Pondichéry 2014. Enseignement spécifique

Pondichéry 2014. Enseignement spécifique
EXERCICE 3 (5 points) (candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)
→
→
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé (O, −
u,−
v ).
Pour tout entier naturel n, on note An le point d’affixe zn défini par :
!
√ "
3
3
z0 = 1 et zn+1 =
+
i zn .
4
4
On définit la suite (rn ) par rn = |zn | pour tout entier naturel n.
√
3
3
1) Donner la forme exponentielle du nombre +
i
4
4
√
3
.
2) a) Montrer que la suite (rn ) est géométrique de raison
2
b) En déduire l’expression de rn en fonction de n.
c) Que dire de la longueur OAn quand n tend vers +∞ ?
3) On considère l’algorithme suivant :
Variables
n entier
R réel
P réel strictement positif
Entrée
Demander la valeur de P
Traitement
R prend la valeur 1
n prend la valeur 0
Tant que R > P
n prend la valeur n√+ 1
3
R prend la valeur
R
2
Fin tant que
Sortie
Afficher n
a) Quelle est la valeur affichée par l’algorithme pour P = 0, 5 ?
b) Pour P = 0, 01, on obtient n = 33. Quel est le rôle de cet algorithme ?
4) a) Démontrer que le triangle OAn An+1 est rectangle en An+1 .
nπ
b) On admet que zn = rn ei 6 .
Déterminer les valeurs de n pour lesquelles An est un point de l’axe des ordonnées.
c) Compléter la figure donnée en annexe, à rendre avec la copie, représentant les points A6 , A7 , A8 et A9 .
Les traits de construction seront apparents.
http ://www.maths-france.fr
1
c Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.
⃝
ANNEXE
A3
A2
A4
A1
A5
A0
O
http ://www.maths-france.fr
2
c Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.
⃝
Pondichéry 2014. Enseignement spécifique
EXERCICE 3 : corrigé
! "% &
!
' √ (2 )
)
√
2
! 3 √3 ! #
3
3
12
3
3
! #
!
$
+
=
i! =
=
=
puis
1) ! +
!4
4 !
4
4
16
4
2
( √
√
√ '√
* π ++ √3
3
3
3
3 1
3 * *π+
cos
+ i sin
=
+
i=
+ i =
eiπ/6 .
4
4
2
2
2
2
6
6
2
√
√
3
3
3 iπ/6
+
i=
e
.
4
4
2
2) a) Soit n un entier naturel.
!'
!
( ! !
√
! ! 3 √3 !
! 3 √3
3
! !
!
!
rn+1 = |zn+1 | = !
+
i zn ! = ! +
i! × |zn | =
rn .
! !4
! 4
4
4 !
2
√
3
.
Donc la suite rn est géométrique de raison q =
2
b) On en déduit que pour tout entier naturel n,
' √ (n ' √ (n
3
3
rn = r0 × q n = 1 ×
=
.
2
2
' √ (n
3
Pour tout entier naturel n, rn =
.
2
' √ (n
√
3
3
c) Pour tout entier naturel n, OAn = |zn | = rn =
. Puisque −1 <
< 1, on sait que
2
2
lim OAn = 0.
n→+∞
3) a) Décrivons les différentes étapes.
• Etape 1. R = 1 et n = 0.
• Etape 2. On a R > P . Donc n = 1 et R =
• Etape 3. On a R > P . Donc n = 2 et R =
• Etape 4. On a R > P . Donc n = 3 et R =
• Etape 5. On a R > P . Donc n = 4 et R =
• Etape 6. On a R > P . Donc n = 5 et R =
On a maintenant R ! P et donc l’algorithme
√
3
= 0, 8 . . .
2
3
= 0, 75
4√
3 3
= 0, 6 . . .
8
9
= 0, 56 . . .
16
√
9 3
= 0, 4 . . ..
32
s’arrête et affiche 5.
L’algorithme affiche 5.
b) L’algorithme demande la précision P puis affiche la première valeur de n pour laquelle rn ! P .
4) a) Soit n un entier naturel.
√
3
rn et OAn = rn . Enfin,
• OAn+1 = rn+1 =
2
!'
!
!
!
(
! 3 √3
!
! 3 √3
!
!
!
!
!
An+1 An = |zn+1 − zn | = !
zn − zn ! = |zn | × ! +
+
− 1!
! 4
!
!4
!
4
4
"
!
!
(
'
#%
)
√ 2
&2
! 1 √3 !
#
1
3
4
1
!
!
$
−
+
rn =
rn = rn .
= !− +
! rn =
! 4
4 !
4
4
16
2
http ://www.maths-france.fr
1
c Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.
⃝
Mais alors,
2
An+1 O +
An+1 A2n
' √ (2
% &2
%
&
1
3 1 2
3
2
2
rn +
rn =
r = rn2 = OA2n .
+
=
2
2
4 4 n
D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle OAn An+1 est rectangle en An+1 .
π
b) Soit n un entier naturel. Puisque zn = rn einπ/6 et que rn > 0, un argument de zn est n . Par suite
6
π
π
= + kπ
6
2
⇔ il existe un entier relatif k tel que n = 3 + 6k
An ∈ (Oy) ⇔ il existe un entier relatif k tel que n
⇔ il existe un entier naturel k tel que n = 3 + 6k (car n est un entier naturel).
Les entiers naturels n pour lesquels An est un point de l’axe des ordonnées sont les entiers naturels de la forme 3 + 6k,
k ∈ N. Ce sont les entiers 3, 9, 15, 21 . . .
c) Figure.
A3
A2
A4
A1
A5
A0
A6
O
A7
A8
http ://www.maths-france.fr
A9
2
c Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.
⃝