Chapitre n°8 : « Parallélogrammes particuliers »

5ème4
2009-2010
Chapitre n°8 : « Parallélogrammes particuliers »
I. Rappels
Définition
Un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses côtés opposés parallèles.
Construction au compas
Propriétés
Dans un parallélogramme :
• les côtés opposés sont de même longueur ;
• les diagonales se coupent en leur milieu ;
• les angles opposés sont de même mesure ;
• les angles consécutifs sont supplémentaires.
II. Rectangle
Définition
Un rectangle est un quadrilatère qui possède quatre angles droits.
Illustration
On remarque qu'il a suffit de faire trois angles droits.
5ème4
2009-2010
Propriétés
On a les propriétés communes à tous les parallélogrammes :
• les côtés opposés sont de même longueur ; les diagonales se coupent en leur milieu.
Et la propriété qu'on a seulement pour les rectangles :
• les diagonales sont de même longueur.
Exemple
JHYU est un rectangle de centre G . Fais une figure à main levée et indique toutes les
longueurs égales. Code la figure.
On a :
• JH =UY ; JU =HY ;
• GJ=GH =GY =GU ;
• JY =UH .
Propriétés réciproques (en partant du parallélogramme)
• Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur alors c'est un rectangle.
• Si un parallélogramme possède un angle droit alors c'est un rectangle.
Exemple 1
On considère le parallélogramme IJKL codé ci-contre.
Que peut- on dire ? Démontre-le.
On peut dire que IJKL est en fait un rectangle. En
effet, on sait que si un parallélogramme a ses
diagonales de même longueur alors c'est un rectangle.
Or sur la figure, le codage indique que
OI =OJ =OK =OL , c'est à dire que LJ = IK .
D'où la justification.
Exemple 2
On suppose que THGY est un parallélogramme tel que

THG=90 ° .
Fais une figure à main levée. Que peut-on dire ?
Démontre-le !
5ème4
2009-2010
Rédiger une démonstration (méthode à connaître !)
Il y a trois points à respecter dans toute démonstration.
• 1ère étape : « On donne la propriété, la définition ou un théorème utile pour
répondre au problème »
Si un parallélogramme possède un angle droit alors c'est un rectangle.
• 2ème étape : « On donne les éléments de l'énoncé ou du codage qui permettent
d'utiliser la propriété donnée avant ».
D'après l'énoncé, on sait que THGY est un parallélogramme. D'après le codage, on
THG=90° .
sait que 
• 3ème étape : « On conclut »
Donc THGY est un rectangle.
Axes et centre de symétries
• Il y a deux axes de symétrie :
ils passent par les milieux des
côtés (droites en rouge)
• Il y a un centre de symétrie :
c'est le point I , centre du
rectangle.
III. Losange
Définition
Un losange est un quadrilatère qui a ses quatre côtés de même longueur.
Illustration
On commence par tracer deux demi-droites de même
origine.
On choisit un écartement à l'aide du compas. Cela
permet de construire quatre côtés de même longueur.
5ème4
2009-2010
Propriétés
Les propriétés communes aux parallélogrammes :
• les côtés opposés sont parallèles ; les diagonales se coupent en leur milieu.
La propriété qui est propre aux losanges :
• les diagonales sont perpendiculaires.
Exemple
On considère un losange UHYT . Fais une figure à main levée. Code la figure puis donne les
longueurs égales et les droites perpendiculaires.
U
H
T
On a :
Y
UT =TY =YH =UH ; UO=OY ; OT =OH
UY  est perpendiculaire à TH 
Propriété réciproque (en partant du parallélogramme)
• Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires alors c'est un losange.
• Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur alors c'est un
losange.
5ème4
2009-2010
Exemple 1 (démonstration)
On considère un parallélogramme UJHY tel que JH = HY . Que remarques-tu ?
Démontre-le ?
U
J
Y
H
• On remarque que UJHY est un losange.
• On sait que UJHY est un parallélogramme et que les côtés consécutifs [ JH ] et
[ HY ] sont de la même longueur ( JH = HY ).
• Or, si un parallélogramme possède deux côtés consécutifs de même longueur alors
c'est un losange.
• D'où le résultat !
Exemple 2
GOH =90° . Fais
On considère un parallélogramme GHJK de centre O . On suppose que 
une figure à main levée. Que peux-tu dire ? Démontre-le.
G
H
O
K
J
GOH =90 ° ).
GHJK est un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires ( 
Si un parallélogramme a ses diagonales qui sont perpendiculaires alors c'est un losange.
Donc GHJK est un losange.
Axes et centre de symétries
Si ABCD est un losange de centre O alors :
•  BD et  AC  sont des axes de symétrie ;
• O est un centre de symétrie.
5ème4
2009-2010
IV. Carré
Définition
Un carré est un quadrilatère qui possède quatre côtés de même longueur et quatre angles
droits.
Remarque
Un carré est donc à la fois un rectangle et un losange. On va donc trouver toutes les propriétés
vues précédemment.
Propriétés
• Les côtés opposés sont parallèles.
• Les diagonales se coupent en leur milieu, sont de même longueur et sont
perpendiculaires.
Figure codée
Propriétés réciproques
• Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires et de même longueur alors
c'est un carré.
• Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs perpendiculaires et de même
longueur alors c'est un carré.
Pour lundi 22/03
• n° 19 p 231
Pour vendredi 26/03
Contrôle (1h) à réussir !