Leçon M7 – Méthodes Comment établir les formules de Binet ? Rq : Cette démonstration, purement mathématique, est explicitement hors-programme : « Aucune démarche n’est imposée pour l’établissement de la nature des trajectoire. Aucune méthode (formule de Binet, vecteur excentricité, invariants dynamiques de Lagrange ou Runge-Lenz) ne peut donc être exigée. ». . . mais cela n’exlut pas un problème de vous guider, par des questions, dans l’utilisation d’une de ces méthodes (➜ Cf Cours M7.V, Ex-M7.3/4). −−→ − −→ − −→ 2 v− a− • Pour une force centrale newtonienne : OM r M/R ṙ M/R r̈ − r θ̇ − − − − − − (→ er ,→ eθ ) r θ̇ (→ er ,→ eθ ) r θ̈ + 2ṙ θ̇ (→ er ,→ eθ ) 0 K − → r̈ − rθ̇2 = − 2 F K − en projetant selon − − − → → mr avec aM/R = = − 2 er −−−− −−−− −−−→ → − m mr er et → eθ rθ̈ + 2ṙθ̇ = 0 ⇔ C = r2 θ̇ = Cte C 1 dr d dr dr dθ dr ṙ = = −C ⇔ ṙ = −Cu0θ 2 = = θ̇ ṙ = r dθ dθ r dt dθ dt dθ ⇒ • r = r[θ(t)] ⇒ 1 du θ̇ = C en posant u(θ) ≡ et u0θ = 2 r r(θ) dθ 0 2 d − Cuθ dṙ dθ C dṙ = = .θ̇ = − 2 u00θ ⇔ r̈ = −C 2 u2 u00θ • r̈ = dt dθ dt dθ r • Les formules de Binet consiste à « éliminer »le temps dans les expressions de v 2 (module de la −→ vitesse au carré) et de − a− M/R (accélération de M ) en utilisant la constante des aires C : 1 2 2 v 2 = (−Cu0θ )2 + 2 u4 C 2 v 2 = C 2 (u02 v = ṙ2 + r2 θ̇2 θ +u ) u → −−−→ − −→ → ⇒ 2 − → a− aM/R = −C 2 u2 (u00θ + u) − er M/R = (r̈ − r θ̇ ) er a = −C 2 u2 u00 − 1 u4 C 2 r θ u Comment établir que le vecteur de Runge-Lenz est constant ? z ❏ Méthode 1.— Montrer qu’un vecteur est une constante du mouvement revient à montrer que sa dérivée temporelle est nulle : − →! − → −→ dA − → A = Cte ⇔ = 0 dt LO/R(M)=Cte Plan de la trajectoire y O θ F eθ er R vM/R x −−−→ −−−→ − → vM/R × LO/R (M ) − −→ er est constant pour un Pour montrer que le vecteur de Runge-Lenz A = K − → K→ er , on exprime : mouvement à force centrale newtonienne F = − 2 − r ! −−−→ −−−→ − →! → dLO/R (M −−−→ d− er dA 1 dvM/R ) − − − → × LO/R (M ) + vM/R × = − dt K dt dt dt R R R R −−−→ − − → → dvM/R −−→ −−−→ d→ er d− er dθ F −−−→ − − − → − → → 2 avec : = aM/R = , LO/R (M ) = OM × vM/R = mr θ̇ ez et = = θ̇ − eθ dt m dt dθ dt R! R − → − → −→ K 1 −Z dA − → Z− → → → → → 2 − eθ ) = 0 ⇔ A = Cte er × mr θ̇ → ez − θ̇ − eθ = −θ̇(− er × − ez +− = on obtient : 2 | {z } Z K dt Z mr → − R −eθ