Fiche Elec5 : Régimes sinusoïdaux forcés 1 Représentation

PCSI
Physique
Fiche Elec5 : Régimes sinusoïdaux forcés
Pour un système linéaire, après une durée de quelques τ le régime transitoire se termine pour laisser
place au régime établi qui est ici un régime sinusoïdal forcé : toutes les grandeurs électriques sont alors
sinusoïdales de même pulsation que l’excitation.
1
Représentation complexe d’une grandeur sinusoïdale
x(t) = Xm cos(ωt + ϕ) ←→ x = Xm ej(ωt+ϕ) = X m ejωt
Xm : amplitude
;
(ωt + ϕ) : phase
;
X m = Xm ejϕ : amplitude complexe
dx
dt
2
2.1
;
avec Xm = |X m |
R
= (jω)x,
xdt =
ϕ : phase à l’origine.
et
ϕ = Arg(X m )
x
(jω) .
Réponse des dipôle usuels en régime sinusoïdal forcé
Impédance complexe
Z=
2.2
ω : pulsation
u
U
= m
i
Im
|Z| =
Um
Im
Arg(Z) = ϕu − ϕi
Impédances complexes des dipôles usuels
ZR = R
Z L = jLω
ZC =
1
jCω
Aux basses fréquences (B.F.) :
L ←→ fil
C ←→ interrupteur ouvert
Associations d’impédances :
3
3.1
Z eqserie
Aux hautes fréquences (H.F.) :
L ←→ interrupteur ouvert
C ←→ fil
P
P
P
1
= k Z1 (ouY eq// = k Y k )
= k Zk
Z
eq//
Méthodes et théorèmes utiles pour l’étude de circuits en
régime sinusoïdal forcé
Ponts diviseurs
Pont diviseur de tension :
Z
uk = P kZ u
k
3.2
Pont diviseur de courant :
Y
ik = P kY i
k
k
k
(DF)
Loi des noeuds en termes de potentiels
Au nœud N :
3.3
k
P
k
V N −V k
Zk
+ ηk
sortant
=0
Equivalence Thévenin-Norton
Tout générateur de Thévenin vu des bornes A et B (association série d’une f.e.m. complexe eAB et
d’une impédance complexe Z AB ), est équivalent à un générateur de Norton (association parallèle
d’un c.e.m. complexe η AB et d’une impédance complexe Z AB ) à condition que :
eAB = Z AB η AB
1
(F)
PCSI
4
Physique
Etude du circuit (R,L,C) série en régime sinusoïdal forcé
1
Lω0
ω
ω0 = √
,Q =
,x =
R
ω
LC
0
Im =
Um
R + j(Lω −
1
Cω )
=
Im,max
1 + jQ(x − x1 )
U Cm =
– Résonance d’intensité pour ωr,i = ω0 : Im = Im,max =
Bande passante : (ωc2 − ωc1 ) = ωQ0 .
(pulsations de coupure ωci données par Im (ωci ) =
Um
R
Im,max
√
)
2
– Résonance de tension aux bornes de C (de charge) si Q >
Surtension UCm,max =
5
Um
Um
=
x
2
1 − LCω + jRCω
1 − x2 + j Q
√1
2
pour ωr,c = ω0
q
1−
1
2Q2
< ω0 :
√2QUm
4Q2 −1
Bilan d’énergie en régime sinusoïdal forcé
Puissance instantanée reçue par un dipôle orienté en convention récepteur : P (t) = u(t)i(t).
Puissance moyenne (= puissance active) reçue par un dipôle orienté en convention récepteur :
Pa = 12 Um Im cos(ϕu − ϕi ) = Ue Ie cosϕ
cosϕ est le facteur de puissance.
Puissance complexe reçue par un dipôle orienté en convention récepteur : P = 12 U m I ∗m .
P = Pa + jPr
avec Pr = Ue Ie sinϕ
la puissance réactive.
Un dipôle d’impédance Z, et d’admittance Y , fonctionnant en régime sinusoïdal forcé consomme en
moyenne la puissance active :
Pa = <(Z)Ie2 = <(Y )Ue2
2