Correction de l`épreuve commune niveau troisième Octobre 2011

Correction de l’épreuve commune niveau troisième Octobre 2011
Partie numérique
Exercice 1
𝟏𝟐 𝟑 𝟕
𝑨=
− ×
𝟓 𝟓 𝟗
𝟐
𝟏
𝑩 = ( − 𝟑) ÷
𝟑
𝟗
𝑪=
𝟏 𝟏
𝟏+𝟑−𝟐
𝟐+
𝟑 𝟏
+
𝟒 𝟑
𝑫=
𝟓 𝟐
𝟑
− × (𝟏 − )
𝟕 𝟕
𝟒
12
3×7
=
−
5 5×3×3
2 9
1
=( − )÷
3 3
9
6 2 3
+ −
= 6 6 6
24 9
4
12 + 12 + 12
=
5 2
4 3
− ×( − )
7 7
4 4
12
7
=
−
5 5×3
7
1
= (− ) ÷
3
9
5
= 6
37
12
=
5 2 1
− ×
7 7 4
=
5 12
×
6 37
=
5
2×1
−
7 7×2×2
=
5×6×2
6 × 37
=
5 1
−
7 14
=
10
37
=
10 1
9
−
=
14 14 14
=
12 × 3
7
−
5×3 5×3
7
=− ×9
3
=
36 − 7
15
=−
=
29
15
= −21
7×3×3
3
Exercice 2
𝑩=
𝟎, 𝟒 × 𝟏𝟎𝟑 × 𝟏𝟓𝟎𝟎 × 𝟏𝟎−𝟕
𝟐𝟒 × 𝟏𝟎𝟏𝟓 × (𝟏𝟎𝟒 )−𝟐
= 25 × 10−4−7
=
0,4 × 1500
103 × 10−7
× 15
24
10 × (104 )−2
= 25 × 10−11
=
4 × 6 × 25
103+(−7)
× 15
4×6
10 × 104×(−2)
= 2,5 × 101 × 10−11
= 25 ×
103−7
1015 × 10−8
= 25 ×
10−4
1015+(−8)
10−4
= 25 ×
107
𝐵 = 2,5 × 10−10
𝑪 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝟐 × 𝟏𝟎𝟏𝟐
= 1,2 × 10−3 × 1012
= 1,2 × 10−3+12
= 1,2 × 109
Exercice 3

Un nombre 𝒓 est dit rationnel, si on peut le mettre sous la forme suivante :
𝑝
𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑝: 𝑢𝑛 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑟 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑓 𝑒𝑡 𝑞: 𝑢𝑛 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑟 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑓
𝑞
𝑑𝑖𝑓𝑓é𝑟𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑧é𝑟𝑜.
𝑟=

Un nombre 𝒅 est dit décimal, si on peut le mettre sous la forme suivante :
𝑑=

𝑎
𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑎: 𝑢𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑟 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑓 𝑒𝑡 𝑛 𝑢𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑟 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑒𝑙.
10𝑛
Puisque 𝒂 𝐞𝐬𝐭 𝐮𝐧 𝐞𝐧𝐭𝐢𝐞𝐫 𝐫𝐞𝐥𝐚𝐭𝐢𝐟, et que 𝟏𝟎𝒏 𝐞𝐬𝐭 𝐮𝐧 𝐞𝐧𝐭𝐢𝐞𝐫 𝐝𝐢𝐟𝐟é𝐫𝐞𝐧𝐭 𝐝𝐞 𝐳é𝐫𝐨 . On en
déduit que tout nombre décimal est un nombre rationnel.
Exemple :
2,1054 =

21054
104
𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑é𝑐𝑖𝑚𝑎𝑙, 𝑖𝑙 𝑒𝑠𝑡 𝑎𝑢𝑠𝑠𝑖 𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑛𝑒𝑙.
Un nombre rationnel peut ne pas être décimal.
Exemple :
2 ′
𝑛 𝑒𝑠𝑡 𝑝𝑎𝑠 𝑢𝑛 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑é𝑐𝑖𝑚𝑎𝑙.
3
Sinon, il existe 𝑎 entier relatif et 𝑛 entier naturel tels que :
2
𝑎
= 𝑛
3 10
𝑑𝑜𝑛𝑐
2 × 10𝑛 = 3 × 𝑎
On en déduit que 3 divise 2 × 10𝑛 absurde car la somme des chiffres du nombre 2 × 10𝑛 est égale
à 2 n’est pas un multiple de 3.
Conclusion :
2 ′
𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑝𝑎𝑠 𝑢𝑛 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑é𝑐𝑖𝑚𝑎𝑙.
3
Exercice 4
Calcul du 𝑃𝐺𝐶𝐷(1515; 1789) à l’aide de l’algorithme d’Euclide.
Dividende
1789
1515
274
145
129
16
diviseur
1515
274
145
129
16
1
Reste
274
145
129
16
1
0
Le dernier reste
non nul
Dans l’algorithme d’Euclide le 𝑃𝐺𝐶𝐷 est le dernier reste non nul, donc 𝑃𝐺𝐶𝐷(1515; 1789) = 1
Les deux nombres 1515 𝑒𝑡 1789 sont premiers entre eux.
Partie géométrie
Exercice 1
Construction :
1- Calcul de BC :
Remarque :
Condition nécessaire :
On ne peut utiliser le théorème de Pythagore que si le triangle est rectangle.

𝐴𝐵𝐶 ∶ Est un triangle rectangle en 𝐴 .

D’après le théorème de Pythagore.
« La longueur de l’hypoténuse au carré est égale à la somme des carrés des longueurs
des deux autres côtés. »
𝐵𝐶 2 = 𝐴𝐵2 + 𝐴𝐶 2
Application numérique :
𝐵𝐶 2 = 652 + 1562
𝐵𝐶 2 = 4225 + 24336
𝐵𝐶 2 = 28561
𝐵𝐶 = √28561
𝐵𝐶 = 169 𝑚𝑚
𝐵𝐶 = 16,9 𝑐𝑚
2- Calcul d’aire :
Soit : 𝒜(𝐴𝐵𝐶) L’aire du triangle 𝐴𝐵𝐶.
𝑏𝑎𝑠𝑒 × ℎ𝑎𝑢𝑡𝑒𝑢𝑟
2
𝐴𝐵 × 𝐴𝐶
𝒜(𝐴𝐵𝐶) =
2
𝒜(𝐴𝐵𝐶) =
Application numérique :
𝒜(𝐴𝐵𝐶) =
65 × 156
2
𝓐(𝑨𝑩𝑪) = 𝟓 𝟎𝟕𝟎 𝒎𝒎𝟐
3- Calcul de 𝑨𝑯 :
Expression de l’aire en fonction de 𝐴𝐻.
Dans cette question, on prend comme base le côté ∶ [𝐵𝐶] et pour hauteur la droite (𝐴𝐻).
𝐵𝐶 × 𝐴𝐻
𝒜(𝐴𝐵𝐶) =
2
169 × 𝐴𝐻
𝒜(𝐴𝐵𝐶) =
2
On en déduit que :
169 × 𝐴𝐻
= 5070
2
2×
169 × 𝐴𝐻
= 2 × 5070
2
169 × 𝐴𝐻 = 10140
169 × 𝐴𝐻 10140
=
169
169
𝑨𝑯 = 𝟔𝟎 𝒎𝒎
Exercice 2
1- Le triangle 𝐿𝑆𝐾 est rectangle en L, d’après le théorème de Pythagore, on a :
𝑆𝐾 2 = 𝐿𝐾 2 + 𝐿𝑆 2
Application numérique :
𝑆𝐾 2 = 482 + 642
𝑆𝐾 2 = 6400
𝑆𝐾 = √6400
𝑺𝑲 = 𝟖𝟎 𝒎𝒎
Le triangle 𝐾𝐿𝑀 est rectangle en L, d’après le théorème de Pythagore, on a :
𝑀𝐾 2 = 𝐿𝑀2 + 𝐿𝐾 2
Application numérique :
602 = 𝐿𝑀2 + 482
3600 = 𝐿𝑀2 + 2304
3600 − 2304 = 𝐿𝑀2 + 2304 − 2304
1296 = 𝐿𝑀2
𝐿𝑀 = √1296
𝑳𝑴 = 𝟑𝟔 𝒎𝒎
2- Le triangle 𝑆𝐾𝑀 est rectangle en 𝐾.
Pour utiliser la réciproque du théorème de Pythagore, on a besoin des longueurs des trois
côtés de ce triangle.



La longueur de [𝐾𝑀].
𝐾𝑀 = 60 𝑚𝑚.
La longueur de [𝑆𝐾].
D’après la question 1 :
𝑆𝐾 = 80 𝑚𝑚
La longueur de [𝑆𝑀].
𝐿 ∈ [𝑆𝑀]
Donc 𝑆𝑀 = 𝑆𝐿 + 𝐿𝑀
𝑆𝑀 = 64 + 36
𝑆𝑀 = 100 𝑚𝑚
Le côté le plus long est [𝑆𝑀].
D’une part :
𝑆𝑀2 = 1002
𝑆𝑀2 = 10 000
D’autre part :
𝐾𝑆 2 + 𝐾𝑀2 = 602 + 802
𝐾𝑆 2 + 𝐾𝑀2 = 3 600 + 6 400
𝐾𝑆 2 + 𝐾𝑀2 = 10 000
On constate que 𝑺𝑴𝟐 = 𝑲𝑴𝟐 + 𝑲𝑺𝟐.
Le carré de la longueur du côté le plus long est égal à la somme des carrés des
longueurs des deux autres côtés.
D’après la réciproque du théorème de Pythagore ce triangle est rectangle d’hypoténuse
le côté le plus long.
Problème
I-
Première partie :
1- Peut-on répondre favorablement aux souhaits des trois enfants.
3 2 1 3 × 5 + 2 × 7 + 1 × 5 15 + 14 + 5 34
+ + =
=
=
7 5 7
35
35
35
Est la fraction du gâteau souhaitée par les trois enfants.
34 35
<
35 35
Donc il est possible de répondre favorablement aux souhaits des trois enfants.
2- Le pourcentage du gâteau qui reste.
Après avoir servi les trois enfants la fraction du gâteau qui restera sera :
35 34
1
−
=
35 35 35
Quantité
Pourcentage
𝟑𝟓
100
𝟏
𝑥
Il s’agit d’un tableau de proportionnalité.
100 𝑥
=
35
1
Donc 35 × 𝑥 = 100 × 1
100
𝑥=
35
𝑥 ≅ 2,85 %
3- La masse totale du gâteau :
On utilise une deuxième fois un tableau de proportionnalité.
3
Fraction du gâteau
7
Masse en grammes
315
1
𝑥
3
× 𝑥 = 1 × 315
7
7 3
7
× × 𝑥 = × 1 × 315
3 7
3
7 × 315 7 × 3 × 105
𝑥=
=
3
3
𝒙 = 𝟕𝟑𝟓 𝒈
II-
Deuxième partie :
« Le reste de la division Euclidienne de 3003 par 143 est zéro »
1- Traduction de la phrase ci-dessus par une égalité mathématique.
3003 = 143 × 𝑞
2- Deux phrases équivalentes :
3003 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑒 𝑑𝑒 143.
143 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑒𝑢𝑟 𝑑𝑒 3003
III-
Troisième partie :
1- Le plus grand nombre de bouquets identiques :
Le nombre de bouquets identiques est un diviseur des deux nombres.
Le plus grand nombre de bouquets identiques est donc
le 𝑃𝐺𝐶𝐷(3003; 286).
On utilise l’algorithme d’Euclide pour déterminer le 𝑃𝐺𝐶𝐷(3003; 286)
Dividende
3003
286
diviseur
286
143
Reste
143
0
On peut donc former au maximum 143 bouquets « identiques ».
2- La composition de chaque bouquet :
3003 ÷ 143 = 21
286 ÷ 143 = 2
Chaque bouquet contiendra 21 brins de muguet et 2 roses.
Le dernier
reste non nul