Memento diagonalisation par Pierre Veuillez f endomorphisme associé à M dans une base. La matrice dépend de la base ! Lien entre f et sa matrice Pour trouver M; calculer les images par f des vecteurs de B, puis leurs coordonnées dans B: Quand on a la formule de f; écrire, pour tout vecteur u; les coordonnées de f (u) sous la forme M atrice U où U sont les coordonnées de u. On prouve ainsi que f est l’application linéaire associée à M atrice donc qu’elle est linéaire. Quand on a la matrice M de f; on a les coordonnées de f (u) par M U où U contient les coordonnées de u: Quand on a la matrice de f dans une base B et dans une base C; on en déduit la relation : matB (f ) = matB (C) matC (f ) matC (B) (Il est rare que l’on utilise cette relation pour trouver la matrice de f ) Pour montrer que est valeur propre Dé…nition :chercher ou donner directement u 6= 0 tel que f (u) = u ou (f u 2 ker (f Id) chercher et trouver U colonne non nulle telle que M U = U ou (M Montrer que f Pour montrer que Id n’est pas bijective ou montrer que M Id) (u) = 0 ou encore I) U = 0 I n’est pas inversible n’est pas valeur propre Si f (u) = u alors u = 0 M I est inversible la somme des dimensions des sous espaces propres est supérieure à la taille de la matrice. une relation polynomiale. Pour trouver les valeurs propres Utiliser une relation polynomiale pour trouver les valeurs propres possibles puis tester ces valeurs. Pour u un vecteur - ou U une colonne - résoudre f (u) = u ou encore (f trouve des solutions autres que u = 0 alors est valeur propre. Id) (u) = 0 et si on Donner des vecteurs propres associé à des valeurs propres, et prouver qu’il n’y en a pas d’autres (dimension) Déterminer les valeurs de pour lesquelles la matrice M I n’est pas inversible, en appliquant la méthode de Gauss, pour obtenir une matrice triangulaire qui sera inversible si et seulement si aucun terme de la diagonale n’est nul. Si la matrice est triangulaire, les valeurs propres sont les termes de sa diagonale. Pour montrer qu’une matrice est diagonalisable M est symétrique (mais ne donne ni les valeurs propres ni la matrice de passage) Ecrire M = P DP 1 (à partir d’une relation entre matrices) trouver une base de vecteurs propres de f ou de colonnes propres pour M: il su¢ t (non nécessaire) que M ait n valeurs propres distinctes montrer que la somme des dimensions des sous espaces propres est égale à la taille de la matrice. (la concaténation des bases des sous espaces propres forme alors une base de l’espace) Pour montrer qu’une matrice n’est pas diagonalisable S’il n’y a qu’une valeur propre M = P IP 1 = I possible (relation polynomiale), raisonnement par l’absurde : Déterminer les sous espaces propres et la somme des dimensions n’est pas la taille de la matrice. Pour montrer qu’une matrice est inversible ou que f est bijectif (isomorphisme) : il faut que les dimensions des espaces de départ et d’arrivée soient les mêmes. factoriser I = M N et N M = I (Cela s’obtient souvent à partir de la factorisation de I dans une relation polynomiale) montrer que la famille de ses colonnes est libre + taille. Remarquer que M est une matrice de passage (matrice des coordonnées des vecteurs d’une base dans une autre base) montrer que ker (f ) = f0g ou que 0 n’est pas valeur propre. Gauss ou M X = Y () X = N Y (par résolution du système) Pour montrer que l’on a une base libre et génératrice. Dé…nition : e1 ; : : : ; en 2 E et pour tout u 2 E il existe des uniques (les coordonnées) 1::: tels que u = 1 e1 + + n en libre + cardinal ou (plus rarement) génératrice + cardinal. concaténation de familles libres de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes + cardinal vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes + cardinal échelonnée + cardinal bases canoniques. Pour trouver une base Quand l’ensemble est donné sous forme paramètré, écrire Vect (: : : ) puis prouver que la famille est libre. En résolvant un système puis en paramètrant les solutions base de l’image : déterminer la dimension n de l’image grâce à la dimension du noyau puis prendre l’image de n vecteurs (des vecteurs de la base) images qui, avec un peu de chance, formeront une famille libre.