dB = k'I 2 r µ0 k'= = 10−7 TmA−1 4π B € € Boucle circulaire, rayon R, champ au milieu: B 2πR 2π B = k'I 2 = k'I R R R 15 Champ B par un courant .2 Solénoïde, N spires L n = N/L spires/m Champ à l'intérieur: B = 4πk'In z € Fil rectiligne "infini" dL × rˆ P dB = k'I 2 r +∞ +∞ +∞ sinθ R /r 1 B = k'I ∫ dz 2 = k'I ∫ dz 2 = k'IR ∫ dz 2 2 3/2 r r (z + R ) −∞ −∞ −∞ € € R r θ 0 dz 2k'I B= R 16 Force magnétique entre deux courants I2 I1 Force sur dL parcouru par I1, dans le champ B B r F = I1 (dL × B) dL Champ B produit par un fil rectiligne infini, parcouru par le courant I2 2k'I 2 ˆ B= B r où la direction de B est orthogonale à r et au fil. La force du champ B, créé par I2 , sur le segment dL de I1: € 2k'I 2 ˆ F = I1 dL × B r 17 Force magnétique entre deux courants .2 I2 I1 Deux fils parallèles, à distance r: Force du champ créé par I2 sur le segment dL de I1 B r dL 2k'I 2 ˆ F = I1 dL × B r 2k' 2k' F = I1I 2 dL sinθ = I1I 2 dL r r la force est attractive si € les courants sont //, répulsive si anti-// B € cas // cas anti-// force par unité de longueur: dF 2k' = I1I 2 dL r 18 La mesure de e/m pour l'électron Thomson 1897 + - B C S D A B E E Les bobines ne sont pas montrées L d P1 B P2 y 1) E=B=0 trajectoire faisceau d'électrons en P1 2) E=VDE/d trajectoire en P2 3) on garde VDE et on ajuste B de façon à ramener en P1. 19 La mesure de e/m pour l'électron .2 L d P1 B y P2 1) E=B=0 trajectoire faisceau d'électrons en P1 2) E=VDE/d trajectoire en P2 3) on garde VDE et on ajuste B de façon à ramener en P1. 2) E=VDE/d la force est F=eE, a=F/m: où v est la vitesse des électrons 2 1 2 1 eE ⎛ L ⎞ y = at = ⎜ ⎟ 2 2 m ⎝ v ⎠ 3) les forces magnétiques et électriques s'annulent: evB = eE € 2 v = E/B ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 2 e 1 v 1 E E = 2y ⎜ ⎟ = 2y ⎜ ⎟ = 2y 2 m E ⎝ L ⎠ E ⎝ LB ⎠ (LB) 20 Spectromètre de masse chambre à vide B v=cte champs B et E croisés v=E/B' détecteur à localisation R B' E source d'ions m1 m2 F = qv × B a = F/m = qvB/m doit compenser € ⇒ R = mv / qB a = v2/R fonction de p=mv donc de m 21 Cyclotron 10 cm Cyclotron de E. O. Lawrence en 1930 Heidelberg 1944 Lawrence Berkeley Lab 22 Cylcotron .2 aimant cavité en "D" aimant Injection de particules chargées sortie des particules haute énergie 2πR 2πmv 2πm = = période T = v qBv qB Au temps t la trajectoire a un rayon: mv(t) R(t) = qB est constante € 23 Trajectoires de particules dans champ B 24 Trajectoires de particules dans champ B 25
