CHAPITRE 13 : FILTRAGE

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CHAPITRE 13 : FILTRAGE
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CHAPITRE 13 : FILTRAGE
I.
INTRODUCTION
On appelle filtre un quadripôle permettant de transmettre sélectivement une bande de fréquences.
Nous étudierons donc dans ce chapitre la réponse d’un quadripôle à une tension sinusoïdale en
fonction de la fréquence du signal (fig.13.1).
quadripôle
ue = 2U e e jωt
us = 2U s e (
j ω t +φ )
Figure 13.1. : Quadripôle
II.
FILTRES PASSIFS D’ORDRE 1
1) Fonction de transfert
La quantité fondamentale dans l’étude des quadripôles est leur fonction de transfert complexe
H (ω ) , définie comme le rapport de la tension de sortie par la tension d’entrée :
H (ω ) ≡
us (ω )
ue (ω )
Avec les notations de la figure 13.1., elle s’écrit :
U (ω ) jϕ (ω )
H (ω ) = s
e
Ue
Pour qu’un quadripôle soit considéré comme un filtre, il faut donc que sa fonction de transfert ait
une dépendance en la fréquence du signal. Le module de la fonction de transfert d’un filtre est
appelé gain du filtre et noté G :
u (ω ) U s (ω )
G ≡ H (ω ) = s
=
ue (ω )
Ue
Son argument est simplement le déphasage de la tension de sortie par rapport à la tension d’entrée :
⎡ u (ω ) ⎤
arg ⎡⎣ H (ω ) ⎤⎦ = arg ⎢ s
⎥ = ϕ (ω )
⎣ ue (ω ) ⎦
2) Caractérisation d’un filtre
On caractérise un filtre d’après son gain à fréquence d’entrée nulle (signal continu) et à très haute
fréquence ( ω → +∞ ) :
• Filtre passe bas : G (ω → ∞ ) = 0 (le filtre transmet les basses fréquences)
•
Filtre passe haut : G (ω → 0 ) = 0 (le filtre transmet les hautes fréquences)
•
Filtre passe haut : G (ω → 0 ) = G (ω → ∞ ) = 0 (le filtre transmet une bande de fréquence)
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On peut déduire la nature du filtre en considérant uniquement les dipôles qui le composent. En
effet, nous savons que, en régime continu, un condensateur se comporte comme un interrupteur
ouvert et une bobine comme un court-circuit et que, à haute fréquence, un condensateur se
comporte comme un court-circuit et une bobine comme un interrupteur ouvert.
Exemple : Circuit R,C série
On considère un circuit R,C série comme un quadripôle, la tension d’entrée étant la tension délivrée
par le générateur et la tension de sortie étant prise aux bornes du condensateur (fig.13.2). Un tel
filtre, construit avec des dipôles passifs, est dit filtre passif. La présence du condensateur implique
qu’il s’agit d’un filtre passe-bas (à l’inverse, si on avait pris la tension de sortie aux bornes de la
résistance, on aurait eu affaire à un filtre passe-haut).
ue
us
Figure 13.2. : Filtre R,C
On reconnaît un pont diviseur de courant, la tension de sortie du quadripôle est :
us =
1 jCω
1
ue =
ue
R + 1 jCω
jRCω + 1
d’où la fonction de transfert de ce filtre :
H (ω ) =
us
1
=
ue jRCω + 1
La pulsation apparaît au maximum à la puissance 1 : un tel filtre est appelé un filtre d’ordre 1. Le
gain du filtre est :
G (ω ) = H (ω ) =
1 − jRCω
1 + ( RCω )
2
2
= ⎡( RCω ) + 1⎤
⎣
⎦
−1/ 2
Le déphasage du signal de sortie est quant à lui :
ϕ (ω ) = arg ( H (ω ) ) = − arctan ( RCω ) (car cos ϕ > 0)
On retrouve bien qu’il s’agit d’un filtre passe-bas : G (ω → 0 ) = 1 ; G (ω → ∞ ) = 0
3) Gain en décibel d’un filtre
Un rapport permet de comparer deux grandeurs x1 et x2 exprimées dans la même unité. L’écart ∆
entre x1 et x2 exprimé en Bel (B) est défini comme le logarithme décimal du rapport :
x
∆ B = log 1
x2
L’unité habituellement utilisée est le décibel (dB), défini comme un dixième de Bel : 1dB = 0,1 B.
La relation ci-dessus devient, en exprimant l’écart en décibel :
x
∆ dB = 10 log 1
x2
Dans un circuit électrique, la puissance moyenne dissipée par un résistor est proportionnelle au
carré de la tension :
P =U2 R
L’écart entre deux puissances est donc :
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⎡ R ⎛ U ⎞2 ⎤
⎡
R
U ⎤
U
∆ dB = 10 log ⎢ 2 ⎜ 1 ⎟ ⎥ = 10 ⎢log 2 + log 1 ⎥ = 20 log 1 + cte
R1
U2 ⎦
U2
⎢⎣ R1 ⎝ U 2 ⎠ ⎥⎦
⎣
Cette relation explique que l’on définisse le gain en décibel d’un filtre par la relation :
U (ω )
GdB (ω ) ≡ 20 log ( G (ω ) ) = 20 log s
Ue
Exemples :
GdB (ω ) = 20 ⇒ U s (ω ) U e = 10
GdB (ω ) = −60 ⇒ U s (ω ) U e = 10−3
4) Diagramme de Bode
On appelle diagramme de Bode d’un filtre l’ensemble des deux graphes :
⎧⎪ f : log ω → GdB (ω )
⎨
⎪⎩ g : log ω → ϕ (ω )
La première courbe est la courbe de réponse en gain du filtre, la deuxième la courbe de réponse en
phase. Tout comme en chimie, où l’on définit le pH comme l’opposé du logarithme décimal de la
concentration en ions oxonium, l’utilisation des logarithme permet de condenser des vastes
domaines de variation de la fréquence et du gain sur un graphique.
Une décade est un intervalle de log ω égal à 1, i.e. ω2 ω1 = 10 .
La variation du gain d’un filtre en fonction de la fréquence est bien sûr continue : il faut décider
d’une convention pour choisir, en fonction de G, entre les propositions « le filtre transmet la
fréquence ω » et« le filtre ne transmet pas la fréquence ω ». On définit pour cela la pulsation de
coupure ωc d’un filtre comme la pulsation au-delà ou en-dessous de laquelle le gain du filtre est
inférieur à Gmax 2 :
G
G (ωc ) ≡ max
2
La relation correspondante pour le gain en décibel est :
G
GdB (ωc ) = 20 log max = GdB max − 10 log 2 GdB max − 3
2
La bande passante d’un filtre est le domaine de pulsations pour lesquelles :
Gmax
≤ G (ω ) ≤ Gmax ⇔ GdB max − 3 ≤ GdB (ω ) ≤ GdB max
2
Dans l’étude d’un filtre, on trace d’abord le diagramme asymptotique (on représente GdB (ω ) et
ϕ (ω ) pour les limites ω → 0 , +∞ ), puis on en déduit le diagramme réel en joignant les asymptotes
grâce aux points correspondants aux pulsations de coupure.
5) Filtres d’ordre 1
Revenons sur le filtre passe-bas R,C étudié au paragraphe 2 et posons ωc = 1 RC :
u
1 − jω ωc
1
H (ω ) = s =
=
ue 1 + jω ωc 1 + (ω ωc )2
2
G (ω ) = ⎡(ω ωc ) + 1⎤
⎣
⎦
−1/ 2
; ϕ (ω ) = − arctan (ω ωc )
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On voit sur cette expression que la fréquence de coupure du filtre est : ωc = 1 RC (on a bien
G ( ωc ) = 1
2 = G max
2 ). La bande passante du filtre est donc [ 0, ωc ] .
Traçons maintenant le diagramme de Bode asymptotique :
⎧
⎛ω ⎞
⎪GdB → −20 log ⎜ ⎟
ω →∞ : ⎨
⎝ ωc ⎠
⎪ϕ → − arctan ∞ = − π 2
( )
⎩
⎪⎧GdB → −10 log (1) = 0
ω→0 : ⎨
⎪⎩ϕ → − arctan ( 0 ) = 0
L’asymptote de G pour les hautes fréquences est donc une droite de pente –20 dB par décade, les
trois autres asymptotes sont horizontales. Enfin, les valeurs correspondant à la fréquence de coupure
sont :
⎧⎪GdB (ωc ) = GdB max − 3 = −3
ωc : ⎨
⎪⎩ϕ (ωc ) = − arctan (1) = − π 4
On en déduit donc le diagramme de Bode du filtre (fig.13.3). Remarquons enfin que, aux hautes
fréquences (ω ωc ) , la fonction de transfert peut s’écrire :
H (ω ) ωc
jω
Le circuit est alors un montage intégrateur puisque :
us = Hue t
ωc
ue = ∫ ue dt
jω
0
GdB
–3
ϕ
log(ω/ωc)
log(ω/ωc)
−π/4
−π/2
Figure 13.3. : Diagramme de Bode du filtre R,C passe-bas
Etudions maintenant le même circuit en prenant la tension de sortie us aux bornes de la résistance :
il s’agit d’un circuit passe-haut du fait du rôle d’interrupteur ouvert joué par le condensateur à basse
fréquence. Sa fonction de transfert est (pont diviseur de tension) :
( RCω ) + jRCω
R
jRCω
jRCω
ue =
ue → H =
=
2
1 + jRCω
1 + jRCω
R + 1 jCω
1 + ( RCω )
2
us =
d’où :
G (ω ) =
1
1 + 1 ( RCω )
2
⎛ ⎛ ωc ⎞ 2 ⎞
= ⎜1 + ⎜ ⎟ ⎟
⎜
⎟
⎝ ⎝ω⎠ ⎠
−1/ 2
ϕ (ω ) = arctan (ωc ω ) (car cos ϕ > 0)
la pulsation de coupure du filtre est donc , comme dans le cas du filtre passe-bas : ωc = 1/ RC . Les
asymptotes admises par G et ϕ sont :
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⎧
⎛ω⎞
⎧G → 0
⎪GdB → 20 log ⎜ ⎟
ω→0 : ⎨
ω → ∞ : ⎨ dB
⎝ ωc ⎠
⎩ϕ → 0
⎪
⎩ϕ → π 2
L’asymptote de G aux basses fréquences est donc une droite de pente +20dB par décade, les trois
autres asymptotes sont horizontales. Enfin, les valeurs correspondant à la fréquence de coupure
sont :
⎧⎪GdB (ωc ) = −3
ωc : ⎨
⎪⎩ϕ (ωc ) = arctan (1) = π 4
d’où le diagramme de Bode de ce filtre passe-haut (fig.13.4.).
ϕ
GdB
π/2
log(ω/ωc)
–3
π/4
log(ω/ωc)
Figure 13.4. : Diagramme de Bode du filtre R,C passe-haut
Remarquons enfin que la fonction de transfert à basse fréquence (ω ωc ) s’écrit :
H jω ωc
Le circuit est alors un montage dérivateur puisque :
jω
us = Hue ue = ue
ωc
6) Adaptation d’impédance
On a considéré dans les études précédentes que le courant à la sortie du filtre était nul. En pratique,
on branche un circuit d’utilisation à la sortie du filtre. L’étude n’est donc valable que si la résistance
du circuit est grande. Pour s’affranchir simplement de ces problèmes d’adaptation d’impédance, on
peut placer un AO en montage suiveur entre le quadripôle et le circuit d’utilisation (figure 13.5.).
+
ue
filtre
–
us
Figure 13.5. : Adaptation d’impédance
On a alors une tension d’utilisation égale à u s = H u e quel que soit le courant dans le circuit
d’utilisation.
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III.
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FILTRES PASSIFS D’ORDRE 2
1) Filtre R,L,C passe-bas : résonance en tension
On utilise un circuit R,L,C série comme un filtre, la tension de sortie étant la tension aux bornes du
condensateur (figure 13.5.).
ue
us
Figure 13.5. : Filtre passe-bas L,R,C
A basse fréquence, le condensateur se comporte comme un coupe-circuit et la bobine comme un
court-circuit : us = ue . A haute fréquence, le condensateur se comporte comme un court-circuit :
us = 0 . Il s’agit donc d’un filtre passe-bas.
Reconnaissant un pont diviseur de tension, la fonction de transfert s’écrit :
1 jCω
1
=
H=
1 jCω + R + jLω 1 + jRCω − LCω 2
La pulsation apparaissant à la puissance 2, il s’agit d’un filtre d’ordre 2. La fréquence de coupure
n’est ici pas directement visible. Faisons appel aux variables connues d’un circuit R,L,C : sa
pulsation propre ω0 = 1 LC , la pulsation réduite x = ω ω0 et son facteur de qualité
Q = RC ω0 = Lω0 R . La fonction de transfert s’écrit alors :
1 − x 2 ) − jx Q
(
1
=
H=
1 − x 2 + jx Q (1 − x 2 )2 + ( x Q )2
La résonance en tension de ce circuit a été étudiée au chapitre 10. Le gain et le déphasage sont :
x
⎧
−
arctan
si x < 1
2
⎪
−
1/
2
−
Q
x
1
(
)
2
2
⎪
G = ⎡⎢(1 − x 2 ) + ( x Q ) ⎤⎥
ϕ =⎨
⎣
⎦
x
⎪−π − arctan
si x > 1
2
⎪
−
Q
x
1
(
)
⎩
Ce gain passe par un maximum si Q > 1
2 , pour une pulsation réduite égale à xres = 1 − (1 2Q ) .
2
Le gain en décibel vaut :
2
2
GdB = 20 log G = −10 log ⎡⎢(1 − x 2 ) + ( x Q ) ⎤⎥
⎣
⎦
Le comportement asymptotique de GdB et ϕ est :
⎧G → 0
⎧G → −40 log x
ω → 0 : ⎨ dB
ω → ∞ : ⎨ dB
⎩ϕ → 0
⎩ϕ → −π
L’asymptote GdB (ω → ∞ ) a donc une pente de –40 dB par décade. Les hautes fréquences sont donc
beaucoup plus atténuées avec un filtre d’ordre 2 qu’avec un filtre d’ordre 1.
Remarquons enfin les valeurs particulières :
GdB (ω0 ) = 20 log Q
ϕ ( ω0 ) = − π 2
Nous pouvons donc tracer le diagramme de Bode de ce filtre d’ordre 2 (figure 13.6.).
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ϕ
GdB
log(ω/ωc)
log(ω/ωc)
−π/2
−π
log(ω/ωc)
Figure 13.4. : Diagrammes de Bode du filtre R,L,C passe-bas
(Q = 10, 1/ 2 , 0,3)
2) Filtre R,L,C passe-bande : résonance en intensité
Nous prenons maintenant la tension de sortie aux bornes du résistor du circuit R,L,C série. Aux
basses fréquences, le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert ; aux hautes
fréquences, la bobine se comporte comme un interrupteur ouvert : il s’agit donc d’un filtre passebande. La fonction de transfert du filtre est (diviseur de tension) :
1 − jQ ( x − 1 x )
R
1
1
H=
=
=
=
R + j ( Lω − 1 Cω ) 1 + j ( Lω R − 1 RCω ) 1 + jQ ( x − 1 x ) 1 + Q 2 ( x − 1 x )2
Il s’agit donc bien d’un filtre d’ordre 2. Ses caractéristiques sont :
−1/ 2
G = ⎡1 + Q 2 ( x − 1 x ) ⎤
ϕ = arctan ( −Q ( x − 1 x ) )
⎣
⎦
Pour toute valeur du facteur de qualité, le gain est maximal pour x = 1, avec G = 1. La bande
passante est définie comme l’intervalle de pulsations pour lesquelles G ≥ Gmax 2 ; calculons les
pulsations de coupure correspondant à ces gains :
2
⎡1 + Q 2 ( xc − 1 xc )2 ⎤
⎣
⎦
−1/ 2
=1
2
⇒ xc − 1 xc = ± 1 Q
xc 2 − x Q − 1 = 0 ⇒ xc = ±
1
1
±
+1
2Q
4Q 2
En gardant les racines positives :
ω
1
1
xc ± = ±
+
+1 ⇒
∆ω = ω0 ( xc + − xc − ) = 0
2
2Q
4Q
Q
La largeur de la bande passante est donc inversement proportionnelle au facteur de qualité.
Le gain en décibel du filtre s’écrit :
2
G = −10 log ⎡1 + Q 2 ( x − 1 x ) ⎤
⎣
⎦
Le comportement asymptotique du filtre est :
⎧⎪G → 20 log [ x Q ]
⎧⎪G → −20 log [ xQ ]
ω → 0 : ⎨ dB
ω → ∞ : ⎨ dB
⎪⎩ϕ → π 2
⎪⎩ϕ → − π 2
Les asymptotes se coupent en log x = 0, avec GdB = −20 log Q . Elles sont donc au-dessus de l’axe G = 0
lorsque Q < 1. De plus, le déphasage est nul à la résonance. On peut finalement tracer le diagramme de Bode
du filtre (figure 13.5.). On y voit nettement le rôle du facteur de qualité vis à vis de la largeur de la bande
passante.
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ϕ
π/2
GdB
log(ω/ωc)
log(ω/ωc)
−π/2
Figure 13.5. : Diagrammes de Bode du filtre R,L,C passe-bande
(Q = 10 ; 0,3)
IV.
FILTRES ACTIFS
On peut réaliser des filtres à l’aide d’amplificateurs opérationnels. De tels filtres sont dits actifs, par
opposition à ceux étudiés précédemment qui étaient construits en associant des dipôles passifs, car
l’amplificateur opérationnel peut fournir de l’énergie au circuit. Afin de pouvoir réaliser une étude
générale en fonction de la fréquence, on se restreindra à des AO fonctionnant en régime linéaire :
ε = u+ − u− = 0 . Nous n’en étudierons qu’un exemple en cours : le montage représenté sur la figure
13.6.
C
r
r
B
A
ue
ε
+
–
C
R
us
R
Figure 13.6. : Filtre actif
1) Nature du filtre
En régime continu, les condensateurs se comportent comme des interrupteurs ouverts. Le circuit est
alors équivalent au circuit de la figure 13.7.a. On a alors, le courant entrant dans l’AO étant
négligeable et en remarquant le pont diviseur de tension :
u + = u − = u e ⇒ u s = 2u e ; GdB = 20 log 2 6, 0
Quant à la limite haute fréquence, les condensateurs se comportant comme des court-circuits (figure
3.17.b.), on voit facilement que :
u+ = u− = 0 ⇒ us = 0
Il s’agit donc d’un filtre passe-bas.
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2r
ε
ue
+
–
r
R
r
ε
us
–
ue
R
+
R
us
R
Figure 13.7.a. : Limite basse fréquence
Figure 13.7.b. : Limite haute fréquence
2) Fonction de transfert
En remarquant le pont diviseur de tension :
1
us
(1)
2
Appliquons le théorème de Millman aux nœuds A et B :
1
1
v e + jCω v s + v B
Y
v
v + jxv s + v B
∑ i i=r
r
= e
vA =
(2)
2
2 + xω
∑Y j
+ jCω
r
1
i+ + v A + jCω × 0
1
r
vB =
=
v A ⇒ v A = (1 + jx ) v B (3)
1
1 + jrCω
Y AO + + jCω
r
puisque i+ = 0 et Y AO = 0 pour un AO idéal, et où on a posé x = rCω . En injectant (3) dans (2), et
en utilisant l’expression (1) de v B , on obtient l’expression de la tension d’entrée en fonction de la
tension de sortie :
1
u e + jxu s + u S
1
⎡1
⎤
2
⇒ ⎢ ( ( 2 + jx )(1 + jx ) − 1) − jx ⎥ u S = u e
(1 + jx ) u S =
2
2 + jx
⎣2
⎦
L’expression de la fonction de transfert est donc :
⎛ (1 − x 2 ) − jx ⎞
2
⎟
= 2⎜
H=
2
2 2
2 ⎟
⎜
x
jx
−
+
1
( )
⎝ (1 − x ) + x ⎠
u+ = u− =
Il s’agit d’un filtre passe-bas d’ordre deux.
3) Gain et déphasage
On déduit de la fonction de transfert :
2
G = 2 ⎡⎢(1 − x 2 ) + x 2 ⎤⎥
⎣
⎦
Le gain est maximal lorsque
−1/ 2
f ( x ) = (1 − x 2 ) + x 2 = x 4 − x 2 + 1
2
est maximale, i.e. lorsque f ′ ( xm ) = 0 et f ′′ ( xm ) < 0 : xm = 1
Calculons la pulsation de coupure pour laquelle :
2 et Gmax = 4
3.
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G ( xc ) =
10/10
−1/ 2
Gmax
4
=
= 2 ⎡⎣ xc 4 − xc 2 + 1⎤⎦
2
6
Il vient :
xc 4 − xc 2 + 1 = 3 2 ⇒ xc = 3 2
en gardant la solution positive.
Enfin, la partie imaginaire de la fonction de transfert étant négative, le déphasage entre tension de
sortie et tension d’entrée est :
⎧− arctan x (1 − x 2 )
si x ≤ 1
⎪
ϕ =⎨
2
⎪⎩−π − arctan x (1 − x ) si x ≥ 1
Les valeurs particulières du déphasage sont :
ϕ ( xm ) = − arctan 2 ; ϕ ( xc ) = −π + arctan 3 2 .
(
(
)
)
( )
4) Diagramme de Bode
Le gain en décibels de ce filtre s’écrit :
⎡ x4 − x2 + 1⎤
GdB = 20 log G = −10 log ⎢
⎥
4
⎣
⎦
Les limites asymptotiques sont donc :
⎧⎪G → 10 log [ 4] 6, 0
⎪⎧G → −40 log ⎡⎣ x
ω → 0 : ⎨ dB
ω → ∞ : ⎨ dB
⎪⎩ϕ → 0
⎪⎩ϕ → −π
2 ⎤⎦
On retrouve le fait que l’atténuation du signal est beaucoup plus importante avec un filtre d’ordre 2.
L’asymptote GdB ( ∞ ) coupe l’axe x en log 2 et l’axe GdB en 40 log 2 = 10 log 4 6, 0 . On peut
finalement tracer le diagramme de Bode de ce filtre (figure 13.7).
3dB
log xm
GdB
20 log( 4 /
10 log 4
3)
log xc
log x
ϕ
log x
–40dB / décade
−π/2
−π
Figure 13.7. : Diagramme de Bode du filtre actif étudié