Représentations irréductibles de GL(2,F) - IMJ-PRG

Représentations irréductibles de GL(2, F ) modulo p.
Marie-France Vignéras
Résumé. This is a report on the classification of irreducible representations of GL(2, F )
over Fp when F is a local field of finite residual field contained in the algebraically closed
field Fp of characteristic p.
1 Toutes les représentations des groupes seront lisses, i.e. chaque vecteur est fixe par
un sous-groupe ouvert.
Soit p un nombre premier, F un corps local complet pour une valuation discrète de
corps résiduel fini Fq de caractéristique p ayant q éléments, F un clôture séparable de
F et Fp une clôture algébrique de Fq . Soit n ≥ 1 un entier. Pour un nombre premier
ℓ 6= p, la correspondance semisimple de Langlands modulo ℓ, est une bijection “compatible avec la réduction modulo ℓ” entre les classes d’isomorphisme des représentations
irréductibles de dimension n du groupe de Gal(F /F ) sur Fℓ et les classes d’isomorphisme
des représentations irréductibles supercuspidales de GL(n, F ) sur Fℓ , étendue de façon
à inclure les représentations semi-simples de dimension n de Gal(F /F ), et toutes les
représentations irréductibles de GL(n, F ) sur Fℓ [V2].
On s’intéresse au cas ℓ = p. On connait bien les représentations irréductibles de
dimension finie de Gal(F /F ) sur Fp , mais quelles sont les représentations irréductibles de
GL(n, F ) sur Fp ? La réponse est connue uniquement pour le groupe GL(2, Qp ); c’est un
problème ouvert pour n ≥ 3 ou pour F 6= Qp .
2 Les représentations irréductibles de dimension n du groupe de Galois Gal(F /F )
sur Fp se classent facilement [V3] 1.14 page 423.
2.1 . Lorsque n = 1, l’isomorphisme de réciprocité du corps de classes, qui envoie
une uniformisante pF de F sur un Frobenius géométrique FrobF , identifie les caractères
(représentations de dimension 1) de F ∗ et de Gal(F /F ). Nous utiliserons systématiquement
cette identification. Pour une extension finie F ′ de F contenue dans F , la restriction du
côté galoisien correspond à la norme F ′∗ → F ∗ .
2.2 Les représentations irréductibles de Gal(F /F ) sur Fp de dimension n ≥ 2 sont
induites par les caractères réguliers sur F du groupe multiplicatif de l’unique extension Fn
de F non ramifiée de degré n sur F contenue dans F . Un caractère de Fn∗ est régulier sur
F si ses n conjugués par le groupe de Galois Gal(Fn /F ) sont distincts. Les représentations
ρ(χ), ρ(χ′ ) de Gal(F /F ) induites de deux caractères χ, χ′ de Fn∗ réguliers sur F sont
isomorphes si et seulement si χ, χ′ sont conjugués par le groupe de Galois Gal(Fn /F ). Le
déterminant de ρ(χ) est la restriction de χ à F ∗ .
∗
2.3 On note OF l’anneau des entiers de F ; un caractère OF∗ → Fp s’identifie à un
caractère de F∗q . L’uniformisante pF de F est aussi une uniformisante de l’extension non
ramifiée Fn . Le caractère ωn de Fn∗ tel que ωn (pF ) = 1 et dont la restriction à OF∗ n
∗
s’identifie au plongement naturel ιn : F∗q n → Fp , est appelé un caractère de Serre; il est
∗
régulier. Pour λ ∈ Fp , on note µn,λ le caractère non ramifié de Fn∗ tel que µn,λ (pF ) = λ.
On supprime l’indice n = 1 pour F ∗ . Le composé de la norme Fn∗ → F ∗ et du caractère
n−1
ω, resp. µλ , est le caractère ωn1+q+...+q , resp. µn,λn .
1
∗
Les caractères de Fn∗ sont µn,λ ωna pour un unique couple (λ, a) ∈ Fp × {1, . . . , q n − 1}.
2.4 Les représentations irréductibles de dimension n ≥ 1 du groupe de Galois
Gal(F /F ) sur Fp sont
Gal(F /F )
Gal(F /F )
ρn (a, λ) = µλ ⊗ indGal(F /F
n)
ωna = indGal(F /F ) (µn,λn ωna )
n
pour les entiers a ∈ Z/(q n −1)Z tels que a, qa, . . . , q n−1 a sont distincts. Les isomorphismes
sont les suivants
ρn (a, λ) ≃ ρn (aq i , ζλ)
∗
pour les entiers 1 ≤ i ≤ n − 1 et ζ ∈ Fp avec ζ n = 1.
′
Le déterminant de ρn (a, λ) est ω a µλn où a′ ∈ Z/(q − 1)Z est l’image de a. Le nombre
de représentations irréductibles avec det FrobF fixé est fini, égal au nombre de polynômes
irréductibles unitaires de degré n dans Fq [X] [V1] 3.1 (10). Lorsque n = 2, ce nombre est
q(q − 1)/2.
2.5 Lorsque F = Qp , les représentations irréductibles de dimension 2 du groupe de
Galois Gal(Qp /Qp ) sur Fp sont
Gal(F /F )
σ(r, χ) = χ ⊗ indGal(F /F ) ω2r+1
2
∗
pour les entiers r ∈ {0, . . . , p − 1} et les caractères χ : Q∗p → Fp . On a σ(r, χ) =
ρ2 (a, λ) avec χ = µλ ω b , a = (p + 1)b + r + 1. Le déterminant de σ(r, χ) est χ2 ω r+1 .
Les isomorphismes sont les suivants
σ(r, χ) ≃ σ(p − 1 − r, χ) ≃ σ(r, χµ−1 ) ≃ σ(p − 1 − r, χµ−1 ).
3 Les représentations irréductibles de GL(2, Qp ) sur Fp avec un caractère central
sont classées [BL2] [Br]. On dispose d’une liste pour GL(2, F ) lorsque F 6= Qp [V0], [Pa],
probablement non complète.
2
3.1 Les représentations irréductibles de GL(2, Fq ) sur Fp sont (χ ◦ det) ⊗ Symr Fp
∗
pour un unique couple (r, χ) avec 0 ≤ r ≤ q − 1 et un caractère χ : F∗q → Fp ; on peut aussi
remplacer χ par l’unique entier 1 ≤ a ≤ q − 1 tel que χ(?) =?a . On a le développement
p-adique r = r1 + pr2 + . . . + pf −1 rf avec 0 ≤ ri ≤ p − 1, q = pf , et
2
2
Symr Fp = ⊗fi=1 Symri Fp ◦ Fri−1
2
où Fr est le Frobenius absolu ?p et pour tout entier r ≥ 0, Symr Fp est la représentation
de GL(2, Fq ) sur les polynômes homogènes de degré r dans Fp [X, Y ] vérifiant
a
c
b
d
X i Y j = (aX + cY )i (bX + cY )j
2
(i, j ≥ 0, i + j = r).
2
La représentation triviale et la représentation spéciale (ou de Steinberg) sont Sym0 Fp et
2
Symq−1 Fp .
2
La représentation irréductible Symr Fp s’identifie à une représentation irréductible de
GL(2, OF ), ou à une représentation de Ko = GL(2, OF )pZ
F triviale sur pF . On lui associe
par induction compacte une représentation lisse de GL(2, F )
2
E(r) = indG
Ko Symr Fp .
3.2 Les représentations irréductibles de G = GL(2, F ) sur Fp sont :
∗
(i) Les caractères χ ◦ det pour les caractères χ : F ∗ → Fp .
(ii) Les séries principales indG
B (χ1 ⊗ χ2 ) induites par le caractère
(χ1 ⊗ χ2 )
a b
0 d
= χ1 (a)χ2 (d)
∗
du sous-groupe triangulaire supérieur B, pour les caractères distincts χ1 , χ2 : F ∗ → Fp ,
χ1 6= χ2 .
(iii) Les séries spéciales (appelées aussi de Steinberg) Sp ⊗χ det, pour les caractères
∗
χ : F ∗ → Fp , où Sp est le quotient de la représentation induite indG
B idFp du caractère
trivial de B, par le caractère trivial de G.
(iv) Les représentations irréductibles supercuspidales.
Il n’y a pas d’isomorphisme entre ces représentations.
La représentation spéciale ne se plonge pas dans une représentation induite parabolique;
ses vecteurs coinvariants par le radical unipotent N de B est nul; elle est cuspidale sans
être supercuspidale.
Barthel et Livne ([BL2] prop.8) montrent que EndFp G (indG
Ko id) ≃ Fp [T ] où T corre
pF 0
spond à la double classe de h =
; les algèbres EndFp G E(r) sont canoniquement
0 1
isomorphes. Ils ont appelés supersingulières les représentations irréductibles supercuspidales ayant un caractère central, et démontrés ce sont les quotients irréductibles de
V (r, χ) = (χ ◦ det) ⊗
E(r)
T E(r)
∗
pour les caractères χ : F ∗ → Fp et les entiers 0 ≤ r ≤ q − 1; le caractère central de V (r, χ)
est χ2 ω r . La représentation de G
V (r, λ, χ) = (χ ◦ det) ⊗
E(r)
(T − λ)E(r)
∗
(λ ∈ Fp )
est isomorphe à
r
r
i) la série principale irréductible (χ ◦ det) ⊗ indG
B (µλ−1 ⊗ µλ ω ) si µλ−1 6= µλ ω , i.e. si
λ 6= ±1 ou r 6= (0, . . . , 0), (p − 1, . . . , p − 1),
3
ii) la représentation (χ ◦ det) ⊗ indG
B µλ de longueur 2 non scindée, contenant χµλ ◦ det
et de quotient (χµλ ◦ det) ⊗ Sp lorsque λ = ±1 et r = (p − 1, . . . , p − 1),
iii) une représentation de longueur 2 non scindée contenant (χµλ ◦ det) ⊗ Sp et de
quotient χµλ ◦ det lorsque λ = ±1 et r = (0, . . . , 0).
3.3 Dans le cas particulier mais important F = Qp , Breuil [Br] 4.1.1, 4.1.4, a montré
que les représentations V (r, χ) sont irréductibles.
Les représentations irréductibles supersingulières de GL(2, Qp ) sont les V (r, χ) pour
∗
0 ≤ r ≤ p − 1 et χ un caractère F ∗ → Fp ; les isomorphismes sont :
V (r, χ) ≃ V (p − 1 − r, χω r ) ≃ V (r, χµ1 ) ≃ V (p − 1 − r, χω r µ−1 ).
3.4 Breuil [Br] 4.2.4 en déduit une bijection unique “compatible avec la réduction
modulo p” de la correspondance donnée par la “cohomologie étale des courbes modulaires”
σ(r, χ) ↔ V (r, χ)
entre les classes d’isomorphisme des représentations irréductibles de dimension 2 du groupe
de Galois Gal(Qp /Qp ) sur Fp (2.5) et les classes d’isomorphisme des représentations
irréductibles supersingulières de GL(2, Qp ) sur Fp (3.3), qu’il étend de façon à inclure
les représentations semi-simples de dimension 2 de Gal(Qp /Qp ),
G
r
r
−1 ss
χ ⊗ (ω r+1 µλ ⊕ µλ−1 ) ↔ (χ ◦ det) ⊗ [indG
)] ,
B (µλ−1 ⊗ ω µλ ) ⊕ indB ((ω µλ )ω ⊗ µλ−1 ω
notant ?ss la semi-simplifiée d’une représentation ? de longueur finie. Soit r ′ ∈ {0, . . . , p−2}
congru à p − 3 − r modulo p − 1; le membre de droite est aussi (3.2):
V (r, λ, χ)ss ⊕ V (r ′ , λ−1 , ω r+1 χ)ss .
Le déterminant χ2 ω r+1 de la représentation galoisienne ne coincide pas par l’isomorphisme
de la théorie du corps de classes avec le caractère central χ2 ω r de la représentation de
GL(2, Qp ).
3.5 Une représentation irréductible avec un caractère central de GL(2, Qp ) est caractérisée par sa restriction au sous-groupe triangulaire B, qui est irréductible sauf pour une
série principale où elle est de longueur 2; ceci est démontré par Berger [Be] lorsque F = Qp
en utilisant les représentations de B(Qp ) construites par Colmez avec les (φ, Γ)-modules
de Fontaine; une preuve non galoisienne est donnée dans [Vc] (voir 3.6) pour tout F , mais
uniquement pour les séries principales et la Steinberg.
Toute représentation irréductible W de Gal(Qp /Qp ) de dimension finie sur Fp , définit
une représentation irréductible de dimension infinie ΩW de B(Qp ) sur Fp . Deux représentations
W non isomorphes donnent des représentations ΩW non isomorphes.
Les représentations irréductibles contenues dans la série principale ou la série spéciale
(resp. dans les supersingulières) sont les ΩW pour dim W = 1 (resp. dim W = 2).
Remarque. Notons P le sous-groupe mirabolique formé des matrices de seconde ligne
(0, 1) dans B. Il est isomorphe au produit semi-direct du groupe additif Ga et du groupe
4
multiplicatif Gm (agissant naturellement sur Ga ). On identifie Ga au radical unipotent de
P ou de B.
Sur un corps algébriquement clos de caractéristique différente de p, le groupe mirabolique
P (F ) a une unique représentation irréductible de dimension infinie τ ; les autres sont des
caractères. La restriction à P (F ) d’une représentation irréductible π de dimension infinie
de GL(2, F ) contient τ et π/τ est de longueur 2, 1, 0 selon que π est de la série principale,
spéciale, ou est supercuspidale [V4].
3.6 On peut décomposer les séries principales avec les arguments suivants [Vc] . La
représentation naturelle ρ de P (F ) sur l’espace des fonctions localement constantes à support compact sur F et à valeurs dans Fp est irréductible; ceci utilise que l’algèbre de
groupe complétée d’un pro-p-groupe sur corps fini de caractéristique p est locale. Joint au
fait que les F -coinvariants de ρ sont nuls car un pro-p-groupe n’a pas de mesure de Haar
à valeurs dans Fp , on obtient que la restriction à B(F ) de indG
B χ1 ⊗ χ2 est de longueur
G
2, de quotient le caractère χ1 ⊗ χ2 , et l’image de indB χ1 ⊗ χ2 par le foncteur de Jacquet
(les U (F )-coinvariants) est χ = χ1 ⊗ χ2 . Cette démonstration n’utilisant pas l’arbre de
P GL(2), est généralisable à GL(n).
4 Généralités.
4.1 On dit que V est admissible si l’espace V K des vecteurs de V fixes par K est de
dimension finie pour tout sous-groupe ouvert compact K de G. Lorsque C = Fp , il suffit
que ce soit vrai pour un seul pro-p-sous-groupe ouvert Ko de G. Voici la preuve simple et
astucieuse due à Paskunas. La restriction de V à Ko se plonge dans (dimFp V Ko ) Inj 1Fp ,
où Inj 1Fp est l’enveloppe injective de la représentation triviale de Ko ; pour tout sousgroupe ouvert distingué K de Ko , on a (Inj 1Fp )K = Fp [Ko /K], donc la dimension de V K
est finie.
Toutes les représentations irréductibles de GL(2, F ) sur Fp connues sont admissibles,
ont un caractère central et sont définies sur un corps fini.
4.2 Tout pro-p-groupe agissant sur un Fp -espace vectoriel non nul a un vecteur non
nul invariant. Ceci implique qu’ une représentation admissible non nulle V de G sur Fp ,
contient une sous-représentation irréductible W .
4.3 Soit W une représentation lisse sur un corps commutatif C de dimension finie
d’un sous-groupe ouvert K de G. On lui associe la représentation lisse indG
K W de G, par
induction compacte. L’algèbre de Hecke de (K, W ) dans G,
H(G, K, W ) = EndCG indG
KW
s’identifie à l’algèbre de convolution des fonctions f : G → EndC W de support une union
finie de doubles classes de G modulo K, satisfaisant f (kgk ′ ) = kf (g)k ′ pour g ∈ G et
k, k ′ ∈ K; la condition sur F = f (g) ∈ EndC W est F (k −1 ?) = gkg −1 F (?) pour tout
k ∈ K ∩ g −1 Kg. On associe à V le H(G, K, W )-module à droite
HomCG (indG
K W, V ) ≃ HomCK (W, V ),
par adjonction.
5
4.4 Les algèbres de Hecke fournissent un critère bien utile d’irréductibilité [V0] Criterium 4.5 page 344. Si Ko est un pro-p-sous-groupe ouvert, une représentation V de G
sur Fp engendrée par π Ko est irréductible, si π Ko est un H(G, Ko , idFp )-module simple.
4.5 Nous donnons maintenant deux propriétés générales et techniques utilisées dans
la démonstration par Barthel et Livne qu’une représentation irréductible V de GL(2, F )
sur Fp ayant un caractère central est quotient d’un V (r, λ, χ) (3.2), que nous expliquerons
en (6.3).
(i) Soit V irréductible tel que HomCK (W, V ) contienneun sous-H(G, K, W )-module
de dimension finie sur C (vrai si V est admissible); alors il existe un H(G, K, W )-module
simple à droite M tel que V est quotient de
M ⊗H(G,K,W ) indG
K W.
(ii) Soit un quotient j : W → W ′ de la représentation W de K; l’application indG
K (j) :
G
′
W → indK W est surjective et induit une application injective
indG
K
G
G
′
? ◦ indG
K (j) : HomCG (indK W , V ) → HomCG (indK W, V )
′
pour toute représentation V de G. Soit M ′ un sous-espace de HomCG (indG
K W , V ) dont
G
G
l’image par ?◦indK (j) dans HomCG (indK W, V ) est H(G, K, W )-stable. Si tout morphisme
h′ ∈ H(G, K, W ′) se relève en un morphisme h ∈ H(G, K, W ) tel que h′ ◦ indG
K (j) =
′
′
indG
(j)
◦
h,
alors
M
est
H(G,
K,
W
)-stable.
K
La condition sur les algèbres de Hecke signifie que pour chaque g dans un système
de représentants des doubles classes K\G/K, tout morphisme F ′ ∈ EndC W ′ vérifiant
F ′ (k −1 ?) = gkg −1 F ′ (?) pour tout k ∈ K ∩ g −1 Kg se relève en un morphisme F ∈
′
EndCK indG
K W vérifiant la même relation tel que F ◦ j = j ◦ F .
5 Algèbre de Hecke du “pro-p-Iwahori” I(1).
5.1 L’image inverse dans K = GL(2, OF ) de B(Fq ) par la réduction K → GL(2, Fq )
est le groupe d’Iwahori I; celle du groupe strictement triangulaire supérieur est le pro−psous-groupe I(1); c’est un pro-p-Sylow de I. La Z-algèbre de Hecke du pro-p-Iwahori I(1)
[V1]
H(2, q) = EndZG Z[I(1)\GL(2, F )]
ne dépend que de (2, q). La Z-algèbre H(2, q) a une grosse sous-algèbre commutative de
type fini avec une action naturelle de S2 , style Bernstein, dont les S2 -invariants forment le
centre de H(n, 2). L’algèbre H(2, q) est un module de type fini sur son centre. Le centre
de H(2, q) est une Z-algèbre de type fini.
5.2 Un H(2, q) ⊗Z Fp -module simple (à droite ou à gauche) a un caractère central,
est de dimension finie, et est défini sur un corps fini.
C’est l’analogue pour l’algèbre de Hecke du pro-p-Iwahori de “une sous-représentation
d’une représentation de type fini de G sur Fp est de type fini” et de “une représentation
irréductible de G sur Fp est admissible définie sur un corps fini” (questions ouvertes).
Cela résulte de:
6
5.3 Soit C un corps commutatif parfait, Z une C-algèbre commutative de type fini,
H un anneau qui est un Z-module de type fini. Alors un H-module (à droite ou à gauche)
simple est de dimension finie sur C.
Preuve (implicite dans [V4] I.7.11): Un H-module M simple (à droite par exemple)
étant un Z-module de type fini, admet un quotient Z-simple. Si C est algébriquement clos,
un Z-module simple est de dimension 1 sur C; il existe donc un morphisme χ : Z → C tel
que M (χ) = {mz − χ(z)m, (m ∈ M, z ∈ Z)} est distinct de M et M (χ) est stable par
A. Comme M est simple, M (χ) = 0 i.e. Z agit sur M par χ; ceci implique que M est de
dimension finie sur C. Si C est parfait, il existe une extension finie galoisienne C ′ /C et un
morphisme χ : Z → C ′ tel que M ⊗C C ′ est distinct de (M ⊗C C ′ )(χ). Le H ⊗C C ′ -module
M ⊗C C ′ est une somme directe finie de modules simples, conjugués par Gal(C ′ /C). L’un
d’entre eux N est distinct de N (χ), donc N (χ) = 0 et N est de dimension finie sur C ′ . La
dimension de M ⊗C C ′ sur C ′ est donc de dimension finie; c’est aussi celle de M sur C.
5.4 Définition d’un H(2, q)⊗Z Fp -module simple (à droite ou à gauche) supersingulier
[V1]. Un caractère du centre de H(2, q) à valeurs dans Fp a nécessairement beaucoup de
“zéros”. Lorsqu’il y a des zéros supplémentaires, le caractère est dit singulier (non singulier
est appelé régulier). Le pire cas plein de zéros est appelé supersingulier. La terminologie
s’étend à un H(2, q) ⊗Z Fp -module simple via son caractère central (5.3). Le nombre de
H(2, q) ⊗Z Fp -modules simples supersinguliers de dimension n connus avec une action de
pF fixée, est exactement le nombre de représentations continues irréductibles de Gal(F /F )
de dimension 2 avec le déterminant de FrobF fixé.
6
Nous expliquons le rôle du foncteur π → π I(1) des I(1)-invariants dans les
démonstrations de (3.2), (3.3) et nous donnons des propriétés de ce foncteur [V0], [O].
6.1 Le cas du groupe fini GL(2, Fq ) [BL2] [Pa]. Un p-groupe de Sylow est le groupe
des matrices strictement triangulaires supérieures U (Fq ); le foncteur ρ → ρU(Fq ) définit
une bijection des représentations irréductibles de GL(2, Fq ) sur Fp sur les modules simples
de la Fp -algèbre de Hecke de U (Fq ).
6.2 Soit ρ une représentation irréductible de GL(2, Fq ); le poids de ρ est le caractère η
de T (F ) sur les invariants ρU(Fq ) (qui est de dimension 1); le copoids de ρ est le caractère η ′
de T (F ) sur les invariants ρU(Fq ) (qui est de dimension 1); par adjonction, ρ est un quotient
GL(n,F )
GL(2,F )
de indB(Fq ) q η et une sous-representation de indB(Fq ) q η ′ . Comme la contragrédiente
GL(n,Fq )
de indB(Fq )
GL(n,Fq )
η est indB(Fq )
η −1 , les poids et copoids de la contragrédiente de ρ sont
2
(η ′ )−1 et η −1 . Explicitement, la représentation irréductible deta ⊗ Symr Fp pour 1 ≤ a ≤
2
q − 1, 0 ≤ r ≤ q − 1 a pour contragrédiente det−r−a ⊗ Symr Fp , et pour poids
diag(1, ?) →?a ,
diag(?, ?−1 ) →?r ;
le poids est le caractère diag(x, z) → xc z d , les deux entiers 1 ≤ c, d ≤ q − 1 étant liés
aux deux entiers a, r par les congruences d ≡ a (mod q − 1), c ≡ a + r (mod q − 1). Les
représentations irréductibles non isomorphes
2
det a ⊗ Symr Fp ,
2
det a+r ⊗ Symq−1−r Fp ,
7
ont des poids conjugués par S2 ; le poids est fixe par S2 si r = 0 ou r = q − 1.
Le nombre de caractères de T (Fq ) modulo l’action naturelle du groupe symétrique S2 ,
i.e. de représentations semi-simples de dimension 2 de F∗q sur Fp , est q(q − 1)/2 comme
en (2.4).
6.3 Nous expliquons comment l’isomorphisme [BL2] prop.8:
H(G, KpZ
F , idFp ) ≃ Fp [T ].
et le résultat crucial [BL1] prop.15, [BL2] prop.18: si E 6= 0 est une sous-représentation
de E(r), alors E I(1) est de codimension finie dans E(r)I(1) , et (4.5) impliquent qu’une
représentation irréductible V de G = GL(2, F ) sur Fp ayant un caractère central est
quotient d’un V (r, λ, χ) (3.2).
Le premier groupe de congruence K(1) des matrices congrues modulo pF à l’identité
dans K = GL(2, OF ), étant un pro-p-groupe, V contient une représentation irréductible de
K triviale sur K(1). On en déduit qu’il existe r, χ comme en (3.2) tel que V est quotient de
E(r, χ) = (χ◦det)⊗E(r)). On se ramène à χ trivial par torsion. Il existe un G-morphisme
non nul
E(r) → indG
Bχ
∗
pour tout caractère χ : B → Fp , trivial sur diag(pF , pF ) et de restriction à T (OF ) le
K(1)
≃
copoids η ′ de Symr (6.1), par adjonction [V4] I.5.7 et l’isomorphisme (indG
B χ)
GL(2,Fq )
indB(Fq )
η ′ . Donc E(r) est réductible; le résultat crucial implique que l’image de E(r)I(1)
dans V I(1) est un sous-H(G, I(1), idFp )-module de dimension finie. Les algèbres de Hecke
o
H(G, I(1), id) et H(G, Ko , indK
I(1) id) sont isomorphes et l’on a une surjection canonique
2
Z
Z
o
indK
I(1) id → Symr Fp . Les isomorphismes Fp [T ] ≃ H(G, KpF , idFp ) ≃ H(G, KpF , Symr )
et (4.5) impliquent alors que V est quotient d’un V (r, λ).
6.4 Structure de H(2, q) ⊗Z Fp et modules simples à droite [V0].
L’algèbre H(2, q) ⊗Z Fp est une somme directe ⊕η1 ⊕η2 H(G, I, η), paramétré par les
représentations semi-simples η1 ⊕ η2 de dimension 2 de F∗q sur Fp (les ”poids modulo S2 ”
(6.1)), où η = η1 ⊗η2 si η1 = η2 et η = (η1 ⊗η2 )⊕(η2 ⊗η1 ) si η1 6= η2 . Le nombre de facteurs
est q(q − 1)/2 comme en (2.4). Les modules simples sont génériquement déterminés par
∗
leur caractère central; pour chaque facteur H(G, I, η), chaque (a, z) ∈ Fp × Fp détermine
un ou deux modules simples “jumeaux”; l’uniformisante pF agit par multiplication par z.
a) Pour η1 = η2 , le facteur H(G, I, η) est isomorphe à la Fp -algèbrede Hecke
du groupe
0 1
0 1
d’Iwahori I; elle est engendrée par les fonctions S, T , égales à 1 sur
,
1 0
pF 0
respectivement, de support une double classe modulo I, vérifiant les relations T 2 S =
ST 2 , S 2 = −S; le centre est engendré par ST + T S + T, T ±2 . Les modules à droite simples
sont génériquement les modules M2 (a, z) de dimension 2, déterminés par leur caractère
central (ST + T S + T, T 2 ) → (a, z), où T, S agissent respectivement par
0 z
1 0
,
8
−1
0
a
0
.
Les modules à droite simples sont
(i) M2 (a, z) si z 6= a2 ,
∗
(ii) les caractères M1 (a, −1), M1 (a, 0) tels que T → a ∈ Fp et S → ε ∈ {−1, 0} sont
respectivement contenus et quotients du module M2 (a, a2 ); ce sont des “jumeaux”.
b) Pour η1 6= η2 , le facteur H(G, I, η) est isomorphe à M (2, R) où R estla Fp -algèbre
0 1
commutative engendrée par Z ±1 , X, Y vérifiant XY = 0. En effet,
normalise I
pF 0
G
et permute η1 ⊗ η2 et η2 ⊗ η1 , donc induit un isomorphisme indG
I (η1 ⊗ η2 ) ≃ indI (η2 ⊗ η1 ).
L’isomorphisme R ≃ H(G, I, η1 ⊗ η2 ) envoie Z ±1 ,X, Y sur
les
fonctions
supportées sur
pF 0
1 0
une doubles classe modulo I et égales à 1 sur p±1
,
, respectivement.
F ,
0 1
0 pF
L’automorphisme
de R déduit de l’isomorphisme H(G, I, η1 ⊗ η2 ) ≃ H(G, I, η2 ⊗ η1 ) induit
0 1
par
fixe Z et permute X, Y .
pF 0
Les modules à droite simples M2 (xa, ya, z) de M (2, R) sont de dimension 2, déterminés
∗
par leur caractère central X → xa, Y → ya, Z → z, pour tout a ∈ Fp , z ∈ Fp et (x, y) =
(1, 0) ou (0, 1).
Si a 6= 0, les modules simples M2 (a, 0, z), M2(0, a, z) sont “jumeaux” ; ils n’ont pas le
même caractère central. Si a = 0, on note M2 (0, z) = M2 (0, 0, z).
L’isomorphisme R ≃ H(G, I, η2 ⊗ η1 ) aurait permuté les jumeaux. Comme les caractères η1 , η2 jouent des rôles symétriques, il faut regrouper les “jumeaux” si l’on veut
rester canonique.
On déduit de a), b):
Les modules simples supersinguliers de H(2, q) ⊗Z Fp sont les modules M2 (0, z) pour
∗
chacun des q(q − 1)/2 facteurs de H(2, q) ⊗Z Fp , où z ∈ Fp est l’action de pF . On notera
Mη,z le module simple supersingulier H(2, q) ⊗Z Fp de poids η modulo S2 où pF agit par
z.
6.5 On donne les I(1)-invariants des représentations indG
B χ, Sp, V (r, χ) de G sur Fp
introduites en (3.2), en utilisant la classification des H(2, q) ⊗Z Fp -modules simples (6.4).
∗
a) Soit χ : B → Fp un caractère de B défini par un caractère χ1 ⊗ χ2 du groupe
diagonal. On pose
a−1 = χ1 (pF ), z −1 = χ1 (pF )χ2 (pF ), η? = χ? |OF∗ .
I(1)
est de dimension 2, s’identifie à un module
Le H(2, q) ⊗Z Fp -module à droite (indG
B χ)
du facteur associé à η1 ⊕ η2 égal à M2 (a, z) si η1 = η2 et à M2 (a, 0, z) si η1 6= η2 pour le
choix de l’ordre (η1 , η2 ). On a
I(1)
I(1)
M2 (a, 0, z) ⊕ M2 (0, a, z) = (indG
⊕ (indG
B χ1 ⊗ χ2 )
B χ2 ⊗ χ1 )
lorsque η1 6= η2 .
b) On a 1I = M1 (1, 0) et SpI = M1 (1, −1) [BL1] lemma 26.
c) L’irréductibilité des représentations V (r) = E(r)/T E(r) de GL(2, Qp ) , avec 0 ≤
r ≤ p − 1, se montre ainsi. La représentation V (r) étant engendrée par V (r)I(1) , il suffit
9
de montrer que V (r)I(1) est un H(2, p)-module simple. Breuil montre [Br] 4.1.2, 4.1.3:
V (0) ≃ V (p − 1).
puis pour 0 ≤ r ≤ p − 2, que l’image par l’application E(r)I(1) → V (r)I(1) des fonctions
A, B ∈ E(r)I(1) concentrées sur une classe de GL(2, OF )pZ
F , avec
1
0
r
= Y r,
A(id) = X , B
0 p−1
F
forment une base de V (r)I(1) [Br1 3.2.4, 4.1.4]; il est facile d’en déduire que le H(2, Qp ) ⊗Z
Fp -module V (r)I(1) est le module simple M2 (0, 1) du facteur correspondant à ω r ⊕ id.
∗
On tord par le caractère χ = ω a µλ avec 0 ≤ a ≤ p − 2, λ ∈ Fp , et l’on voit que le
H(2, Qp ) ⊗Z Fp -module V (r, χ)I(1) est le module M2 (0, λ2 ) du facteur correspondant à
ω a+r ⊕ ω a .
6.6 La décomposition des induites paraboliques indG
B χ (3.2), l’irréductibilité des
V (r) et les isomorphismes entre les V (r, χ) si F = Qp (3.3), se déduisent de (6.3), (6.5),
en appliquant le critère d’irréductibilité (4.5). On obtient aussi les propriétés suivantes du
foncteur des I(1)-invariants:
(i) Le foncteur π → π I(1) définit une bijection des représentations irréductibles non
supercuspidales de GL(2, F ) sur Fp , sur les H(2, p) ⊗Z Fp -modules simples non supersinguliers.
(ii) Le foncteur π → π I(1) définit une bijection des représentations irréductibles de
GL(2, Qp ) sur Fp ayant un caractère central sur les H(2, p) ⊗Z Fp -modules simples.
(iii) Toute représentation irréductible de GL(2, Qp ) sur Fp où pF opère trivialement
est admissible.
6.7 Pour G = GL(2, F )/pZ
F et p 6= 2, Rachel Ollivier [O] a montré que la bijection
(6.6 (iii)) provient d’une équivalence de catégories:
(i) Le module universel Fp [I\G] d’un Iwahori I est projectif sur l’algèbre de ses Fp [G]endomorphismes.
Le module universel Fp [I(1)\G] d’un pro-p-Iwahori I(1) est plat sur l’algèbre H(2, q)⊗Z
Fp de ses Fp [G]-endomorphismes, si et seulement si q = p.
(ii) Lorsque F = Qp et p 6= 2, la catégorie des représentations π de G sur Fp
engendrées par π I(1) est abélienne et équivalente à celle des H(2, p) ⊗Z Fp -modules à
droite sur lesquels p agit trivialement, par le foncteur des I(1)-invariants ?I(1) d’inverse
? ⊗H(2,p)⊗Z Fp Fp [I(1)\G].
(ii) est faux lorsque q 6= p ou lorsque p 6= 2 et F = Fp ((t)) est le corps des séries
de Laurent en la variable t à coefficients dans Fp , car l’espace des I(1)-invariants de
M ⊗H(2,p)⊗Z Fp Fp [I(1)\G] est de dimension infinie lorsque M est supersingulier.
7 Nous expliquons la construction par Paskunas [Pa] d’une représentation irréductible
admissible ayant un caractère central de G = GL(2, F ) sur Fp , telle que le socle du
H(2, q) ⊗Z Fp -module des vecteurs I(1)-invariants soit un H(2, q) ⊗Z Fp -module simple
supersingulier quelconque (6.4). Une telle représentation est supersingulière (3.2), par
(6.6)(i).
10
7.1 La construction part du principe que se donner une action de G sur un groupe
abélien V est équivalent à se donner
sur V de Ko = pZ
F K où K = GL(2, OF ),
une action
0 1
Z
et une action de K1 = pZ
qui coincident sur Ko ∩ K1 = pZ
F I ∪ pF I
F I, où I le
pF 0
sous-groupe d’Iwahori supérieur. Ceci se démontre en utilisant l’arbre X de P GL(2, F ).
Les groupes Ko , K1 sont les stabilisateurs dans GL(2, F ) d’un sommet et d’une arête
contenant ce sommet; les actions compatibles de Ko et de K1 sur V définissent un système
de coefficients V sur X qui est G-equivariant, d’homologie Ho (X, V) est isomorphe à V ; la
représentation de G sur Ho (X, V) prolonge les actions de Ko et de K1 [Pa] 5.3.5.
7.2 Soit Mη,z le H(2, q) ⊗Z Fp -module à droite simple supersingulier, de poids η
modulo S2 où pF agit par z (6.3). Soit ρη la somme directe des deux représentations
irréductibles de GL(2, Fq ) de poids η modulo S2 (6.2), vue comme une représentation
de K triviale sur K(1); on note ρη,z l’action étendue à Ko en faisant agir pF par z; les
I(1)
H(2, q) ⊗Z Fp -modules Mη,z et ρη,z sont isomorphes. Soit Inj ρη l’enveloppe injective de
la représentation ρη de K; on note Inj ρη,z l’action étendue à Ko en faisant agir pF par z.
Le point crucial est [Pa] 6.4 page 76:
(i) Inj ρη,z est munie d’une action de K1 compatible avec celle de Ko , donc d’une
action de G (7.1), telle que
I(1)
(ii) l’inclusion ρη,z ⊂ (Inj ρη,z )I(1) est H(2, q) ⊗Z Fp -équivariante.
La représentation de G recherchée est la représentation πη,z engendrée par ρη,z dans
la représentation Inj ρη,z de G (i). Elle est irréductible par l’argument suivant. Si π ′ est
une sous-représentation non nulle de πη,z , le socle de π ′ |K est non nul et contenu dans le
I(1)
socle ρη,z de Inj ρη,z |K ; la simplicité de ρη,z comme H(2, q) ⊗Z Fp -module déduite de (ii),
I(1)
I(1)
implique ρη,z ⊂ (π ′ )I(1) ; comme ρη,z et πη,z sont engendrés par ρη,z on déduit π ′ = πη,z
donc πη,z est irréductible.
I(1)
Le socle du H(2, q) ⊗Z Fp -module πη,z est simple, isomorphe à Mη,z ; on ne sait pas
I(1)
si πη,z est égal à son socle. La représentation Inj ρη,z de G est admissible (4.2), donc πη,z
est admissible.
7.3 Paskunas [Pa] 6.2 construit un autre système de coefficients G-équivariant Vη,z
sur l’arbre tel que les I(1)-invariants de tout quotient irréductible de la représentation de
I(1)
G sur Ho (X, Vη,z ) contiennent Mη,z ; il est associé à une action de K1 sur ρη telle que
I(1)
l’inclusion ρη → ρη soit Ko ∩ K1 -équivariante; la représentation de K1 est isomorphe à
1
indK
η , où η est relevé en un caractère ηz de IpZ
F sur lequel pF agit par z.
IpZ z
F
Toute représentation irréductible π de G sur Fp telle que π I(1) = Mη,z , est quotient
de Ho (X, Vη,z ). Si p = q ou si le poids η est fixe par S2 , l’inclusion Mη,z ⊂ π I(1) suffit
pour que π soit quotient de Ho (X, Vη,z ) [Pa] Cor.6.8, 6.10.
8 Nous montrons que la partie lisse de la contragrédiente d’une Fp -représentation
irréductible lisse de GL(2, F ) ayant un caractère central et de dimension infinie, est nulle.
∗
8.1 Une forme linéaire lisse sur indG
B χ est nulle, pour tout caractère χ : B → Fp .
Preuve. Pour tout entier n ≥ 1, on note K(n) le n-ième sous-groupe de congruence
de GL(2, OF ).
11
Le caractère χ est trivial sur le pro-p-groupe gK(n)g −1 ∩ B, aussi pour tout g ∈ G, il
existe une fonction fg,n : G → Fp de support BgK(n) égale à χ(b) sur bgK(n) pour tout
b ∈ B. Comme K(n) normalise K(n + 1), on a fgh,n+1 = h−1 fg,n+1 pour tout h ∈ K(n)
et
X
fg,n =
fgh,n+1 pour h ∈ (g −1 Bg ∩ K(n))K(n + 1)\K(n).
h
Une forme linéaire lisse L sur indG
B χ est fixée par un groupe de congruence assez petit. Il
existe un entier r ≥ 1 tel que L(h−1 fP
g,n ) = L(fg,n ) pour tout h ∈ K(n) et pour tout n ≥ r
et g ∈ G. On en déduit L(fg,n ) = h L(h−1 fg,n+1 ) = 0, car les pro-p-groupes K(n) et
(g −1 Bg ∩ K(n))K(n + 1) sont toujours distincts. Donc L = 0.
8.2 [L1] [L2] Une forme linéaire lisse sur E(0)/T E(0) (3.2) est nulle.
Preuve. Soit Ko = pZ
F GL(2, OF ). L’ensemble Xo des sommets de l’arbre de P GL(2, F )
est en bijection avec GL(2, F )/Ko . Une forme linéaire L sur E(0)/T E(0) s’identifie à une
fonction f : Xo → Fp de somme nulle sur les voisins de chaque sommet.
On note xo le sommet fixe par Ko et C(?) l’ensemble des sommets à distance ? de xo ,
pour tout entier ? ≥ 1; le sous-groupe de congruence K(?) fixe chaque sommet de C(?) et
agit transitivement sur les sommets de C(? + 1) se projetant sur le même sommet de C(?);
tout sommet x ∈ C(?) est voisin d’un unique sommet x− ∈ C(? − 1) (avec C(0) = xo ) et
de q sommets x1 , . . . , xq ∈ C(? + 1).
Si L est lisse, il existe un entier r ≥ 1 tel que L est fixe par K(r); alors pour tout
x ∈ C(n + 1), on a L(x− ) + qL(x1 ) = L(x− ) = 0; donc L est nulle sur C(n) pour n ≥ r.
Donc le support de L est fini. Le même argument montre que si L est nulle sur C(? + 1),
alors L est nulle sur C(?) pour tout ? ≥ 0, car pour y ∈ C(?) il existe x ∈ C(? + 1) avec
x− = y. Donc L = 0.
8.3 Il n’y a pas de forme linéaire lisse non nulle sur une représentation irréductible
de dimension infinie de GL(2, F ) sur Fp ayant un caractère central.
Preuve. Pour une série principale ou une représentation spéciale Sp par (8.1) et (3.2).
Pour une supersingulière par (3.2), (8.2) et sa généralisation que nous admettons: pour
0 ≤ r ≤ q − 1, une forme linéaire lisse sur E(r)/T E(r) (3.2) est nulle (je ne l’ai pas vérifié,
mais Ron Livné dit l’avoir fait).
8.4 Soit π une représentation irréductible de GL(2, F ) sur Fp de caractère central
ωπ . Notons
π ∗ = π ⊗ (ωπ−1 ◦ det).
Avec les notations de (3.2), on a
Sp∗ = Sp,
G
−1
−1
∗
(indG
B (χ1 ⊗ χ2 )) = indB (χ2 ⊗ χ1 ).
Lorsque F = Qp , on a V (r, χ)∗ = V (r, ω −r χ−1 ).
Pour π une représentation irréductible de GL(2, F ) sur Fp , la contragrédiente de π
est isomorphe à π ∗ [Bu] 4.2.2.
8.5 Lorsque F = Qp , le dual de Cartier d’une représentation σ de Gal(Qp /Qp ) est
son dual usuel tordu par le caractère ω (2.4). La correspondance σ ↔ π de Breuil (3.4)
envoie le dual de Cartier de σ sur π ∗ et le déterminant de σ sur le caractère ωπ ω produit
du caractère central de π par ω.
12
9
Remarques finales. Pour F 6= Qp , on s’attend à ce qu’il existe d’autres Fp représentations irréductibles supersingulières de GL(2, F ) que celles construites par Paskunas. Nous avons essayé de dégager les principes généraux des preuves de [BL], [Br], [Pa],
dans le but d’une généralisation éventuelle. Certains résultats présentés ici sont déja
étendus à GL(3) [O], ou à GL(n) ou même à un groupe réductif général.
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[L2] Livne Ron, lettre 31 oct 2000.
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13
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14