1 Exercice 1 : Régulation de température d`un dégazeur thermique

Exercice 1 : Régulation de température d’un dégazeur thermique
Un dégazeur est utilisé pour réduire la concentration en oxygène (O2), et en gaz carbonique
(CO2) dans l'eau. Il est utilisé pour le traitement de l'eau d'appoint des chaudières industrielles.
La diminution des taux d'oxygène et du gaz carbonique réduit les risques de corrosion.
L’élimination se fait par création d’une atmosphère privée de ces gaz à la surface intime de
l’eau de ruissellement. De plus, la propriété des gaz d’être d’autant moins solubles que la
pression est faible et la température est élevée, est utilisée.
Pour cela, l’eau contenue dans le dégazeur est maintenue à une légère pression (0.3 à 0.7 bar)
et à la température d’évaporation correspondante (107 à 115 °C). Elle se trouve ainsi en légère
ébullition (vaporisation). Le mélange de vapeur et du gaz cédé par l’eau d’alimentation, est
évacué à l’atmosphère par un évent, au fur et à mesure qu’il se forme.
La figure 6.60 suivante représente le schéma de régulation de la température réglée en agissant
sur le débit de vapeur.
Event
U/I
I
TI
C
T
Y
Qe
Eau
M
Y
T
E
Qv
Vapeur
Evacuation vers
chaudière
TV
Fig 6.60
Légende :
TE : Sonde pour la mesure de température
TY : Module permettant de convertir un signal tension en signal courant
TIC : Régulateur industriel et indicateur (afficheur des grandeurs)
TV : Vanne de réglage de débit équipé d’un positionneur électro-pneumatique
I : signal courant normalisé 4 – 20 mA
Y : signal de commande normalisé 4 – 20 mA
Le schéma fonctionnel de l’installation est donné par la figure suivante:
1
Perturbations
Régulateur industriel
Yc
I
+
Régulateur
R(p)
-
Y
PROCEDE
G(p)
Figure 6.61
1. Indiquer la principale source de perturbation justifiant la nécessite de faire la régulation
2. Le régulateur est un PID de structure mixte et de fonction de transfert :
1
R( p) = K p (1 + Td p +
)
Ti p
Afin de procéder à son réglage, on a opté d’utiliser la méthode de réglabilité en se basant sur la
réponse indicielle du procédé seul de fonction de transfert inconnue G(p). Pour ce faire : le
régulateur est déconnecté. On a envoyé une variation ∆I sur l’entrée de 10%, et on a enregistré
la réponse ∆Y exprimé en pour cent comme le montre la figure 6.62.
Fig 6.62
2
- Déterminer le gain statique du procédé.
- Tracer le mieux possible la tangente au point d’inflexion et déterminer les paramètres Tu et
Ta.
- En déduire le rapport de réglabilité r =Tu/Ta.
- A partir du tableau de recommandation, déterminer les paramètres du régulateur R(p)
3.
Avec le régulateur obtenu, quelles sont les performances qualitatives en boucle
fermée auxquelles on doit s’attendre ?
Exercice 2 : Etude d’une boucle d’asservissement de vitesse
Le système présenté par la figure 6.63 correspond à une unité de production composée des
parties suivantes :
Un carrousel à quatre postes de travail ;
Un manipulateur de chargement et de déchargement des pièces;
Un convoyeur d’alimentation en pièces brutes et d’évacuation des pièces usinées
fonctionnant pas à pas ;
Une goulette d’évacuation des pièces réputées défectueuses après contrôle.
Goulette pièces
défectueuses
Contrôle
Pièces
correctes
Chargement
Déchargement
Carrousel
Alésage
Bras manipulateur
Pièces
brutes
Perçage
Convoyeur
Fig 6.63
Le carrousel comprend quatre postes de travail dont celui étudié et qui correspond à l’opération
de contrôle d’état de surface des pièces usinées. En effet, ce contrôle est nécessaire et il est
effectué par un palpeur dont on cherche à asservir la vitesse de déplacement le long de la
surface usinée.
3
La figure 6.64 schématise le dispositif mécanique. Il est constitué d’un moteur électrique à
courant continu commandé par sa tension d’induit notée U, d’un système vis-écrou
transformant le mouvement de rotation en mouvement de translation. Ce système permet un
déplacement linéaire de 5 mm par tour du moteur. Un capteur de vitesse angulaire incorporé au
moteur électrique fournit une tension électrique Um= Kc Ω(t) avec Kc= 2.5 v/rd/s.
Moteur
Palpeur
Profil à tester
Fig 6.64
1° Modélisation
On souhaite obtenir un modèle approché pour le système dont l’entrée est la tension de
commande U(t) et la sortie est la tension issue du capteur Um(t). Une étude au préalable à
montré qu’il est possible de modéliser ce système par une fonction de transfert d’ordre 2; soit :
Um( p )
Go
=
,
G( p) =
U ( p) (1 + T1 p)(1 + T2 p )
mais les paramètres G0, T1 et T2 ne sont pas connus.
Pour déterminer expérimentalement ces paramètres, on a envisagé l’expérience suivante :
Le système est inséré dans une boucle fermée contenant un régulateur R(p) comme le montre la
figure 6.65.
U
Ω
V
Uc +
Régulateur
K0
Procédé
R(p)
Um
Capteur
de vitesse
Fig 6.65
V représente la vitesse linéaire de déplacement.
4
1. Le régulateur est un amplificateur de tension; soit R(p) = k. Montrer que la fonction de
transfert en boucle fermée peut s’écrire sous la forme suivante :

 Kbf = kG0

1 + kG0

2
K bf ωn
T1 + T2
1
Um( p )

avec :  z =
H ( p) =
= 2
2
2 T1T2 (1 + kG0 )
Uc( p ) p + 2 zωn p + ωn


ω = 1 + kG0
 n
T1T2

Rappeler la définition et préciser la dimension des paramètres : Kbf , z et ωn.
2.
On prend k = 10 et on applique une consigne constante Uc = 5.5 volts. La réponse
indicielle Um(t) est donnée par la figure 6.66.
0.0.
Fig 6.66
A partir de cette réponse, déterminer le gain statique en boucle fermée, le dépassement indiciel
D% et la pseudo-période Tp. En déduire les paramètres Kbf, z et ωn.
3.
En déduire que les paramètres du modèle sont approximativement donnés par G0 = 2,
T1= 0.6 s et T2 = 0.5 s.
4.
Préciser la vitesse de rotation Ω0 et la vitesse de translation V0 en régime permanent.
5
2ème partie : Régulation proportionnelle
Le régulateur est un simple amplificateur de gain réglable Kp
1. On souhaite que lors du changement de consigne, le dépassement maximal soit de l'ordre de
5%.
Calculer la valeur de Kp compatible avec cette contrainte. En déduire le temps de réponse à
5%.
2. On souhaite obtenir la même vitesse de déplacement en régime permanent que celle trouvée
précédemment, quelle consigne Uco faut-il appliquer ?
3. Quelle est l’erreur observée en régime permanent ?
3ème partie : régulation proportionnelle + intégrale 1
L’erreur observée est jugée trop importante compte tenu de la précision souhaitée. On ajoute à
1
).
l'action P précédente du régulateur, l'action intégrale; soit: R( p ) = K p (1 +
Ti p
1. Calculer en fonction des paramètres G0, Kp, T1, et T2 l'expression de la valeur minimale de Ti
qu'on notera Tic en dessous de laquelle la stabilité n'est plus assurée.
2. La valeur de Kp est celle trouvée en 2.2, calculer Tic.
3. Pour Ti =2 Tic, tracer approximativement la courbe de gain et de phase dans le plan de Bode
de la fonction de transfert en boucle ouverte. Evaluer la valeur de la pulsation pour laquelle le
gain est unitaire. Raffiner cette valeur par un tâtonnement. Calculer la marge de phase.
4. Calculer la fonction de transfert en boucle fermée. Calculer son zéro et ses pôles. Montrer
qu'elle peut être approchée en première approximation par un modèle d'ordre 2 de pulsation
propre ω0 et de coefficient d'amortissement zo.
5. Evaluer dans ces conditions les performances transitoires (dépassement indiciel et le temps
de réponse à 5%).
4ème partie : régulation proportionnelle + intégrale 2
Le régulateur est toujours de type PI comme précédemment. On propose pour son calcul, de
s'orienter vers une régulation parfaite (terminologie du cours).
1. Montrer que deux choix sont possibles pour la constante d'intégration permettant d'obtenir
une régulation parfaite.
2. Pour chaque choix de Ti, calculer la valeur de Kp, qui permet d'avoir une marge de phase de
45°.
3. Laquelle des deux valeurs de Ti, celle qui conduit au temps de réponse le plus court ?
6
Discussion
Faire une étude comparative de ces différentes méthodes de réglage en tenant compte des
performances suivantes : Mages de stabilité précision statique, rapidité.
Exercice 3 : Etude d’un système de chauffage domestique
Une pièce d'une unité d'habitation est chauffée par un radiateur électrique. Une partie de la
puissance fournie par le radiateur est perdue par fuites thermiques vers le milieu
extérieur, par les fenêtres et les murs. La puissance non perdue permet d'échauffer l'air
ambiant de la pièce.
On note : θa la température moyenne de l'air de la pièce, θm la température moyenne des murs
de la pièce, et θe la température moyenne du milieu extérieur.
Le modèle thermique de la pièce est représenté par la figure suivante :
Milieu extérieur : θe
Fenêtre
Radiateur
Air ambiant : θa
Autre pièce
Autre pièce
Mur : θm
Fig 6.67
Le radiateur électrique qui sert au chauffage de la pièce absorbe une puissance électrique
maximale P qui est entièrement dissipée sous forme de chaleur par la résistance chauffante :
Air ambiant θa
Pièce
Flux de chaleur
Consigne
Résistance
chauffante
Commande
Fig 6.68
7
Sonde de
mesure
La mise en équation du système a conduit au schéma fonctionnel suivant :
θe(p)
θa(p)
U(p)
F1(p)
θm(p)
F3(p)
F2(p)
Fig 6.69
1

 F1 (p) = K1 = 25°C F2 (p) = 1 + τ p ; τ 2 = 450s

2
Avec : 
1
 F (p) =
; τ 3 = 12000s
 3
1+τ3 p
Un capteur de la température θa est placé au centre de la pièce, loin du radiateur. Il fournit une
tension Va proportionnelle à θa telle que Va(t) = K2 θa ; K2 = 0.25 volt/°C.
Le schéma de la boucle de régulation est donné par la figure suivante :
θe
θc
θa
U
K2
Vc +
Régulateur
R(p)
-
F1(p)
F2(p)
Va
K2
Fig 6.70
La consigne de température θc est convertie en tension électrique Vc selon la loi Vc(t) =K2 θc(t).
R(p) est la fonction de transfert d’un régulateur PID.
Le régulateur est de type proportionnel : R1(p) = Kp1.
1.
On suppose que θe = 0 (Fonctionnement en asservissement).
1.1 Calculer la fonction de transfert en boucle fermée θa(p)/ θc(p).
1.2 Déterminer Kp1 de manière à ce que le temps de réponse à 5% soit de 5 mn.
1.3
La consigne est de 25°C, quelle est l’erreur en température observée en régime
permanent ? Est-elle acceptable sachant qu’une erreur maximale de 1°C est acceptable pour le
confort de l’utilisateur ?
2.
On suppose que θe ≠ 0 (Fonctionnement en régulation).
2.1 Calculer la fonction de transfert en boucle fermée θa(p)/ θe(p).
8
2.2 La température à l’extérieur est en fait de 20°C pendant une longue période. Quelle
consigne faut-il appliquer pour avoir une température ambiante de 25°C ?
3.
Pendant une froide journée d’hiver, la température à l’extérieur varie lentement mais
entre un maxima diurne et un minima nocturne pendant une période de 24 heures. Cette
variation est supposée décrite par une fonction sinusoïdale de la forme :
2π
θe (t)= θe0 sin( t); T = 24 heures
T
3.1 Exprimer la température ambiante θa en régime permanent dû à θe.
3.2 Quelle est la variation crête à crête ∆θa
3.3
5°C ?
Que peut-on dire de cette variation pour le confort de l’utilisateur sachant que θe0 =
Afin d’améliorer la précision, on remplace le régulateur P par un régulateur PI de
1
fonction de transfert R 2 (p) = K p 2 (1+
)
Ti 2 p
4.
4.1
Montrer qu’avec un choix judicieux de Ti2, il est possible d’obtenir une régulation
idéale.
4.2
Etablir dans ces conditions l’expression de θa(p) en fonction de θc(p) et θe(p).
4.3 On suppose que θe = 0. Déterminer le gain Kp2 de manière à obtenir le même temps de
réponse que précédemment, c’est-à-dire 5 mn.
4.4 Quelle consigne faut-il appliquer pour avoir une température ambiante de 25°C ?
4.5 Reprendre les situations envisagées en 2.2 et 3.
5.
En réalité, le processus d’échauffement de la pièce par un radiateur est plus complexe.
En effet, l’équation de transmission de la chaleur dans l’air de la pièce introduit un retard
temporel entre l’instant où la puissance thermique est fournie par le radiateur et l’instant où la
température amiante est mesurée. De ce fait la fonction de transfert F2(p) devient :
F2 (p) =
e-Tp
1+τ2 p
τ 2 = 450s T = 120s
Le régulateur est toujours de type PI : R 3 (p) = K p3 (1+
1
) dont on propose de déterminer
Ti3 p
ses paramètres.
5.1 On suppose que θe = 0 (Etude en asservissement). Calculer la fonction de transfert en
boucle ouverte en prenant Ti3 = τ2.
9
5.2 Etudier la stabilité de l’asservissement en fonction de Kp3.
5.3 Déterminer Kp3 de manière à obtenir une marge de gain de 15 dB. En déduire la marge de
phase.
5.4 Déterminer le temps de réponse à 5%.
5.5 La précision se trouve t-elle modifiée ?
5.6 Peut-on envisager d’ajouter l’action dérivée ? Si oui dans quel but ?
Exercice 4 : Etude d’une boucle de régulation de débit
Dans un échangeur de chaleur, le circuit primaire véhicule de la vapeur dont on cherche à
réguler son débit. La figure 6.71 représente le schéma de principe de la boucle de régulation de
débit contrôlé par une vanne asservie. Le diagramme fonctionnel de toute l’installation est
donné par la figure 6.72.
Les éléments de ces boucles sont les suivants :
- Une vanne rotative dont la fonction de transfert est:
Q( p)
4
=
θ ( p) 1 + 0.4 p
Un débitmètre de dynamique négligeable délivre une tension V proportionnelle au
débit Q : V(t) = 4 Q(t).
La vanne est entraînée en rotation par un moteur-réducteur (moteur à courant continu à
aimants permanents muni d’un réducteur mécanique). La position angulaire θ est asservie à la
tension U1.
L’ensemble constitué par l’amplificateur de puissance, le moteur, et le réducteur est
modélisé par la fonction de transfert suivante :
k1
θ ( p)
=
k1 = 1 et τ1 = 0.5
U( p) p(1+ τ1 p)
- Le gain du capteur de position est noté kθ =2
Les unités utilisées dans ce problème sont le litre (l) pour le volume, la seconde (s) pour le
temps et le radian (rad) pour les angles.
10
L’objectif à atteindre est le réglage de ce système de commande en calculant :
- le régulateur R2(p) de la boucle d'asservissement de position (boucle secondaire).
- le régulateur R1(p) de la boucle d'asservissement de débit (boucle principale).
ε
Vc +
Régulateur
R1
U
V
Vapeur
Vanne
contrôlée en
tension
Q =Débit vapeur
contrôlé
Débitmètre
Fig 6.71
Vc +
-
ε
Régulateur
R1(p)
U1 +
ε1
Régulateur
R2(p)
U
-
Ampli
+
Moteur
θ
Q
Vanne
V
Capteur de
position
Débitmètre
Fig 6.72
1. Ce système de commande est composé des deux boucles imbriquées. De quelle stratégie de
régulation s’agit-il ?
2. Etude de la boucle secondaire
2.1 Tracer dans le plan de Bode, le diagramme asymptotique du lieu de transfert en boucle
ouverte en prenant R2(p) =1.
2.2 Evaluer la marge de phase. Est-elle suffisante ? Que peut-on dire du comportement
transitoire du système en boucle fermée?
2.3 Calculer la fonction de transfert en boucle fermée θ(p)/U1(p) et la mettre sous sa forme
canonique en dégageant ses paramètres fondamentaux.
11
2.4 Déterminer le dépassement indiciel et le temps de réponse à 5%.
2.5 On ne souhaite avoir aucun dépassement transitoire de la boucle secondaire. Pour ce
faire, on prend un régulateur R2(p) de type proportionnel de gain k1 réglable.
- Calculer la nouvelle fonction de transfert en boucle fermée en fonction de k1.
- Déterminer la valeur à donner k1 compatible avec ce choix.
- Faire une estimation du temps de réponse à 5%.
- Argumenter ce choix.
2.6 On propose d’apporter des modifications en insérant un régulateur R2(p) dont le schéma
de réalisation à base des amplificateurs opérationnels est donné par la figure 6.73.
a) Calculer la fonction de transfert U(p)/ε1(p).
b) De quel type de régulateur s’agit t-il ?
c) On notera : T2 = (r + R2) C2 et θ2 = r C2 et k2 =R1/R
On propose de choisir : T2 = τ1 et θ2 = τ1/10. Calculer la nouvelle fonction de transfert en boucle
fermée de la boucle secondaire corrigée (θ/U1) en fonction de k2.
d) Calculer k2 de façon à ce que l'amortissement en boucle fermée soit égal à "1".
e) Faire une estimation du temps de réponse à 5%.
f) Quel est alors l’intérêt de ce réglage par rapport à celui étudié en 2.5.
R2
C2
R1
r
-
R
-
+
+
U
R
ε1
R
R
+
Fig 6.73
3. Eude de la Boucle principale
L'asservissement de position est réglé de façon à ce que la fonction de transfert en boucle fermée
soit :
θ (p)
0.5
=
U1 (p) (1 + 0.1 p )2
12
3.1 On propose d'utiliser un régulateur PID de fonction de transfert
1
R1 ( p ) = K p (1 + Td p)(1 +
)
Ti p
Proposer un choix (simple) des valeurs numériques de Ti et Td de manière à obtenir une régulation
idéale, puis déterminer le gain Kp qui permet d’assurer un temps de réponse à la boucle
principale comptable avec celui de la boucle secondaire.
3.2 Sachant que la structure du régulateur disponible est de type mixte. Transformer le
régulateur série obtenu en régulateur PID de structure mixte.
3.3 En s’inspirant du montage ayant permis de réaliser R2(p), proposer une réalisation de R1(p)
sous sa structure mixte.
Exercice 5 : Régulation de la concentration lors de la fabrication du sérum
Présentation du procédé
Le schéma donné en figure 6.74 symbolise la fabrication d'un sérum obtenu par l'addition d'un
soluté solide avec un solvant liquide dans un mélangeur. La fabrication fonctionne en régime
continu.
Un échangeur de chaleur situé à droite du mélangeur recycle une partie de la solution obtenue
permettant ainsi l'homogénéisation de la solution et son maintien à une température fixée.
Le débit Qs, supposé jamais nul, est la principale perturbation (charge de l'installation). Un
agent de conduite le modifie en agissant sur la vitesse de rotation de la pompe P1.
L'étude du système amène à constater que l'on peut connaître l'évolution de la concentration
de la solution à partir de sa masse volumique et pour une température constante du bain. Un
capteur de masse volumique noté DT1 est installé par conséquent sur le mélangeur.
La préparation du sérum est réalisée dans le mélangeur. Le soluté est ajouté au
solvant par l'intermédiaire d'un moteur à vis M1.
Trois conditions sont nécessaires pour assurer un mélange parfait :
- Un volume constant de la solution assuré par une régulation de niveau
- Une homogénéisation du mélange assurée par un circuit de retour sur la cuve (Qr).
- Une température régulée en sortie de mélangeur assurée par un échangeur de chaleur.
13
Soluté
M1
FT3
DT1
Qr
Vapeur
TCV3
FT4
Qe
Solvant
Mélangeur
FCV4
LCV2
Echangeur de
chaleur
Qp
LT2
Qs
P1
TT4
FT5
Fig. 6.74
Légende :
DT1 : Transmetteur de la concentration de la solution
M1 : Moteur électrique
P1 : pompe
LT2 : Transmetteur de niveau dans le mélangeur
LCV2 : Vanne de contrôle de niveau
FT3, 4,5 : Transmetteurs de débit
TCV3 : Vanne de contrôle de température
FCV4 : Vanne de contrôle de débit
TT4 : Transmetteur de température
Quatre régulations assurent le contrôle du procédé :
- Boucle n° 1 : Régulation de la concentration du mélange par le moteur M1.
- Boucle n° 2 : Régulation du niveau de la cuve (capteur LT2) par le débit du solvant Qe.
- Boucle n° 3 : Régulation du débit calorifique par le circuit vapeur.
- Boucle n° 4 : Régulation de température de la sortie du mélangeur mesurée par TT4.
1° Conception de boucle de régulation
La pompe P1 assure le débit Qp. Pour permettre l'homogénéité du mélange, on s'assure que le
débit de retour Qr est toujours 1,5 fois plus grand que le débit de soutirage Qs .
Proposer un schéma de principe d'une régulation assurant le rapport de 1,5 entre les débits Qr et
Qs, en modifiant le schéma de la figure 6.74.
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2° Analyse des boucles 3 et 4
Pour les boucle 3 et 4, de quels types de régulation s'agit-il (cascade...) ? Pourquoi ?
3° Etude de la boucle 1
Dans l'étude de ce système, on s'intéresse à la boucle n° 1, c'est-à-dire à la régulation de concentration du
mélange et au réglage de son correcteur PID.
3.1 Compléter la figure 6.74 de manière à faire apparaître la boucle de régulation. Préciser l’entrée et la sortie du
système à régler.
3.2 Au point de fonctionnement du procédé et après stabilisation de la mesure de concentration, la boucle n° 1
est passée en mode manuel et un échelon de commande est envoyé vers le moteur Ml. L'enregistrement
correspondant est fourni sur la figure 6.75.
Tracer la tangente au point d’inflexion et déterminer un modèle approché sous la forme :
ke−θ p
1 + Tp
3.4 On propose de déterminer un régulateur R(p) par l’une des méthodes empiriques permettant d’assurer une
précision statique parfaite.
H ( p) =
En proposant un régulateur de votre choix, donner ses paramètres.
Faire une évaluation dynamique de la boucle de régulation ainsi conçue.
15