Théorie analytique des séries de Dirichlet

Séminaire Thématique
SE 2007
Fonctions zêta et corps quadratiques
Théorie analytique des séries de Dirichlet
Hans Antonio Coricaza Rivas
Université de Fribourg
15 mars 2007
TABLE DES MATIÈRES
2
Table des matières
1 Notions de base
3
2 Premières propriétés analytiques
3
2.1
Abscisse de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2
Convergence et propriétés de la fonction somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
3 Produit de deux séries de Dirichlet
6
1
NOTIONS DE BASE
3
Introduction
Ce travail résume les chapitres 1 et 2 du livre ” Zetafunktionen und quadratische Zahlkörper ”
de D. Zagier. Le but de ce séminaire est de présenter la définition, des propriétés élémentaires et
quelques exemples de séries de Dirichlet et termine avec le produit d’Euler d’une série de Dirichlet
avec coefficients multiplicatifs.
1
Notions de base
1.0.1 Définition
Une fonction f : N −→ C, f 6≡ 0 est dite multiplicative si
f (mn) = f (m)f (n) si (m, n) = 1.
Voici deux exemples
a. La fonction d(n)(appelée fonction diviseur) donne le nombre de diviseurs positifs(1 ≤ d ≤ n)
d’un nombre entier positif n. Il est clair que : d(5) = 2 et d(6) = 4.
b. La fonction
σk (n) :=
X
dk , k = 0, 1, 2, 3, . . .
d/n
tel que σ0 (n) = d(n) et σ1 (n) = σ(n) (qui est la somme des diviseurs positifs de n)
qui donne la somme des k − ièmes puissances des diviseurs de n.
1.0.2 Définition
Etant donnée une suite de nombres positifs indéfiniment croissants λ1 , λ2 , . . . , λn , . . .
(λn+1 > λn ; limn→∞ λn = +∞), nous appellerons série de Dirichlet chaque série du type
∞
X
an e−λn s . . . (1)
n=1
où s := σ + it ∈ C et an ∈ C ; les nombres λn sont appelés exposants de la série (1). La classe des
séries du type (1) comprends, d’une part, les séries du type
Exemples :
a. Les séries ordinaires de Dirichlet:
b. Les séries de Taylor :
2
P∞
n=1 an z
P∞
n,
n=1 an n
−s ,
où λn = log n . . . (2).
pour λn = n, z = e−s . . . (3).
Premières propriétés analytiques
Notre but dans cette section est de montrer les principales propriétés des séries de Dirichlet, qui
sont de grand importance dans la théorie analytique des nombres.
Soit une suite {an }n∈N ⊂ C et posons
2
PREMIÈRES PROPRIÉTÉS ANALYTIQUES
f (s) :=
∞
X
an
n=1
ns
4
, avec s = σ + it ∈ C . . . (4)
f est appellée la fonction somme de la série de Dirichlet. Pour que cela prenne un sens, nous
avons besoin d’examiner les propriétés de convergence de la série ci-dessus.
2.1
Abscisse de convergence
On peut considérer le domaine de convergence D de la série, c’est-à-dire l’ensemble des valeurs
de s pour lesquelles il y a convergence.
2.1.1 Théorème
Si la série (1) converge en un point s0 = σ0 + it0 , elle converge aussi dans tout le demi-plan σ > σ0 ,
la convergence étant uniforme dans chaque secteur
| arg(s − s0 ) |≤
π
π
−<
2
2
Où σ0 s’appelle abscisse de convergence.
Idée de P
la preuve.Sans restriction
PN de la généralité nous considérons s0 = 0. En posant
a
,
A(M,
N
)
=
A(N ) = N
n , A(M, M −1) = 0 et en appliquant la sommation partielle
n
n=M aP
Pn=1
−1
N
−λn s −e−λn+1 s ]+A(M, N )e−λN s et ensuite
−λ
s
n
nous obtenons N
d’Abel a n=M an e
n=M A(M, N )[e
le résultat.
Voici un résultat sur l’abscisse de convergence :
• Supposons que {an }, n ∈ N est une suite bornée de nombres complexes.
Alors la série est absolument convergente sur le demi − plan ouvert de s tel que σ > 1.
2.1.2 Théorème
La valeur de l’abscisse de convergence est donnée par l’expression
σ0 = lim sup
N →∞
log |A(N ) |
λN
Où A(N ) est la somme des coefficients définie dans la partie précedente.
Démonstration.On considère le cas λN = log N.
log |A(N ) |
A voir : σ0 = γ := lim supN →∞ log N
= inf{α|A(N ) = O(N α )}. (où A(N ) = O(N α ) veut dire :
α
∃B > 0 : |A(N ) | ≤ BN , ∀N ).
D’abord montrerons l’égalité entre α0 := inf{α|A(N ) = O(N α )} et lim supN →∞
Première inégalité.γ ≤ α0 . ∀α > α0 : |A(N ) | ≤ BN α , ∀N.
En prenant log et lim supn→∞ : lim supn→∞
log |A(N ) |
log N
log |A(N ) |
log N .
≤ α0 ⇒ γ ≤ α0 .
Deuxième inegalité.γ ≥ α0 : γ ⇔ Pour N ≥ N0 () avec > 0 fixé :
|A(N ) | < N γ+ ⇒ A(N ) = O(N γ+ ) ⇒ γ + ≥ α0 , ∀ > 0 ⇒ γ ≥ α0 .
log |A(N ) |
log N
< γ + .
2
PREMIÈRES PROPRIÉTÉS ANALYTIQUES
5
Continuons à present la démonstration du théorème :
Première partie. γ ≤ σ0 :
PN
P
−σ | < C, ∀N . . . (5)
−σ converge et |
• Soit σ > σ0 : ∞
n=1 an n
n=1 an n
• |A(N ) | = |
PN
n=1 (an n
−σ )nσ |
PN −1 PN
−σ |((n+1)σ −nσ )+
n=1 |
n=1 am m
≤
|{z}
Sommation Abel et inégalité triangle
|
PN
−σ |N σ
< < 2CN σ ,
m=1 am m
|{z}
avec (5)
Alors γ ≤ σ, et comme ∀σ : σ > σ0 ⇒ γ ≤ σ0 .
deuxième partie. γ ≥ σ0 :
P
−σ
• Soit σ > γ : N
n=1 an n
=
|{z}
PN −1
n=1
A(n)(n−σ − (n + 1)−σ ) + A(N )N −σ .
Sommation Abel
• On choisit α : γ < α < σ et C avec :|A(N ) | ≤ CN α , ∀N . . . (6)
Alors |A(N ) N −σ |
≤
CN α−σ |{z}
−→ 0.
|{z}
N →∞
inégalité triangle et (6)
Alors σ > σ0 , et comme ∀σ : σ > γ ⇒ γ ≥ σ0 .
Exemple fondamental
La fonction zêta de Riemann est définie pour tout nombre complexe s avec σ > 1 par la série
convergente
ζ(s) :=
∞
X
1
.
ns
n=1
ζ(s) peut-être prolongée analytiquement(de forme unique) à tous les nombres complexes différents
de 1 et possède un prolongement méromorphe sur C avec un unique pôle de résidu 1 en s = 1.
2.1.3PProposition
−s une série de Dirichlet avec abscisse de convergence σ et soit σ (≥ σ ) l’abscisse
Soit ∞
0
1
0
n=1 an n
P
−s . Alors σ ≤ σ + 1.
de convergence de ∞
|a
|n
1
0
n=1 n
2.2
Convergence et propriétés de la fonction somme
2.2.1 Proposition
La fonction f (cf.(4)) est une fonction analytique sur le demi-plan ouvert de convergence.
Nous allons voir maintenant quelques propriétés importantes des séries de Dirichlet
2.2.1PThéorème de Landau
∞
−s une série de Dirichlet avec abscisse de convergence σ et de coefficients réels
Soit
0
n=1 an n
non-négatifs. Alors
∞
X
f (s) =
an n−s (σ > σ0 )
n=1
est une fonction qui possède une singularité dans s = σ0
3
PRODUIT DE DEUX SÉRIES DE DIRICHLET
6
Idée de démonstration.Sans restriction de la généralité soit σ0 = 0. Maintenant, supposons
que f est holomorphe dans s = 0 , alors elle serait aussi holomorphe dans disque le circulaire
|s| < en consequence autour de s = 1 elle possède un développement en série de Taylor avec
P∞ (−1−δ)k (k)
rayon de convergence > 1 , donc pour δ > 0 : f (−δ) =
f (1) converge(σ > 0),
k=0
k!
P∞ an P∞ (log n)k an
mais f (−δ) = k=1 n
nous pouvons échanger les sommes car les an ≥ 0 et les
n=1
n
P
−(−δ) qui n’est pas
séries sont absolument convergentes, alors nous obtenons f (−δ) = ∞
n=1 an n
convergente(−δ < 0), ce qui contradit le fait que f est convergente.
2.2.2 Proposition(Unicité)
P∞
P
−λn s deux séries de Dirichlet convergentes dans une région ouverte
−λn s et
Soient ∞
n=1 bn e
n=1 an e
U ⊂ C qui définissent la même fonction dans U. Alors an = bn , ∀n ∈ N.
Idée de la preuve.Par contraposition.
3
Produit de deux séries de Dirichlet
P∞
P
−s deux séries de Dirichlet qui convergent dans un
−s et g(s) =
Soient f (s) = ∞
m=1 bm m
n=1 an n
ouvert U ⊂ C. Alors le produit de f et g dans U ⊂ C est donné par
f (s)g(s) =
∞
X
ck k −s
k=1
avec
X
ck =
an bm =
X
an bk/n
n|k
n, m ≥ 1
mn = k
qui est appellé la convolution multiplicative des coefficients an et bn , indiquons aussi que la
somme a droite indique la somme sur tous les diviseurs positifs n de k.
Remarque.Nous pouvons montrer que la série f (s)g(s) converge si f (s) et g(s) convergent et au
moins une série est absolument convergente.
Exemples
• Pour la fonction d(n) avec σ > 1, nous avons
∞
X
d(n)
n=1
ns
= ζ(s)2 ; et d(n) =
X
1 × 1.
d|n
• Pour la fonction σk (n) avec σ > k + 1, nous avons
P∞
n=1
σk (n)
ns
= ζ(s)ζ(s − k).
Pour finir nous énoncerons le produit d’Euler pour les fonctions multiplicatives
3.0.3 Théorème
Soit f : N −→ C une fonction multiplicative, et soit
F (s) =
∞
X
f (n)
n=1
ns
une série qui converge absolument. Alors F (s) est égal au produit d’Euler
3
PRODUIT DE DEUX SÉRIES DE DIRICHLET
F (s) =
∞
YX
f (pn )
p∈P n=1
pns
=
Y
7
1+
p∈P
f (p) f (p2 )
+
+
.
.
.
ps
p2s
Le produit est définit sur l’ensemble P des nombres premiers et converge absolument. Cette rélation
est une conséquence de la formule pour les suites géométriques et du théoréme fondamental de
l’arithmétique.
Voici quelques exemples illustratifs
1.− Pour la fonction ζ(s) , avec σ > 1 nous avons
ζ(s) =
Y
1+
p∈P
Y
f (p) f (p2 )
1
+
+
.
.
.
=
.
s
2s
p
p
1 − p−s
p∈P
Ce développement en produit est attribué à Euler,raison pour laquelle la fonction ζ est de grande
importance dans la théorie des nombres premiers.
Avec ce résultat nous allons voir la fonction somme pour nos fonctions multiplicatives d(n) et σk (n)
1.a− Pour la fonction d(n) et σ > 1 alors
∞
X
d(n)
n=1
ns
= ζ(s)2 =
Y
(1 − p−s )−2 =
p∈P
Y
1+
p∈P
d(p) d(p2 )
+
+
.
.
.
.
ps
p2s
1.b− Pour la fonction σk (n) et σ > k + 1 alors
∞
X
σk (n)
n=1
ns
= ζ(s)ζ(s − k) =
Y
p∈P
[(1 − p−s )(1 − pk−s )]−1 =
Y
p∈P
1+
σk (p) σk (p2 )
+
+
.
.
.
.
ps
p2s
RÉFÉRENCES
8
Références
[1] BERNSTEIN, Vladimir. Lecons sur les progrès récents de la Théorie des Séries de Dirichlet.
Collection de monographies sur la théorie des fonctions ; Gauthier-Villars, Editeur ; Paris ;
1933.
[2] DE KONINCK, Jean-Marie et MERCIER, Armel ; Introduction à la théorie des nombres.
Collection universitaire de mathématiques ; Modulo, Editeur ; Mont-Royal, Québec ; 1994.
[3] ZAGIER, Don Bernard. Zetafunktionen und quadratische Zahlkörper. Berlin ; Heidelberg ;
New York : Springer ; 1981.