Intervalles, Echelles, Tempéraments et Accordages musicaux
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Intervalles, Echelles, Tempéraments et Accordages musicaux De Pythagore à la simulation informatique ~L'Hannattan,2003 ISBN: 2-7475-4747-7 Jean LATTARD Intervalles, Echelles, Tempéraments et Accordages musicaux De Pythagore à la simulation informatique Préface de Claude Valette L'Harmattan 5-7, nIe de l'École-Polyteclmique 75005 Paris FRANCE L'Harmattan Hongrie Hargita u. 3 1026 Budapest HONGRIE L'Harmattan Italia Via Bava, 37 10214 Torino ITALIE TABLE DES MATIERES 1 Généralités 1.1 Définition de la gamme .................. 1.2 Gammes diatoniques et chromatiques........................... 1.3 Modes, altérations. ................... 1.4 Rappel des unités de mesure.......................................... 1.5 Intervalles naturels......................................................... 13 14 15 17 19 2 Gamme de Pythagore 2.1 Origine, intervalles diatoniques................................... 2.2 Génération de la gamme chromatique......................... 2.3 Intervalles, échelle en commas..................................... 2.4 Aptitudes à la transposition.......................................... 2.5 Modifications proposées par Archytas et Aristoxène.... 21 22 27 31 33 3 Gamme de Zarlin 3.1 Dé fin i ti 0 n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,. 3.2 Gamme chromatique.................................................... 3.3 Intervalles et possibilités de transposition................... 3.4 Cautions scientifiques .... 3.5 Variante de Delezenne................................................. ............. 3.6 Genres d'Euler 35 37 39 41 42 44 4 Gammes à degrés égaux 4.1 Définition .......... 4.2 Tempérament égal........................................................ 4.3 Tempérament égal à quintes pures............................... 4.4 Echelles à degrés égaux à plus de douze intervalles..... 47 48 50 53 5 Tempéraments 5.1 Not ion de temp é ram en t. . . . . . . .. . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . .. . . . . .. . . 5.2 Besoin et évolution....................................................... 5.3 Méthodes d'analyse...................................................... 5.4 Mécanique du tempérament.......................................... 5.5 Ecarts / pur, fréquences, battements.............................. 5.6 Tempéraments réguliers................................................ 5.7 Tempéraments irréguliers............................................. 57 58 60 64 71 76 89 6 Représentations graphiques, comparaisons 6.1 Utilité des diagrammes................................................. 6.2 Principe du diagramme utilisé...................................... 6.3 Aptitudes à la transposition.......................................... 6.4 Comparaisons, couleurs tonales.................................... 101 102 107 108 7 Harmonie consonante 7.1 Tableau des accords purs.............................................. 7.2 Diagramme circulaire.................................................... 7.3 Particularités, problèmes de justesse............................. 7.4 Systèmes incomplets non tempérés............................... 113 115 117 122 8 Accordage des instruments à clavier 8.1 Généralités . 8.2 Méthodes traditionnelles.............................................. 8.3 Utilisation d'appareils électroniques............................ 8.4 Composition,des sons musicaux ................................. 8.5 Simulation mathématique de l'accord.......................... 125 126 129 131 142 9 Annexes T ab Ann les des e xes ann e xe s ........................................ . . . . . . . . . .. 1 à 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Annexe 10..................................................... Tableaux des tempéraments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Annexes Il à 14............................................................ Bib I i 0 graph i e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Index alphabétique ... 157 158 169 179 207 235 239 168 177 205 234 237 241 PREFACE Depuis toujours, la question des échelles de hauteur en musique a donné lieu à une abondante littérature. Trop souvent malheureusement, au lieu de décrire une pratique musicale, ces textes prétendent dévoiler" La Vérité" : passionnés et polémiques dans le ton, ils sont contradictoires sur le fond, signe de la nature non scientifique de la démarche qui les sous-tend. On atteint parfois le pire quand s'échappe du discours une ineptie (j'ai des exemples récents en tête, que je garderai pour moi par charité). Les musiciens cependant, dans leur immense majorité, qu'ils soient amateurs ou professionnels, sont confrontés à un problème beaucoup plus concret: choisir et réaliser (facture, accordage, technique de jeu) une échelle de hauteurs appropriée pour jouer telle ou telle musique dans les meilleures conditions, compte tenu des données spécifiques du contexte (mariage de tel et tel instrument, particularités de style, etc...). Dans toute sa généralité, ce problème typique d'Acoustique Musicale, largement pluridisciplinaire, est beaucoup trop vaste pour qu'on puisse espérer en faire le tour dans une publication de taille raisonnable. L'ouvrage de Jean Lattard a le mérite d'apporter sa pierre à l'édifice. Après les indispensables généralités, on trouvera une étude rigoureuse et précise des systèmes d'accord les plus classiques (une trentaine sont ainsi décortiqués, ce qui suffira à faire face à toutes les situations que l'on rencontre dans la pratique). Le livre se termine sur une étude du piano, originale et passionnante à la fois. Le lecteur éprouvera autant de plaisir que moi, j'en suis sûr, après s'être instruit sur les théories, à découvrir dans le cas du piano la complexité des phénomènes qui entrent en jeu pour obtenir un accord satisfaisant, et plus particulièrement le rôle fondamental que joue l'inharmonicité des cordes. Le livre de Jean Lattard comble un vide et remet utilement les idées en place. Claude Valette AVANT-PROPOS Le présent ouvrage tente de rassembler, dans une présentation concise, les éléments essentiels à la compréhension des nombreuses échelles musicales utilisées par la musique occidentale depuis l'antiquité grecque. Les aspects historiques et musicologiques, déjà largement traités par de nombreux auteurs anciens et contemporains, ont été réduits ici au minimum. Le développement considérable de l'informatique personnelle depuis la parution, en 1988 ,du livre"Gammes et Tempéraments Musicaux It, Masson Editeur, (voir Bibliographie), a permis l'approfondissement des nombreux calculs imposés par cette discipline. Il m'a paru utile de préciser, dans certains cas, les formules à insérer dans un tableur, outil informatique très répandu de nos jours, pour obtenir, sans aucun travail de programmation, le logiciel adapté à tel ou tel travail particulier. Les passionnés du piano trouveront, parmi les nombreuses appendices, un aperçu assez détaillé des éléments de définition des cordes de cet instrument. Egalement pour le piano, un procédé original de simulation mathématique de son accordage, déjà publié dans deux revues scientifiques (voir bibliographie), est décrit sur ses principes à la fin du chapitre concernant l'inharmonicité, et sur sa réalisation informatique détaillée dans l'une des annexes Je dois des remerciements tout-particuliers à Monsieur Claude Valette, Directeur de Recherche au C.N.R.S., Laboratoire d'Acoustique Musicale à l'Université Pierre et Marie Curie, précieux conseiller d'un premier livre, qui a bien voulu rédiger la préface de cet ouvrage. f> Jean Lattard 1. GENERALITES 1.1 Définition de la gamme Le Dictionnaire définit la gamme comme étant une succession de notes dans l'ordre des hauteurs croissantes ou décroissantes. Chaque note, qui forme un degré de la gamme, porte un nom distinct. Pour des raisons évidentes le nombre de notes ainsi répertoriées ne peut être très grand. De plus il est préférable, pour permettre une expression musicale détaillée, de choisir un espacement sonore relativement faible entre les notes. Ces deux conditions réunies font que la gamme n'occupe qu'un domaine de fréquence limité. Elle peut cependant être répétée, avec les mêmes rapports entre échelons, dans toute l'étendue du spectre sonore. On sait, en effet, que la sensation musicale donnée par un groupe de notes, jouées mélodiquement ou en accord, ne dépend que du rapport des fréquences de ces notes entre elles et non pas de leurs valeurs absolues (note1). L'ensemble des gammes superposées dans tout le spectre musical permettra des transpositions: Tout motif joué dans un domaine sera entendu à l'identique dans les autres (note2). Le domaine de la gamme s'exprime par le rapport de fréquence choisi entre les notes de même nom de deux domaines voisins. Le choix du rapport 2, nommé octave, (la répétition du nom arrive en huitième position après le départ), dans l'ordre des hauteurs croissantes présente un avantage considérable: Les sons "à l'octave" jouissent en effet d'une très forte parenté tonale attribuée par Helmholtz dans sa théorie de la fusion des sons à la communauté d'harmoniques accompagnant ces notes. La même phrase musicale jouée dans toutes les octaves sur les notes de même nom n'est plus simplement transposée mais appartient à la même tonalité. Ce fait d'évidence n'en est pas moins capital car il permet d'enrichir les sons par addition d'octaves. Une gamme peut être définie par la fréquence exacte de chacune de ses notes. Il est évidemment plus intéressant de la caractériser par les rapports de fréquences entre notes consécutives, ou de chaque note comparée à l'une d'entre elles prise comme référence (la plus basse ou la plus élevée). Les intervalles d'une gamme peuvent être différents entre eux ou tous semblables. Pratiquement toutes les gammes qui ont été utilisées en Occident au cours des siècles passés comportent douze notes par octave. Il est donc possible de conserver pour toutes ces échelles la notation universellement connue des sept notes diatoniques plus leurs altérations. On n'aura garde d'oublier, cependant, que des intervalles musicaux de même nom correspondront, suivant les types de gammes, à des rapports de fréquences suffisamment différents pour que l'oreille humaine y soit tout à fait sensible. Notel: Cette assertion n'est plus tout à fait valable dans le haut du spectre sonore ou l'oreille humaine a tendance à réduire subjectivement quelque peu les rapports de fréquences. Ce phénomène est très sensible sur un piano, ou une octave accordée juste dans l'aigu sonne fausse à l'oreille a l'auditeur qui, généralement, la trouve trop étroite. Note 2 : Si l'ensemble des échelons de la gamme devait dépasser nettement le domaine du rapport 2 des fréquences, la superposition des notes de mêmes noms ,issus des domaines voisins, produirait des dissonances très désagréables. Dans la pratique cependant, un rapport d'octave légèrement supérieur à 2 est possible, voire nécessaire: - Pour remédier au défaut de l'oreille humaine signalé en nota 1 on agrandit légèrement et progressivement le rapport d'octave des notes aiguës du piano. L'instrument ainsi accordé parait plus juste et brillant dans ses fréquences élevées. - L'inharmonicité présente dans le son des cordes vibrantes très tendues du piano a pour effet d'élargir les intervalles musicaux, toutes choses égales par ailleurs. Une octave pure aura un rapport très légèrement supérieur à 2. - Monsieur S. Cordier propose, ( voir paragraphe 4.3), l'accord du piano selon une gamme dite 'tempérament à quintes justes', dans laquelle toutes les octaves sont systématiquement agrandies à environ 2.004. Cette octave forte (1203 cents) améliore d'après lui, mais avec d'autres conséquences discutables, la relation du piano avec les instruments de l'orchestre. 14 1 . 2 Gammes diatonique et chromatique La gamme antique comportait sept sons séparés par des intervalles de deux types, appelés ton, et demi-ton, selon le schéma de la figure 1.1 : Do_Ré _Mi_Fa _ Sol_La _ Si_Do TT t TT Tt Figure 1.1: Gamme diatonique. T = ton, t = demi-ton. Cette succession de notes est appelée gamme diatonique, littéralement: procédant par tons. Comme dans de nombreuses autres gammes, le demi-ton n'est pas égal à la moitié mathématique d'un ton. Il est probable que la position des deux demi-tons dans la gamme est due aux attirances: de la sensible (7° degré = Si) vers la tonique (8° degré = Do), ainsi que du 4° degré (Fa = sous-dominante) vers le 3° degré (Mi = médiante). Les nécessités de la transposition imposèrent ensuite l'augmentation du nombre de sons de cette gamme. On imagina alors le système de l'altération des notes existantes, qui permettait de créer des échelons supplémentaires à l'intérieur de chacun des précédents intervalles de ton, sans avoir à leur affecter de nouveaux noms. La nouvelle gamme, qui peut alors comporter 17, voire 25 échelons, est habituellement limitée à 12 notes pour son utilisation sur les instruments à clavier. Elle est appelée gamme chromatique, littéralement: procédant par demi-tons. 1 .3 Modes, altérations Le Mode est l'ordre de succession des notes dans une gamme dont les échelons sont irrégulièrement espacés. Une même série, ou combinaison de notes jouées sur cette gamme donne, en effet, une impression différente selon le premier degré utilisé. Le mode, qui était dans l'Antiquité et jusqu'au Moyen Age, un élément essentiel de l'expression musicale, a perdu beaucoup de son intérêt au profit de la gamme chromatique dont le plus grand nombre d'échelons disponibles a permis l'avènement des procédés de transposition et de modulation. La transposition est la possibilité de faire entendre une phrase musicale identique avec des notes de hauteurs différentes. La modulation est une transposition temporaire à l'intérieur d'une composition musicale. On a conservé cependant l'appellation de mode majeur à la succession des notes diatoniques dans l'ordre des intervalles déjà indiqué par la figure 1.1. Des dispositions différentes, représentées sur la figure 1.2, ont été nommées modes mineurs. 15 Mode mineur classique ou harmonique Do Mode mineur mélodique forme ascendante Do Mode mineur mélodique forme descendante Do Figure 1.2 Ré Mib T Ré Mib T Lab T Sol Fa Sol T Sol Si Do Si Do T+t La T Fa T Modes mineurs harmonique Lab T T Sib T Fa T et mélodique. T Mib T Ré Do T T = ton, t = demi-ton. L'altération est un code selon lequel il faut baisser ou élever la fréquence d'une note connue, appelée note naturelle, d'une certaine quantité. La note est bémolisée (b) dans le premier cas, et dièsée (#) dans le second. Cette définition s'adresse particulièrement aux chanteurs ou instrumentistes libres de faire varier continûment le son émis par leur instrument: un violon par exemple. Pour les instruments à clavier l'altération peut être considérée comme l'indication d'une nouvelle note à laquelle correspond une touche particulière. Si l'amplitude du déplacement de hauteur commandé par l'altération est différente, plus petite ou plus grande que la moitié, (en valeur de rapport) de l'intervalle séparant deux notes naturelles formant un ton, deux notes altérées distinctes sont créées entre ces notes naturelles: par exemple Do# et Réb entre Do et Ré. Les notes altérées créent des demi-tons de deux types - le demi-ton chromatique == intervalle séparant deux notes de même nom: ex. Do et Do#. - le demi-ton diatonique = intervalle séparant deux notes de noms différents: ex. Do# et Ré. Un déplacement de fréquence supérieur à la moitié de l'intervalle de deux notes naturelles formant un ton, produit un demi-ton chromatique plus grand que le demi-ton diatonique. C'est le cas dans la gamme de Pythagore, par exemple, ou l'ordre des hauteurs croissantes des notes est: Do, Réb, Do#, Ré, .... L'inverse produit un demi-ton chromatique plus petit que le demi-ton diatonique, gamme de Zarlin par exemple, dans laquelle les hauteurs des notes se succèdent dans l'ordre croissant: Do, Do#, Réb, Ré,..... Si l'amplitude du déplacement est égale à la moitié de l'intervalle de ton, les deux demi-tons deviennent égaux. Do# et Réb sont alors confondus, c'est ce que l'on appelle l'enharmonie, dont l'exemple typique est donné par toutes les altérations du tempérament égal, improprement appelé gamme bien tempéré. 16 La figure 1.3, ci-dessous, illustre schématiquement les trois cas bien tempérée. Do Réb Do# Ré demi-ton D < - - - - - - - - >demi-ton C < - - - - - -> Gamme de Pythagore Do Do# Réb Ré Do Do#-Réb Ré demi-ton C < - - - - - - - ->< - - - - - - - -> < - - - - - - - - > demi-ton D = = <------> Gamme de Zarlin Tempérament Egal Figure 1.3 : Altérations de différents types. Les instruments à clavier, sur lesquels on ne peut raisonnablement dépasser douze notes par octave, ne comportent qu'une seule touche de note altérée entre les notes naturelles séparées par un ton. Sur nos pianos modernes, accordés en tempérament égal, ces touches, de couleur noire, correspondent à des altérations enharmoniques. On peut attribuer deux noms à chacune d'entre elles: Do# ou Réb pour la première dans l'octave, ré# ou Mib pour la seconde, etc. . Il n'en va pas de même, pour un orgue ou un clavecin, accordé suivant un tempérament à degrés inégaux: chaque touche de note altérée est attribuée soit à un dièse, soit à un bémo, l'un ou l'autre suivant le choix effectué pour sélectionner les seules douze notes de l'octave parmi les dix sept possibles. Il n'y a pas enharmonie: la touche Mib peut être considérée comme un Ré#, ou vice-versa. 1 .4 Rappel des unités de mesure Il s'agit d'unités de mesure des hauteurs musicales. Elles sont, pour la plupart, de type logarithmique, permettant de traiter les rapports de fréquences par addition ou soustraction. Le savart: Un rapport numérique x = F2 / FI s'exprime en savart: y par: y = 1000.Log10X Inversement, le rapport x correspondant à y savart est: x = (10) 1 savart - (10) 1/1000 = 1.002305 = (2) loctave = 301.029 savarts 17 1/303.03 y / 1000 Le cent: Le cent est une unité environ quatre fois plus petite que le savart. Elle a été définie en fonction du tempérament égal, de manière à ce que les échelons de ce dernier, tous égaux à un demi-ton, valent 100 cents. I / 1200 L'octave vaut 1200 cents, d'ou 1 cent = (2) = 1.0005778 Un rapport numérique x = F2/ FI s'exprime en cent y par: y cent = 1200. log2x = 3986.314 loglo x y / 1200 Inversement, le rapport x correspondant à y cent est: x = (2) y /3986.314 ou encore: x = (10) Si F2 n'est que faiblement supérieure à FI, soit F2 / FI < 1.02 , l'expression simplifiée y cent = 1731. ( x-I) est utilisable avec moins de 1 % d'erreur. N. B. : Le coefficient 1731 s'obtient par x = 1.0005778 dans la formule: 1/ (x - 1) . Unités anciennes Ces unités, correspondant à des intervalles caractéristiques importants, apparaissent dans tous les développements classiques sur les tempéraments. Leurs valeurs sont faibles, c'est à dire que les rapports dans lesquels elles interviennent sont voisins de 1 . On les exprime maintenant en cent, tout en conservant leurs dénominations de comma. Le comma pythagoricien C'est l'excédent relatif de 12 quintes pures (Qp) sur 7 octaves. 1 comma P = 12 Qp / 7 Oct. = 1.01364 = 23.5 cents. Le comma zarlinien ou syntonique C'est l'excédent relatif d'un ton majeur sur un ton mineur dans la gamme de Zarlin. C'est également le rapport entre une tierce majeure pythagoricienne et une tierce majeure pure. C'est aussi l'excédent relatif de quatre quintes pures sur une tierce majeure pure augmentée de deux octaves. 1 comma S (ou Z) = 81 / 80 = 1.0125 = 21.5 cents. 18 Le Comma enharmonique ou dièsis C'est l'intervalle qui sépare le dièse d'une note du bémol de la note supérieure, dans un ton mineur de la gamme de Zarlin. C'est également l'excédent relatif d'une octave sur trois tierces majeures pures. 1 dièsis = 128/125 = 1.024 = 41 cents Le schisma C'est le rapport entre 1 comma (P) et 1 comma (S). . 12 19 1 schlsma= (3 12 )/(81/80)=1.0011292=1.950cent C'est aussi, très sensiblement, le rapport d'une quinte pure à une quinte du tempérament égal. 7/12 (3/2)/(2 ) = 1.0011299=1.955cent Le comma holderien C'est l'intervalle élémentaire de la gamme théorique comportant 53 niveaux égaux par octave. 1/53 1 comma H = 2 = 1.01316 = 22.6 cents 1 .5 Intervalles naturels Ces intervalles, également appelés justes ou purs, sont caractérisés par des rapports de nombres entiers. Deux sons simultanés, dont les fréquences sont liées par de tels rapports, ne produisent aucun battement. Cette propriété est mise à profit pour l'accord des instruments de musique, l'une des deux notes de l'intervalle étant modifiée jusqu'à ce que le battement s'annule, ou prenne la valeur voulue si l'intervalle doit être tempéré. L'appellation juste, la plus répandue, n'est pas la meilleure car elle prête à confusion. La justesse est, en effet, une notion plus large, liée à notre éducation auditive, et ne correspond pas forcément à l'obtention du battement nul d'un intervalle. Les vocables naturel ou pur sont plus appropriés. Les données concernant les principaux intervalles purs sont rassemblées dans le tableau de l'annexe 1. 19 2. GAMME DE PYTHAGORE (VIo siècle avant J. C.) 2 .1 Origine, intervalles diatoniques Pythagore et ses disciples entreprirent à la fin du VIe siècle avant J.C. l'étude de la gamme grecque née de la pratique des tétracordes, heptacordes et octocordes. Les sept échelons existaient déjà, assez mal définis, et étaient exploités suivant les modes grecs bien connus. A cette époque, et pour longtemps encore, la monodie était seule pratiquée, les sons simultanés n'étant que rarement émis. La légende prétend que Pythagore eût l'intuition de sa théorie des intervalles après avoir entendu des marteaux de forge sonnant à la quarte, à la quinte et à l'octave. Les Pythagoriciens, beaucoup plus intéressés par la science des nombres que par l'art musical, étudièrent alors sur leurs monocordes les longueurs de cordes correspondants à ces intervalles. Dans ses écrits, Platon attribue la première détermination de la gamme complète à Philolaos. La théorie finalement mise sur pied définit les sept notes de la gamme par l'empilage de six quintes pures superposées. Les rapports de fréquences entre ces notes et le Do pris comme référence sont donnés sur la dernière ligne du tableau suivant: 3/2 Fa 2/3 3/2 3/2 Do 1 Sol 3/2 3/2 Ré (3/2)2 3/2 La (3/2)3 3/2 Si Mi (3/2)4 (3/2)5 Figure 2.1 : Empilage des six quintes pures. En replaçant ces notes dans l'ordre de leurs valeurs croissantes à l'intérieur d'une même octave, par division par la puissance de deux nécessaire, on obtient les intervalles présentés par le tableau de la figure 2.2. 1 Dol 9/8 Ré 81/64 4/3 3/2 27/16 243/128 2 Mi Fa Sol La Si Do2 9/8 9/8 256/243 9/8 9/8 9/8 256/243 Figure 2.2: Intervalles diatoniques de la gamme de Pythagore. L'intervalle de ton vaut 9/8 et forme une seconde majeure pure. Le demi-ton 256/243 est un peu inférieur à la moitié d'un ton. La quarte Do_Fa et la quinte Do_Sol sont pures. La tierce Do_Mi à 81 / 64 = 1.2656 est un peu plus large que la tierce pure 5 / 4 = 1.25. Les Pythagoriciens considéraient cet intervalle comme dissonant. 2 . 2 Génération de la gamme chromatique Jusqu'au Moyen Age la gamme de sept sons était utilisée pour le plain chant selon les modes inspirés de la tradition grecque. Le problème de la transposition à l'orgue d'accompagnement fut probablement l'un des arguments décisifs pour compléter cette gamme par des degrés chromatiques. La justification de ces nouveaux intervalles eût recours également au cycle des quintes. Il suffit en effet de prolonger de part et d'autre la première série de six quintes pures, ayant servi à définir les notes naturelles, pour faire apparaître, parmi d'autres, les intervalles utiles. Le processus pourrait d'ailleurs être continué autant qu'on le veut, mais sans intérêt, chaque quinte supplémentaire créant un nouvel intervalle différent. Deux séries de douze quintes pures, de part et d'autre de la note Do de référence, fournissent ainsi une gamme riche de vingt-cinq intervalles parmi lesquels une sélection pourra être opérée suivant les besoins. Une manière commode de représenter cette opération consiste à tracer (voir la figure 2.3), à la même échelle logarithmique, deux progressions géométriques: l'une de raison 2 pour les octaves, et l'autre de raison 3/2 pour les quintes. Les deux progressions sont mises en coïncidence sur le Do de référence, au milieu du diagramme, dont la moitié inférieure a été repliée, pour occuper moins de place, vers le haut dans la partie gauche de la page. Les quintes et les octaves croissent donc de bas en haut dans la partie droite du diagramme (cycle des quintes ascendantes), et décroissent dans le même sens (cycle des quintes descendantes) dans la partie gauche. 22
