Signal sinusoïdal (TPe)

PCSI - Lycée Carnot
Le signal sinusoïdal : production et observation
LE SIGNAL SINUSOIDAL : PRODUCTION ET OBSERVATION
Le but de ce premier TP est d’une part la prise en main du matériel nécessaire pour l’observation des ondes lors de la prochaine séance
(utilisation de l’oscilloscope), et d’autre part la mesure des grandeurs caractéristiques d’un signal sinusoïdal (cours sur les ondes mais
aussi sur l’oscillateur harmonique).
I Production du signal sinusoïdal
1) Branchements
Le signal sinusoïdal est produit par le générateur basse-fréquence (GBF) et son observation est réalisée grâce à l’oscilloscope.
Pour cela, relier directement la sortie du G.B.F. à la voie CH1 de l’oscilloscope ; plus précisément, on relie d’une part les deux
bornes noires entre elles (ces bornes de masse ont en effet un rôle particulier du fait de leur connexion à la terre du secteur), puis
les deux bornes rouges. On utilise la voie CH1 de l’oscilloscope plutôt que la voie CH2 car cet appareil synchronise les signaux
par défaut sur cette voie.
La fréquence du signal délivré par le GBF sera approximativement réglée à 1 kHz. Dans l’attente de voir dans le détail la
manière de régler l’oscilloscope, on utilisera la touche « AUTO », en haut et à droite de la façade, permettant comme son nom
l’indique par un réglage automatique des échelles d’obtenir un premier tracé convenable sur l’écran.
2) Définitions
La tension instantanée fournie par le générateur est une fonction sinusoïdale du temps t de la forme : uG (t) = UGm cos(ωt + ϕ G ) .
Par un choix judicieux de l’origine des temps, il pourra être écrit uG (t) = UGm cos(ωt ) et est alors représenté par le graphe cidessous :
uG
€
T
€
UGm
T
t
0
-UGm
UGm exprimée en Volt (V) et définie positive est l’amplitude du signal, c’est à dire la valeur maximale atteinte par uG(t).
U
On définit aussi la valeur efficace de cette même tension sinusoïdale u(t) par UG = Gm , ce qui permet d’écrire la tension
2
instantanée sous la forme uG (t) = UG 2 cos(ωt + ϕ G ) . L’intérêt de cette grandeur sera vu par la suite, mais signalons
simplement à ce stade que lorsque l’on mentionne la valeur de 220 V pour le secteur, il s’agit bien de la valeur efficace de la
tension que l’on indique et non son amplitude.
€
€ signal et s’exprime en radian par seconde (rad.s-1).
ω est la pulsation du
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2π
et s’exprime en seconde (s).
ω
Elle correspond à l’intervalle de temps nécessaire pour que uG(t) retrouve la même valeur en évoluant dans le même sens
(croissant ou décroissant) par exemple aux passages à 0, ou encore à l’intervalle de temps entre deux maximum (ou minimum
successifs). Expérimentalement, la mesure précise de la période se fait lors des passages du signal par 0. En effet, la
€
du
détermination de la position de ces points est très précise car la pente de la courbe y est très élevée ( G extrémale). Au
dt
du
contraire, l’emplacement d’un extremum est très difficile à appréhender précisément car uG y varie lentement ( G = 0 ).
dt
La période temporelle du signal est alors T =
€
1
On définit enfin la fréquence f du signal comme étant le nombre de périodes par seconde, ce qui donne donc f = . Elle
T
€
s’exprime en Hertz (Hz = s-1). L’appareil utilisé délivre un signal de « basse fréquence », typiquement
de quelques Hz à
6
quelques MHz (10 Hz).
2π
On peut donc écrire, pour résumer : ω = 2πf =
.
€
T
3) Réglages du GBF (Metrix GX 240, voir page 7/8)
€
Il s’agit de voir concrètement comment ajuster les paramètres définis ci-dessus à la valeur souhaitée.
Observer l’influence des réglages du GBF sur le signal s’affichant sur l’écran de l’oscilloscope.
* Fréquence f de façon continue avec un bouton rotatif, complété par la possibilité de sauts d’un facteur 10 (succession
de boutons poussoir « FREQUENCY » de 1 à 1 M).
* Amplitude UGm avec le bouton « LEVEL » (niveau), complété par la possibilité d’atténuer le signal d’environ 20 dB
(décibel) soit une division de l’amplitude par 10 permettant de travailler avec un signal de faible amplitude en appuyant
sur le bouton « ATT - 20 dB ».
* Forme du signal : sinusoïdal aujourd’hui, éventuellement créneaux ou triangulaire : succession de boutons poussoir.
* A noter la présence d’un bouton « DC OFFSET » permettant l’ajout une composante continue (offset = décalage) à un
signal « purement » sinusoïdal et provoquant une translation verticale de la courbe. Cette fonction s’active en tirant le
bouton correspondant (déclic). On veillera pour l’instant à ce qu’elle soit désactivée (bouton « enfoncé »).
II Observation à l’oscilloscope (RIGOL DS 2072, voir page 8/8)
Voyons maintenant quelques réglages de base permettant de gérer la courbe affichée sur l’écran de l’oscilloscope (tension en
fonction du temps), ainsi que quelques mesures possibles avec cet appareil.
Les fonctions y sont regroupées par catégories matérialisées par des blocs de boutons de commande sur la façade. Les sélections se
font par rotation, et les validations par appui, du bouton de réglage rotatif situé en haut et immédiatement à droite de l’écran.
Section « VERTICAL » :
* Echelle verticale : modification du gain par le gros bouton rotatif et affichage en bas à gauche de l’écran à côté du numéro de
la voie.
* Déplacement vertical de la trace : petit bouton rotatif.
Section « HORIZONTAL » :
* Echelle horizontale : modification par le gros bouton rotatif et affichage en haut de l’écran à gauche.
* Déplacement horizontal de la trace : petit bouton rotatif. Le petit triangle qui se déplace alors en haut de l’écran indique
l’instant où se fait la synchronisation : le signal y démarre à 0V par front montant (signal croissant).
Mesures automatiques :
Deux possibilités :
* Section « MENU » + touche « Measure » + gestion avec les touches à droite de l’écran.
* Accès direct avec les touches à gauche de l’écran :
« HORIZONTAL » : mesure de la période avec « Period » et de la fréquence avec « Freq ».
Attention : l’appareil effectue ces mesures à partir de la courbe affichée sur l’écran. En conséquence, il ne peut donner la
valeur de T ou de f que s’il est tracé au moins une période. A l’inverse, l’affichage d’un trop grand nombre de périodes
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entrainera une dégradation de la précision des mesures. On veillera donc à n’afficher que le minimum de périodes, mais
au moins une.
« VERTICAL » : (passage d’une voie à l’autre par appui sur CH1 ou CH2) : valeur efficace UG avec « Vrms », valeur pic à
pic (ou crête à crête) entre le minimum et le maximum soit 2 2UG avec « Vpp » et valeur moyenne (nulle en toute rigueur
ici, ou presque) avec « Vavg ».
Mesures manuelles : section « MENU » + touche « Cursor »
Gestion manuelle de curseurs permettant des mesures de tensions ou de temps sur les courbes (déplacement avec le bouton de
€
réglage).
A noter que ce sont ces curseurs qui gérés automatiquement par l’appareil, et invisibles la plupart du temps, permettent les
mesures automatiques décrites précédemment.
On vérifiera qu’il est alors possible de retrouver la fréquence du signal en plaçant correctement les deux curseurs verticaux.
On s’assurera aussi que l’on peut retrouver la valeur crête à crête du signal à l’aide des deux curseurs horizontaux.
II Phases et déphasage
1) Montage
On considère un dipôle (cadre en pointillés) alimenté
par le GBF. La tension imposée au dipôle est donc de la
G.B.F.
forme définie précédemment :
uG (t) = UGm cos(ωt + ϕ G ) .
On cherche à étudier la réponse du dipôle, c’est à dire
par exemple la tension aux bornes du résistor u R (t) .
R
C
Le dipôle sera ici constitué à titre d’exemple par
€
l’association série d’une bobine (bobine à pot de ferrite
(L, r)
d’inductance L ≈ 50 mH et de résistance r), d’un
€ C = 22 nF) et d’un
condensateur (céramique de capacité
dipôle étudié
résistor (carbone de résistance R = 1,0 kΩ).
voie CH1
voie CH2
L’oscilloscope permet l’observation simultanée de la
tension uG (t) délivrée par le GBF en voie CH2 et de la tension u R (t) aux bornes du résistor de résistance R en voie CH1
(bornes rouges). Les deux voies possèdent une borne commune (noire) qui est la borne de masse et qui doit être impérativement
reliée à la masse du GBF (noire aussi) :
.
A noter que l’oscilloscope, comme un voltmètre, se place toujours en dérivation sur le dipôle dont on veut mesurer la
€ tension à ses bornes.
€
La fréquence f de la tension délivrée par le GBF sera prise dans un premier aux alentours de 3 kHz.
2) Observations
On observe deux signaux de même forme (sinusoïdaux), synchrones (de mêmes pulsation, fréquence et période), mais décalés
dans le temps (les maximum, minimum et passage à 0 ne sont pas obtenus aux mêmes instants).
tension
t
0
Voie CH1 : uR(t)
Voie CH2 : uG(t)
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3) Définitions
Reprenons la tension délivrée par le GBF sous sa forme d’origine : uG (t) = UGm cos(ωt + ϕ G ) .
L’argument du cosinus, ωt + ϕ G , s’appelle la phase instantanée du signal. C’est un angle qui s’exprime en radian (rad).
Sa valeur à t = 0, donc ϕ G , s’appelle la phase à l’origine. C’est donc aussi un angle.
€
Pour tenir compte des observations précédentes, la tension prélevée aux bornes de R sera écrite u R (t) = U Rm cos(ωt + ϕ R ) .
€
C’est aussi une tension sinusoïdale, de même pulsation que la précédente, mais de phase à l’origine ϕ R différente pour tenir
€
compte du décalage temporel observé.
Il existe donc un déphasage entre les deux signaux, différence des phases à l’origine, de ϕ = ϕ R − ϕ G .
€
Par un choix judicieux de l’origine des temps, comme dans la première partie (I.2), on pourra écrire plus simplement
€
uG (t) = UGm cos(ωt ) et donc u R (t) = U Rm cos[ωt + (ϕ R − ϕ G )] soit encore u R (t) = U Rm cos(ωt + ϕ ) .
€
€
4) Mesures
€
€
Comment mesurer le déphasage ϕ entre les deux signaux ?
⎡ ⎛ ϕ ⎞⎤
Remarquons que l’on peut écrire u R (t) = U Rm cos(ωt + ϕ ) = U Rm cos⎢ω ⎜ t + ⎟⎥ = U Rm cos[ω ( t ± Δt )] .
⎣ ⎝ ω ⎠⎦
Δt (choisi positif) apparaît donc comme le décalage temporel entre les deux signaux.
tension
€
T
t
0
Δt
Voie CH1 : uR(t)
Voie CH2 : uG(t)
Pour obtenir graphiquement ϕ, on procède en deux temps :
2π
360
Δt en radian (où ϕ =
Δt en
T
T
degrés). On peut remarquer que, logiquement, ϕ atteint 2π quand Δt atteint T, et les signaux se retrouvent à nouveau en
phase.
Les mesures de T et de Δt, à l’aide des curseurs par exemple, sont€
susceptibles de fournir ϕ .
€
u
(t)
u
(t)
* Reste à obtenir son signe : ϕ est positif
si
est
en
avance
sur
,
c’est-à-dire
si
comme
dans
le cas présent u R (t)
R
G
€
atteint son maximum avant uG (t) , donc si le maximum de u R (t) est à gauche de celui de uG (t) (on rappelle que le temps
s’écoule de gauche à droite). ϕ est bien évidemment négatif dans le cas contraire où u R (t) est en retard par rapport à uG (t) .
€
€
€
€
L’oscilloscope peut afficher directement le déphasage entre ses deux voies : touches à gauche de l’écran, « HORIZONTAL » et
€
€
€
choix « Phase 1 → 2 ». L’appareil donnant par construction un déphasage positif si la voie CH1 est en avance sur la voie CH2, il
€
indiquera donc le signe correct pour ϕ avec les branchements effectués ici. €
* On détermine déjà sa valeur absolue à partir de la définition précédente : ϕ = ω .Δt =
On effectuera la mesure de ϕ à la fréquence initiale de 3 kHz, puis ensuite à 7 kHz.
€
On recherchera enfin la fréquence f0 à laquelle les deux signaux sont en phase (ϕ = 0).
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L’oscilloscope permet aussi d’observer la voie CH2 en fonction de la voie CH1,
c’est à dire dans notre cas le graphe représentant uG (t) en fonction de u R (t) . Il
faut pour cela appuyer dans la section « HORIZONTAL » sur la touche
« MENU» et choisir « X-Y » de la rubrique « Time Base » (on peut revenir au
mode « bicourbe » précédemment utilisé avec le choix « Y-T » du même menu.
uG
uR
€
€
Observer la courbe obtenue dans ce mode lorsque l’on fait passer progressivement
la fréquence de 1 à 10 kHz : c’est en général une ellipse « oblique » pour ϕ
quelconque, et une droite dans le cas particulier où ϕ = 0.
ϕ quelconque
Complément théorique :
€
Lorsque deux signaux synchrones mais déphasés sont portés sur deux axes
orthogonaux, on obtient dans le cas général une ellipse.
Prenons un repère cartésien Oxy avec des équations paramétriques x(t) = a cos ωt et y(t) = b cos(ωt + ϕ ) , avec a et b
positifs.
Intéressons nous à quelques cas particuliers de la valeur de ϕ :
* ϕ = 0 (signaux en phase)
€
€
cos ωt , on obtient bien une droite
On a alors x(t) = a cos ωt et y(t) = b cos ωt . En éliminant t, et plus précisément
b
b
d’équation y = x , donc de pente positive .
a
a
y
€
€
€
€
€
x
t
ϕ=0
€
Cette situation s’avère particulièrement intéressante pour repérer avec une grande précision le cas particulier où les deux
signaux sont en phase.
* ϕ = ±π (signaux en opposition de phase)
b
On a alors x(t) = a cos ωt et y(t) = b cos(ωt ± π ) = −b cos ωt . Ce qui donne aussi une droite mais de pente négative −
a
b
car d’équation y = − x .
a
€
€
€
y
€
t
x
ϕ = ±π
* ϕ =±
€
€
π
(signaux en quadrature)
2
⎛
π ⎞
x
y
On a alors x(t) = a cos ωt et y(t) = b cos⎜ωt ± ⎟ = ±bsin ωt . On en déduit cos ωt = et sin ωt = ± . En utilisant la
⎝
2 ⎠
a
b
2
2
x
y
relation trigonométrique cos 2 ωt + sin 2 ωt = 1 , on obtient finalement 2 + 2 = 1, ce qui correspond à l’équation
a
b
€
cartésienne
d’une ellipse
«
droite
»
dont
les
axes
de
symétrie
sont
les
axes
Ox
et
€
€ Oy. Il vient y = ±b pour x = 0 , et
€
x = ±a pour y = 0 . Elle s’inscrit donc dans un rectangle de longueurs de côtés 2a et 2b.
€
y
€
+b
€
€
€
-a
+a
t
x
ϕ = ± π/2
-b
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Observer les courbes obtenues en mode bicourbe et en mode XY pour les valeurs de ϕ suivantes :
* ϕ = 0 (phase) : on se place à la fréquence f0 précédemment mesurée.
* ϕ = π (opposition de phase) : le dipôle utilisé ne permettant pas normalement d’obtenir cette valeur, il faut modifier
artificiellement le signe d’une des voies. En effet, on a par exemple u R (t) = U Rm cos(ωt + π ) = −U Rm cos ωt . Pour cela, il
faut se rendre dans les réglages de la voie CH1 (bouton « CH1 » de la section « VERTICAL »), puis mettre « Invert » sur
« ON ». Après observation, on replacera « Invert » sur « OFF » pour revenir au signe initial.
* ϕ = + π/2 (quadrature avance) : il suffit de se placer à une fréquence très inférieure à f0 (d’un facteur 10 par exemple).
€
* ϕ = - π/2 (quadrature retard) : il suffit de se placer à une fréquence
très supérieure à f0 (facteur 10 aussi).
III Compléments
Etude facultative à ne traiter qu’après tout ce qui précède.
1) Phénomène de résonance
Le dipôle RLC série, comme un certain nombre d’autres, est le siège d’un phénomène de résonance. Une grandeur physique, ici
l’amplitude U Rm de la tension u R (t) , passe par un maximum pour une fréquence d’excitation particulière, ici f0. C’est un
phénomène très courant en physique, que l’on peut aussi rencontrer par exemple en mécanique.
Vérifier l’existence de ce phénomène par un rapide balayage en fréquence sur la plage [1 KHz, 10 kHz] en observant
l’évolution de l’amplitude de la voie CH1.
De€façon plus précise,€construire la courbe de résonance avec une dizaine de points régulièrement répartis sur l’intervalle
précédent, en mesurant simultanément pour chaque fréquence f la valeur efficace de la voie CH1. Tracer la courbe UR (f).
2) Trigger
Il existe une section « TRIGGER » (déclenchement) sur la façade de l’oscilloscope (en bas à droite) permettant la bonne
synchronisation du signal observé. Les réglages se font après appui sur le touche « MENU ».
* On choisit d’abord avec « Source» la voie sur laquelle s’effectue la synchronisation. En général, pour des signaux
synchrones, on sélectionne celle sur laquelle se trouve le plus "beau" des deux signaux, celui de plus forte amplitude et le
moins parasité, ici la voie CH2 sur laquelle est appliqué le signal provenant du générateur. La voie choisie s’affiche en haut
à droite de l’écran. A noter que par défaut, l’oscilloscope déclenche toujours sur la voie CH1 lorsque l’on active le calibrage
automatique avec « AUTO ».
* Ensuite, avec « Sweep», on choisit le mode de déclenchement. Par défaut, l’oscilloscope se place en mode automatique
« Auto». Il existe d’autres modes où l’utilisateur peut prendre plus ou moins la main sur le paramétrage du Trigger. Le mode
choisi s’affiche en haut à gauche de l’écran.
* Le bouton rotatif « Level » (niveau) de cette section règle le niveau de déclenchement, c’est-à-dire la valeur seuil que doit
atteindre la tension sur la voie sélectionnée pour que le tracé de la courbe démarre. Cette valeur se matérialise sur l’écran
lors de la rotation du bouton par l’apparition d’un trait horizontal et une valeur « Trig Level » (en bas à gauche de l’écran).
Elle reste de plus constamment affichée en haut à droite de l’écran.
* Enfin, avec « Slope » (pente), on peut choisir le sens de déclenchement : sur un front montant avec pour un démarrage
du tracé quand la valeur de seuil est franchie par valeurs croissantes du signal, ou sur un front descendant pour des valeurs
décroissantes. Le symbole correspondant s’affiche en haut à droite de l’écran.
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