Chapitre 9 La quantité de mouvement

Chapitre 9 La quantité de mouvement
9.0 Introduction
Nous avons vu au laboratoire lors d’une collision entre deux
disques que la quantité de mouvement des deux disques demeure
constante avant et après la collision en absence de forces extérieures.
Ce principe de conservation est plus général que celui de la
conservation de l’énergie mécanique , puisque que la collision soit
élastique ou non, la quantité de mouvement est conservée alors
que dans une collision élastique seule l’énergie cinétique est
constante.
Dans le laboratoire sur le pendule balistique nous avons utilisé le
principe de conservation de la quantité de mouvement pour
déterminer la vitesse de la bille avant la collision.
C’est donc un principe important et il est souvent utilisé pour prédire
des résultats de plusieurs phénomènes ou expériences
1
Chapitre 9 La quantité de mouvement
9.1 La quantité de mouvement.
Voir votre résumé
Pour mieux comprendre les collisions effectuées entre
différents objets, Newton a défini la quantité de
mouvement d’objet en mouvement par la relation
suivante vers 1665


p = mv
kgm/s
Nous avons vu au laboratoire que dans un système isolé,
en absence de forces externes, la quantité de mouvement
totale d’un système (deux disques) reste constante


'
p1 + p 2 = p1 +
'
p 2 = constante
p2
p’2
P’1
p1
2
Chapitre 9 La quantité de mouvement
9.1 La quantité de mouvement
Voir votre résumé
L’énoncé moderne de la deuxième loi de Newton utilisable dans tous les
domaines de la physique :
 dp d (mv )
∑ F = dt = dt
Lorsque m =constante,
on obtient le cas
particulier
∑



dv
F =m
= ma
dt
Le principe de conservation de la quantité de mouvement est en fait
une conséquence de la troisième loi de Newton :
L’action et la réaction sont de grandeurs égales mais de sens
contraire. Revoir le laboratoire


∆p1 = −∆p2
3
Chapitre 9 La quantité de mouvement
Voir votre résumé
9.2 Principe de conservation de la quantité de mouvement
En conclusion, pour un système
de particules en interaction , si
On peut conclure, jusqu'à
preuve du contraire que


dp
=0
∑ Fext =
dt

Ptotale =
∑

pi = constante
Ce ne sont pas les vitesses qui restent constantes après une
collision mais la quantité de mouvement.
Ce principe très simple est essentiel pour analyser le
mouvement des objets qui entrent en collision dans un système
isolé. On peut même l’appliquer également dans les cas de
collisions de courtes durées où les forces internes (explosions)
sont beaucoup plus grandes que les forces externes.
4
Voir votre résumé et la feuille
d’enregistrement
9.2 Types de collision
Suite à leurs nombreuses expériences, les physiciens ont
constaté que les différentes collisions peuvent être séparées en
trois catégories:
•

1) élastiques ∆p = 0
∆K = 0
K' − K = 0
Autrement dit, l’énergie disponible ED est toujours la
même, elle n’a pas été utilisée
ED = K T − K CM = K T = K T
'
C’est dans une collision frontale entre deux objets identiques que ED sera la
plus grande.
•
2)inélastiques

∆p = 0
∆K ≠ 0
Autrement dit, une partie de l’énergie disponible est
perdue ou a été utilisée pour produire une
déformation.
ED = K T − K CM = K T ≠ K T
'
5
9.2 Types de collision

• 3 ) parfaitement inélastiques (objets soudés ∆p = 0
après)
∆K ≠ 0
Autrement dit, toute l’énergie disponible est transformée en
chaleur ou a été utilisée pour produire une déformation ou autre
effet
'
ED = K T − K CM = K T
KT =0
C’est dans une collision frontale entre deux objets identiques que ED
sera la plus grande.
Le principe de conservation de la quantité de mouvement
s’applique dans les trois cas, en autant que les forces
extérieures soient négligeables ou que l’étude des collisions
soient de courtes durées. Autrement dit si l’on considère que les
instants immédiatement avant et après la collision.
Par contre, le principe de conservation de l’énergie cinétique
ne s’applique qu’aux collisions élastiques.
6
9.2 Types de collision
La collision que vous avez enregistrée au laboratoire ,
correspond à quel type de collision?
Dans le repère du laboratoire RL, vous avez à comparer
les quantités de mouvement et les énergies cinétiques totales des
deux disques avant et après la collision.
La collision semblait inélastique à cause du frottement et de la
rotation surtout. Aussi un peu d’énergie transformée en énergie
thermique et sonore.
Regardez les exemples, particulièrement 9.1 et 9.4 .
Dans ces exemples, on cherche à évaluer les
différentes vitesses après la collision.
Analysons maintenant brièvement les différents types de collisions
7
9.3 Collision élastique à une dimension
Très peu utilisées en pratique, surtout présente en physique
atomique.
LHC
Soit la collision élastique suivante :
u2 = 0
u1
m1
m2
x
AVANT
Que va-t-il se passer si m1 = m2 ?
Hyperphysics
Consevation of linear
momentum
8
9.3 Collision élastique à une dimension
Hyperphysics
Consevation of linear
momentum
Prédiction des vitesses pour une collision élastique avec m1 ≠ m2
u2 = 0
u1
m1
m2
x
AVANT
v1
v2
m1
m2
x
APRÈS
Problème : Je cherche les vitesses « v1 »
collision.
et « v2 » après la
9
9.3 Collision élastique à une dimension
Soit la collision élastique suivante :
u1
u2 = 0
m1
v1
m2
v2
m1
x
m2
x
Problème : Je cherche les vitesses « v1 » et « v2 » après la
collision.
Solution possible: Pour une collision élastique, les principes de
conservation de la quantité de mouvement et de l’énergie cinétique
nous donnent
p1 + p 2 = p + p
'
1
K1 + K 2 = K + K
'
1
'
2
'
2
Éq. 1
Éq. 2
10
9.3 Collision élastique à une dimension
Solution possible: Pour une collision élastique, les principes de
conservation de la quantité de mouvement et de l’énergie cinétique
nous donnent
p1 + p 2 = p + p
'
1
K1 + K 2 = K + K
'
1
'
2
Éq. 1
'
2
Éq. 2
m1u1 + m2 u 2 = m1v1 + m2 v2
m1u
2
2
2
2
1 1
m v m2 v
m2 u
+
=
+
2
2
2
2
1
Éq. 3
2
2
Éq. 4
11
9.3 Collision élastique à une dimension
Solution générale
Nous avons deux équations à deux inconnues
m1u1 + m2 u 2 = m1v1 + m2 v2
m1u
2
2
2
2
1 1
Éq 3
m v m2 v
m2 u
+
=
+
2
2
2
2
1
2
2
Éq 4
On peut écrire éq 4.
m1u + m2 u = m v + m2 v
2
1
2
2
2
1 1
2
2
Éq 5
12
9.3 Collision élastique à une dimension
On peut écrire
m1u + m2 u = m v + m2 v
2
1
2
1 1
2
2
m1u1 + m2 u 2 = m1v1 + m2 v2
On peut transformer
Par
2
2
m1 (u1 − v1 ) = m2 (v2 − u 2 )
Éq 1
Éq 6
La même chose avec les énergie cinétiques
m1 (u − v ) = m2 (v − u )
2
1
2
1
2
2
2
2
m1 (u1 − v1 )(u1 + v1 ) = m2 (v2 − u 2 )(v2 + u 2 )
Éq 7
Éq 8
13
9.3 Collision élastique à une dimension
En divisant l’éq. 8 par l’éq 6
m1 (u1 − v1 )(u1 + v1 ) = m2 (v2 − u 2 )(v2 + u 2 )
m1 (u1 − v1 ) = m2 (v2 − u 2 )
On obtient
u1 + v1 = u 2 + v2
Remarque intéressante, la somme des vitesses avant et après la
collision est la même pour chaque particule
Autrement dit
v2 − v1 = −(u 2 − u1 )
On constate donc que dans une collision élastique à
une dimension, la vitesse relative des objets garde un
module constant mais son sens est inversé
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9.3 Collision élastique à une dimension
À partir de
On obtient
En remplaçant dans
l’éq.
On obtient pour
les vitesses après
la collision
Résultat
probable
v2 − v1 = −(u 2 − u1 )
v2 = v1 − u 2 + u1
m1 (u1 − v1 ) = m2 (v2 − u 2 )
(m1 − m2 )u1 + 2m2 u 2
v1 =
m1 + m2
2m1u1 + (m2 − m1 )u 2
v2 =
m1 + m2
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9.3 Collision élastique à une dimension
Voir dans le manuel les cas suivants :
A)
Lorsque les masses sont égales m1 = m2 = m et
(m1 − m2 )u1 + 2m2 u 2
v1 =
m1 + m2
v1 = u 2
u2 =0
2m1u1 + (m2 − m1 )u 2
v2 =
m1 + m2
v 2 = u1
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9.3 Collision élastique à une dimension
Exemple : Voir le manuel les exemples suivants
B) Lorsque u2 = 0 et m1 est différente de m2
(m1 − m2 )u1 + 2m2 u 2
v1 =
m1 + m2
(m1 − m2 )u1
v1 =
m1 + m2
Voir exemple 9.6
2m1u1 + (m2 − m1 )u 2
v2 =
m1 + m2
2m1u1
v2 =
m1 + m2
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2) Collision inélastique

∆p = 0
∆K ≠ 0
Lors d’une collision inélastique, l’énergie cinétique totale
des objets varie.
Une partie de énergie cinétique initiale est transformée en énergie
thermique, potentielle, sonore, lumineuse ou autres. En
général, elles sont difficiles à analyser en détails
Par exemple, la collision entre deux disques d’acier est
accompagnée d’un bruit: une partie de l’énergie cinétique
est transformée en énergie sonore et la collision est
inélastique
Une collision entre deux automobiles est inélastique suite
à la déformation des véhicules.
Une partie de l’énergie cinétique disponible est transformée.
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3) Collision parfaitement inélastique

∆p = 0
∆K ≠ 0
Lors d’une collision parfaitement inélastique, les deux objets restent
liés ensemble après la collision. En général, l’énergie cinétique varie
énormément. Elles sont faciles à analyser puisqu’ après la collision
les objets ont une vitesse commune.
Ex: Pendule balistique
Toute l’énergie cinétique disponible est transformée sous une autre forme
Soit la collision parfaitement inélastique suivante :
u1
u2
m1
m2
x
V
AVANT
APRÈS
Selon le principe
de conservation
nous avons
( m 1 + m2 )
x
m1u1 + m2 u 2 = (m1 + m2 )V
Où V est la vitesse commune que l’on cherche
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Collision parfaitement inélastique
Soit la collision parfaitement inélastique suivante :
u1
m1
Selon le principe
de conservation
nous avons
u2
m2
V
APRÈS
x
( m 1 + m2 )
x
m1u1 + m2 u 2 = (m1 + m2 )V
Alors la vitesse commune sera
Pour l’énergie
cinétique
AVANT
m1u1 + m 2 u 2
V=
(m1 + m 2 )
m1u12 m2u22 (m1 + m2 )V 2
+
≠
2
2
2
Presque toute l’énergie cinétique initiale est perdue en chaleur
Voir l’exemple 9.5
Pendule balistique
KAVANT
>>
KAPRES
20
9.4 Impulsion
Information
Lors d’une collision, nous pouvons dire que les objets reçoivent
une impulsion plus ou moins forte.
F12
F21
L’impulsion à laquelle est soumise une particule est définie comme étant la
variation de sa quantité de mouvement

  
I = ∆p = p f - p i
kgm/s
Durant une collision, les objets subissent donc la même impulsion.
Le terme impulsion fait souvent référence à une interaction de
courte durée.
21
9.4 Impulsion
F12
F21
Selon la version moderne de la deuxième loi de Newton,
la force d’Impact exercée sur un objet est donnée par
 dp
F=
dt
N
Ou encore


∆p
Fmoy =
∆t
N
Par conséquent, une impulsion I pourra également être définie
comme le produit de la force appliquée par le temps de
l’interaction.
I = Fmoy ∆t
Ns
En général le temps d’interaction est court et la force moyenne est
grande.
22
9.4 Impulsion
Dans les cas d’une force variable comme cela se produit
dans plusieurs sports, nous aurions

 t 
I = ∆p = ∫ Fdt
2
F
kgm/s
t1
N
I = aire sous la courbe
Mêmes effets sur
p
T s
Les objets ont subi la même impulsion les aires sous les
courbes sont les mêmes .
23
Chapitre 9 La quantité de mouvement
9.5 Comparaison entre la quantité de mouvement et l’énergie
cinétique
a) La conservation de la quantité de mouvement est une principe
valable en général tandis que la conservation de l’énergie
cinétique n’est vraie que dans le cas particulier des collisions
élastiques.
b) La quantité de mouvement est une quantité vectorielle tandis
que l’énergie cinétique est une quantité scalaire.
c) On peut par conséquent évaluer la force d’impact de
deux façons
∆p
Fmoy =
∆t
ou
∆p = Fmoy ∆t
Exemple: Hyperphysics
∆K
Fmoy =
∆x
ou
∆K = Fmoy ∆x
Conservation momentum Impulse force
24
Chapitre 9 La quantité de mouvement
9.6 Les collisions élastiques à deux dimensions
Ce type de collisions est fréquent en physique atomique et nucléaire
et sous certaines conditions dans le jeu de billard.
Voir l’exemple 9.9
avant
u1
v1
après
Prédictions
θ1
θ2
v2
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Chapitre 9 La quantité de mouvement
En général, u2 = 0 , on connaît u1 et on connaît
également soit θ1 ou θ2
Dans le cas d’une collision élastique, on applique les principes de
conservation
Selon x
Selon y
m1u1 = m1v1 cos θ1 + m2 v2 cos θ 2
0 = m1v1 sin θ1 − m2 v2 sin θ 2
1
1
1
2
2
m1u1 = m1v + m2 v 2
2
2
2
1
On cherche v1 et
2
v2
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Chapitre 9 La quantité de mouvement
Exemple 1
u1
Si , M= 1 kg
u1 = 5 m/s
u2 = 0
prédictions
avant
v1
après
Remarque
intéressante:
θ1
θ2
Si m1 = m2
θ1 + θ2 = 90ο
v2
Trouvez
v1 et
v2
et
θ2
alors
si
θ1 = 37 o
v1 = 4 m/s
v2 = 3 m/s
θ2 =530
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Chapitre 9 La quantité de mouvement
Information
u1 = 5 m/s
M = 1 kg
u3 = 0
Prédictions
avant
u1
u2 = 0
v2
après
θ1
v1
θ2
v3
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Chapitre 9 La quantité de mouvement
9.7 À lire pendant vos temps libres
Résumé : Avec schéma
Principe général de conservation de la quantité de mouvement
Les trois catégories de collisions : élastique, inélastique,
complètement inélastique
Impulsion
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