La moyenne et médiane d`un ensemble de numéros

La moyenne et médiane d’un ensemble de numéros
Il nous arrive parfois de vouloir se faire une image ou une idée d’un ensemble de nombres
afin de le comparer à un autre ensemble de nombres. Une façon de s’y prendre est de trouver
un numéro qui représenterait son “centre”. Il y a deux méthodes très communes, mais très
différentes, de se faire une idée du “centre” d’un ensemble de numéros: la moyenne et la
médiane de l’ensemble.
Soit un ensemble de n numéros, {a1 , a2 , a3, . . . an−1 , an } placés en ordre croissant.
• Nous définissons la moyenne M de ces numéros comme suit:
M=
a1 + a2 + a3 + · · · an−1 + an
n
• On calcule la médiane m de cet l’ensemble en utilisant une de deux façons, dépendant
du nombre n:
– Si n est impair la médiane est m = a n + 1 . Il s’agit essentiellement du numéro
2
2
de l’ensemble pour lequel il y a le même nombre de numéros à sa droite qu’à sa
gauche.
∗ Par exemple la médiane de {2, 5, 6, 9, 9} est 6.
∗ La médiane de {2, 5, 8, 8, 9, 10, 11} est 8.
– Si n est un nombre pair l’expression
a +a
est m = k 2 k+1 .
n
2
= k est un nombre entier. La médiane
∗ Par exemple la médiane de {2, 5, 9, 10, 11, 11} est 9, 5 puisqu’il y a six numéros
(un nombre pair) dans l’ensemble et donc la médiane m est 9+10
2 = 9, 5.
∗ La médiane de {2, 5, 5, 5} est évidemment 5.
Voici quelques exemples.
1. Supposons que {34, 59, 60, 61, 70, 99, 99} représentent les notes d’une classe obtenues
lors d’un examen de mathématiques.
• La moyenne M de cet ensemble de numéros est:
M=
34 + 59 + 60 + 61 + 70 + 99 + 99
= 68, 9
7
• Pour trouver la médiane m on constate d’abord qu’il y a 7 numéros en ordre
croissant dans cette ensemble et donc il y a un numéro qui est au centre, soit le
quatrième numéro, m = 61.
1
2. On nous donne l’ensemble suivant de numéros: {4, 8, 8, 11, 11, 12}.
• La moyenne M de cet ensemble de numéros est:
M=
4 + 8 + 8 + 11 + 11 + 12
=9
6
• Pour trouver la médiane m on constate d’abord qu’il y a 6 numéros en ordre
croissant. Puisque 26 = 3 la médiane m de cet ensemble est:
m=
le troisième numéro + le quatrième numéro
8 + 11
=
= 9, 5
2
2
3. Voici un problème un peu plus difficile: Supposons qu’il y a dans une école 4 classes de
huitième année chacune ayant écrit le même examen de mathématiques. La première
classe de 19 élèves a eu une moyenne de 71%, la deuxième classe de 12 élèves a eu
une moyenne de 54%, la troisième classe de 27 élèves a eu une moyenne de 65% et la
quatrième classe de 6 élèves a obtenue une moyenne de 99%. Quelle est la moyenne
des quatre classes ensembles?
Solution
• Soit mn =“la somme des notes de la nème classe” et Mn =“la moyenne obtenue par
la nème classe” où n = 1, 2, 3, 4.
• Nous obtenons ainsi 4 équations:
M1
M2
M3
M4
=
=
=
=
71
54
65
99
=
=
=
=
m1 /19
m2 /12
m3 /27
m4 /6
• Dans chaque équation on isole l’expression mn :
m1
m2
m3
m4
=
=
=
=
71 × 19
54 × 12
65 × 27
99 × 6
2
= 1 349
=
648
= 1 755
=
594
• On obtient la moyenne M des quatre classes ensembles par l’expression
M
la somme de toutes les notes
le nombre d’élèves
1 349 + 648 + 1 755 + 594
=
19 + 12 + 27 + 6
4 346
=
64
= 67, 9
=
• Donc la moyenne de tous les élèves de la huitième année est M = 67, 9%
c Club Pythagore, 2007
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