Exercices produits dérivés Exercice 1 f est une fonction définie et dérivable sur [-2 ;5]. La courbe représentative de f passe par les points A (-1 ;3), B (1 ;-1) C (3 ;1) et D (4 ;3). Voici la courbe Cf ′ représentant la fonction dérivée f ′ de la fonction f. 1. Donner l’équation de la tangente à la courbe représentative de f au point C. 2. Dresser le tableau de variations de la fonction f. 3. Tracer une courbe possible pour la fonction f. Exercice 2 f est la fonction définie sur −{-1} par f(x)=Error!. 1. Soit f ′ la fonction dérivée de f , montrer que f ′( x)=Error!. 2. a. Etudier les variations de la fonction f et dresser son tableau de variations. b. Préciser les éventuels extremums locaux de la fonction f . Exercice 3 f est la fonction définie sur Ë par f( x)=x 3−6x+1. 1. Soit f ′ la fonction dérivée de f , montrer que f ′( x)=3(x 2−2). 2. 3. Dresser le tableau de variation de la fonction f. Démontrer que 7 est un majorant de f sur ]-õ ;0]. Exercice 4 f est la fonction définie sur [1 ;2] par f( x)= 4x+1 . On admet que f est dérivable sur [1 ;2]. 1. Pour tout réel x de [1 ;2], montrer que f ′( x)=Error!. 2. 3. Dresser le tableau de variation de la fonction f. En déduire que pour tout réel x de [1 ;2], 2Âf( x) Â3 Correction Exercice 1 1. La tangente T à la courbe représentative de f au point C a pour équation y= f ′(3)( x−3)+f(3) Or f(3)=1 et f ′(3)=2 donc T a pour équation y=2( x−3)+1 ou encore y=2x−5. 2. On lit graphiquement le signe de f ′( x) et on en déduit les variations de la fonction f : x -2 f'x -1 1 4 0 0 0 3 3 fx -1 3. La courbe représentative de la fonction f doit « monter » sur [-2 ;-1] et sur [4 ;5], « descendre » sur [-1 ;1] et sur [1 ;4] et passer par les points A (-1 ;3), B (1 ;-1), C (3 ;1) et D (4 ;3). Exercice 2 1. f est une fonction rationnelle donc elle est dérivable sur ]-õ ;-1[ et sur ]1 ;+õ[. f=Error!avec u( x)=Error!−3x et v( x)=x+1 donc f ′=Error! avec u′( x)=2x−3 et v′( x)=1 Ainsi pour tout réel xý-1, f ′( x)=Error!=Error!=Error!. 2. a. On étudie le signe de f ′( x). Pour cela, on essaie de factoriser x +2x−3 : 2 Δ=22−4×1×(-3)=16>0 donc x 2+2x−3 admet deux racines x1= Error!=-3 et Error!=Error!=1. Ainsi pour tout xý-1, x 2+2x−3=( x+3)( x−1). 5 On en déduit le signe de f ′( x) : x -3 - -1 1 + 0 x 0 x x2 0 f ′( x ) 0 0 On en déduit les variations de la fonction f : x -3 - -1 1 0 f'x + 0 -9 fx -1 b. Par lecture du tableau de variation, f admet un maximum local -9 en x=-3 et un minimum local -1 en x=1. Exercice 3 1. f est une fonction polynôme donc elle est dérivable sur et pour tout réel x, f ′( x)=2×3x 2−3=6x 2−3=6Error!. 2. On étudie le signe de f ′( x) : f ′( x)=6Error!=6Error!Error!=6Error!Error! . x - - + 0 (x√2/2 (x√2/2 0 f'x 0 On en déduit les variations de la fonction f : 0 x - - + 0 f'x 0 √2+1 fx - √2+1 3. D’après le tableau de variation, pour tout xÂ0, f( x) Â 2 +1 or 2 +1ó2,414 donc f( x) Â3. On en déduit que 3 est un majorant de f sur ]-õ ;0]. Exercice 4 1. Pour tout réel x de [1 ;2], f( x)=u( ax+b) avec u( x)= x , a=4 et b=1. Alors f ′( x)=au′( ax+b) avec u′( x)=Error!donc f ′( x)=4× Error!=Error!. 2. On étudie le signe de f ′( x) : pour tout réel x de [1 ;2], 4x+1 >0 donc f ′( x)>0. On en déduit les variations de la fonction f : x 1 2 f'x 3 fx 5 3. D’après le tableau de variation, pour tout réel x de [1 ;2], 5 Âf( x) Â3 or 5 ó2,236 donc 2Âf( x) Â3.