groupes - Petit Fichier

En-nour 2
Structures algébriques
2éme S.M
I.
Prof :Ouchaib
Lois de composition interne :
A. Définition :
Soit E un ensemble , une loi de composition interne ( abrégé LCI ) sur E est. Une
application f de E  E dans E , dont les images f  x, y  sont notées infixe , par exemple :
f  x, y   x * y , f  x, y   x  y , f  x, y   x  y , f  x, y   x  y,...... etc.
B. Méthode pratique :
Pour montrer qu’une loi * est Une loi de composition interne sur un ensemble E , il
x* y E
suffit de montrer que pour tout  x, y   E 2 :
C. Propriétés des LCI :
Soit  E,* un ensemble muni d’une LCI * . On dit que :
-
La loi * est commutative sur E si :   x, y   E 2 , x * y  y * x
-
La loi * est associative sur E si :   x, y, z   E 2 ,  x * y  * z  x *  y * z 
L’élément e  E est. Un élément neutre pour la loi * sur E si : x  E , x * e  e * x  x
D. Proposition :
-
Soit  E,* un ensemble muni d’une LCI * et qui admet un élément neutre.
Alors cet élément neutre est Unique.
E. Définition :
Soit  E,* un ensemble muni d’une LCI * et admettant un élément neutre e .
-
Un élément a  E est Dit régulier ou simplifiable pour la loi * si, pour tout  x, y   E 2 .
a * x  a * y  x  y ( régulier à gauche )
x * a  y * a  x  y ( régulier à droite )
-
Un élément a  E est. Dit symétrisable pour la loi * s’il existe a '  E tel que :
a' * a  a * a'  e
Dans ce cas , a ' est. Appelé le symétrique de a dans E .
F. Exemple :
-
Dans  ,   , tout élément est Régulier car la loi + est. Commutative et :
  a, x, y  
-
ax a y  x  y
3
Dans  ,   , tout élément non nul est. Régulier car la loi  est. Commutative et :
  a, x, y  
*
 
:
a x  a y  x  y
G. Conséquence :
Soit  E,* un ensemble muni d’une LCI et admettant un élément neutre e .
Si la loi * est Associative , alors tout élément symétrisable est régulier . la réciproque
est. Fausse en général.
H. Proposition :
la loi * est Associative
Soit  E,* un ensemble muni d’une LCI et admettant un élément neutre e .
Si a  E est Symétrisable, alors il y a unicité du symétrique a '  E vérifiant :
a' * a  a * a'  e
De plus , si a ' et b ' sont les symétrique de a et b respective , alors a * b admet un
symétrique et qui vaut b' * a ' .
II.
Structure de groupe :
A. Définition :
Un groupe est Un élément muni d’une loi de composition interne  G,* tel que m
-
La loi * est. Associative.
La loi * admet un élément neutre e  G
Tout élément de G est. Symétrique par rapport à la loi * .
Si de plus * est. Commutative , on dit alors le groupe  G,* est. Commutative ou abélien.
B. Exemple
-
 ,   ,  ,   ,  ,   et  ,   sont des groupes commutatifs.
1,1 ,  ,  * ,  ,  * ,  et  * , sont des groupes commutatifs.
-
L’ensemble des homothéties et translations du plan muni de la loi ° est Un groupe.
L’ensemble  des similitudes directes dub plan muni de la loi ° est Un groupe.
-

-
En notant B  E  l’ensemble des bijection d’un ensemble E dans E ,  B  E  ,  est. Un
-
*
,  n’est pas un groupe : par exemple 2 n’a pas de symétrie dans
groupe non commutatif.

*
,  car
1

2
*
.
C. Remarque :
Si a et b sont deux éléments du groupe  G,* , les équations a * x  b et x * a  b
admettent une solution unique, respectivement x  a 1 * b et x  b * a 1 . Les application
x  a * x et x  a * x sont alors des bijection de G dans G .
D. Sous – groupes :
Soit  G,* un groupe et H une partie de G . On dit que H est. Un sous groupe de G si :
-
H 
H est. Stable pour la loi * :   x, y   H 2 , x * y  H
-
H est. Stable par passage à la symétrie pour la loi * : x  H , x '  H
-
( x ' étant le symétrique de x dans G pour la loi * ).
E. Caractérisation des sous-groupes :
Si H  G et si  G,* est. Un groupe , alors on a l’équivalence suivante :
 H,* est Un sous-groupe de G,*
H  
 
'
x, y  H , x * y  H
Ou y ' est le symétrique de y dans G pour la loi *.
III.
Morphismes de groupes :
A. Définition :
Soient  G1 ,* et  G2 ,* deux groupes.
Une application f de G1 dans G2 est. Dite un morphisme de groupes lorsque :
  x, y   G1  G2 :
f  x * y  f  x  f  y
En particulier :
Si f est Bijective, on parle d’isomorphisme.
B. Remarque :
- On à déjà signalé que l’exponentielle est. Un isomorphisme de  ,   dans
-
exprime cela en disant que les groupes  ,   et
-

*


*

,   . On
,   sont isomorphes.
Comme pour les puissances , l’écriture x * x peut être notée simplement x *2 . De
façon générale , on appelle n iéme itéré de x l’élément de G , noté x*n définie par :
x*n  x * x *.....* x
C. Proposition :
Soit f un morphisme de groupe  G1 ,* dans  G2 ,   et on note e1 et e2 ses élément
neutre respectifs . on a alors les résultats suivants m
-
f  e1   e2
-
x  G1 , f  x'    f  x  
-
Si H est. Un sous- groupe de  G1 ,* , alors f  H  est Un sous – groupe de  G2 ,   .
-
Si K est. Un sous – groupe de  G2 ,   , alors f 1  K  est Un sous – groupe de  G1 ,* .
'