Chapitre 3: Dynamique
publicité
Chapitre 3: Dynamique Introduction Le mot dynamique désigne ou qualifie ce qui est relatif au mouvement. Il est l’opposé du mot statique. Le mouvement d’un point matériel est liée à son interaction avec le monde extérieur ce qui conduit à l’existence de forces que subit ce point matériel appelé aussi ‘champ de forces’. La relation entre les vecteurs vitesses et accélération et les forces est la relation fondamentale de la dynamique. Cependant, lorsqu'on est assis dans le métro/RER ou une voiture, nous sommes immobiles (vitesse nulle) mais le métro/RER/voiture se déplacent à une certaine vitesse par rapport à la Terre. Il faut donc définir des référentiels pour écrire la relation fondamentale de la dynamique. 1 Chapitre 3: Dynamique I Référentiels galiléens II Les Forces II Lois fondamentales de la dynamique Chapitre essentiellement de rappel 2 Chapitre 3: Dynamique I REFERENTIELS GALILEENS 1) Référentiel galiléen O, i , j , k Un référentiel R muni d’un repère orthonormé est dit galiléen si un mobile infiniment éloigné de tout autre objet matériel est : -) soit animé d’un mouvement rectiligne uniforme -) soit y est immobile v v Cste R 3 Chapitre 3: Dynamique I REFERENTIELS GALILEENS 2) Référentiel de Copernic Le référentiel de Copernic est défini par son origine O qui est le centre de masse du système solaire et par trois axes reliant O à trois étoiles très éloignées (dites fixes). Le référentiel de Copernic est un référentiel galiléen. Tout point O’ se déplaçant avec une vitesse rectiligne uniforme dans ce référentiel est l’origine d’un référentiel galiléen (en prenant les mêmes axes OX, OY et OZ). 4 Chapitre 3: Dynamique I REFERENTIELS GALILEENS 3) Référentiel galiléen approché Le référentiel de Copernic n’est pas très pratique pour un problème de mécanique sur Terre ! Il faut définir des référentiels galiléens approchés. Le référentiel géocentrique est un référentiel galiléen approché Mais sur une durée suffisamment courte, on peut approximer le cercle à sa tangente ! 5 Chapitre 3: Dynamique I REFERENTIELS GALILEENS 3) Référentiel galiléen approché Le référentiel de Copernic n’est pas très pratique pour un problème de mécanique sur Terre ! Il faut définir des référentiels galiléens approchés. Le référentiel géocentrique est un référentiel galiléen approché Mais sur une durée suffisamment courte, on peut approximer le cercle à sa tangente ! 6 Chapitre 3: Dynamique I REFERENTIELS GALILEENS 3) Référentiel galiléen approché Le référentiel géocentrique n’est pas forcément très pratique pour un problème de mécanique sur Terre ! La Terre tourne sur elle-même en 24heures. Un point à la surface de la Terre décrit un mouvement circulaire uniforme autour de l’axe Pole SudPole Nord. En approximant le mouvement en surface à sa tangente, on a un mouvement de translation rectiligne uniforme pendant un certain temps. On obtient ainsi d’autres référentiels galiléens approchés où l’origine est à la surface de la Terre. Ce sont ces référentiels dits terrestres qu’on considèrera dans la suite comme référentiels galiléens. 7 Chapitre 3: Dynamique II LES FORCES Il y a quatre forces fondamentales dans l’Univers : Mm Fg G 2 u -) la force de gravitation r 1 Qq u -) la force électromagnétique Fem 2 4 0 r -) les forces d’interaction faible et forte : existent à une échelle <10-15 m. 8 Chapitre 3: Dynamique III LOIS DE NEWTON 1ère loi de Newton = Principe de l’inertie : Un objet livré à lui-même, sans interactions avec les autres objets -) reste au repos si il était initialement au repos -) ou bien est animé d’un mouvement de translation uniforme si il était initialement en mouvement. 2ième loi de Newton = Principe fondamental de la dynamique : Dans un référentiel galiléen, le mouvement d’un point matériel de masse m soumis à un ensemble de forces dont la résultante est F possède une accélération a F / m dv dp Fma m On écrit ce principe sous la forme : dt dt où p m v est la quantité de mouvement. 3ième loi de Newton = Principe de l’action et de la réaction : Lorsque 2 points matériels A et B sont en interaction, la force qu’exerce le point matériel A sur le point matériel B est de même intensité, parallèle mais de direction opposée à la force qu’exerce le point matériel B sur le point matériel A : F -F A B BA 9 Chapitre 3: Dynamique IV RESUME Un référentiel R est dit galiléen si un mobile infiniment éloigné de tout autre objet matériel est : -) soit animé d’un mouvement rectiligne uniforme -) soit immobile En première approximation, un référentiel terrestre, c’est à-dire dont l’origine est à la surface de la Terre, peut être considéré comme galiléen. Ce référentiel est muni d’un repère orthonormé direct O, i , j , k 2ième loi de Newton = Principe fondamental de la dynamique : Dans un référentiel galiléen, le mouvement d’un point matériel de masse m soumis à un ensemble de forces dont la résultante est possède une accélération dp Fma On écrit ce principe sous la forme : dt où p m v est la quantité de mouvement. 10 Chapitre 3: Dynamique V Un exemple à deux dimensions On considère un mobile de masse m sur un plan incliné faisant un angle avec l’horizontale. A l’instant t=0, ce mobile possède une vitesse nulle et se trouve à une hauteur h de l’extrémité du plan incliné. Déterminer la vitesse et l’accélération du mobile au bout de la pente inclinée. On négligera les frottements. y’ t=0 R Réaction du support O’ y h Poids O PFD : PR ma P x’ x Il est plus facile de projeter sur les axes O’x’,O’y’ que sur Ox,Oy 11 Chapitre 3: Dynamique V Un exemple à deux dimensions On considère un mobile de masse m sur un plan incliné faisant un angle avec l’horizontale. A l’instant t=0, ce mobile possède une vitesse nulle et se trouve à une hauteur h de l’extrémité du plan incliné. Déterminer la vitesse et l’accélération du mobile au bout de la pente inclinée. On négligera les frottements. y’ t=0 R Projection selon Ox’ : PR ma m a x P sin 0 Projection selon Oy’ : h P x’ m a y P cos R Le mobile est astreint de se déplacer sur le plan incliné donc ay=0 et l’accélération est donc donnée par ax. On peut ainsi noter que R P cos m g cosα m a x P sin α m g sinα a x g sinα Cste 0 Le mouvement est donc rectiligne uniformément accéléré 12 Chapitre 3: Dynamique V Un exemple à deux dimensions On considère un mobile de masse m sur un plan incliné faisant un angle avec l’horizontale. A l’instant t=0, ce mobile possède une vitesse nulle et se trouve à une hauteur h de l’extrémité du plan incliné. Déterminer la vitesse et l’accélération du mobile au bout de la pente inclinée. On négligera les frottements. y’ t=0 ste R a x g sinα C 0 On en déduit, avec A une constante : v x g sinα t A h P x’ A t=0, le mobile est immobile donc vx=0. v x g sinα t Pour avoir la vitesse en bas du plan incliné, il faut déterminer le temps t pour arriver en bas du plan. Pour cela, il faut déterminer x’(t). x'(t) 1 g sinα t 2 B 2 A t=0, on suppose que x’(t) = 0 (choix d’origine) donc B=0. Soit t0, le temps mis pour ‘dévaler’ le plan incliné. La distance parcourue est l’hypoténuse du triangle de coté h et d’angle au 2h h 1 sommet, . Donc, et donc t x'(t 0 ) g sin α t 02 0 13 g sin 2 α sinα 2 Chapitre 3: Dynamique V Un exemple à deux dimensions On considère un mobile de masse m sur un plan incliné faisant un angle avec l’horizontale. A l’instant t=0, ce mobile possède une vitesse nulle et se trouve à une hauteur h de l’extrémité du plan incliné. Déterminer la vitesse et l’accélération du mobile au bout de la pente inclinée. On négligera les frottements. y’ En bas du plan incliné, t=0 R 2h v x g sinα t 0 g sinα 2gh 2 g sin α h P x’ Remarque : 1 1 m v2x m2gh mgh 2 2 La vitesse et l’accélération du mobile au bout de la pente inclinée sont donc : v x 2gh et a x g sinα 14
