Atome d`hydrogène et "hydrogénoïdes"

Chapitre 5
Atome d'hydrogène et
"hydrogénoïdes"
5.1 Introduction
Dans ce chapitre nous allons nous intéresser à l'atome d'hydrogène, le
plus simple des atomes, constitué d'un seul électron et d'un proton. En plus
de son caractère fondamental et historique (la mécanique quantique s'est en
grande partie développée en tentant d'expliquer le spectre d'émission que
l'on a associé aux niveaux d' énergie de l'hydrogène atomique), son étude
présente de nombreux intérêts:
l'atome d'hydrogène est de loin le plus abondant des éléments dans
l'univers
de nombreux systèmes ont une constitution analogue:
-les isotopes deutérium, tritium
-le positronium (e+ − e− ), le muonium (e− − µ+ )
-les ions ne contenant qu'un électron (He+ , Li2+ ,... U91+ ...)
les nombre quantiques introduits pour caractériser les orbitales de
l'atome d'hydrogène forment les briques de base pour décrire les atomes
à plusieurs électrons en termes de "congurations"
de nombreux atomes excités peuvent être considéres comme constitués
d'un coeur contenant le noyau et tous les électrons sauf un, et d'un
électron périphérique interagissant avec ce coeur via un potentiel en
grande partie assimilable à un potentiel en 1/r.
Pour xer les idées (cf Fig. 5.1) nous allons nous restreindre au cas d'un
électron de charge −e = −1,6.10−19 C et de masse m en interaction avec une
charge +Ze et de masse M . Nous ignorerons ici les interactions magnétiques
ainsi que les eets relativistes.
66
Fig. 5.1 Eléments d'un système hydrogénoïde
On sait que l'on peut décrire le mouvement relatif ~r = ~r1 − ~r2 comme celui
d'une particule de masse µ = mM/(m + M ) de hamiltonien
H=
p~2
+ V (r)
2µ
(5.1)
avec
V (r) =
−Ze2
4π²0 r
(5.2)
Dans le cas de l'atome d'hydrogène m = 0,9.10−30 kg et M = 1,67.10−27 kg,
et donc µ ∼ m.
Le but que nous nous xons dans ce chapitre n'est pas de résoudre
l'équation de Schrödinger -nous renvoyons le lecteur aux livres de mécanique
quantique- mais plutôt de présenter une discussion physique des fonctions
d'onde de l'atome d'hydrogène et de leurs propriétés. En particulier nous
montrerons comment et dans quelle mesure les propriétés de ces fonctions
d'onde ("orbitales") peuvent être reliées aux propriétés des "orbites" prédites
par la mécanique classique. Nous nous attacherons en particulier à dégager
les lois d'échelles liant ces propriétés à la grandeur des nombres quantiques.
5.2 Rappels de quelques résultats de mécanique classique
On sait que le mouvement dans un champ en 1/r est caractérisé par
deux constantes du mouvement qui sont l'énergie E et le moment cinétique
~ . Notons que cette dernière quantité est un vecteur dont la direction dénit
L
le plan de la trajectoire, qui lui est perpendiculaire (Un autre constante du
mouvement est le "vecteur de Lenz" que l'on peut relier à la position de l'axe
de symétrie de la trajectoire). Lorsque E > 0 la trajectoire est une branche
d'hyperbole qui s'étend jusqu'à l'inni. Lorsque E < 0 la trajectoire est une
ellipse de foyer en r = 0, le mouvement restant conné à distance nie: c'est
le cas qui nous intéresse ici.
67
Fig. 5.2 Orbites elliptiques dans un champ en 1/r associées à une même
valeur de l'énergie
Pour une valeur donnée de l'énergie E < 0, il existe une innité de
trajectoires elliptiques, qui dièrent par
l'excentricité de l'ellipse
la position de l'ellipse dans l'espace
le sens de parcours de la trajectoire
Toutes ces trajectoires ont cependant en commun (cf Fig. 5.2):
la longueur du grand axe de l'ellipse, 2a
la durée du parcours de l'ellipse, T (cf "3ème loi de Képler")
Par ailleurs le module du moment cinétique peut être relié à l'excentricité
de la trajectoire elliptique. Sa valeur valeur maximale est atteinte dans le cas
d'une trajectoire circulaire. Sa valeur minimum est L = 0, elle correspond au
cas d'une trajectoire complètement applatie réduite à un segment de droite,
d'extension radiale comprise entre r = 0 et r = 2a.
En prenant comme cas limite celui de la trajectoire circulaire de rayon a,
parcourue à la vitesse v , il est facile de retrouver par la mécanique classique
élémentaire que:
µv 2
Ze2
=
a
4π²0 a2
d'où
Ecinetique =
1 Ze2
1
µv 2
=
= − |Epotentielle |
2
2 4π²0 a
2
ce qui implique, puisque Ecinetique et Epotentielle sont de signes contraires,
que l'énergie totale E = Ecinetique + Epotentielle est égale à:
68
|E| =
1 Ze2
µv 2
=
2
2 4π²0 a
d'où:
2a =
p
e2 Z
4π²0 |E|
(5.3)
et comme v = 2|E|/µ, la valeur du moment cinétique µva, qui est ici
égale à la valeur maximale pour cette énergie E s'exprime:
Lmax
Ze2
=
4π²0
r
µ 1
p
2 |E|
(5.4)
cependant que T = 2πa/v s'écrit:
πe2
T =
4π²0
r
µ Z
2 |E|3/2
(5.5)
Retenons simplement que:
Lmax ∝
T ∝
Z
|E|1/2
(5.6)
Z
|E|3/2
(5.7)
Z
|E|
(5.8)
2a ∝
5.3 Résultats de la mécanique quantique
~ . Il en résulte que l'on a un ensemble
H commute avec l'opérateur L
~ 2 et Lz , avec les valeurs propres
d'états propres |ψnlml > communs à H, L
quantiées suivant les nombres quantiques nlml :
H|ψnlml >= Enl |ψnlml >
(5.9)
~ 2 |ψnlm >= l(l + 1)h̄2 |ψnlm >
L
l
l
(5.10)
Lz |ψnlml >= ml h̄|ψnlml >
(5.11)
Par ailleurs H est "séparable", ce qui implique que l'on peut exprimer
ses fonctions propres en représentation r sous la forme:
< r|ψnlml >= Rnl (r)Ylml (θ,φ)
69
(5.12)
n prend toutes les valeurs entières comprises entre 1 et l'inni. Pour n xé,
l prend toutes les valeurs entières comprises entre 0 et n − 1. Pour l xé, ml
prend toutes les valeurs entières comprises entre −l et +l. Les états de l = 0
sont notés "s", ceux de l = 1, "p", puis l = 2, "d", l = 3, "f", etc...
5.3.1 Niveaux d'énergie
On a:
EI (Z)
n2
(5.13)
µ
e4
Z 2 ' Z 2 EH
2h̄2 (4π²0 )2
(5.14)
Enl = −
avec
EI (Z) =
où EH est l'énergie d'ionisation de l'atome d'hydrogène obtenue pour Z = 1
et M = masse du proton (le signe ' signie qu'une petite déviation à la
proportionalité à Z 2 apparaît à cause de la masse réduite).
Rappelons que EH ∼ 13,6 eV ou
EH = 109737,315709(5)cm−1
(5.15)
constante connue sous le nom de "constante de Rydberg".
Il est intéressant de réécrire l'expression de EH sous la forme:
1
EH = µH c2 α2
2
(5.16)
où α = e2 /((4π²0 )h̄c) = 1/137,04... désigne la constante de structure ne.
De l'ordre de EH /µH c2 , sa valeur caractérise l'ordre de grandeur des eets
relativistes dans l'atome d'hydrogène.
On remarque que la valeur des énergies croissent comme Z 2 . Cela suggère
que l'énergie d'ionisation d'un ion multichargé croît rapidement avec le degré
d'ionisation. Cela suggère aussi que les énergies des photons correspondant
aux transitions radiatives entre niveaux des ions multichargés sont beaucoup
plus grandes que celles de l'hydrogène: par exemple la transition n = 2 − n =
1 ("Lyman alpha") de l'hydrogène où hν ∼ 10eV donne pour Z ∼ 10 des
énergies de transition de l'ordre du keV. (cf TD et Fig. 2.2)
Il en est de même pour les transitions se produisant "en couches internes"
dans les atomes à plusieurs électrons (cf Chapitre 6).
On retiendra que
Enl ∝
70
Z2
n2
(5.17)
Ainsi Enl ne dépend donc pas de l, et on peut écrire:
n∝
Z
|En |1/2
(5.18)
Notons au passage que puisque pour n donné lmax = n − 1, la dégénérescence du niveau associé au nombre quantique principal n vaut:
n−1
X
(2l + 1) = n2
(5.19)
l=0
On retrouve les comportements prédits par la mécanique classique mentionnés dans la section précédente:
La valeur maximum du moment cinétique d'un niveau n est associée
au nombre quantique lmax = n − 1, soit Lmax = (n − 1)h̄ ' nh̄, ce qui
grâce à l'Eq. 5.18 redonne bien l'Eq. 5.6.
Considérons la "fréquence de Bohr" (En − En−1 )/h, ou plutôt son
inverse. D'après l'équation 5.17:
(En − En−1 ) ∝
Z 2 (n − 2)
Z2
1 Z 2 3/2
( )
'∝
=
n2 (n − 1)2
n3
Z n2
(5.20)
soit, toujours suivant l'Eq. 5.13:
h
∝ Z|En |−3/2
En − En−1
(5.21)
On sait que suivant le "principe de correspondance de Bohr", à la limite
où les nombres quantique tendent vers l'inni l'inverse de la fréquence
de Bohr associée à deux niveaux dont les nombres quantiques diérent
d'une unité doit tendre vers la période du mouvement du système décrit
par la mécanique classique. On constate en eet que l'Eq. 5.21 s'identie bien au comportement prédit par l'Eq. 5.7. Réciproquement, le fait
que des états de même n et de l diérents ont la même énergie peut
être associé au fait que les durées de parcours des orbites classiques ne
dépendent que de l'énergie et pas du moment cinétique.
5.3.2 Fonctions d'onde radiales
La partie radiale de la fonction d'onde, Rnl (r) s'exprime en fonction de
la coordonnée réduite ρn :
ρn = r/(
où
71
na0
)
2Z
(5.22)
Fonctions d'onde radiales de l'atome d'hydrogène. On a noté ici
"a1 " le rayon de Bohr a0 pour l'échelle des abscisses. La quantité en ordonnée
est Rnl /(a0 )3/2 . Les courbes en pointillé gurent |Rnl |2 . (D'après Cagnac et
Pébay-Peyroula).
Fig. 5.3 a0 =
h̄2
2
e
µ( 4π²
)
0
(5.23)
est le rayon de Bohr qui vaut a0 =0,53Åpour l'hydrogène. Cela suggère que
pour une valeur donnée du nombre quantique principal n le nuage électronique s'étend d'autant moins loin du noyau que Z est grand, et que le volume
occupé par l'orbitale décroît comme 1/Z 3 .
La dépendance en n est plus subtile. En eet Rnl est le produit d'un
polynôme en ρ de degré n − l par une exponentielle décroissante:
ρn /2
Rnl (r) = Kρln L2l+1
n+l (ρn )e
(5.24)
où L2l+1
n+1 désigne un "polynôme de Laguerre" et K est un facteur de normalisation (cf Fig. 5.3).
La fonction de distribution radiale Pnl telle que Pnl dr soit la probabilité
2 .
que l'électron se trouve entre r et r + dr vaut simplement Pnl = r2 Rnl
72
Fonctions de distribution radiales hydrogénoïdes Pnl avec comme
unité en abscisse a0 /Z (D'après Cagnac et Pébay-Peyroula).
Fig. 5.4 Cette fonction est représentée pour plusieurs valeurs de n et l sur les
Figs. 5.4, 5.5 que nous allons commenter:
Pnl est toujours nulle pour r = 0 et tend vers zéro pour r → ∞.
Pnl prend une valeur notable dans un intervalle de valeurs de r se
réduisant lorsque l augmente
Pour l = n−1, Pnl présente un seul maximum 1 pour r = rn = n2 a0 /Z .
Pour une valeur donnée de n, Pnl s'étend notablement plus loin pour l
petit que pour l grand
Pnl a un comportement oscillant
Tout cela est la traduction quantique du comportement classique décrit
au paragraphe précédent: pour une valeur de n donné, les diérentes orbitales
nl peuvent être associées à des orbites elliptiques de même énergie et donc de
même grand axe, et de diérentes valeurs du module du moment cinétique.
Comme on l'a dit dans la section précédente, la valeur maximum du
moment cinétique l est n − 1. Cet état peut être associé à l'orbite circulaire
de rayon rn égal à la moitié du grand axe.
2n−1
1. Pour l = n−1 la fonction L2l+1
n+l se réduit à L2n−1 qui est une constante. Alors d'après
2n
l'Eq. 5.24 Pnl ∝ ρn exp(ρn ) qui ne présente qu'un seul maximum pour ρn = 2n
73
Fonctions de distribution radiales hydrogénoïdes Pnl avec comme
unité en abscisse n2 a0 /Z .
Fig. 5.5 74
On sait que ce grand axe varie comme Z/|E|. Comme |E| ∝ Z 2 /n2 on
s'attend donc à ce que la longueur de ce grand axe varie comme n2 /Z . Plus
précisément les Eqs. 5.13, 5.14, 5.23 permettent d'exprimer ce grand axe en
fonction de En sous la forme:
2rn =
2e2 Z
4π²0 2|En |
(5.25)
On sait que les orbites de moment cinétique nul sont des ellipses aplaties
s'étendant de r = 0 à rmax = longueur du grand axe. On remarque d'ailleurs
que Rnl (contrairement à Pnl ) n'est pas nul pour r = 0 quand l = 0. Le
fait que la probabilité de présence d'une orbitale l = 0 ("orbitale s") n'est
pas nulle au noyau a des conséquences importantes pour la grandeur des
interactions entre moments magnétiques électronique et nucléaire (cf "terme
de contact de Fermi" des "interactions hypernes", cf Cohen-Tannoudji et
al ch. XII).
Les valeurs intermédiaires de l peuvent être associées à des orbites de
périgée inférieur à la longueur du demi-grand axe, et d'apogée compris entre
la moitié et la totalité de la longueur du grand axe. La période des oscillations
de la fonction d'onde radiale peut être interprétée comme la longueur d'onde
de de Broglie h/pr associée au mouvement radial de l'électron.
5.3.3 Fonctions d'onde angulaire
~ 2 et de Lz sont les
La partie angulaire des fonctions d'onde propres de L
harmoniques sphériques, qui sont elles-mêmes le produit d'un polynôme en
cos θ et d'une exponentielle complexe:
|ml |
Ylml = KPl
(cos θ)eiml φ
(5.26)
|Ylml |2 dΩ représente la probabilité que l'électron se trouve dans l'angle solide
dΩ autour de la direction dénie par les angles polaires θ et φ (cf Fig 5.6). On
va considérer les représentations de cette distribution de probabilité angulaire
|m |
sous la forme d'une surface flml (θφ) ∝ |Pl l (cos θ)|2 . On remarque que cette
distribution est indépendante de φ et a donc la symétrie de révolution autour
de l'axe Oz .
|ml |=l
Considérons tout d'abord le cas |ml | = l. Alors le polynôme Pl
particulièrement simple et la distribution se réduit à
fll ∝ sin(θ)2l
est
(5.27)
Elle se présente sous la forme d'une fonction très piquée autour de θ = π/2:
A la limite l → ∞ on retrouve l'image classique d'une orbite se trouvant dans
~ , qui ici tend vers le plan x0y (Fig.5.7). L'aspect
le plan perpendiculaire à L
75
Fig. 5.6 Repère en coordonnées polaires.
Représentation polaire de la distribution angulaire |Yll (θ,φ)|2 dans
le cas l = 5. Cette fonction est en fait indépendante de φ et a donc la symétrie
de révolution autour de Oz . On peut lui associer la distribution angulaire du
~.
moment L
Fig. 5.7 quantique apparaît dans le fait que la direction du moment cinétique est
distribuée dans un "cône d'incertitude" de demi largeur angulaire:
θl ∼ cos−1 p
l
l(l + 1)
(5.28)
puisque la projection du moment cinétique vaut lh̄ alors que le carré de son
~ implique
module vaut l(l + 1)h̄2 . Cette indétermination sur la direction de L
donc une indétermination de la position de l'électron autour de θ = π/2.
On remarquera également que même lorsque l → ∞ la direction du
grand axe de la trajectoire est indéterminée. En fait la limite classique d'une
particule parcourant une orbite ne peut correspondre à la limite d'un seul état
propre de H, car un tel état par nature n'évolue pas dans le temps. Cette
limite classique est obtenue en fabriquant un paquet d'onde superposition
d'états de n et de l diérents. De tels états ont cependant été fabriqués
76
récemment (cf en particulier Excitation of a three-dimensionally localized
atomic electron wave packet J. Bromage et C.R. Stroud, Phys. Rev. Lett. 83
4963-4966 (1999) et références incluses)
Dans le cas où |ml | < l la fonction f a une expression plus compliquée,
mais on constate qu'elle prend des valeurs notables dans un intervalle de θ
d'amplitude d'autant plus grande que ml est petit, s'étendant de 0 à π lorsque
ml = 0. Ceci peut s'interpréter par le fait que classiquement
le vecteur
p
−1
moment cinétique fait un angle de θml = cos ml / l(l + 1) avec Oz , ce
qui implique classiquement que la trajectoire de l'électron se trouve dans
un plan d'inclinaison π/2 − θml par rapport à l'axe Oz et donc que l'angle
polaire dénissant sa position par rapport à 0z soit compris entre les angles
π/2 − θml et π/2 + θml .
Dans le cas important et fréquemment rencontré des l petits (l = 0,1,2,3)
correspondant aux orbitales "s", "p", "d" et "f"), la Fig. 5.8 représente la
forme des distributions angulaires pour les diérentes valeurs de ml .
On remarquera que la distribution angulaire dans le cas l = 0 est isotrope.
Il ne faut pas faire la confusion entre la forme sphérique de cette distribution,
et les états "circulaires" correspondant aux orbitales l = n−1. (Les orbitales
l = 0 devraient au contraire être associées à des orbites classiques liformes.
Le cas n = 1 correspondant à l'état fondamental de l'atome d'hydrogène est
particulièrement loin de la limite classique).
5.3.4 Orbitales hybrides dirigées
Les fonctions d'onde Rnl Ylml constituent un ensemble de fonctions propres
~ 2 et Lz et orthogonales entre elles. On a vu que ces fonctions d'onde
de H, L
avaient la symétrie de révolution autour de l'axe Oz . On peut dénir d'autres
~2 .
jeux de fonctions orthogonales propres de H et de L
Par exemple avec l = 1 pour lequel on a
√
1 3
cos θ
Y10 =
2 π
√
1 3
Y1±1 = ∓
sin θe±iφ
2 2π
on dénit (cf Fig 5.9):
(5.29)
(5.30)
pz = Y10
(5.31)
√
Y11 + Y1−1
1 3
√
px = −
=
sin θ cos φ
2 π
2
(5.32)
77
Représentation polaire des distributions angulaires |Ylml (θ,φ)|2 .
Ces fonction sont en fait indépendante de φ et ont donc la symétrie de révolution autour de Oz (D'après Cagnac et Pébay-Peyroula).
Fig. 5.8 Fig. 5.9 Représentation polaire des "orbitales dirigées" px , py et pz .
78
Représentation polaire des "orbitales dirigées" d fabriquées à
partir des Y2ml .
Fig. 5.10 √
Y11 − Y1−1
1 3
√
py = −
=
sin θ sin φ
(5.33)
2 π
i 2
Ces fonctions sont orthogonales entre elles et restent fonctions propres
~ 2 mais plus de Lz sauf pour pz ).
de H et de L
Avec l = 2 on peut fabriquer de même dz 2 = Y20 , dyz et dzx en combinant
Y21 et Y2−1 , enn dxy , dx2 −y2 en combinant Y22 et Y2−2 (Fig. 5.10).
On dénit ainsi de nouvelles orbitales qui, dans le cas de l'atome isolé
restent états propres de H avec la même énergie propre. Il n'en est pas de
même si on soumet l'atome a une perturbation extérieure H0 qui n'a plus la
symétrie d'un potentiel central. C'est par exemple ce qui produit dans le cas
d'un atome soumis à un champ électrique, ou se trouvant dans un champ
cristallin en phase condensée, ou encore à l'intérieur d'une molécule. Avec de
telles perturbations les orbitales Rnl Ylml ne sont plus du tout état propres
de H + H0 . Cependant, et c'est là l'intérêt, les "orbitales dirigées" que l'on a
ainsi dénies restent approximativement états propres de H + H0 , mais avec
diérentes énergies propres.
5.4 Extension au cas des atomes alcalins et atomes
de Rydberg: "concept de défaut quantique"
Un exemple d'application des considérations précédentes à des atomes
autres que l'atome d'hydrogène est celui des atomes alcalins. Ces atomes
79
Diagramme des niveaux d'énergie des atomes alcalins comparés
à ceux de l'hydrogène (d'après Haken et Wolf ).
Fig. 5.11 (Li, Na, K,...) ont une conguration électronique comprenant un coeur à
couches complètes (qui est celle des ions Li+ , Na+ , K+ ... connus pour être
très stables chimiquement) constitué du noyau et de Z − 1 électrons, entouré
d'une orbitale occupée par un seul électron "célibataire". Le coeur, assez
compact, écrante la charge électrique du noyau de telle sorte que le champ
à l'extérieur se réduit pratiquement à celui d'une seule charge positive. De
ce fait la structure des états excités de ces systèmes ressemblent beaucoup à
ceux de l'atome d'hydrogène (cf Fig. 5.11).
La similarité avec l'atome d'hydrogène apparaît clairement si l'on représente les niveaux d'énergie par la formule analogue à celle de l'atome
d'hydrogène:
Enef f ∼ −
l
EH
f 2
(nef
l )
(5.34)
f
où l'on introduit de manière assez articielle la quantité nef
l , reliée aux
valeurs expérimentales Enl des niveaux d'énergie par la réciproque de la
80
formule 5.34:
s
f
nef
l
=
EH
Enl
(5.35)
où n pourrait n'être qu'un numéro d'ordre dans la série. En fait comme le
montre le tableau suivant établi dans le cas du sodium on constate que pour
chaque valeur du moment cinétique orbital l de l'atome les valeurs de ne f f
prennent une série de valeurs discrètes diérant approximativement d'une
unité:
l
0
1
2
3
1,267
2,177
2,999
f
nef
l
2,643
3,133
3,989
4,000
3,648
4,138
4,987
5,001
4,651
5,141
5,989
6,008
Ainsi, pour chaque valeur de l on a approximativement:
f
nef
∼ n − δl
l
(5.36)
où n peut être nalement associé à la valeur du nombre quantique de l'orbitale de l'électron le plus externe (n = 3 pour l'état fondamental du sodium
comme on le verra au chapitre 6) et δl est une quantité connue sous le nom
de "défaut quantique". On constate que δl est d'autant plus faible que l est
grand.
l
0
1
2
3
δl
1,35
0,86
0,01
0
Cette situation n'est pas propre aux seuls atomes alcalins: en eet la
conguration électronique de nombreux états excités atomiques et même
moléculaires comporte fréquemment un électron dans une orbitale externe
au reste du cortège électronique du système. De tels états portent le nom
d'"états de Rydberg" pour rappeller le fait que la valeur de leur énergie suit
approximativement la formule Eq. 5.13 dite "de Rydberg" pour l'atome d'hydrogène.
81
Orbites de même énergie, diérent de la valeur du moment cinétique, l'une pénétrant, et l'autre ne pénétrant pas le coeur.
Fig. 5.12 En fait ces états dièrent de ceux de l'atome d'hydrogène à cause de deux
eets:
les orbitales de faible moment cinétique (l = 0 et l = 1 en particulier) pénètrent le coeur, à l'intérieur duquel le potentiel n'est pas un
potentiel en 1/r (cf Fig. 5.12)
même lorsqu'il est à l'extérieur du coeur, l'électron périphérique voit
un champ qui est légèrement diérent d'un potentiel en 1/r car sa
présence induit un champ électrique qui déforme légèrement le coeur
(polarisation du coeur). Il en résulte que le potentiel vu par l'électron
externe est du type:
V (r) = −
e2
1
α
−
4π²0 r 2 (4π²0 r2 )2
(5.37)
où α est la polarisabilité de ce coeur. (En pratique le deuxième terme
est très petit devant le premier).
Dans ces conditions on est amené à résoudre l'équation de Schrödinger
pour une particule dans un potentiel central qui n'est donc plus en 1/r.
En général les fonctions propres et les énergies propres ne peuvent alors
être obtenues que sous forme numérique 2 . Cependant dans la mesure où ce
potentiel reste un potentiel "central" V (r) qui ne dépend que de la distance
2. un cas où le problème se traite analytiquement est présenté dans Cagnac-Pébay
chapitre XIII-5B
82
Représentation de la trajectoire d'une particule évoluant dans un
champ en 1/r modié au voisinage du coeur.
Fig. 5.13 radiale r, les fonctions propres de l'énergie se mettent toujours sous la forme
d'un produit Rnl (r)Ylml (θ,φ) Dans le cas où la perturbation apportée par la
déviation du potentiel par rapport à un potentiel en 1/r est faible, on montre
théoriquement que les niveaux d'énergie se groupent en séries obéissant à une
formule de type:
Enl ' −
R∞
(n − δl )2
(5.38)
où n prend une série de valeurs entières, δl est une quantité spécique de
l'atome et du moment cinétique, et R∞ désigne la constante de Rydberg
pour un noyau de masse innie.
Le point important est que cette fois-ci on n'a plus de dégénérescence
de l'énergie pour diérentes valeurs du moment cinétique l. En mécanique
classique cela correspondrait au fait que la période de parcours de l'orbite
(et l'énergie) n'est plus indépendante du moment cinétique pour une taille
donnée du grand axe de l'orbite; La trajectoire classique n'est d'ailleurs plus
une ellipse, elle ressemble en fait à une série de tronçons d'ellipses décalés (cf
Fig. 5.13), le mouvement de l'électron étant en particulier fortement perturbé
lors de son passage au voisinage du coeur (cf aussi Landau-Lifshitz, Mécanique section 14). Cet eet est particulièrement marqué pour les trajectoires
de faible valeur du moment cinétique qui pénètrent le coeur. Quantiquement
on peut relier la valeur de la quantité δl au déphasage que subit la fonction
d'onde d'un électron d'énergie voisine de zéro par collision avec le coeur.
83