Circuits Monophasés

Machines
électriques
LST GESA
Chapitre
2
Circuits Monophasés
2 Plan
•Fonctions Périodiques
•Grandeurs sinusoïdales
•Importance du régime sinusoïdal
•Réponse d’un circuit linéaire à une excitation sinusoïdale
•Exemple
Systèmes monophasés
2
2 Fonctions Périodiques
Une fonction périodique est une fonction qui
vérifie la relation f(t)=f(t+nT), où n est un nombre
entier et T la période mesurée en unité de temps.
Systèmes monophasés
3
2 Quelques définitions
Valeur crête ou amplitude A:
valeur maximale d’une fonction périodique
Systèmes monophasés
4
2 Quelques définitions
Valeur crête à crête:
écart maximal d’amplitude atteint durant une période
Systèmes monophasés
5
2 Quelques définitions
•Valeur moyenne
Systèmes monophasés
6
2 Quelques définitions
•Valeur efficace:
En anglais: rms value (Root Mean Square)
La valeur efficace est toujours positive !
X  X eff 
2
2
2
X

X

.......

X
 1 2
n 
n
Systèmes monophasés
7
2 Quelques définitions
•Facteur de forme:
Régime Sinusoidal :
•Facteur de crête:
Régime Sinusoidal :
X eff
F
X moy
X eff
0.707 X m
F

 1.11
X moy 0.632X m
X max
F
X moy
Xm
Xm
F

 1.414
X moy 0.632X m
Systèmes monophasés
8
2 Fonctions sinusoïdales
Systèmes monophasés
9
2 Fonctions sinusoïdales : fréquence
Fréquence: Nombre de cycle par unité de temps
Systèmes monophasés
10
2 Fonctions sinusoïdales : fréquence
L’unité de mesure la fréquence: le Hertz (Hz)
 Un Hertz correspond à la fréquence d’un phénomène
périodique dont la période T est une seconde
Heinrich Hertz (1857-1894), physicien
allemand. Ses travaux confirmèrent la
théorie électromagnétique de la lumière
de Maxwell.
Systèmes monophasés
11
2
Fonction sinusoïdale: fréquence angulaire ou pulsation
Fréquence angulaire ou pulsation: ω
 Unité rad/s
Systèmes monophasés
12
2
Fonction sinusoïdale: valeurs moyenne et efficace
• Valeur moyenne
• Valeur efficace
Systèmes monophasés
13
2
Valeur efficace d’une grandeur sinusoïdale:
•Valeurs efficaces
Systèmes monophasés
14
2
Déphasage entre deux grandeurs sinusoïdales
• Déphasage entre u(t) et i(t): ϕ = α − β
• Remarque: on considère toujours la valeur principale
du déphasage comprise entre –π et π.
•ϕ > 0
•ϕ < 0
tension en avance sur le courant
tension en retard sur le courant
Systèmes monophasés
15
2
Échauffement d’une résistance
Lorsque la tension est sinusoïdale, la puissance moyenne dissipée
dans une résistance est égale à l’intégrale, sur une période, du
produit du courant et de la tension instantanés.
Systèmes monophasés
16
2
Échauffement d’une résistance
Systèmes monophasés
17
2
Échauffement d’une résistance
Systèmes monophasés
18
2
Échauffement d’une résistance
La valeur efficace a été définie de sorte qu’un volt continu
ou 1 volt alternatif produise le même échauffement dans
une résistance!
Systèmes monophasés
19
2
Importance du régime sinusoïdal
La production d’énergie électrique fournit une tension
sinusoïdale: conversion énergie mécanique – énergie
électrique: rotation d’un bobinage placé dans un champ
magnétique
Systèmes monophasés
20
2
Importance du régime sinusoïdal
La seule fonction périodique qui possède une dérivée et
une intégrale analogue
Systèmes monophasés
21
2
Importance du régime sinusoïdal
La somme de deux fonctions sinusoïdales est une
fonction sinusoïdale
Systèmes monophasés
22
2
Importance du régime sinusoïdal
Développement en série de Fourier: représentation d’un
signal périodique f(t) par des fonctions sinusoïdales
Systèmes monophasés
23
2
Représentation d’un signal périodique par des
fonctions sinusoïdales:
Exemple :
Fonction
sinusoïdale
redressée:
2 Premiers
termes de la
série de
Fourier:
Systèmes monophasés
24
2
Représentation d’un signal périodique par des
fonctions sinusoïdales:
Exemple :
Fonction
sinusoïdale
redressée:
4 premiers
termes de la
série de
Fourier
Systèmes monophasés
25
2
Représentation d’un signal périodique par des
fonctions sinusoïdales:
Exemple :
Fonction triangulaire
4 premiers
termes de la
série de
Fourier
Systèmes monophasés
26
2
Importance du régime sinusoïdal
Transformation de Fourier:
Généralisation de la série de Fourier
Analyse fréquentielle de signaux non
périodiques
Systèmes monophasés
27
2
Réponse d’un circuit linéaire à une excitation sinusoïdale
Systèmes monophasés
28
2
Réponse d’un circuit linéaire à une excitation sinusoïdale
Systèmes monophasés
29
2
Réponse d’un circuit linéaire à une excitation sinusoïdale
Systèmes monophasés
30
2
Exemple 1
• Evaluer la valeur efficace, la fréquence et la période de la tension
appliquée u(t)
• Déterminer analytiquement le courant dans chacun des
éléments et celui fourni par la source
• Tracer chacun de ces courants


u (t )  170 cos  157,1t  
6

iR
iL
iC
R  170
C  46,8 F
L  0, 722H
Systèmes monophasés
31
2
Exemple 1
Systèmes monophasés
32
2
Exemple 1
Cet exemple nous montre que la solution pour un
circuit simple est déjà laborieuse et deviendrait
vite inutilisable pour des problèmes complexes.
Systèmes monophasés
33
2
Circuits en régime sinusoïdal
• Phaseurs et nombres complexe
• Nombres complexes
– Notions d’algèbre complexe
– Formule d’Euler
– Dérivation et intégration
• Phaseurs
– Définition
– Opérations élémentaires
• Impédance et admittance
Systèmes monophasés
34
2
Phaseurs et nombres complexes
Phaseur: moyen simple de représenter des tensions et
courants sinusoïdaux. Cette méthode a été proposée par
C.P. Steinmetz et est basée sur la relation d’Euler
v (t ) V max cos  t   0 
Transformation de
Phaseurs
V 
Charles Proteus Steinmetz (1865-1923),
ingénieur électricien américain d’origine
allemande. Il développa la méthode
symbolique pour les calculs en courant
alternatif.
Systèmes monophasés
35
2
Systèmes monophasés
36
2
Nombres complexes: définition
• On appelle nombre complexe z toute expression de
la forme
z  a  jb
Avec
j 2  1
j  1
j 4 1
3
j j
…….etc
Carl Friedrich Gauss (1777-1855), astronome,
mathématicien et physicien allemand. Il
introduisit le calcul complexe en 1801
Systèmes monophasés
37
2
Notions d’algèbre complexe
• Égalité de deux nombres complexes
•Conjugué complexe de
Systèmes monophasés
38
2
Notions d’algèbre complexe
• Addition et soustraction
• Multiplication
Systèmes monophasés
39
2
Notions d’algèbre complexe
• Division
•Conjugué complexe des opérations élémentaires
Systèmes monophasés
40
Nombres complexes:
2 représentation géométrique
z  a  jb
On appelle a la partie réelle, et b la partie imaginaire du
nombre complexe z. a  Re(z )
b  Im( z )
Représentation dans le plan complexe:
Systèmes monophasés
41
Nombres complexes:
2 représentation géométrique
: Module du nombre complexe
: Argument du nombre complexe
Systèmes monophasés
42
Nombres complexes:
2 D’autres propriétés
Distance entre deux nombre complexes:
Systèmes monophasés
43
Nombres complexes:
2 Formule d’Euler
Leonhard Euler (17071783), mathématicien suisse
mort à Saint-Pétersbourg
Systèmes monophasés
44
Nombres complexes:
2 Formule d’Euler
Systèmes monophasés
45
Nombres complexes:
2 Dérivation par rapport à l’argument
Systèmes monophasés
46
Nombres complexes:
2 Integration par rapport à l’argument
Systèmes monophasés
47
Nombres complexes:
2 Puissance et Racine
Puissance
Racine
Systèmes monophasés
48
2 Représentation complexe d’une grandeur sinusoïdale
Rappel: Formule d’Euler
Soit une fonction sinusoïdale
:valeur instantanée complexe
Systèmes monophasés
49
2 Représentation complexe d’une grandeur sinusoïdale
Systèmes monophasés
50
2 Le phaseur
Dans un circuit électrique linéaire en régime sinusoïdal permanent,
tous les courants et les tensions ont la même pulsation ω. Le terme
exp(jωt) est donc commun à toutes les grandeurs (courants et
tensions) du circuit. Toute grandeur peut être caractérisée
uniquement par son amplitude (valeur efficace) X et sa phase θ.
Systèmes monophasés
51
2 Le phaseur
Dans un circuit électrique linéaire en régime sinusoïdal permanent,
tous les courants et les tensions ont la même pulsation ω. Le terme
exp(jωt) est donc commun à toutes les grandeurs (courants et
tensions) du circuit. Toute grandeur peut être caractérisée
uniquement par son amplitude (valeur efficace) X et sa phase θ.
Systèmes monophasés
52
2 Diagramme des phaseurs
Systèmes monophasés
53
2
Opérations élémentaires sur les phaseurs
Addition
Systèmes monophasés
54
2
Opérations élémentaires sur les phaseurs
Soustraction
Systèmes monophasés
55
2
Opérations élémentaires sur les phaseurs
Multiplication
Systèmes monophasés
56
2
Opérations élémentaires sur les phaseurs
Quotient
Systèmes monophasés
57
2
Dérivation d’une grandeur sinusoïdale
Systèmes monophasés
58
2
Dérivation d’une grandeur sinusoïdale
Systèmes monophasés
59
2
Integration d’une grandeur sinusoïdale
Systèmes monophasés
60
2
Dérivation et intégration d’une grandeur sinusoïdale
• L’utilisation d’une représentation complexe des grandeurs
sinusoïdales permet de remplacer les opérations de
dérivation et d’intégration par une multiplication ou une
division par jω.
• Ainsi une équation intégro-différentielle se transforme en
une équation algébrique!
Systèmes monophasés
61
2
Interprétation géométrique
Systèmes monophasés
62
2
Interprétation géométrique
Systèmes monophasés
63
2
Impédance et admittance
L’impédance complexe d’un bipôle en régime permanent
sinusoïdal:
L’admittance complexe d’un bipôle en régime permanent
sinusoïdal:
Systèmes monophasés
64
2
Impédance et admittance
Z exprimé en ohm
Y exprimé en siemens
Systèmes monophasés
65
2
Impédance et admittance
Systèmes monophasés
66
2
Impédance et admittance
Systèmes monophasés
67
2
Application à la résistance
Systèmes monophasés
68
2
Application à une inductance
Systèmes monophasés
69
2
Application à un condensateur
Systèmes monophasés
70
2
Exemple
•Evaluer la valeur efficace, la fréquence et la période de la
tension appliquée u(t)
• Déterminer analytiquement le courant dans chacun des
éléments et celui fourni par la source
• Tracer chacun de ces courants


u (t )  170 cos  157,1t  
6

iR
iL
iC
R  170
C  46,8 F
L  0, 722H
Systèmes monophasés
71
2
• Source avec impédance interne
• Réseaux d’impédances
– Impédances en série
– Impédance en parallèle
• Diagramme de phaseur et d’impédance
• Lieu complexe
• Diviseurs de tension et de courant
• Théorèmes de Thévenin et de Norton en régime
Sinusoïdal
• Exemples
Systèmes monophasés
72
2
Source avec impédance interne
Généralisation de la notion de résistance interne: impédance interne
Zi
I
U0
U
Zu
U U 0  Z i I
Systèmes monophasés
73
Source avec impédance interne
2
Représentation équivalente en terme de source de
courant
I
I0
Yi 
1
Zi
U
Yu 
1
Zu
1
Yi 
Zi
I  I 0 Y iU
Systèmes monophasés
74
2
Equivalence sources de tension/courant
Zi
I
U0
U
Zu
U0  ZiI0
U0
I 0 Y i U 0 
Zi
I
I0
Yi 
1
Zi
U
Yu 
1
Zu
Systèmes monophasés
75
2
Mise en série d’impédances (d’admittances)
Z1
Z2
Zn
Z3
Z s  Z k
n
Z s  Z k
k 1
1
1
1
Ys  n
 n
1
Zs
Zk 

k 1
k 1Y k
Systèmes monophasés
76
2
Mise en parallèle d’impédances (d’admittances)
Y
Y
1
Y
2
..............
Y
p
 Y
k
n
n
Y P  Y k
k 1
1
1
1
ZP   n
 n
1
YP
Yk 

k 1
k 1 Z k
Systèmes monophasés
77
2
Bipôles composites élémentaires
Systèmes monophasés
78
2
Bipôles composites élémentaires
Systèmes monophasés
79
2
Diagramme d’impédance
Systèmes monophasés
80
2
Diagramme d’impédance
Circuit RLC série
Systèmes monophasés
81
2
Diagramme d’impédance
Circuit RLC série
Systèmes monophasés
82
2
Diagramme d’impédance
Circuit RLC série
I
R
L
C
U
Systèmes monophasés
83
2
Diagramme de phaseur: circuit série-parallèle
U3
U1
I1
R1
C1
I
I2
R3
L3
L2
Systèmes monophasés
84
2
Lieu complexe: circuit résonnant série
Systèmes monophasés
85
2
Lieu complexe: circuit résonnant série
Systèmes monophasés
86
2
Tripôles équivalents
Systèmes monophasés
87
2
Diviseurs de tension
Systèmes monophasés
88
2
Théorème de Thévenin en régime sinusoïdal
Toutes les sources ont la même fréquence
Systèmes monophasés
89
2
Théorème de Norton en régime sinusoïdal
Toutes les sources ont la même fréquence
Systèmes monophasés
90
2
Exemple 1: Circuit RL série
Systèmes monophasés
91
2
Exemple 2: Circuit RC série
Systèmes monophasés
92
2
Exemple 3: Circuit RLC
Déterminer le courant i(t)
Systèmes monophasés
93
2
Exemple 4: Théorème de Thévenin
Systèmes monophasés
94
2
Circuits en régime sinusoïdal IV
•Puissance instantanée en régime sinusoïdal
• Puissance active P
• Puissance réactive Q
• P et Q pour une résistance, une inductance, une capacité
• P et Q pour une impédance
• Puissance apparente S
• Facteur de puissance
• Correction du facteur de puissance
• Exemple
Systèmes monophasés
95
2
Puissance instantanée en régime sinusoïdal
Systèmes monophasés
96
2
Puissance instantanée en régime sinusoïdal
Systèmes monophasés
97
2
Puissance instantanée en régime sinusoïdal
Systèmes monophasés
98
2
Puissance instantanée en régime sinusoïdal
Systèmes monophasés
99
2
Puissance instantanée en régime sinusoïdal
Systèmes monophasés
100
2
Puissances active et réactive
Systèmes monophasés
101
2
P et Q pour une résistance
Systèmes monophasés
102
2
P et Q pour une Inductance
Systèmes monophasés
103
2
P et Q pour une Inductance
Systèmes monophasés
104
2
P et Q pour une mpédence
Systèmes monophasés
105
2
Puissance apparente complexe
Systèmes monophasés
106
2
S pour une impédance
Systèmes monophasés
107
2
S pour une impédance
Systèmes monophasés
108
2
Puissance Apparente
Systèmes monophasés
109
2
Puissance réactive: exemple
Ligne monophasée, charge RL en série
Systèmes monophasés
110
2
Puissance réactive: exemple
Systèmes monophasés
111
2
Puissance réactive: exemple
Systèmes monophasés
112
kVA
kVAR
Puissance réactive: exemple
kW
2
Systèmes monophasés
113
2
Facteur de puissance
Systèmes monophasés
114
2
Amélioration du facteur de puissance
•En général, dans l’industrie, les charges sont de
nature inductive
• Pour tirer le maximum des équipements, la
puissance réelle doit se rapprocher le plus
possible de la puissance apparente, i.e. on doit
minimiser la puissance réactive
Systèmes monophasés
115
2
Amélioration du facteur de puissance
•Dans le triangle des puissances, la longueur S doit
tendre vers celle de P et φ doit être aussi petit que
possible.
• On diminue cet angle en ajoutant des
condensateurs en parallèle avec la charge: c’est la
correction du facteur de puissance.
Systèmes monophasés
116
2
Avantage de l’amélioration du facteur de puissance
•Réduit la puissance réactive et le courant absorbé par la charge.
• La puissance active transitée par les transformateurs est
optimisée.
• Réduit la chute de tension dans les conducteurs.
• Réduit les pertes de puissance dans les conducteurs lors
• La section de conducteur peut être réduite au minimum
(économies).
• Le prix de base de l'énergie électrique (kWh) augmente si le FP est
faible.
• Moins de puissance doit être généré (avantages
environnementaux).
Systèmes monophasés
117