3 .Déphasage de U par rapport à I

Circuits R , L , C série
Résistances , bobines , condensateurs en série ou en parallèle sont intéressants car leur
association est à l'origine d' oscillations à haute fréquence et donc de la radio .
Circuits série .
1 . Rappel . Résistances en série
fig 1
On a vu que les résistances en série s'ajou
tent et que les tensions à leurs bornes
s'ajoutent également :
R = R1 + R2 et U = U1 + U2
2 . Résistance et condensateur en série
Alimentons un circuit série RC (fig 2 ) avec
le secondaire d'un transformateur 220 V
18 V . Mesurons les tensions alternatives sur
R , C, . puis RC . On trouve UR = 16 V ,
UC = 10,2 V , UR et C = 19 V .Nous
remarquons que la somme UR + UC = 26,2 V
alors que la tension sur l'ensemble est 19 V
Pourquoi cela ? Nous savons que la tension Uc est déphasée de - 90 ° par rapport à l'inten
sité dans le circuit donc par rapport à Ur puisque Ur = R * i . Donc au lieu de représenter
bout à bout sur une droite Ur et Uc on les représente ainsi , fig 3 : AB horizontalement
représente Ur ( 32 mm ) ; BC dirigé à 90 ° vers le bas représente Uc (20mm) . La tension
somme se lit alors suivant AC ( 38 mm pour 19 V ) Vérifier en faisant le dessin .
Pour trouver la tension somme par le calcul il suffit de calculer AC dans le triangle
rectangle ABC avec le théorème de Pythagore Voir le complément de mathématiques .
AC2 = AB2 + BC2 D'où : AC =   AB 2BC 2  ou U = Ur 2Uc 2
U = 16 2102  =  256104= 360 = 19 V Vérifier à la calculatrice
3 .Déphasage de U par rapport à I
Si l'on voulait représenter i sur la figure ci-contre
on aurait un segment sur l'axe horizontal qui
porte R * i .
Alors le déphasage de U par rapport à i est l'angle
B'A'C' ( flèche ) d'environ 36° . Ce déphasage est
négatif .
Figure 3 bis
4 . Impédance du circuit série R C
L'impédance Z = Ueff / Ieff , définie à la page 10-2 , est l'analogue de la résistance .C'est
l'opposition au passage du courant alternatif dans un circuit .
Cherchons la valeur del'impédance du circuit RC utilisé précédemment .
Mesurons R à l'ohmmètre : 4 660 ohms .
D'où l'intensité dans le circuit I = Ur / R = 16 V : 4 660 = 0,0034 A
Impédance du condensateur = Uc / i = 10,2/ 0,0034 = 3 000 ohms qui pourrait aussi se
calculer avec la formule Xc = 1 / 2pi f C avec f = 50 hertz et C = 1 µF
Xc= 1 / (6,28 * 50 *1*10-6 ) = 3 184 voisin de 3 000 ohms
Impédance du circuit RC = 19 V : 0,0034 = 5 588 ohms
L'impédance totale du circuit série n'est donc pas égale à la somme des impédances :
4 660 + 3 000 = 7 660 et non 5 588 ohms
Pourquoi cela ?
On vient de voir que U = Ur 2Uc2 =  ri2 Xci 2 = r 2 i 2 Xc2 i2 
U= i  r 2  Xc2 
D'où Z = U / I =  r 2 Xc2 A retenir
On peut donc calculer Z avec cette dernière formule et le représenter avec un triangle
rectangle figure 4 ci-contre . On peut faire le dessin à l'échelle et mesurer OC .
On porte les résistances horizontalement et les
réactances capacitives verticalement côté
négatif .
Avec les valeurs :
Z = 4660 230002 =5 542 ohms
On a trouvé 5 588 précédemment .
Figure 4
5 . Résistance et bobine en série
On pourrait faire une étude comme pour RC série .
Pour calculer l'impédance du circuit RL série on porte
R sur l'axe horizontal et Xl sur l'axe perpendiculaire et
vers le haut figure ci-contre .
OA représente R et AC représente Xl .Avec le th de
Pythagore appliqué au triangle rectangle OAC :
Z =  R2  Xl 2
A retenir
6 .Circuit R , L, C série
Oscillations . Alimentons le circuit R L C cicontre avec un générateur basse fréquence ( 200
Hz ) fournissant une tension en créneaux de
quelques volts .
On observe alors , aux bornes de R , des trains
d'oscillations .La fréquence de ces oscillations
est d'environ 5 kHz . . Mais ces oscillations
vont en décroissant : on dit qu'elles sont
amorties .
Origine des oscillations
Supposons un condensateur chargé , branché
dans un circuit RLC . Il a emmagasiné de
l'énergie .Comme il est relié à la bobine par le
circuit il peut se décharger dans celle-ci fig 8
en faisant apparaître un champ magnétique et de Figure 6
Figure 5
Figure 8
Figure 7
l'énergie .La bobine freine l'arrivée du courant : c'est la portion OM de la courbe fig 7 .
En M le condensateur est déchargé . La self prolonge prolonge ensuite le courant : portion
MO1 . Pendant ce temps le condensateur se recharge en sens inverse . En O1 la bobine a
perdu son énergie et le condensateur a retrouvé la sienne .Le phénomène recommence alors
en sens inverse de O1 à M1 , puis de M1 à O2 , etc ...
Il y a donc échange d'énergie entre le condensateur et le self .D'où les oscillations . On dit
que le circuit série RLC est un circuit oscillant .
Mais il y a des pertes d'énergie par effet Joule dans la résistance du circuit toujours présente
.C'est pour cette raison que les oscillations sont amorties .
Conclusion
La présence simultanée de la self et de la capacité dans le circuit est à l'origine d'oscillations
à haute fréquence . On montre en physique que la fréquence de ces oscillations est
f=
1
 2∗ pi∗  L∗C
f en hertz , L en henrys , C en farads
A retenir
Cette fréquence ne dépend donc que du produit de l'inductance L par la capacité C .
7 .Oscillations forcées ; résonance .
Alimentons maintenant le circuit RLC avec une tension
sinusoîdale variable autour de 5 kHz .. On observa à
l'oscillographe que les tensions Ur, Ul et Uc sont
sinusoîdales . On peut calculer i dans le circuit en
utilisant la tension sur R et la valeur de R .Loi d'Ohm :
i = U / R .Si l'on trace la courbe des variations de i
entre 3 et 7 kHz on constate que cette courbe passe par
un maximum pour la fréquence 5 kHz . ( fig 9 ) .
Pour les autres valeurs de f , i est faible
On dit alors que le circuit est en résonance et que 5
Figure 9
kHz est sa fréquence de résonance . On montre que
cette fréquence de résonance est donnée par la formule vue plus haut . C'est la formule de
Thomson : à savoir par coeur
8 .Surtension à la résonance Fig 10
Que se passe-t-il encore dans notre circuit ?
Observons les 2 tensions Ul et Uc en même
temps à l'oscilloscope :
- elles sont en opposition de phase
- elles sont maximales
- elles ont la même valeur numérique
Figure 10
Le maximum mesuré est de 22 V crête à crête
alors que la tension d'alimentation n'est que de
3 V ccrête à crête .
Il y a donc surtension aux bornes de L et de C à la résonance . Le coefficient de surtension
est : 22 V / 3 V = 7 (fois) = Q
9 .Réactance à la résonance . Impédance .
D'après la formule U = Z * i ( loi d'Ohm ) on a Ul = Zl * i = Xl * i et Uc= Zc * i = Xc * i
Comme Ul = Uc à la résonance on en déduit Zl * i = Zc * i . D' où Xl = Xc à la résonance
Hors résonance , comme Xl = 2 * pi * f * L et Xc = 1 / ( 2 *pi *f * C ) , Xl est différent
de Xc : si Xl augmente ,Xc diminue et inversement .Cherchons l'impédance du circuit RLC
série hors résonance et à la résonance .Pour cela représentons R par OA sur l'axe horizontal
des graphiques ci-dessous , Xl par AB sur l'axe perpendiculaire au précédent et vers le haut
(+) , Xc par BC donc à la suite de Xl mais vers le bas (-) .
1er cas : Xl > Xc
L'impédance résultante Z du circuit est alors représentée
par OC dans le triangle rectangle OAC avec OA = R et
AC= Xl - Xc . D'après le théorème de Pythagore :
OC2 = OA2 + AC2 ou Z =  R2  Xl −Xc 2 
L'effet de self l'emporte sur l'effet de capacité : le circuit
a une impédance inductive ( ou selfique )
2eme cas : Xl < Xc
L'impédance Z est toujours représentée par OC . Comme
OA = R et AC= Xc - Xl , Z = R2  Xc− Xl 2 ¿
L'effet de capacité l'emporte sur l'effet de self :
l'impédance est alors capacitive .
3eme cas : Xl = Xc
L'impédance , représentée par OC ou OA est égale à R .
L'effet de self et l'effet de capacité se compensent . On
dit que l'impédance du circuit est purement résistive .
On est à la résonance . Z = R . A savoir
Figure 11
Donc , quel que soit le cas : Z = R  Xl −Xc  ¿
2
2
Minimum de l'impédance lorsque Xl = Xc
L'intensité est maxi à la résonance et l'impédance
Z = U / i passe par un minimum qui est R .
Pour toute valeur de Xl - Xc différente de 0 , Z est supérieur
R (formule précédente) ?
Donc retenir : A la résonance Z minimum et Z = R
Z
Fig 12
R
f
10 .Coefficient de qualité ou de surtension : Q
Figure 13
Comment calcule-t-on le coefficient Q ?
Les tensions sur L et C sont Ul = Xl * i et
Uc = Xc* i . Aux bornes du générateur comme
Z = R on a U = R * i . Pour trouver Q on divise
Ul ou Uc par U :
Q = Ul / U = Xl * i / R * i
Donc Q = Xl / R ou Q = Xc / R
En remplaçant Xl par 2 pi f L et Xc par 1 / 2pifC
on obtient
Q=

1
L
 
R C
A savoir
Q s'exprime sans unité .Q est d'autant plus grand
que R est faible et que le rapport L / C est grand .
Si Q est élevé la courbe de i est "pointue" comme
sur la figure 13 .On dit que la résonance est
"aiguë" Si Q est faible la courbe est aplatie . La
résonance est "floue"?
11 .Circuit RLC série comme "filtre"
Si les fréquences f1 , f2 , f3 sont présentes à
l'entrée du circuit figure 14 et si le circuit a pour
fréquence de résonance f2 , les fréquences
présentes à la sortie sont seulement f1 et f3 .
La fréquence f2 passe par RLC qui a une
impédance faible . Elle n'est pas à la sortie
Uf2 faible . On a un " filtre " .
On verra d'autres filtres plus loin .
Figure 14
Lien vers le FORMULAIRE RLC - ( clic )