TERMINALE S ENSEIGNEMENT SPECIFIQUE DATE
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TERMINALE S DATE :………………. ENSEIGNEMENT SPECIFIQUE Temps, mouvement et évolution Description du mouvement d’un point au cours du temps : vecteurs position, vitesse et accélération a) LA MÉCANIQUE DE NEWTON a.1) La cinématique du point Un système est un objet dont on étudie le mouvement et les forces qu'il subit. Le bilan des forces consiste à étudier les forces extérieures appliquées au système. Le mouvement d'un corps doit être décrit par rapport à un solide de référence appelé référentiel. Remarques : Un référentiel est un solide de référence défini par un point et associé à trois axes pointant dans des directions fixes. Les référentiels les plus courants sont: - Le référentiel ……………... associé à une portion de surface terrestre qui peut ête choisi pour des mouvements de faible amplitude et de durée très faible par rapport à la période de rotation terrestre. - Le référentiel ………..………. associé au centre de la Terre et trois axes pointant en direction d'étoiles fixes qui peut être utilisé pour étudier des mouvements de grande amplitude autour de la Terre mais dont la durée est négligeable devant la période de révolution terrestre. - Le référentiel héliocentrique associé au centre du Soleil et trois axes pointant en direction d'étoiles pouvant être considérées comme fixes. Le centre d'inertie ( ou centre de ……………..) est le point de l'objet qui a la trajectoire la plus simple. C'est le plus souvent ce point dont la trajectoire est décrite. Pour décrire un mouvement il faut avoir une notion de temps, il faut choisir un instant d'origine. Mesure du temps avec un chronomètre ou une horloge Pour repérer la position d'un point M dans l'espace, il faut choisir un repère par exemple un repère orthonormé (O, i , j ,k) La trajectoire du point M est l'ensemble des positions successives prises par ce point M au cours du temps 1 Remarque :Nature du mouvement Le mouvement est rectiligne uniforme lorsque la direction est toujours la même et l' espace entre les points est constant à intervalles de temps égaux. Le mouvement est rectiligne accéléré lorsque la direction est toujours la même et l' espace entre les points augmente à intervalles de temps égaux. Le mouvement est rectiligne décéléré ou ralenti lorsque la direction est toujours la même et l' espace entre les points augmente à intervalles de temps égaux. Le mouvement est circulaire uniforme lorsque la trajectoire est un cercle et l' espace entre les points est constant à intervalles de temps égaux. a.2) Le vecteur position Le vecteur position ,dans le repère cartésien R (0, i , j , k ) , Le vecteur position OM est: OM ................ Où x et y e z sont les coordonnées du vecteur position dans le repère R cartésien orthonormé. Unité légale : le mètre (m). x= x(t) est une fonction du temps nommée ……………… y= y(t) est une fonction du temps nommée ……………… z= z(t) est une fonction du temps nommée ……………… b) Vitesse moyenne Définition MM ' La vitesse moyenne v m entre M et M' est définie par : v m ( t ' t ) Rq. : - les vecteurs v m et MM' sont colinéaires. - la distance prise en compte est la distance MM' 2 Cas d’un tracé de mobile autoporteur ou d’une chronophotographie Notons la durée s'écoulant entre deux points de la trajectoire. M vm M ' k iO j vM n Mn vM Mn-1 n Mn 1Mn 1 2. Mn+1 c) Le vecteur vitesse Dans un référentiel donné, le vecteur instantanée à l'instant t d'un point M du v (t ) , est égale à la dérivée du vitesse système, noté vecteur position OM par rapport au temps: ………… Unité légale: le mètre par seconde (m.s-1). direction : une droite tangente à la trajectoire au point M sens : celui du mouvement v (t) po int d'application : le po int M une valeur v v vx 2 v y 2 l'unité légale est le mètre par seconde (m.s -1 ) vx et vy sont les coordonnées du vecteur vitesse dans le repère cartésien orthonormé R. Vx(t) = est la dérivée de l’équation horaire de l’abscisse x(t) Vy(t) = est la dérivée de l’équation horaire de l’ordonnée y(t) Vz(t) = est la dérivée de l’équation horaire de la cote z(t) c.1) Détermination analytique de la vitesse * Calcul des coordonnées du vecteur vitesse et sa norme sachant que x(t) = 2t²+ t et y(t)= 5t v Vx (t) = Vy (t) = * Calcul de Vx(t) à partir d’un graphique La coordonnée vx(t) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe à l’instant t Exemple de calcul de la vitesse Vo à la date t = 0. c.2) Détermination graphique de la vitesse 3 Le vecteur vitesse moyenne est égale à la variation du vecteur position OM divisée par la durée t du parcours: « d »représente une petite variation. Voir fiche méthode « vecteur vitesse » Méthode pour tracer le vecteur vitesse instantané On désire tracer le vecteur vitesse v 5 à l'instant t : par exemple pour 1,0 cm représente 2,0 m.s-1 5 1. Mesurer la distance M4M6 puis diviser par la durée t6-t4. Pour calculer la norme de la vitesse v5. M M v5 4 6 0,85 m.s 1 t6 t4 2. Tracer le segment M4M6. Tracer une parallèle à la corde passant par M5. Cette parallèle est la tangente à la courbe à l'instant t5. C'est la direction du vecteur vitesse. 3. Choisir une échelle de vitesse par exemple 1,0 cm <-> 0,30 m.s-1. En déduire la longueur du vecteur vitesse: 1cm 0 , 30 m.s 0,85x1 L(v5 ) 2,8 cm 0,30 -1 v5 0,85 m.s -1 4. Tracer le vecteur vitesse qui a pour origine le point M5, le sens celui du mouvement, une longueur de 2,8 cm et une direction correspondant à la tangente à la trajectoire au point M5. 4 d) Le vecteur accélération d.1) Définition du vecteur accélération Dans un référentiel donné, le vecteur accélération instantanée à l'instant t d'un point M du système, noté a (t ) , est égale à la dérivée du vecteur vitesse instantanée v (t ) par rapport au temps: L’unité légale est le ………….. … ax , ay et az sont les coordonnées du vecteur vitesse dans le repère cartésien orthonormé coordonnée ax = ………….. coordonnée ay = ………….. coordonnée az= ………….. Notation du vecteur :………. Notion de primitive 5 ax est la dérivée première par rapport au temps de la coordonnée de la vitesse vx sur l'axe des x donc vx est la primitive de ax soit …………… Application : si ax = 2,0 m.s-2 et V0X = 1,0 m.s-1 à l’instant initial, déterminer l’équation horaire de la vitesse. ……………. ay est la dérivée première par rapport au temps de la coordonnée de la vitesse vy sur l'axe des y donc vy est la primitive de ay soit ……………. Application : si ay= 0,0 m.s-2 et V0y= 2,0 m.s-1 à l’instant initial, déterminer l’équation horaire de la vitesse. ……………. Exemple 1: si ax =2,0 m.s-2 , ay =0,0 m.s-2 et az = 4,0 m.s-2 cela signifie que le solide voit sa vitesse varier de 2,0 m.s-1 en une seconde sur l'axe des x et de 4 m.s-1 en une seconde sur l'axe des y. La valeur ou norme de l'accélération sera: a a ...................................... ......................... 4,5 m.s 2 Remarque : Le mouvement est uniformément accéléré car le vecteur accélération est constant. Applications : Exemple 2 : Déterminer les coordonnées du vecteur accélération si les équations horaires sont : x(t) = 2t²+ t et y(t)= 5t d.2) Les caractéristiques du vecteur accélération au point M sont: direction : identique à celle du vecteur variation de vitesse dv sens : celui du vecteur variation de vitesse dv a(t) po int d'application : le po int M une valeur a a ax2 a y 2 l'unité légale est le mètre par seconde au carré (m.s -2 ) 6 d.3) Méthode pour tracer le vecteur accélération. On désire tracer le vecteur accélération a 5 à l'instant t5: v6 v4 a5 t t 6 4 1. Tracer les vecteurs v 6 et v 4 puis le vecteur variation de vitesse ………..= v 6 v 4 2. Mesurer la longueur du vecteur V = v 6 v 4 et déterminer sa norme v 6 v 4 grâce à l'échelle de vitesse . 3. Calculer la norme du vecteur accélération grâce à la formule: v v a5 6 4 2,0m.s 2 t6 t4 4. Choisir une échelle d'accélération par exemple 1,0 cm <-> 1,0 m.s2. En déduire la longueur du vecteur accélération: 5. Tracer le vecteur accélération qui a pour origine le point M5, le sens celui du mouvement, une longueur de 2,0 cm, une direction celle du vecteur variation de vitesse v 6 v 4 . En résumé : Vecteur position 7 Vecteur vitesse Vecteur accélération e) Le vecteur quantité de mouvement e.1) Définition Le vecteur quantité de mouvement p d'un point matériel est égal au produit de sa masse m par son vecteur vitesse: ……………… Le vecteur quantité de mouvement dépend du référentiel. Il est colinéaire et de même sens que le vecteur vitesse. Les unités sont (kg) pour m , (m.s-1) pour v , donc est pour p (……………..) Les caractéristiques du vecteur quantité de mouvement du point M sont: direction : celui du vecteur vitesse sens : celui du mouvement p (t) po int d' application : le po int M une valeur p p m.v e.2) Relation entre accélération et la quantité de mouvement La quantité de mouvement est donnée par p =……………………..donc la vitesse v ………………….comme La masse est une constante donc la dérivée ………………….. devient ………..……….. e.3) Conservation de la quantité de mouvement La quantité de mouvement d’un système isolé se conserve Entre ldeux états du système……………….. Remarque : Un système mécanique est isolé lorsqu’il est soumis à des forces qui se compensent ou à aucun force. Considérons deux mobiles isolés sur un rail à un coussin d’air ( pas de frottement) .Le mobile 1 de masse m1 = 1,0 kg est immobile et le mobile 2 de masse m2 = 200 g se dirige vers le mobile 1 à la vitesse de 10,0 m.s-1. Il y a collision ou choc et le mobile 1 se met en mouvement et le mobile 2 se déplace dans le même sens que la mobile 1 à la vitesse v’2 = 2,0 m.s-1. Mobile 2 Mobile 1 Quelle la vitesse v’1 du mobile 1 ? Quantité de mouvement avant le choc ……………….…. =…………………….. Quantité de mouvement après le choc ……………….…. = ………………………… Le système ( mobile1 et mobile 2) est isolé donc 8 TERMINALE S DATE :………………. ENSEIGNEMENT SPECIFIQUE Temps, mouvement et évolution Types de mouvement et caractéristiques a) Les mouvements rectilignes Un mouvement est dit rectiligne s'il s'effectue selon une trajectoire qui est une droite. a.1) Mouvement rectiligne uniforme Le mouvement rectiligne d'un point est dit uniforme si son vecteur vitesse est constant en valeur, en direction et en sens. Le vecteur quantité de mouvement est aussi …………………. ( en norme, sens et direction) Caractéristiques du vecteur vitesse pour un mouvement rectiligne uniforme - Sa norme est constante et égale à vitesse initiale à l'origine des temps: v = vo - Sa direction et son sens correspondent ceux du mouvement Position d'un point en mouvement rectiligne uniforme Puisque le mouvement s'effectue selon une droite on peut choisir un repère dans lequel cette dernière coïncide avec l'axe des ordonnées. On a alors OM = x Puisque dans ce cas la vitesse du point M correspond à la dérivée de son abscisse x en fonction du temps alors réciproquement l'abscisse x correspond à une primitive de la vitesse. ……………………………………….. La vitesse étant constante ( v = vo ) sa primitive est de la forme: x = vo x t + A où A est une constante. à t=0 x = x0 donc x0 = vo x 0 + A donc x0 = A La constante A correspond donc à l'abscisse du point M à l'origine des temps. L'abscisse d'un point M en mouvement rectiligne uniforme est donc une fonction affine du temps de forme: x = vot + x0 où vo est la vitesse du point x0 l'abscisse à t = 0 Remarques: - si x0 = 0 alors l'abscisse x est une fonction linéaire du temps ( x = vot ) - si la vitesse est orientée dans le même sens que l'axe des abscisses alors vo > o et l'abscisse est une 9 fonction croissante. - si la vitesse vo est orientée dans le sens opposé à l'axe des abscisses alors vo < o et l'abscisse est une fonction décroissante. Accélération d'un point en mouvement rectiligne uniforme L'accélération correspond à la dérivée par rapport au temps de la vitesse. Cette dernière etant constante alors sa dérivée est nulle. L'accélération est donc nulle: a = 0 a.2) Mouvements rectilignes uniformément variés Condition pour qu'un mouvement rectiligne soit uniformément varié Un mouvement rectiligne est uniformément varié si son vecteur accélération est constant en valeur en direction et en sens. Caractéristiques du vecteur accélération pour un mouvement rectiligne uniformément varié Sa norme est constante et égale à l'accélération initiale: a = a0 Sa direction correspond à celle du mouvement. Si son sens est le même que celui du mouvement ( a > 0 ) on parle de mouvement uniformément accéléré. Si son sens est opposé à celui du mouvement ( a < 0 ) on parle de mouvement uniformément ………... Vitesse d'un point en mouvement uniformément varié Puisque l'accélaration correspond à la dérivée de la vitesse par rapport au temps alors la vitesse est une primitive de l'accélération a = a0 danc v = a0t +B avec B une constante Dans les conditions initiales ( à t = 0 ) v = vo donc vo = a0 x 0 + B et B = vo. La vitesse d'un point en mouvement uniformément accéléré est donc une fonction affine du temps de forme: v = …………………………. où a0 et l'accélération à t = 0 s vo est la vitesse à t = 0 s Remarques - Si la vitesse est nulle à t = 0 alors la vitesse est une fonction linéaire du temps - Si le mouvement est uniformément accéléré ( a0 > 0 ) alors la vitesse est croissante au cours du 10 temps. - Si le mouvement est uniformémént ralenti ( a0 < 0 ) alors la vitesse est décroissante au cours du temps Position d'un point en mouvement uniformément varié Puisque la vitesse est une dérivée de la position par rapport au temps alors la position est une primitive de la vitesse. v = aot + vo donc la primitive correspondant à l'abscisse est de forme x = ……………………… Si x = x0 à t = 0 alors la constante B correspond à l'abscisse au temps t = 0. L'abscisse d'un point en mouvement uniformément accéléré est donc une fonction parabolique du temps de la forme: x = ………………………….. avec ao accélération initiale à t = 0 vo vitesse initiale à t = 0 x0 abscisse initiale à t = 0 mouvement uniformément ralenti mouvement uniformément accéléré Les mouvements circulaires • Si le mouvement est circulaire et uniforme, alors aG est perpendiculaire à vG et est dirigé vers le centre du cercle 11 - ent d'une barque du ponton, lorsqu'on en descend 12
