10 - Oscillations él..

Cours n°10 : Oscillations électriques – Le circuit RLC
1) Oscillateur harmonique : le circuit LC
1.1) Equation différentielle
Un condensateur de capacité 𝐶 est initialement chargé sous une tension 𝑈. Il est connecté en série
avec une bobine d’inductance 𝐿 et de résistance interne nulle et un interrupteur 𝐾.
𝑖
L’orientation du circuit est totalement arbitraire mais
On choisira de travailler en convention récepteur.
𝐿
𝑢𝐿
+𝑞
𝑢𝐶
La loi des mailles nous donne :
𝐶
−𝑞
𝑢𝐶 + 𝑢𝐿 = 0
En convention récepteur, on a :
-
aux bornes du condensateur
𝑢𝐶 =
-
𝑞
𝐶
aux bornes de la bobine
𝑢𝐿 = 𝐿
𝑑𝑖
𝑑2 𝑞
=𝐿 2
𝑑𝑡
𝑑𝑡
car
𝑖=
𝑑𝑞
𝑑𝑡
D’où
𝑞
𝑑2 𝑞
+𝐿 2 =0
𝐶
𝑑𝑡
𝑑2 𝑞
𝑞
+
=0
2
𝑑𝑡
𝐿𝐶
Soit en posant
𝜔02 =
1
𝐿𝐶
𝑞̈ + 𝜔02 𝑞 = 0
On retrouve l’équation de l’oscillateur harmonique.
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1.2) Solution de l’équation différentielle
On a l’équation qui nous décrit l’oscillation de la charge :
𝑞̈ + 𝜔02 𝑞 = 0
avec
𝜔0 =
1
√𝐿𝐶
La solution générale de cette équation est de la forme :
𝑞(𝑡) = 𝐴 cos(𝜔0 𝑡 + 𝜑)
Détermination des constantes 𝐴 et 𝜑
Les conditions initiales du problème sont :
-
𝑞(0) = 𝑞0 = 𝐶 𝑈
𝑖(0) = 0 car le circuit est fermé à 𝑡 = 0 et il y a continuité du courant.
𝑞(𝑡) = 𝐴 cos(𝜔0 𝑡 + 𝜑)
donc
𝑞̇ (𝑡) = −𝐴 𝜔0 sin(𝜔0 𝑡 + 𝜑)
Les conditions initiales nous donnent :
𝐴 cos 𝜑 = 𝑈
{
−𝐴 𝜔0 sin 𝜑 = 0
⇒ 𝜑 = 0 ou 𝜑 = 𝜋
𝜑 = 0 ⇒ cos 𝜑 = 1 ⇒ 𝐴 = 𝑞0 ⇒ 𝑞(𝑡) = 𝑞0 cos 𝜔0 𝑡
⇒{
𝜑 = 𝜋 ⇒ cos 𝜑 = −1 ⇒ 𝐴 = −𝑞0 ⇒ 𝑞(𝑡) = −𝑞0 cos(𝜔0 𝑡 + 𝜋) = 𝑞0 cos 𝜔0 𝑡
car cos(𝛼 + 𝜋) = − cos 𝛼
La solution de l’équation est donc :
𝑞(𝑡) = 𝑞0 cos 𝜔0 𝑡 = 𝐶 𝑈 cos 𝜔0 𝑡
Tension aux bornes du condensateur :
𝑢𝐶 (𝑡) =
𝑞
= 𝑈 cos 𝜔0 𝑡
𝐶
Tension aux bornes de la bobine :
𝑢𝐿 (𝑡) = −𝑢𝐶 (𝑡) = −𝑈 cos 𝜔0 𝑡
Intensité électrique dans le circuit
𝑑𝑞
𝑑𝑡
𝑖(𝑡) = −𝐶 𝑈 𝜔0 sin 𝜔0 𝑡
𝑖(𝑡) =
soit
𝐶
𝑖(𝑡) = − 𝑈 √ sin 𝜔0 𝑡
𝐿
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La charge, la tension et l’intensité sont des fonctions sinusoïdales qui oscillent autour d’une valeur
moyenne nulle avec les caractéristiques suivantes :
-
Pulsation propre en 𝑟𝑎𝑑 ∙ 𝑠 −1 :
𝜔0 =
-
1
√𝐿 𝐶
Période propre des oscillations en 𝑠 :
𝑇0 =
2𝜋
= 2 𝜋 √𝐿 𝐶
𝜔0
1.3) Dimension de la période propre des oscillations
𝑇0 = 2 𝜋 √𝐿 𝐶
𝑑𝑖
𝑢𝐿
⇒𝐿=
𝑑𝑖⁄
𝑑𝑡
𝑑𝑡
[𝑢𝐿 ] 𝑇
⇒ [𝐿] =
𝐼
𝑢𝐿 = 𝐿
𝑞
𝑞
⇒ 𝐶=
𝐶
𝑢𝐶
[𝑞]
𝐼𝑇
⇒ [𝐶] =
=
[𝑢𝐶 ] [𝑢𝐶 ]
𝑢𝐶 =
[𝑢𝐿 ] 𝑇 𝐼 𝑇
∙
= 𝑇2
[𝑢𝐶 ]
𝐼
⇒ [𝑇0 ] = [√𝐿 𝐶 ] = 𝑇
[𝐿 𝐶] =
Ainsi, 𝑇0 est bien homogène à un temps.
1.4) Etude énergétique
L’énergie totale se répartit sous deux formes :
-
-
Energie potentielle électrostatique emmagasinée dans le condensateur :
1
1
𝑊𝐶 (𝑡) = 𝐶 𝑢𝐶2 (𝑡) = 𝐶𝑈 2 cos2 𝜔0 𝑡
2
2
Energie électromagnétique stockée dans la bobine :
1
1
𝑊𝐿 (𝑡) = 𝐿 𝑖 2 (𝑡) = 𝐶𝑈 2 sin2 𝜔0 𝑡
2
2
Calcul de l’énergie totale dans le circuit :
𝑊𝑇 (𝑡) = 𝑊𝐶 (𝑡) + 𝑊𝐿 (𝑡)
1
1
𝑊𝑇 (𝑡) = 𝐶 𝑢𝐶2 (𝑡) + 𝐿 𝑖 2 (𝑡)
2
2
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1
1
𝑊𝑇 (𝑡) = 𝐶𝑈 2 cos 2 𝜔0 𝑡 + 𝐶𝑈 2 sin2 𝜔0 𝑡
2
2
1
𝑊𝑇 (𝑡) = 𝐶𝑈 2 (cos2 𝜔0 𝑡 + sin2 𝜔0 𝑡)
2
1
𝑊𝑇 (𝑡) = 𝐶𝑈 2
2
L’énergie totale dans le circuit se conserve et correspond à l’énergie initialement stockée dans le
condensateur.
Effectivement, le circuit ne présente aucune résistance au passage du courant et donc il n’y a pas de
dissipation d’énergie par effet Joule.
Le système est donc conservatif et il y a échange mutuel, entre le condensateur et la bobine, de
l’énergie de départ.
1.5) Tracé des oscillations
Courant et intensité
On a montré que :
𝑢𝐶 (𝑡) = 𝑈 cos 𝜔0 𝑡
et
𝐶
𝑖(𝑡) = − 𝑈 √ sin 𝜔0 𝑡
𝐿
𝑢𝐶 (𝑡) et 𝑖(𝑡) sont des fonctions sinusoïdales. Le système est le siège d’oscillations libres non
amorties. On est alors en régime périodique de période la période propre des
oscillations 𝑇0 = 2 𝜋 √𝐿 𝐶.
𝑢𝐶 (𝑡)
𝑈
𝑡
𝑢𝐿 (𝑡)
−𝑈
𝑖(𝑡)
𝑈√𝐶⁄𝐿
𝑡
−𝑈√𝐶⁄𝐿
0
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𝑇0
4
𝑇0
2
3𝑇0
4
𝑇0
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On peut remarquer que tension et intensité sont en quadrature de phase (déphasage d’un quart de
période). Cela signifie que, lorsque 𝑢𝐶 est nulle, 𝑖 est maximale ou minimale et inversement, lorsque
𝑢𝐶 est maximale ou minimale, 𝑖 est nulle.
Energie
1
𝑊𝑇 (𝑡) = 𝑊𝐶 (𝑡) + 𝑊𝐿 (𝑡) = 𝑐𝑠𝑡𝑒 = 𝐶𝑈 2
2
!
Il faut bien noter que 𝑊𝐶 (𝑡), 𝑊𝐿 (𝑡) et 𝑊𝑇 (𝑡) sont des fonctions positives
1
𝑊𝑇 = 𝐶𝑈 2
2
𝑊𝐶
𝑊𝐿
𝑇0
4
0
𝑇0
2
3𝑇0
4
𝑡
𝑇0
On a communiqué initialement une certaine quantité d’énergie 𝑊𝑇 au système sous forme d’énergie
potentielle électrostatique stockée dans le condensateur.
Cette énergie est ensuite échangée alternativement entre le condensateur et la bobine à la
période
𝑇0
2
Condensateur et bobine jouent alternativement le rôle de générateur et de récepteur du fait de
l’oscillation du courant électrique.
1.6) Description d’une oscillation
-
𝑡 = 0 : Le condensateur est chargé sous une charge maximale
-
𝑡=0⟶
-
𝑡=
𝑇0
4
: Le condensateur est déchargé. L’énergie est entièrement stockée dans la bobine.
-
𝑡=
𝑇0
4
⟶
𝑇0
4
𝑇0
2
: 𝑖 < 0 , il y a décharge du condensateur dans la bobine
: L’inertie de la bobine entraîne la création d’un courant de charge du
condensateur. Celui-ci se recharge dans l’autre sens et donc la tension à ses bornes change
de signe.
-
𝑡=
𝑇0
2
: Le condensateur est chargé donc 𝑖 = 0 et toute l’énergie du circuit se retrouve à
nouveau dans le condensateur.
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-
𝑡=
𝑇0
2
-
𝑡=
3𝑇0
4
: Le condensateur est déchargé
-
𝑡=
3𝑇0
4
⟶ 𝑇0 : L’inertie de la bobine entraîne la création d’un courant de charge du
⟶
3𝑇0
4
: 𝑖 > 0 , il y a décharge du condensateur dans l’autre sens
condensateur qui se charge dans le sens de départ et 𝑢𝐶 change de signe
-
𝑡 = 𝑇0 : le condensateur est chargé et l’on se retrouve dans la situation initiale.
2) Oscillations libres dans un circuit RLC
𝑖
(𝐿, 𝑟)
𝑢𝐿
𝑅
𝑢𝑅
+𝑞
𝑢𝐶
𝐶
−𝑞
La situation du circuit LC est un modèle théorique.
En pratique, le circuit est le siège d’une perte
d’énergie par effet Joule dépendante de la résistance
présente dans le circuit. Le système n’est plus
conservatif.
Circuit série étudié :
- Un condensateur de capacité 𝐶 initialement chargé sous une tension 𝑈
- Une inductance 𝐿 de résistance interne 𝑟
- Une résistance 𝑅
2.1) Equation différentielle du circuit
Le circuit est fermé à 𝑡 = 0.
Loi des mailles :
𝑢𝐶 + 𝑢𝐿 + 𝑢𝑅 = 0
On a :
𝑞
𝐶
𝑑𝑖
𝑑𝑞
𝑑2 𝑞
𝑢𝐿 = 𝑟 𝑖 + 𝐿 = 𝑟
+𝐿 2
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑢𝐶 =
𝑢𝑅 = 𝑅 𝑖 = 𝑅
car
𝑖=
𝑑𝑞
𝑑𝑡
𝑑𝑞
𝑑𝑡
d’où l’équation différentielle caractéristique du circuit :
𝑞
𝑑𝑞
𝑑2 𝑞
𝑑𝑞
+𝑟
+𝐿 2 +𝑅
=0
𝐶
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
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𝑞̈ +
𝑟+𝑅
𝑞
𝑞̇ +
=0
𝐿
𝐿𝐶
En posant 𝑅𝑇 = 𝑟 + 𝑅, on obtient :
𝑞̈ +
𝑅𝑇
𝑞
𝑞̇ +
=0
𝐿
𝐿𝐶
2.2) Régimes de fonctionnement
Il existe plusieurs régimes de fonctionnement suivant la valeur de la résistance dans le circuit.
On peut montrer qu’il existe une valeur de 𝑅, appelée résistance critique 𝑅𝐶 autour de laquelle
s’installent trois régimes de fonctionnement et qui vaut :
𝐿
𝑅𝐶 = 2√ − 𝑟
𝐶
Régime pseudopériodique (𝑅 < 𝑅𝐶 )
Lorsque < 𝑅𝐶 , on se trouve en régime dit pseudopériodique. Le système présente des oscillations
libres amorties du fait de la dissipation d’énergie.
La solution de l’équation différentielle est de la forme :
𝑡
𝑞(𝑡) = 𝐴𝑒 − 𝜏 cos(𝜔 𝑡 + 𝜑)
avec
𝜏=
2𝐿
𝑟+𝑅
De plus, en posant :
𝜀=
𝑟+𝑅 𝐶
√
2
𝐿
où 𝜀 représente le degré d’amortissement, on obtient :
𝜔 = 𝜔0 √1 − 𝜀 2
et
𝑇=
𝑇0
√1 − 𝜀 2
Les oscillations sont caractérisées par une pseudo période 𝑇 très proche de 𝑇0 pour 𝑅𝑇 faible.
Plus 𝑅𝑇 est importante et plus les oscillations sont amorties avec > 𝑇0 .
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𝑢𝐶 (𝑡)
𝑈
𝑡
𝑇
𝑊𝐶 (𝑡)
1
𝐸0 = 𝐶𝑈 2
2
𝑊𝐽
𝑡
Régime apériodique (𝑅 > 𝑅𝐶 )
Lorsque le système comporte une résistance importante, le signal est trop amorti pour pouvoir
effectuer une seule oscillation. Plus la résistance est grande et plus 𝑢𝐶 décroit lentement
Régime critique (𝑅 = 𝑅𝐶 )
Quand = 𝑅𝐶 , on se trouve à la transition entre régime pseudopériodique et apériodique. 𝑢𝐶 décroit
très brutalement vers 0.
𝑢𝐶 (𝑡)
𝑈
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2.3) Entretien des oscillations
Pour éviter l’amortissement, il faut apporter au circuit de l’énergie.
Pour cela, on monte dans le circuit un dipôle 𝐷 qui lui fournit pendant une durée ∆𝑡 une énergie
égale à l’énergie dissipée pendant la même durée.
On se retrouve alors dans le cas du circuit LC idéal oscillant à la période 𝑇0 .
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