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1er ES2 DEVOIR A LA MAISON N° 7 A rendre pour le mardi 10/04/2012 EXERCICE 1 : Sur le marché l’offre représente la quantité qu’un producteur est disposé à vendre et la demande la quantité qu’un client est prêt à acheter. Pour un article, l’offre proposée par un vendeur, est donnée par la fonction f définie sur [1 ; 20] par : f(x) = x3 + x + 20 000 et la demande est donnée par la fonction g définie sur [1 ; 20] par : g(x) = - 11x2 + 22x + 20 000 où x représente le prix de l’article en centaines d’euros. 1. Etudier les variations des fonctions f et g. Interpréter économiquement les résultats. 2. Tracer dans un repère les courbes représentatives des fonctions f et g. 3. Déterminer graphiquement le prix d’équilibre, c'est-à-dire le prix de l’article pour lequel l’offre est égale à la demande. 4. Retrouver ce résultat par le calcul. EXERCICE 2 : Une entreprise produit des appareils électroménagers. Le coût horaire de production de x appareils est donné en euros par : C(x) = x2 + 50x + 100 pour 5 ≤ x ≤ 40 1. L’entreprise vend chaque appareil 100 €. a. Expliquer pourquoi le bénéfice horaire réalisé par la fabrication et la vente de x appareils est : B(x) = - x2 + 50x – 100 b. Etudier les variations de la fonction B sur [5 ; 40] . c. En déduire le nombre d’appareils à produire pour que le bénéfice horaire soit maximal. C(x) 2. Le coût horaire moyen de production d’un objet est égal à f(x) = pour 5 ≤ x ≤ 40 x Déterminer pour quelle production le coût horaire moyen est minimal et préciser ce coût minimal. 3. Le bénéfice horaire est-il maximal quant le coût horaire moyen est minimal ? 1er ES2 DEVOIR A LA MAISON N° 7 A rendre pour le mardi 10/04/2012 EXERCICE 1 : Sur le marché l’offre représente la quantité qu’un producteur est disposé à vendre et la demande la quantité qu’un client est prêt à acheter. Pour un article, l’offre proposée par un vendeur, est donnée par la fonction f définie sur [1 ; 20] par : f(x) = x3 + x + 20 000 et la demande est donnée par la fonction g définie sur [1 ; 20] par : g(x) = - 11x2 + 22x + 20 000 où x représente le prix de l’article en centaines d’euros. 1. Etudier les variations des fonctions f et g. Interpréter économiquement les résultats. 2. Tracer dans un repère les courbes représentatives des fonctions f et g. 3. Déterminer graphiquement le prix d’équilibre, c'est-à-dire le prix de l’article pour lequel l’offre est égale à la demande. 4. Retrouver ce résultat par le calcul. EXERCICE 2 : Une entreprise produit des appareils électroménagers. Le coût horaire de production de x appareils est donné en euros par : C(x) = x2 + 50x + 100 pour 5 ≤ x ≤ 40 1. L’entreprise vend chaque appareil 100 €. a. Expliquer pourquoi le bénéfice horaire réalisé par la fabrication et la vente de x appareils est : B(x) = - x2 + 50x – 100 b. Etudier les variations de la fonction B sur [5 ; 40] . c. En déduire le nombre d’appareils à produire pour que le bénéfice horaire soit maximal. C(x) 2. Le coût horaire moyen de production d’un objet est égal à f(x) = pour 5 ≤ x ≤ 40 x Déterminer pour quelle production le coût horaire moyen est minimal et préciser ce coût minimal. 3. Le bénéfice horaire est-il maximal quant le coût horaire moyen est minimal ? CORRIGE DU DEVOIR A LA MAISON N° 7 EXERCICE 1 : 1. • f est dérivable sur [1 ; 20 ] et f’(x) = 3x2 + 1. Pour tout x [1 ; 20 ] f’(x) = 3x2 + 1 > 0 . Donc f est strictement croissante sur [ 1 ; 20 ] Cela signifie que : plus le prix est élevé plus l’offre augmente. • g est dérivable sur [1 ; 20] et g’(x) = - 22x + 22 . g’ est une fonction affine et a = – 22 < 0 . De plus – 22x + 22 = 0 x = 1 . Donc g’(x) = - 22x + 22 ≤ 0 pour tout x [1 ; 20 ] . La fonction g est donc décroissante sur [ 1 ; 20 ]. Cela signifie que : plus le prix est élevé plus la demande diminue. 3.Graphiquement on lit que le prix d’équilibre est d’environ 2 € 4. f(x) = g(x) x3 + x + 20 000 = - 11x2 + 22x + 20 000 x3 + 11x2 – 21 x = 0 x (x2 + 11x – 21) = 0 x2 + 11x – 21 = 0 car x [1 ; 20 ] = 212 – 4 x 1 x (- 21) = 205 > 0 donc l’équation x2 + 11x – 21 = 0 admet 2 solutions : - 11 + 205 - 11 – 205 x1 = 1, 66 x2 = – 12,65 2 2 Le prix d’équilibre est donc de 1,66 € EXERCICE 2 : 1.a. B(x) = R(x) – C(x) = 100x – (x2 + 50x + 100) = 100x – x2 – 50x – 100 = - x2 + 50x – 100 b. B’(x) = - 2x + 50 B’ est une fonction affine avec a = - 2 < 0 et B’(x) = 0 x = 25 donc on obtient le tableau de signe et le tableau de variation ci-contre. b. D’après le tableau de variation on peut conclure que le bénéfice horaire est maximal pour une production de 25 appareils de le bénéfice s’élève à 525 €. C(x) x2 + 50x + 100 100 2. f(x) = = = x + 50 + x x x 2 100 x – 100 (x – 100)(x + 100) f’(x) = 1 – 2 = = x x2 x2 Or pour tout x ∈ [ 5 ; 40 ] x2 > 0 et x + 100 > 0 donc f’(x) est du signe de x – 100. On a donc le tableau suivant : D’après ce tableau, on peut conclure que le coût moyen horaire est minimal pour une production de 10 appareils et il s’élève à 70 €. 3. On constate donc que le bénéfice horaire n’est pas maximal quant le coût horaire moyen est minimum.
