EXAMEN DE MATHEMATIQUE Nom : Prénom : Professeur : Patient Kigheri Classe : 5ème Sciences Date : Nombre de compétences réussies : Appréciation : Compétences : Technique de calcul : Application (structuration ) : Modélisation : Démonstration : Question 1 Calculer m , le déterminan t . Donner le résultat sous la forme la plus simple m 2 2m m - 1 1 m 2 1 m2 2 1 2m Question 2 Déterminer , si elle existe , la matrice inverse de : 3 11 A - 2 6 -1 2 5 3 1 Question 3 Résoudre et discuter les systèmes suivants : x (m 1) y (2m - 3) z 1 mx 2(m - 1)y 2 z 2 (m 1) x 3(m - 1)y (m 2 - 1)z 3 Question 4 On donne l’équation X 2 - 4X 3.I 0(e) Avec X : Matrice inconnue 2x2 1 I : est la matrice unité 0 0 0 : est la matrice nulle 0 a c b d 0 1 0 0 a) Vérifier que la matrice M ci - dessous est la solution de (e) 0 1 M 3 2 b) Calculer la matrice inverse de M , appelée M - 1 c) Résoudre l' équation (e) Géométrie dans l’espace Question 1 Démontrez les théorèmes suivants en spécifiant l’hypothèse , la thèse et le dessin : a) Si une droite D est parallèle à une droite A , incluse dans un plan β , alors la droite D est parallèle au plan β. b) Si Deux droites A et B sont parallèles , alors tout plan β , qui coupe l’une , coupe l’autre c) Si deux plans α et β sont parallèles , alors tout plan π , qui coupe l’un , coupe l’autre et les deux droite d’intersection sont parallèles Question 2 On donne le cube MNPQRSTU et le plan passant par A, B et C . Recherche l’intersection de ce plan avec le cube , en justifiant les différentes étapes . Question 3 On donne un plan P , un quadrilatère ABCD de ce plan , une droite d du plan P et un point S en dehors de P . sur SD , on marque un point K . Déterminer les intersections des droites SB , SC , SA avec le plan ( d , K) . Justifie les différentes étapes . Les suites Question 1 La somme de trois nombres en progression géométrique est 21 et la somme de leurs carrés est 189 . Trouver ces nombres . Question 2 a) Démontrez la formule de la somme d’une progression géométrique . b) Démontrez la formule de la moyenne arithmétique . Question 3 Soit le nombre 0.9999999...9... dont la partie décimale comporte une suite infinie de 9 notre propos est de se demander s' il existe une écriture plus simple de ce nombre . A cet effet , on considère les suites u n telle que : u 1 0.9, u 2 0.09 , u 3 0.009 .... s n telle que : s1 0.9 , s 2 0.9 0.09 , s 3 0.9 0.09 0.009 ... a) Ecris le terme général de la suite (u n ) b)Cette suite converge - t - elle? c)Ecris le terme général de la suite (s n ) d) La suite (s n ) converge - t - elle? Question 4 n2 1 (n N o ) On donne la suite u n 2 2n n a) Calculer la limite de la suite u n pour n tendant vers l' infini b) Exprimer que cette suite est convergent e à partir de la définition d' une suite convergent e et calculer N pour 0.001