Feuille 2 Méthodes itératives pour syst`emes linéaires

ENSIMAG 1ère année (2008-09)
TD Méthodes numériques
Feuille 2
Méthodes itératives pour systèmes linéaires
Exercice 1 : Rayon spectral d’une matrice
A une norme k k sur Cn on associe une norme matricielle sur Mn (C), appelée
norme induite par la norme k k de Cn , et définie par
kAk =
Sup
kA xk
x∈Cn ,kxk=1
pour toute matrice A ∈ Mn (C). On appelle rayon spectral d’une matrice
A ∈ Mn (C) et on note ρ(A) le plus grand module des valeurs propres de A.
1- Montrer que pour toute norme induite sur Mn (C) et pour tout A ∈ Mn (C)
on a ρ(A) ≤ kAk.
2- Etant donné A ∈ Mn (C) et > 0, montrer qu’il existe une norme induite
telle que kAk ≤ ρ(A) + .
Indication : mettre la matrice A sous forme de Jordan (voir annexe), puis
faire un changement de base de manière à rendre ses coefficients non diagonaux d’ordre .
3- Montrer que lim Ak = 0 si et seulement si ρ(A) < 1.
k→+∞
4- Montrer que pour toute norme sur Mn (C), lim kAk k1/k = ρ(A).
k→+∞
Exercice 2 : Suites récurrentes linéaires
Etant donné M ∈ Mn (R) et f ∈ Rn , on considère la suite (xk )k≥0 dans Rn
définie par
xk+1 = M xk + f, x0 ∈ Rn .
(1)
On suppose que la matrice I − M est inversible.
1- Montrer que si la suite (xk ) converge vers x ∈ Rn alors
(I − M ) x = f.
1
(2)
2- Montrer que (xk ) converge pour tout x0 ∈ Rn si et seulement si ρ(M ) < 1.
Etudier la vitesse de convergence de la suite en fonction de ρ(M ).
Dans la suite du problème on suppose que ρ(M ) < 1.
3- Montrer qu’il existe une norme induite pour laquelle kM k < 1.
4- En utilisant la question 3, montrer que
kxk − xk ≤
kM k
kxk − xk−1 k.
1 − kM k
5- En déduire l’estimation d’erreur
kxk − xk ≤
kM kk
kx1 − x0 k.
1 − kM k
Exercice 3 : Méthodes itératives pour des systèmes linéaires
Etant donné une matrice inversible A ∈ Mn (R) et b ∈ Rn , on souhaite
résoudre le système linéaire
x ∈ Rn ,
A x = b,
(3)
en utilisant une méthode itérative. Pour cela on décompose la matrice A
en A = M − N avec M inversible, et on considère la suite (xk )k≥0 dans Rn
définie par
M xk+1 = N xk + b, x0 ∈ Rn .
(4)
1- Donner une condition nécessaire et suffisante sur M et N pour que la suite
(xk ) converge vers x quel que soit x0 ∈ Rn .
Dans la suite de l’exercice on
√ suppose A symétrique définie positive. On
n
munit R de la norme kxk = xt Ax, et Mn (R) de la norme induite associée.
2- Montrer que M t + N est symétrique.
3- Montrer que si M t + N est symétrique définie positive alors kM −1 N k < 1
et la suite (xk ) converge vers x.
Indication : étant donné v ∈ Rn et w = M −1 Av, montrer les égalités
kM −1 N vk2 = kv − wk2 = kvk2 − wt (M t + N )w.
2
Exercice 4 : Méthodes de Jacobi et Gauss-Seidel
On considère le système linéaire (3) de l’exercice précédent et le schéma
itératif (4). On décompose la matrice A en A = L + D + U , où D est la
matrice diagonale telle que dii = aii et




0 ···
···
0
0 a12 · · · a1n
.. 
..
..

 .. . . . . . .

.
. 
.
 a
 .

L =  .21 .
,
U
=

 .
.
.
.
.
..
..
.. 
. . an−1,n 
 ..
 ..
an1 · · · an,n−1 0
0 ··· ···
0
1- La méthode de Jacobi consiste à choisir M = D et N = −L − U . Montrer
que si A est à diagonale strictement dominante alors l’itération de Jacobi
converge.
Indication : on pourra estimer kM −1 N k∞ avec la formule donnée en annexe.
2- La méthode de Gauss-Seidel consiste à fixer M = D + L et N = −U
(l’étude de sa convergence est abordée dans l’exercice suivant). Montrer
qu’on peut programmer cette méthode en utilisant un seul vecteur à n composantes pour stocker les données.
Exercice 5 :
Méthode SOR
Afin de résoudre le système linéaire (3) de manière itérative, on considère la
méthode SOR (“successive over-relaxation”) définie par
(D + ωL) xk+1 = [(1 − ω)D − ωU ] xk + ωb,
x0 ∈ Rn
(5)
où ω > 0 est un paramètre et les matrices L, U, D sont définies dans l’exercice 4
à partir de la matrice A de (3). Pour ω = 1 on retrouve en particulier la
méthode de Gauss-Seidel.
1- Sous quelle condition sur A la matrice D + ωL est-elle inversible ?
2- Montrer que si la méthode SOR converge quel que soit x0 ∈ Rn alors
0 < ω < 2.
Indication : utiliser la question 1 de l’exercice 3 et calculer le déterminant
de
1−ω
D
D − U]
( + L)−1 [
ω
ω
3
3- On suppose que la matrice A est symétrique définie positive. Montrer
que si 0 < ω < 2 alors la méthode SOR converge (utiliser la question 3 de
l’exercice 3).
Annexe
Forme réduite de Jordan
Toute matrice A ∈ Mn (C) peut

J1 0 · · · · · · 0
..

 0 J2 0
···
.
 .
..
.
.

..
..
J =  .. 0
.
 . . .
.
.
.
 . .
. Jk−1 0
0 0 ···
0
Jk
s’écrire A = P J P −1 avec J


λm 1
0



 0 λm 1


..
 , Jm =  ...
.
0



 .
.
.. . . .

 ..
0
0 ···
de la forme

··· 0
. . . .. 
. 

..
. 0 
.

λm 1 
0 λm
La matrice diagonale par blocs J est appelée forme de Jordan de A. Les
matrices Jm (m = 1, . . . , k) de taille nm × nm sont appelées blocs de Jordan.
On appelle nm l’indice du bloc de Jordan Jm (nm ≥ 1). Lorsque A est
diagonalisable on a k = n et tous les blocs de Jordan sont d’indice 1.
Normes matricielles induites k k1 et k k∞
Les normes matricielles induites par les normes vectorielles kxk1 =
et kxk∞ = Max |xi | sur Cn s’écrivent pour tout A ∈ Mn (C)
1≤i≤n
kAk1 =
kAk∞ =
Sup
x∈Cn ,kxk1 =1
kA xk1 = Max
Sup
x∈Cn ,kxk∞ =1
j=1,...,n
n
X
i=1
kA xk∞ = Max
i=1,...,n
4
|aij |,
n
X
j=1
|aij |.
Pn
i=1
|xi |