TD Electrocinétique 2

PSI Brizeux
EXERCICES Électrocinétique 2
Filtrage
 El21 Diagrammes de Bode de systèmes fondamentaux du second ordre
Représenter les diagrammes de Bode en amplitude et en phase des fonctions de transfert suivantes (une
discussion en fonction du facteur d’amortissement sera à mener) :
H0
1°) Passe-bas d’ordre 2 : H (jx) =
1+ 2"(jx) + (jx) 2
H 0 (jx) 2
2°) Passe-haut d’ordre 2 : H (jx) =
1+ 2"(jx) + (jx) 2
H0
3°) Passe-bande d’ordre!2 : H (jx) =
1
1+ jQ(x " )
x
!
H 0 (1+ (jx) 2 )
4°) Coupe-bande d’ordre 2 : H(jx) =
1+ 2"(jx) + (jx) 2
!
Classer les montages suivants (sortie ouverte) dans une des catégories précédentes, puis dans le cas du passebas, déterminer le gain statique, la pulsation propre et le facteur de qualité.
!
C
C
A
C
L
R
L
ve(t)
vs(t)
R
ve(t)
vs(t)
R
B
R
D
L
C
ve(t)
C
vs(t)
ve(t)
L
Rép : A = passe-haut ; B = passe-bas ; C = passe-bande ; D = réjecteur ; cas du passe-bande : H0 = 1, ω0 =

vs(t)
Lω0
1
,Q= R
LC
El22 Réponse d’un système linéaire à une rampe de tension
Etant donné un système linéaire stationnaire initialement au repos et dont la réponse au signal échelon
u(t) est su(t), déterminer sa réponse, les conditions initiales étant les mêmes, à la rampe de position : e(t) =
atu(t) pour t > 0 et e(t) = 0 pour t ≤ 0.
PSI Brizeux
 El23 Identification d’un système linéaire.
L’essai à l’échelon unitaire de 2
systèmes linéaires (ordre 1 ou 2)
comprenant éventuellement un retard pur,
a donné les résultats représentés cidessous. Identifier la nature et déterminer
graphiquement
les
paramètres
caractéristiques de ces systèmes.
 El24 Identification d’un filtre.
Le relevé du diagramme de Bode en
amplitude et en phase d’un système
linéaire a donné les résultats
représentés ci-contre.
A quel type de filtre cela correspondil ? Evaluer alors approximativement
ses paramètres.
Rép : H0 = 10 ; ω0 = 10 rad.s-1 ; σ = 0,15
PSI Brizeux
 El25 Réponses indicielles de systèmes linéaires.
S1 et S2 sont deux systèmes linéaires et invariants dont les réponses à l’échelon unitaire sont données cidessous :
1°) Proposer pour chacun de ces systèmes, une équation différentielle faisant intervenir les signaux d’entrée
et de sortie.
2°) En déduire la fonction de transfert et l’allure du diagramme de Bode de chaque système.
3°) Proposer une structure électronique simple pour chaque système (on pourra choisir A et B inférieures à 1
et n’utiliser que des composants résistifs et capacitifs purs.
 El26. Caractéristiques de filtres du premier ordre.
1°) Les graphes représentés ci-dessous donnent la réponse d’un filtre du premier ordre à un signal
triangulaire d’amplitude 1V, de fréquence 50 Hz et 10 kHz.
Déterminer le type du filtre et sa fréquence caractéristique.
2°) Les graphes représentés ci-dessous donnent la réponse d’un filtre du premier ordre à un signal créneau
d’amplitude 1V, de fréquence 100 Hz et 20 kHz.
Déterminer le type du filtre et sa fréquence caractéristique.
Rép : 1°) passe haut fc = 500 Hz. 2°) passe-bas fc = 1,5kHz
El27 Comportement fréquentiel d’un filtre. Réponse à un signal triangulaire

PSI Brizeux
1°) Examiner rapidement le comportement basse fréquence et haute fréquence du système représenté cidessous.
!R
C
C
R
A'
+
_
A
e
B
R
_
+
R
s
S
2°) Déterminer la fonction de transfert H= E . On la mettra sous la forme canonique généralement adoptée
H0
pour un tel filtre : H =
ω ω . Quelles sont les expressions et les significations des termes H0, ω0 et Q ?
1+jQ(ω - ω )
0
0
Donner l’équation différentielle reliant s(t) et e(t).
3°) Tracer le diagramme de Bode correspondant pour α=1 et α=10.
4°) e(t) est un signal triangulaire de valeur moyenne nulle, d’amplitude 2E0 et de période T.
On observe les réponses suivantes pour α = 10. Interpréter ces deux résultats (T0 = 2π/ω0)
en BF (T = 10 T0)
en HF (T = 0,1 T0)
5°) a) On considère maintenant que la tension d’entrée ve est une tension en créneaux de période T, qui vaut
V0 pour 0 < t < T/2 et -V0 pour T/2 < t < T.
Donner le développement en série de Fourier de cette tension.
b) Que devient ce développement si ve=V0 pour -T/4 < t < T/4 et ve = -V0 pour T/4 < t < 3T/4 ?
c) Compte tenu des valeurs numériques précédentes, quelle doit être la valeur la fréquence de ve pour que
f0 = ω0/2π corresponde à la fréquence de l’harmonique 3 de la décomposition du 5°)a) ?
Quelles seront les amplitudes du fondamental et des harmoniques 2,3,4 et 5 à l’entrée et à la sortie du
montage ? On prendre V0 = 0,5V. Conclure.
1
1
Rép : : 1°) A H.F. et B.F. on a s = 0. 2°) H0 = -α/3, Q = 3 1+α , ω0 = RC 1+α
PSI Brizeux
 El28. Filtre passe-haut du deuxième ordre à basse-fréquence
1°) Quelle est la fonction de transfert d’un filtre passe-haut du deuxième ordre ? Introduire le facteur de
qualité Q et x la fréquence réduite x = f/f0.
2°) Préciser les domaines dans lesquels un signal sinusoïdal de fréquence f peut être considéré comme
transmis sans atténuation, dérivé une fois, dérivé deux fois (il est nécessaire de discuter en fonction du facteur
de qualité).
-x2
3°) La fonction de transfert est HÏ(jx) =
(filtre de Butterworth) de fréquence caractéristique 10
1+ 2jx - x2
kHz.
Le signal d’entrée est un triangle d’amplitude 1V et de fréquence 100 Hz. Quelle est qualitativement la
forme du signal de sortie ?
4°) Interpréter la forme du signal de sortie obtenu pour un signal créneau variant entre 0 et 1V et de
fréquence 100 Hz ?
ω
ω
Rép : : transmis sans atténuation pour ω >> 1/Q pour Q < 1 ou ω >> 1 pour Q > 1 ; simple dérivation pour Q << 1 et 1/Q
0
0
ω
ω
ω
>> ω >> Q ; double dérivation pour ω << 1/Q pour Q > 1 ou ω << 1 pour Q < 1.
0
0
0

El29 Filtre universel à fréquence de coupure commandée
On considère le dispositif de la figure 1 dans lequel les opérateurs « -int » sont ceux définis figure 2 et les
multiplieurs vérifient la loi p = k.u.v (k = 0,1 V-1) comme indiqué également figure 2. Tous les amplificateurs
opérationnels présents dans le dispositif sont idéaux et fonctionnent en régime linéaire.
Le signal d’entrée est noté e ; VC est un signal de commande continu qui permet de modifier certaines
caractéristiques des divers filtres obtenus (sorties s1, s2 et s2). VC peut varier de 0,1 à 10 V. On notera Hi la
fonction de transfert correspondant à la sortie si.
1°) Déterminer les fonctions de transfert Hi et donner l’allure de leur diagramme de Bode asymptotique.
Indiquer dans chaque cas de quel type de filtre il s’agit.
2°) On désire disposer, pour une valeur de VC, d’un filtre passe-bas dont le module de la fonction de transfert
varie le moins possible aux très faibles fréquences. Que peut-on proposer comme relation entre les divers
composants ? Ce choix est effectué par la suite.
3°) On souhaite obtenir une bande passante à –3 dB variant de 100 Hz à 10 kHz. Que proposez-vous ?
4°) Donner l’allure de la réponse indicielle (échelon de 1V) du filtre passe-bas obtenu pour VC = 10V puis
pour VC = 1V.
PSI Brizeux
 El210 Etude d’un filtre
L = 200 mH, C = 10 µF, R = 80 Ω et α = O,75. Ce filtre et la résistance de charge R sont représentés figure 1.
On pose LCω02 = 1.
L
V1
C
figure 1
R
V2
PSI Brizeux
1. On établit à l’entrée une tension sinusoïdale de la forme V1 = VO cosωt. La différence de potentiel en
sortie est alors de la forme V = VO2 cos(ωt + ϕ). On suppose VO et VO2 positifs.
1-1 Représenter le diagramme de Bode de ce filtre.
1-2 L et R étant imposés, montrer que, lorsque C est inférieure à une certaine valeur C0, G est une fonction
décroissante de ω. Calculer C0 en fonction de L et de R ; vérifier qu’avec les valeurs numériques
imposées ci-dessus, on a bien C < C0.
2. Le filtre est maintenant alimenté par une tension créneau, périodique, de fréquence f =
représenté figure 2. On appelle ! =
Tf
T
1
= 1000 Hz ,
T
le rapport cyclique de cette tension V1.
V1
V0
t
Tf
T
figure 2
2.1. On décompose V1(t) en série de Fourier sous la forme :
"
V1(t) = A0 +
#
"
An cos n!t +
n =1
#B
n
sinn!t avec ! =
n =1
2$
T
Déterminer les cœfficients A0, An et Bn en fonction de V0 et de α.
#
2.2. On écrit la série de Fourier sous la forme : V1(t) = A0 + $ Cn cos(n!t + " n ) avec Cn ≥ 0. Déterminer les
n =1
cœfficients Cn en fonction de V0 et de α.
3. Expliquer pourquoi la tension de sortie V2 est sensiblement constante dans le temps . Déterminer la valeur
V2m de cette constante en fonction de V0 et de α.
Vérifier que pour obtenir un ordre un ordre de grandeur convenable de l’ondulation résiduelle de la tension
de sortie V2 , il suffit de considérer dans le calcul uniquement le premier harmonique de la série de Fourrier.

El211. Boîte noire
Un quadripôle constitué de deux dipôles (D1) et (D2), disposés comme l’indique la figure 1, contient une
résistance R, un condensateur de capacité C et une bobine d’inductance L. Seules les bornes d’entrée et de sortie
sont accessibles à l’expérimentateur.
(D 1)
i(t)
(D2 )
e(t)
s(t)
figure 1
On réalise les mesures suivantes :
• On relie l’entrée à une pile de f.é.m. e(t) = E0 = 15 V et de résistance interne nulle, la sortie étant
ouverte. On mesure, en régime établi, un courant d’entrée d’intensité i(t) = i0 = 15 mA.
PSI Brizeux
• On remplace la pile précédente par un générateur de tension sinusoïdale e(t) = E0cos(ωt), et on effectue
une étude en fréquence de la réponse du système. L’expérience montre qu’il s’agit d’un filtre passe-bande dont
le gain passe par sa valeur maximale pour la fréquence f0 = 1,16 kHz, et dont la bande passante à –3 dB vaut Δf
= 0,34 kHz.
1°) Expliquer pourquoi les trois composants ne peuvent pas être en série
2°) Déterminer la disposition des composants dans le quadripôle ainsi que la valeur numérique des
composants.
3°) Représenter qualitativement la forme du
signal en sortie de ce filtre lorsque celui-ci se
voit imposer une entrée en créneau (figure 2).
- Pour T = 100 ms.
- Pour T = 0,01 ms.
e(t)
U0
4°) Mêmes questions lorsque ce filtre se voit
imposer une entrée en signal triangulaire avec
figure 2
les pulsations précédentes.
0
t
T
5°) Comment rendre ce filtre plus sélectif ? Quelle serait alors l’influence sur la forme des signaux de sortie
des exemples précédents ?
 El212 Filtre à A.O.
L’A.O. du système électronique représenté cidessous est parfait et fonctionne en régime linéaire.
On prendra C = 10 nF, R2 = 10 kΩ et R1 = 1kΩ.
Quelle est la fonction de ce montage à haute
fréquence ? A basse fréquence ?
Déterminer la fonction de transfert de ce filtre et
l’équation différentielle reliant s(t) à e(t).
On alimente le circuit par un signal carré de valeur
moyenne nulle variant entre –V0 et +V0 et de fréquence
f.
L’expérience donne les résultats suivants :
♦ 1er cas : 2V0 = 9,4 V et f = 12 kHz
C
R2
R1
e
R2
C
+
s
PSI Brizeux
Justifier ces résultats.
Réponse : H = !
R2
2 + jx
R1 1+ 2 jx + jx
( )
2
avec x = "R2C ;
d 2s
2
dt
+ 2! 0
ds
R
de
+ !02s = " 2 (2e !20 + ! 0
)
dt
R1
dt
 El213 Tu passes ou tu coupes ?
On considère le filtre F1 de fonction de transfert:
s
H1 = 1 =
e1
'1
( #
&(
1 + jQ$$
' 0 !!
( "
% (0
Placé dans le circuit ci-dessous:
R
R
R
∞
+
s
e
F1
PSI Brizeux
L’amplificateur opérationnel est parfait et fonctionne en régime linéaire.
1°) Etablir l’expression de la fonction de transfert de l’ensemble ;
2°) Etudier la nature du filtre obtenu et calculer les pulsations de coupure.
Réponse : H =
!
"1
1 # #0
1+
(
"
)
jQ # 0 #