Chapitre II Mouvement d`un point matériel

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MIME13-LP101
2008-2009
Chapitre II Mouvement d’un point matériel. Cinématique.
1-Définitions
1.1 Système
On a vu la nature discontinue de la matière à l’échelle microscopique.
Les différentes composantes élémentaires de la matière interagissent
entre elles. Cependant, dans un grand nombre de problèmes, il n’est pas
nécessaire de prendre en compte cet aspect discontinu. On peut adopter
une description « macroscopique » où, tout en ignorant la structure
microscopique de la matière, on isole par la pensée une partie du monde
matériel qui devient un objet. Ex : une balle qui tombe, une planète en
mouvement autour du Soleil etc. Le système physique est un objet ou un
assemblage d’objets bien défini dont on étudie les propriétés statiques ou
dynamiques, avec ou sans échange avec le reste du monde matériel qu’on
appellera le « monde extérieur ».
Système fermé : système sans échange de matière avec l’extérieur !
masse constante
(une cellule vivante qui échange des ions avec l’extérieur par osmose est
un système ouvert)
Système isolé : système sans échange du tout (ni matière, ni énergie) !
masse constante et énergie constante.
Remarque : Dans ce cours, on se limitera aux systèmes mécaniques. On
peut définir un système en thermodynamique, quand on tient compte des
échanges de chaleurs possibles. On définira alors l’énergie interne d’un
système, qui est constante si le système est isolé.
1.2 Cinématique et Dynamique
Ce chapitre est une partie de la « Mécanique » : étude du
mouvement et de l’équilibre des corps en relation avec les actions
exercées sur eux par le « monde extérieur ». Cette étude se découpe en
deux : cinématique et dynamique.
La Cinématique vise à décrire les mouvements (trajectoire d’un mobile,
équation horaire, vitesse, accélération etc.) sans se préoccuper des
causes qui les provoquent. Elle repose cependant sur les notions physiques
de l’espace et du temps.
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La Dynamique s’intéresse aux forces qui provoquent les mouvements. La
masse du système en mouvement intervient alors dans l’étude de son
mouvement.
1.3 Solide et point matériel
Un solide est un objet considéré comme indéformable dans le
problème étudié. C’est-à-dire que la distance entre deux points
quelconques est fixe (constante). C’est en fait une idéalisation.
Exemple : une balle de tennis est moins rigide qu’une boule de pétanque
ou une toupie en bois, mais c’est un solide si on étudie son mouvement de
translation et sa rotation et pas sa déformation.
Pour repérer un solide, il faut spécifier la position de son centre
d’inertie (ou centre de masse, ou barycentre) et son orientation par
rapport à un repère fixe du laboratoire. Cela se fait par les 3
coordonnées du centre de masse et 3 angles qui caractérisent trois
rotations faisant passer trois axes fixes liés au solide aux trois axes
fixes). Il peut se déplacer par rapport à ce repère et tourner sur luimême (rotation).
Si l’on ne s’intéresse pas au mouvement de rotation de l’objet mais
seulement au déplacement de son centre d’inertie, on peut alors négliger
ses dimensions et l’assimiler à un point matériel affecté de sa masse
totale. C’est une idéalisation. On peut dire que le point matériel est un
objet matériel (possédant une masse) dont on peut négliger les
dimensions dans le problème étudié et qui ne tourne pas sur lui-même.
Exemple : - une bille qui roule n’est pas représentée par un point matériel
- Un satellite tournant autour de la Terre peut être décrit par un
point matériel si on n’a pas besoin de spécifier son orientation
(symétrie sphérique ou isotropie) mais seulement sa position.
La position d’un point matériel est donnée par 3 paramètres : les 3
coordonnées de position du point dans l’espace. On dit qu’il possède 3
degrés de liberté de mouvement.
En revanche, le solide possède 6 degrés de liberté (3 de translation, 3 de
rotation).
Dans ce qui suit, on s’intéressera surtout au mouvement d’un point
matériel, on dit aussi celui d’un mobile considéré comme un point.
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1.4 Espace et temps d’un observateur
Espace
L’espace physique correspond à un espace euclidien à 3 dimensions.
C’est l’espace géométrique habituel (Par un point extérieur à une droite, il
ne passe qu’une droite parallèle à celle-ci) où l’on peut repérer la position
d’un point par ses 3 coordonnées. En fait, dans la théorie de la Relativité
Générale d’Einstein, il existe un écart entre la géométrie de l’espacetemps et la géométrie euclidienne, mais cet écart est très faible à la
surface de la Terre. On n’a ici qu’une excellente approximation. Pour la
Mécanique Classique (objets de vitesses faibles devant celle de la
lumière) on pourra rapporter l’espace physique à l’espace euclidien. Les
longueurs seront mesurées en mètre dans les unités S.I.
Temps
L’écoulement du temps est une notion intuitive. En effet,
intuitivement on sait établir une chronologie pour la succession des
évènements. Le temps sert à dater les évènements. Un instrument qui
permet de dater est une horloge (ou chronomètre).
Origine du temps : un événement choisi comme référence.
Le temps ne peut qu’augmenter donc il ne peut varier que dans le sens
positif mais il peut prendre des valeurs négatives (on dit moins 5 minutes
par rapport à une heure prise comme origine par exemple)
A priori, n’importe quel phénomène évolutif peut-être utilisé pour
mesurer le temps : un sablier, une clepsydre, la position apparente du
soleil par rapport à la Terre (cadran solaire) mais on peut admettre une
exigence supplémentaire à cause de l’écoulement uniforme du temps. Pour
définir l’unité du temps, on choisira un phénomène régi par une loi
physique invariante dans le temps (invariante par translation dans le
temps). Les phénomènes périodiques permettent de vérifier si l’on a des
intervalles égaux et de définir une chronologie.
Par exemple, le jour solaire, qui est l’intervalle de temps séparant deux
passages successifs d’un point de la Terre devant le Soleil, moyenné sur
un an a servi à définir la seconde jusqu’en 1960 :
1 seconde =1/86400 jour solaire moyen .
En fait le mouvement de rotation de la Terre sur elle-même se ralentit à
cause du frottement de la marée. Le jour, donc l’unité de temps, se
dilate, ce qui entraîne une accélération apparente des astres. On est
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amené à changer la définition de la seconde à l’aide d’une horloge
atomique à cesium (9 192 631 770 périodes du rayonnement
correspondant à une transition entre 2 niveaux hyperfins de 133Cs dans
son état fondamental).
2- Référentiel. Relativité du mouvement.
Parler du mouvement, c’est nécessairement parler de déplacement
relatif par rapport à quelque chose qui sert de référence fixe. On peut
être immobile dans un train qui avance sur la Terre.
Les physiciens décriront toujours le mouvement d’un mobile par rapport à
un « observateur » lié de manière fixe à un solide indéformable (R)
appelé « référentiel ». En fait c’est tout l’espace fixe par rapport à
l’observateur. Deux observateurs dans deux référentiels différents
voient différemment le même mouvement.
Par exemple, on parle du « référentiel du laboratoire » = les murs du
laboratoire où se trouve l’observateur immobile
Autre exemple : un observateur 1 immobile sur le trottoir, un observateur
2 à bicyclette sur la route, un observateur 3 dans un train qui passe sur
une voie ferrée parallèlement à la route.
Pour l’obs. 3, le cycliste recule alors qu’il avance pour l’obs. 1. Pour l’obs. 1,
un point de la roue décrit une courbe cycloïde.
En Mécanique Classique, le temps est absolu : il est le même quel que
soit le référentiel. Deux observateurs dans des référentiels différents
attribuent les mêmes dates aux mêmes évènements. Ceci n’est vrai que
pour des vitesses relativement faibles devant celle de la lumière. Pour
des vitesses plus grandes, la Relativité restreinte montre qu’on doit
définir un temps pour chaque référentiel.
3- Description du mouvement d’un point matériel
3.1 Vecteurs position, vitesse et accélération
Vecteur position
On se place donc dans un référentiel (R) donné. Pour définir la
position d’un point matériel placé en un point géométrique M, on doit
choisir un point O fixe dans le référentiel (R) par rapport auquel on
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pourra la définir. La position du point M est alors définie par le vecteur
!!!!" "
lié (bipoint) OM = r appelé « vecteur position ». Le choix du point fixe
O est arbitraire. Si on choisissait un autre point O’ fixe pour repérer M,
!" !!!!!" !!!!" !!!!"
!!!!"
on aurait : r ' = O ' M = O 'O + OM . Le vecteur O 'O est un vecteur fixe dans
(R).
Quand le point matériel se déplace, le point M se déplace et le vecteur
!!!!"
"
OM (t) = r (t) varie en fonction du temps. La courbe (C) décrite par le point
M est la trajectoire du point matériel.
(C)
M
M0
!
s=M
0 M abscisse curviligne
M'
mesure algébrique
s = s(t) : équation horaire
O
Attention, la trajectoire est une courbe définie indépendamment du
temps. Si on a choisi un trièdre orthonormé (Oxyz) et si on connaît les
lois horaires x(t), y(t), z(t) , on a 3 équations paramétriques de (C) et il
est possible d’éliminer la variable temps (t) et obtenir une équation de la
forme F(x,y,z)=0.
Vecteur vitesse
Le vecteur vitesse est la dérivée par rapport au temps du vecteur
!!!!"
"
OM (t) = r (t) :
""""!
! dOM !
v=
= r#
dt
Soit M position du point à l’instant t et M’ à l’instant infiniment voisin
t ' = t + !t ! , !t = t '" t
"""""!
""""! """"!
""""!
!
!
MM '
OM ' # OM dOM dr
v = lim !t"0
= lim !t"0
=
=
!t
!t
dt
dt
Attention :
!!!!!"
#'
Quand M est infiniment voisin de M’, on a MM ' ! MM
La vitesse est tangente à la trajectoire au point M.
!!!!"
le vecteur dOM est un vecteur d’orientation quelconque, pas forcément //
!!!!"
OM .
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Vecteur accélération
Dans un mouvement quelconque, la vitesse peut varier au cours du
temps. Elle change en tout point de la trajectoire en grandeur et en
direction.
Le vecteur accélération est défini comme la dérivée du vecteur vitesse
par rapport au temps :
!
""""!
!
! dv d 2 OM d 2 r !
a=
=
= 2 = ##
r
2
dt
dt
dt
!
!
!
!
!
v(t ') # v(t)
!v(t) dv
a = lim !t"0
= lim !t"0
=
!t
!t
dt
Ces définitions sont données par rapport à un référentiel donné.
Remarques :
- Si on avait choisi un point O’ fixe dans (R), différent de O, on
aurait :
!" !!!!!" !!!!" !!!!"
!!!!"
Vecteur position r ' = O ' M = O 'O + OM , O 'O fixe dans (R)
Vitesse
!!!!"
!!!!"
!!!!!"
!!!!"
!" dOM ' dOO ' dO ' M dOM "
v' =
=
+
=
=v
dt
dt
dt
dt
!" "
!" "
on a donc v ' = v et a ' = a
!"
- Si (R1) se déplace en translation à la vitesse V par rapport à (R)
considéré comme fixe.
!!!!"
!" dOO1
On a V =
, O1 et O fixes respectivement dans (R1) et dans (R)
dt
La vitesse relative du point M dans (R1) est donnée par :
!!!!"
!" ! dO1 M $
"
vr = #
& = !" r#1 $%( R1 )
" dt %( R1 )
!!!!"
!"
! ! dOM $
"
sa vitesse absolue : va = #
& = !" r# $%( R)
" dt %( R)
!!!!"
!!!!"
!!!!"
!"
! dOM dOO1 dO1 M
=
+
or va =
dt
dt
dt
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!"
! !" !"
On a : va = vr + V
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!"
où V est la vitesse d’entraînement
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3.2 Repères et systèmes des coordonnées
Les notions de position, vitesse et accélération d’un mobile M sont
définies par rapport à un référentiel (R). On peut soit manipuler des
vecteurs, soit choisir d’utiliser leurs composantes par rapport à un
repère donné, solidaire de (R). Le choix du repère, comme celui de son
origine, est arbitraire. Il est indépendant de la notion du mouvement.
On le choisit de manière à simplifier les expressions mathématiques. Il
est généralement orthonormé.
a) Composantes des vecteurs en coordonnées cartésiennes
Dans (R), on choisit un point fixe O et trois axes orthogonaux ayant
!"
!
pour origine commune le point O, portant trois vecteurs unitaires ux ,
!"
! !"
!
uy , uz (de longueur unité). On a alors un repère orthonormé ou un
!"
!
!"
!
!"
!
!" !"
!"
« trièdre rectangle » (O, ux , uy , uz ), avec ui !ui = ui = 1 i = x,y,z
2
!"
! !"
! !"
! !"
! !"
! !"
!
ux !uy = uy !uz = uz !ux = 0
Vecteur position :
z
! """"!
"!
"
"!
"
"!
"
r = OM = x !ux + y !uy + z !uz
z
!"
!
uz
x
x
!"
!
ux
O
et
!
r
!"
!
uy
Vecteur vitesse :
M
y
y
""""!
! dOM dx "!
" dy "!
" dz "!
"
v=
= !ux + !uy + !uz
dt
dt
dt
dt
!
#!
#
#!
#
#!
#
v = x" !ux + y" !uy + z" !uz
(Notation dérivée par rapport à t)
les composantes en coordonnées cartésiennes du vecteur vitesse sont
donc :
vx = x! = x '(t ) =
dx
dy
dz
; vy = y! = y '(t ) =
; vz = z! = z '(t ) =
dt
dt
dt
Vecteur accélération :
!
! dv dvx "!
" dvy "!
" dv "!
"
"!
"
"!
"
"!
"
a=
=
!ux +
!uy + z !uz = x##ux + y##uy + z##!uz
dt
dt
dt
dt
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les composantes en coordonnées cartésiennes du vecteur accélération
sont donc :
ax = x!! = x "(t ) =
dvx
dt
dvy
! d 2x $
#" = dt 2 &% ; ay = y!! = y "(t ) = dt
! d 2y $
dvz
#" = dt 2 &% ; az = z!! = z "(t ) = dt
! d 2z $
#" = dt 2 &%
Remarques : - les vecteurs position, vitesse, accélération sont définis
pour le référentiel (R) dans lequel on observe le mouvement. Les
vecteurs ne dépendent pas du repère choisi. En revanche, leurs
composantes dépendent du repère choisi.
- En physique, le choix arbitraire de l’origine et des axes découle de
l’homogénéité (invariance par translation) et de l’isotropie (invariance
par rotation) de l’espace.
b) Composantes des vecteurs en coordonnées cylindriques
Ces coordonnées sont adaptées pour décrire un problème à symétrie
axiale d’axe Oz.Le plan (Ox, Oy) est le plan polaire perpendiculaire en
O à Oz. On choisit un axe polaire Ox et une orientation dans le plan
polaire : le sens positif par rapport à l’axe Oz (règle de tire-bouchon :
si on tourne un tire-bouchon dans le sens positif, il s’enfonce dans le
sens de Oz).
z
N
!"
!
u!
z
!"
!
uz
O
x
!"
!
ux
Un point M se projette en P sur le
plan polaire et en N sur l’axe Oz.
Les coordonnées cylindriques ( !," ,z )
!
r
!"!
uy
# !
!"
!
" " P u!
du point M sont par définition :
- sa distance à l’axe Oz : ! = OP
M !"!
u!
!"
!
u!
! "[ 0, +#[
y
!!" !!!"
- l’angle polaire : ! = (Ox ,OP ) ,
! "[ 0, 2# ]
- la cote : z = ON , identique à la
coordonnée cartésienne, z ! ]"#, +#[
A un ensemble de nombre ( !," ,z ) correspond un point M et un seul mais
la réciproque n’est pas vraie : pour les points de l’axe Oz, l’angle ! est
indéterminé.
On peut remarquer que si le problème se limite au plan (xOy), ! = OP
!!" !!!"
et ! = (Ox ,OP ) sont simplement les coordonnées polaires du point P.
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On passe des coordonnées cylindriques aux coordonnées cartésiennes
par les relations :
x = ! cos" , y = ! sin " ,!!!!z = z .
On a quelques fois besoin d’exprimer les composantes d’un vecteur
défini en un point d’une courbe décrit par le mobile M. On introduit
alors des vecteurs unitaires « locaux » ou « tournants » :
!!!"
!"
!
!"
! OP
!"
!
!
u ! = !!!" et u! qui se déduit de u ! par une rotation de + dans le plan
2
OP
!"
!
polaire, uz complétant un trièdre direct « local ».
!"
Un vecteur V se décompose sur le trièdre local comme :
!"
!"
!
!"
!
!"
!
V = A! u ! + A" u" + Az uz où A! est la composante radiale, A! , la composante
orthoradiale, toutes deux dans le plan polaire xOy, et Az , la
composante axiale.
Le mouvement d’un point M se décompose selon celui de sa projection
P dans le plan (xOy) et celui de sa projection N sur l’axe Oz :
!
""""!
"""!
"""!
"!
"
"!
"
!!!"
!"
!
Vecteur position : r = OM = OP +ON = ! u ! + z uz avec OP = ! !u !
!
!
!!!"
!"
!
ON = z !uz
Pour calculer les vecteurs vitesses v (M ) et accélération a (M ) , nous
avons besoin d’abord de calculer les dérivées des vecteurs unitaires
tournants par rapport à l’angle ! .
Dérivées d’un vecteur par rapport à une variable angulaire :
!"
!
!"
!
!"
!
u ! (" ) = cos" ux + sin " !uy
!"
!
!"
!
!"
!
# ' !"!
# ' !"!
$
$
u" (" ) = cos & " + ) ux + sin & " + ) uy = * sin " !ux + cos" !uy
%
%
2(
2(
On connaît les dérivées des fonctions trigonométriques :
d(sin ! )
d(cos! )
(sin!! )' =
= cos! et (cos!! )' =
= " sin!! ,
d!
d!
!"
!
!"
!
d’où ( ux et uy ne dépendent pas de ! ) :
!"
!
!"
!
! d(sin " ) !"
!
!"
!
!"
! !"
!
du ! (" ) d(cos" ) !"
u ! '(" ) =
=
ux +
uy = # sin " !ux + cos!" !uy = u"
d"
d"
d"
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!"
!
!"
!
! d(cos! ) !"
!
!"
!
!"
!
!"
!
du! (! ) d(" sin ! ) !"
=
ux +
uy = " cos! !ux + sin!! !uy = "u #
de même : u! '(! ) =
d!
d!
d!
La dérivée d’un vecteur unitaire par rapport à ! est un vecteur
!
2
unitaire obtenu par une rotation de + .
Vitesse en coordonnées cylindriques :
!
####!
###!
###!
! dr ! dOM dOP dON
!
!
!
v=
= r" =
=
+
ou encore v (M ) = v (P ) + v (N ) .
dt
dt
dt
dt
"!
"
"!
"
"""!
!
"
du !
dOP d( !u ! ) d ! "!
=
=
u! + !
Dans le plan (xOy) : v (P ) =
dt
dt
dt
dt
!"
!
Or !u ! [" (t)] dépend de t par l’intermédiaire de sa direction ! , puisque
sa longueur est constante et égale à l’unité, on a donc une fonction
!"
!
!"
!
!"
!
!
!"
!
du ! !"
du ! d"
= u ! '(" ) # " '(t ) =
= "# u"
composée de t : u ! [" (t )] ' =
dt
d" dt
!
"!
"
"!
"
"!
"
"!
"
d!
d"
d’où : v (P ) = u ! + ! u" = !# !u ! +! !"# !u"
$&&%
dt
dt
$&%
composante orthoradiale
composante radiale
"""!
"!
"
!
"
"!
"
dON d(zuz ) dz "!
=
= uz = z# uz
Sur l’axe Oz : v (N ) =
dt
dt
dt
{
}
En résumé, le vecteur vitesse en coordonnées cylindriques est :
!
"
" dz "!
"
d ! "!
d" "!
v (M ) =
u ! + ! u" + uz =
dt
dt
dt
"!
"
!# !u !
$&%
+!
composante radiale
"!
"
!"# !u"
$&&%
composante orthoradiale
+
"!
"
zu
# z
$%
&
composante axiale
Accélération en coordonnées cylindriques :
Comme
!"
!
du !
dt
on trouve :
=
!"
!
du ! d"
d" dt
!"
!
= "# u"
et
!
! dv !
a=
= v"
dt
!"
!
!"
!
!"
!
du" du" d"
=
= # "# u ! ,
dt
d" dt
!
#!
#
#!
#
#!
#
a = !"" " !#" 2 u ! + ( !#"" + 2 !" #" )u# +
zu
"" z
$%
&
$&&&&&&&% $&&&&&&&&% accélération
axiale
(
)
accélération radiale
accélération orthoradiale
c) Composantes des vecteurs en coordonnées sphériques
Ces coordonnées sont adaptées pour décrire un problème à symétrie
sphérique, c’est-à-dire ne dépendant que de la distance à un point,
centre de symétrie, mais pas de l’orientation autour de ce point.
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On peut prendre le centre de
symétrie comme origine O, un axe
Oz passant par O et un plan de
référence contenant Oz, soit (Ox,
Oz).
Un point M se projette en P sur le
Les coordonnées sphériques du
point M sont par définition :
- sa distance à l’origine : r = OM ,
rayon vecteur. r ![ 0, +"[
z
!"
!
ur
#
"r
!"
!
uz
x
x
!"
!
ux
M
!"
!
uy
O
$
"
!"
!
u!
!"
!
u!
y
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y
!!!" !!!!"
-l’angle ! = (Oz,OM ) , colatitude,
P
! "[ 0, # ]
!!!" !!!"
-l’angle ! = (Ox,OP ) , angle azimutal
ou longitude, ! "[ 0, 2# ] .
On passe des coordonnées sphériques aux coordonnées cartésiennes
par les relations :
x = r sin ! cos " , y = r sin ! sin " ,!!!!z = r cos! .
Si le problème ne dépend pas de ! , on retrouve les coordonnées
!!!" !!!!"
polaires dans le plan méridien défini par (Oz, OM ) , l’axe polaire étant
Oz.
!"
!
!"
!
On peut introduire un trièdre local ou « tournant » : ur et u! sont
!"
!
!"
!
définis comme u ! et u!
des coordonnées polaires dans le plan
!"
!
!"
! !"
!
!"
!
méridien, u! complétant le trièdre direct ( u! " ur et u# ).
Dans ce cours, on ne cherchera pas à écrire les expressions générales
des vecteurs vitesse et accélération en coordonnées sphériques, mais
on utilisera la composante radiale portée par le vecteur unitaire
!!!!"
!"
! OM
ur = !!!!" (pour des mouvements à forces centrales).
OM
4. Cas du mouvement circulaire plan
Le point matériel M décrit une trajectoire circulaire de rayon R. On se
place dans le plan contenant le cercle, que l’on prendra comme plan
(xOy) : z = 0 , vz = z! = 0, az = z!! = 0
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Le point M a pour coordonnées
!"
!
u!
y
R
O
polaires :
!"
!
u!
!
""""!
"!
"
On peut écrire r = OM = !u !
M
#
"
! = R = Cte
!!" !!!!"
" = (Ox , OM ) = " (t )
Vecteur vitesse :
##!
!
##!
##!
d u!
v (M ) = !" u ! + !
= R"" u"
dt
x
La vitesse est orthoradiale, et dans
ce cas, tangente à la trajectoire.
!
d!
le module de la vitesse : v (M ) = R!" où !! =
est la vitesse angulaire.
dt
Vecteur accélération :
!
#!
#
! dv
#!
#
du
a=
= R !""u! + R !" ! =
dt
dt
#!
#
"R !" 2 u #
$&&&&%
+
accélération radiale
normale à la trajectoire
#!
#
R !""u!
$&&%
accélération orthoradiale
tangente à la trajectoire
d!
Mouvement circulaire uniforme : !! = = " = Cte
dt
! v = R" = Cte
v
aT = !!! = 0 et aN = "R# 2 = "
R
2
accélération centripète (dirigée vers O)
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