Correction du brevet blanc de mathématiques Exercice 1 : 5 points

Correction du brevet blanc de mathématiques
Exercice 1 : 5 points
1. Développer et réduire l’expression E. 1,5 point
E = 4x2 − 9 + (2x +3)(x −2)
E = 4x2 − 9 + 2x2 – 4x + 3x −6
E = 6x2 – x − 15
2. Factoriser 4x2 −9. En déduire la factorisation de l’expression E. 1,5 point
4x2 −9 = (2x + 3)(2x – 3)
On en déduit
E = 4x2 − 9 + (2x +3)(x −2)
E = (2x + 3)(2x – 3) + (2x +3)(x −2)
E = (2x + 3)(2x – 3 + x −2)
E = (2x + 3)(3x – 5)
3. a. Résoudre l’équation 1 point
(2x +3)(3x –5) = 0
Si un produit est nul, alors au moins iun de ses facteurs est nul
donc 2x +3 = 0
ou 3x –5 = 0
d’où 2x = 0 – 3
d’où 3x = 0 + 5
d’où 2x = – 3
d’où 3x = 5
−3
5
d’où x = 2
d’où x = 3
−3
2
5
3
L’équation admet deux solutions :
et
b. Solution entière de l’équation. 0,5 point
−3
= - 1,5 Ce n’est pas un nombre entier.
2
5
3
ne peut pas s’écrire sous la forme d’une fraction dont le dénominateur est égal à 1.
Ce n’est pas un nombre entier.
Cette équation n’a pas de solution entière.
c. Solution décimale de l’équations. 0,5 point
−3
= - 1,5 ceci est un nombre décimal.
2
Cette équation a une solution décimale.
Exercice 2 : 5 points
Question
1
2
3
Réponse
est inférieure à
la moyenne de
cette série de
valeurs
multiplier ce
prix par 0,85.
−18
Question
4
Réponse
admet une
solution : −4.
5
supérieurs ou
28
égaux à 3
Exercice 3 : 3 points
On donne x = √72 et y = √98.
1. Ecrire x et y sous la forme 𝑎√𝑏 (a et b entiers, a étant le plus grand entier
possible). 2 points
x = √72
y = √98
x = √36 × 2
y = √49 × 2
x = √36√2
y = √49√2
x = 6 √2
y = 7√2
2. Ecrire sous la forme la plus simple possible x2 – y2 et x + y. 1 point
x2 – y2
x+y
2
2
= 6 √2 + 7√2
= (√72) − (√98 )
= ( 6 + 7) √2
= 72 – 98
= 13√2
= - 26
Exercice 4 : 6 points
̂ . 1 point
1. Calcul de la mesure de l’angle•𝐸𝐹𝐺
EFG est un triangle rectangle en E, alors on a :
̂ = 𝐸𝐹
cos 𝐸𝐹𝐺
𝐹𝐺
5
̂=
cos 𝐸𝐹𝐺
13
d’après la calculatrice on obtient :
̂ ≈ 67 arrondi à l’unité.
𝐸𝐹𝐺
̂ et égale à 67°.
L’arrondi au degré de la mesure de l’angle 𝐸𝐹𝐺
2. Montrons que EG = 12 cm. 1 point
EFG est un triangle rectangle en E, alors d’après le théorème de Pythagore on a :
FG2 = FE2 + EG2
d’où 132 = 52 + EG2
d’où 169 = 25 + EG2
d’où EG2 = 169 – 25
d’où EG2 =144
d’où EG = √144
d’où EG = 12
EG est égale à 12 cm.
3. On considère le point M sur [EG] tel que EM= 3 cm. 0,5 point.
Calculons GM.
Les points E, M et G sont alignés dans cet ordre
alors MG = EG – EM
MG = 12 – 3
MG = 9
MG est égale à 9 cm
4. On sait que EFG est un triangle rectangle en E (2 points)
alors (FE) est perpendiculaire à (EG)
de plus (MN) est perpendiculaire à (EG)
Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles
entre elles
donc les droites (MN) et (EF) sont parallèles.
5. Calculons GN. 1,5 point
Les triangles GEF et GMN de sommet commun G sont tels que :
- M ∈ (GE)
- N ∈ (GF)
- (MN) et (EF) sont parallèles
alors d’après le théorème de Thalès on a :
𝐺𝑀
𝐺𝑁
𝑀𝑁
=
=
𝐺𝐸
𝐺𝐹
𝐸𝐹
9
𝐺𝑁
𝑀𝑁
=
=
12
13
5
9 × 13
D’où GN = 12
GN = 9,75
GN est égale à 9,75 cm
L’expression en fonction de x de FD est égale à x – 2.
2. Expression de l’aire de FECD. 1 point
Aire(FECD)
= FE × FD
= (2x +1)(x −2)
L’expression en fonction de x de l’aire de FECD est égale à (2x +1)(x −2)
3. Expression en fonction de x, les aires du carré ABCD et du rectangle ABEF. 1 point
Aire(ABCD)
Aire(ABEF)
= AB2
= AB×AF
= (2x +1)2
= (2x +1)( x +3)
4. Aire du rectangle FECD 1 point
Aire(FECD)
= Aire(ABCD) - Aire(ABEF)
= (2x +1)2 − (2x +1)(x +3)
L’expression en fonction de x de l’aire du rectangle FECD est (2x +1)2 − (2x +1)(x +3).
5. Les deux aires trouvées aux questions 2 et 4 sont égales et on a donc :
(2x +1)2 − (2x +1)(x +3) = (2x +1)(x −2)
Cette égalité traduit une factorisation 0,5 point
Exercice 6 :
Exercice 5 : 6 points
Partie 1
Partie A : Étude d’un cas particulier x = 3.
1. Compléter le tableau 1 de l’Annexe 1. 1 point (enlever 0,5 par erreur)
2. On appelle x le montant de la réduction (en euros). Compléter le tableau 2 de
l’annexe 1. 1,5 point (0,5 par réponse juste.)
3. Développer l’expression de la recette obtenue à la question 2. 0,5 point
(20 – x)(500 + 50x)
= 20 × 500 + 20 × 50x – 500x – 50x2
= 10 000 + 1 000x – 500x – 50x2
1. calcul de AB et AF. 1 point
AF = 3 + 3
AB = 2 × 3 + 1
AF = 6
AB = 6 + 1
AB = 7
AB est égal à 7cm et AF à 6 cm
2. Calcul de l’aire du rectangle FECD. 0,5 point
Aire(FECD)
= Aire(ABCD) - Aire(ABEF)
= AB2 - AB×AF
= 72 - 7 × 6
= 49 – 42
=7
L’aire du rectangle FECD est égale à 7 cm2
Partie B : Étude du cas général : x désigne un nombre supérieur à deux. 1 point
1. Expression la longueur FD en fonction de x.
On sait que F ∈ [AD]
alors FD = AD – AF
FD = 2x +1 – (x +3)
FD = 2x +1 – x – 3
FD = x – 2
= 10 000 + 500x – 50x2
Partie 2
1. Par lecture graphique, une valeur approchée de la recette pour une réduction de 2
euros est 10 800 € 0,5 point
2. Par lecture graphique, une valeur approchée du montant de la réduction pour une
recette de 4 050 euros est 17 € . 0,5 point
Prix d’une place
20 – 17 = 3
Le prix d’une place est de 3 € 0,5 point
3. Par lecture graphique, une valeur approchée de la recette pour une réduction de 8
euros est égale à 10 800 € 0,5 point
4. Par lecture graphique, une valeur approchée de la recette maximale est égale à
11 250 €. 0,5 point
Dans ce cas, la réduction est égale à 5 €.
Prix de la place :
20 – 5 = 15
Le prix d’une place est de 15 € 0,5 point
Exercice 7 : 5 points
1. Figure 1 point
2. Calcul de la longueur exacte du segment [BE] et de sa valeur arrondie au millimètre
près.
On sait que ABC est un triangle isocèle en A, alors AB = AC
On sait que ACE est un triangle équilatéral alors AC = AE = CE
On en déduit que AE = AB = 5 cm.
De plus,
si un triangle est isocèle, alors ses angles à la bases sont de même mesure
̂ = 𝐴𝐶𝐸
̂ = 75°
donc 𝐴𝐶𝐵
dans un triangle, la somme des mesures des trois angles est toujours égale à 180°
alors
̂ + 𝐴𝐵𝐶
̂ + 𝐵𝐴𝐶
̂ = 180
𝐴𝐶𝐵
̂ = 180
75 + 75 + 𝐵𝐴𝐶
̂
150 + 𝐵𝐴𝐶 = 180
̂ = 180 – 150
d’où 𝐵𝐴𝐶
̂
𝐵𝐴𝐶 = 30
̂ mesure 30° 1 point
𝐵𝐴𝐶
On sait que ACE est un triangle équilatéral,
si un triangle est équilatéral, alors ses angles mesurent 60°
̂ = 60° 0,5 point
donc 𝐶𝐴𝐸
̂ et 𝐶𝐴𝐸
̂ sont adjacents
de plus, 𝐵𝐴𝐶
̂
̂
̂
d’où 𝐵𝐴𝐸 = 𝐵𝐴𝐶 + 𝐶𝐴𝐸
̂ = 30 + 60
𝐵𝐴𝐸
̂ = 90
𝐵𝐴𝐸
̂ mesure 90°
𝐵𝐴𝐸
alors (AB) est perpendiculaire à (AE) 0,5 point
d’où ABE est un triangle rectangle en A
alors d’après le théorème de Pythagore on a :
BE2 = AB2 + AE2
BE2 = 52 + 52
BE2 = 25 + 25
BE2 = 50
D’où BE = √50
BE = √25 × 2
BE = 5√2 1,5 points
BE ≈ 7,1 arrondi au dixième. 0,5 point
La valeur exacte de la longueur BE est égale à 5√2 cm, son
égal à 7,1 cm.
ANNEXE 1
Tableau 1
Réduction en €
Prix de la place
Nombres de
en €
spectateurs
0
20
500
1
19
500 + 50 = 550
600
2
18
4
16
500 + 4×50 = 700
Tableau 2
Réduction en €
Prix de la place
Nombres de
en €
spectateurs
x
20 – x
500 + 50x
ANNEXE 2
arrondi au millimètre est
Recette du
spectacle
20 ×500 = 10 000
19 ×550 = 10 450
18 ×600 = 10 800
16 ×700 = 11 200
Recette du
spectacle
(20 – x)(500 + 50x)