Exercice [Créteil, Paris, Versailles, 2004] Solution [Créteil, Paris

Exercice [Créteil, Paris, Versailles, 2004]
Sachant que 36202744 = 9658 x 3748 + 4560, donner le quotient de la division euclidienne de
36202744 par 3748.
Solution [Créteil, Paris, Versailles, 2004]
On peut écrire 36202744 = 3748 x 9658 + 3748 + 812 = 3748 x 9659 + 812.
Le quotient de la division euclidienne de 36202744 par 3748 vaut donc 9659 et le reste 812 (je
vérifie aisément que le reste obtenu est bien un nombre naturel strictement inférieur au diviseur
3748).
Exercice [Besançon 1998]
Quels sont les entiers naturels a et b tels que a2-b2 = 255 ?
Solution [Besançon 1998]
a2 - b2 = (a - b) x (a + b).
Les écritures multiplicatives de 255 comme produit de deux entiers naturels :
255 = 1 x 255 = 3 x 85 = 5 x 51 = 15 x 17,
car comme la liste des diviseurs de 255 est 1, 3, 5, 15, 17, 51, 85, 255, je déduis que 255 ne peut
s'écrire comme produit de deux entiers naturels que de quatre façons différentes
Premier cas :
J'ai 1 x 255 = (a - b) x (a + b).
Comme a - b < a + b, je déduis que a - b = 1 et a + b = 255.
Il me reste un système à deux équations et deux inconnues que je sais résoudre, par exemple par
substitution :
de a - b = 1, je déduis a = b + 1 ;
dans l'équation a + b = 255, je substitue à a la valeur b + 1 ;
et j'obtiens b + 1 + b = 255, puis 2 x b = 254, puis b = 127 ;
sachant que b = 127 et que a = b + 1, je déduis que a = 128 ;
je vérifie que a = 128 et b = 127 sont bien solutions du système de départ.
Dans ce cas, j'ai a = 128 et b = 127.
Autres cas :
Dans le cas 3 x 85 = (a - b) x (a + b), j'obtiens a = 44 et b = 41.
Dans le cas 5 x 51 = (a - b) x (a + b), j'obtiens a = 28 et b = 23.
Dans le cas 15 x 17 = (a - b) x (a + b), j'obtiens a = 16 et b = 1.
Exercice : division euclidienne à compléter
Compléter les ¤ par des chiffres en convenant qu'un chiffre situé en première position est non nul.
¤ ¤ 7
- 3 ¤ 4
¤ ¤
- ¤ ¤
1
6 3 6
¤ ¤
¤
¤
¤
Indiquer toutes les manières possibles pour compléter ces ¤ .
Solution : division euclidienne à compléter
Lorsque j'écris la table des multiples de 36, cela me donne déjà un renseignement.
1x36= 36
2x36= 72
3x36= 108
4x36= 144
5x36= 180
6x36= 216
7x36= 252
8x36= 288
9x36= 324
En effet, la deuxième ligne du côté gauche de la potence est imposée, ainsi que le chiffre des
dizaines du quotient.
¤ ¤ 7 6 3 6
- 3 2 4
9 ¤
¤ ¤ ¤
- ¤ ¤ ¤
1 ¤
Puis-je proposer plusieurs possibilités pour le dividende ?
Oui, le résultat de l'opération ¤¤7 - 324 = ¤¤ est un reste partiel de la division euclidienne, et il est
donc inférieur strictement au diviseur 36.
Le dividende est donc 3376, 3476 ou 3576 (car il est convenu que le premier chiffre d'un nombre
est non nul).
1. Je me place dans le cas de 3376 et effectue la division euclidienne par 36.
3 3 7 6 3 6
- 3 2 4
9 3
1 3 6
- 1 0 8
2 8
Ce cas ne convient pas car il place un 2 comme chiffre des dizaines du reste au lieu du 1 requis.
2. Je me place alors dans le cas de 3476 et on effectue la division euclidienne par 36.
3 4 7
- 3 2 4
2 3
- 2 1
2
Ce cas ne convient pas non plus car il place un 2
requis.
6 3 6
9 6
6
6
0
comme chiffre des dizaines du reste au lieu du 1
3. Je me place enfin dans le cas de 3576 et on effectue la division euclidienne par 36.
3 5 7 6 3 6
- 3 2 4
9 9
3 3 6
- 3 2 4
1 2
Ce cas convient ! Je viens d'exhiber l'unique solution.
Exercice [Bordeaux, Caen, Clermont, Nantes, Orléans-Tours, Poitiers, La
Réunion, 2000]
Les lettres a et a' désignent des entiers naturels. Dans la division euclidienne de a par 11, le reste est
r. Dans la division euclidienne de a' par 11, le reste est r'.
(1) Déterminer le reste dans la division euclidienne de a + a' par 11.
(2) Déterminer le reste dans la division euclidienne de 3 x a par 11.
Solution [Bordeaux, Caen, Clermont, Nantes, Orléans-Tours, Poiriers, La
Réunion, 2000]
Je commence par faire ce qui doit être automatique lorsque l'on travaille algébriquement avec la
division euclidienne : une traduction algébrique des données.
a = q x 11 + r (égalité de la division euclidienne de a par 11) ;
0 ≤ r ≤ 10 (double-inégalité de la division euclidienne par 11).
a' = q' x 11 + r' (égalité de la division euclidienne de a' par 11) ;
0 ≤ r' ≤ 10 (double-inégalité de la division euclidienne par 11).
(1) Déterminer le reste dans la division euclidienne de a + a' par 11.
Pour la première question, on nous demande de travailler sur a + a', je donne donc une nouvelle
expression de cette quantité.
J'obtiens a + a' = (q + q') x 11 + r + r'.
Je ne suis pas loin de la division euclidienne de a + a' par 11, mais est-ce que je pourrais déduire
quel est le reste de la division euclidienne de a + a' par 11 ?
Evidemment, dans le cas où 0 ≤ r + r' ≤ 10, le reste de la division euclidienne de a + a' par 11 est r
+ r'.
Mais puis-je déduire aussi quel est le reste de la division euclidienne de a + a' par 11 si 11 ≤ r + r' ?
Comme a + a' = (q + q') x 11 + r + r', j'ai, de manière équivalente a + a' = (q + q' + 1) x 11 + r +
r' - 11 (i.e. si j'augmente le quotient de 1, je diminue le reste de 11).
Alors, dans le cas où 0 ≤ r + r' - 11 ≤ 10 (ce qui équivaut à 11 ≤ r + r' ≤ 21), le reste de la division
euclidienne de a + a' par 11 est r + r' - 11.
Mais puis-je déduire aussi quel est le reste de la division euclidienne de a + a' par 11 si 22 ≤ r + r' ?
Ce petit jeu pourrait durer longtemps !
Heureusement, maintenant, je suis sûr d'avoir déjà visité tous les cas possibles car de 0 ≤ r ≤ 10 et 0
≤ r' ≤ 10, je tire 0 ≤ r + r' ≤ 20, et comme j'ai déjà traité tous les cas où 0 ≤ r + r' ≤ 21, j'ai terminé
la première question.
(2) Déterminer le reste dans la division euclidienne de 3 x a par 11.
Plus rapidement ...
Le calcul de 3 x a donne 3 x a = (3 x q) x 11 + 3 x r.
De cette écriture, on déduit que si 0 ≤ 3 x r ≤ 10, le reste de la division euclidienne de 3 x a par 11
est 3 x r.
De 3 x a = (3 x q) x 11 + 3 x r, j'obtiens de manière équivalente 3 x a = (3 x q + 1) x 11 + 3 x r - 11.
De cette écriture, on déduit que si 0 ≤ 3 x r - 11 ≤ 10 (ce qui équivaut à 11 ≤ 3 x r ≤ 21), le reste de
la division euclidienne de 3 x a par 11 est 3 x r - 11.
De 3 x a = (3 x q) x 11 + 3 x r, j'obtiens de manière équivalente 3 x a = (3 x q + 2) x 11 + 3 x r - 22.
De cette écriture, on déduit que si 0 ≤ 3 x r - 22 ≤ 10 (ce qui équivaut à 22 ≤ 3 x r ≤ 32), le reste de
la division euclidienne de 3 x a par 11 est 3 x r - 11.
J'ai achevé la seconde question car de 0 ≤ r ≤ 10, je tire 0 ≤ 3 x r ≤ 30, et j'ai déjà traité tous les cas
où 0 ≤ 3 x r ≤ 32.
Exercice : minimum du dividende dans une division euclidienne (1)
Dans la division euclidienne de a par b, le quotient est q et le reste est r. On donne a < 3000,
q = 82, r = 47. Trouver toutes les valeurs possibles pour a et b.
Solution : minimum du dividende dans une division euclidienne (1)
Traduction mathématique de l'énoncé :
a = 82 x b + 47 < 3000 (égalité de la division euclidienne de a par b) ;
0 ≤ 47 < b (double-inégalité de la division euclidienne par b).
La plus petite valeur de b possible est donc 48.
Il s'ensuit que la plus petite valeur de a possible est 82 x 48 + 47 = 3983.
Il résulte de ceci que le problème proposé n'admet pas de solution car 3983 > 3000.
Exercice : minimum du dividende dans une division euclidienne (2)
Dans la division euclidienne de a par b, le quotient est q et le reste est r. On donne q = r = 37.
Trouver la plus petite valeur possible que peut prendre a.
Solution : minimum du dividende dans une division euclidienne (2)
Traduction mathématique de l'énoncé :
a = 37 x b + 37 (égalité de la division euclidienne de a par b) ;
0 ≤ 37 < b (double-inégalité de la division euclidienne par b).
La plus petite valeur de b possible est donc 38.
Il s'ensuit que la plus petite valeur de a possible est 37 x 38 + 77 = 37 x 39 = 1443.
Exercice : reste dans la division euclidienne par 8 du carré d'un impair
Dans la division euclidienne de a par b, le quotient est q et le reste est r. On donne a = µ2 où µ est
entier naturel, b = 8.
Donner r pour µ = 1. Donner r pour µ = 3. Donner r pour µ = 5.
Montrer que si µ est impair, alors r = 1.
Solution : reste dans la division euclidienne par 8 du carré d'un impair
Je commence par les exemples :
12 = 1 = 0 x 8 + 1 ;
32 = 9 = 1 x 8 + 1 ;
52 = 25 = 3 x 8 + 1 ;
72 = 49 = 6 x 8 + 1 ...
Je sais que lorsqu'un nombre μ est impair, il peut s'écrire sous la forme μ = 2 x k + 1 où k est un
entier naturel.
On me demande de prouver quelque chose sur μ2, je développe donc l'expression de μ2 :
μ2 = (2 x k + 1)2 = 4 x k2 + 4 x k + 1.
Maintenant, l'objectif est de faire apparaître dans cette expression l'égalité de la division euclidienne
de μ2 par 8 avec un reste égal à 1.
J'ai μ2 = 4 x k x (k + 1) + 1.
Dans cette dernière expression, j'ai déjà mis en évidence le nombre 1 qui devrait être le reste de ma
division euclidienne. Il ne me reste donc plus qu'à mettre 8 en facteur dans l'expression 4 x k x (k +
1).
Alors, de deux choses l'une k est pair ou k est impair.
Si k est pair, je peux trouver un entier m tel que k = 2 x m, et 4 x k x (k + 1) = 4 x 2 x m x (2 x m + 1)
= 8 x m x (2 x m + 1) et j'ai mis 8 en facteur dans ce nombre.
Si k est impair, je peux trouver un entier n tel que k = 2 x n + 1, et 4 x k x (k + 1) = 4 x (2 x n + 1) x
(2 x n + 2) = 8 x (2 x n + 1) x (n + 1) et j'ai mis 8 en facteur dans ce nombre.
Ainsi, dans tous les cas, si μ est impair, le reste dans la division de μ2 par 8 est 1.
Exercice : division euclidienne (1)
On cherche un nombre naturel de trois chiffres, multiple de 9 et dont le quotient dans la division
euclidienne par 21 est 33. Déterminer le (ou les) nombre (ou nombres) solution (ou solutions).
Solution : division euclidienne (1)
Je commence par traiter la division euclidienne :
a = 33 x 21 + r = 693 + r (égalité de la division euclidienne de a par 21) ;
0 ≤ r < 21 (double-inégalité de la division euclidienne par 21).
Il me reste à chercher parmi les nombres 693, 694, 695, ..., 713 ceux qui sont des multiples de 9.
Je trouve 693, 702 et 711.
Remarque : dès que je trouve le premier multiple de 9 parmi ces nombres (i.e. 693), il me suffit
d'ajouter itérativement 9.
Exercice : un a priori qu'il vaut mieux regarder de près
Le nombre de multiples de b qui soient non nuls et inférieurs ou égaux à a est donné par le quotient
de la division euclidienne de a par b (i.e. QDE(a,b)).
De même, le nombre de multiples de b qui soient non nuls et inférieurs ou égaux à a' est donné par
le quotient de la division euclidienne de a' par b (i.e. QDE(a',b)).
On suppose a' > a.
Par conséquent, le nombre de multiples de b qui soient compris entre a + 1 (inclus) et a' (inclus) est
donné par le quotient de la division euclidienne de a' par b diminué du quotient de la division
euclidienne de a par b (i.e. QDE(a',b)-QDE(a,b)).
Mais, est-il toujours vrai que QDE(a',b) - QDE(a,b) = QDE(a' - a,b) ?
Solution : un a priori qu'il vaut mieux regarder de près
J'ai envie de montrer qu'il n'est pas toujours vrai que QDE(a',b) - QDE(a,b) = QDE(a' - a,b).
C'est sûr que si je prends a' = 700, a = 500 et b = 49, j'obtiens QDE(700,49) - QDE(500,49) =
QDE(200,49) (i.e. 14 - 10 = 4).
Ceci montre que le résultat peut être quelquefois vrai, mais il n'empêche que j'ai bien envie de
montrer que ce résultat peut être faux !
Si je prends a' = 700, a = 500 et b = 51, j'obtiens QDE(700,51) - QDE(500,51) = 13 - 9 = 4 et
QDE(200,51) = 3 et ces nombres sont bien différents !
La propriété proposée est fausse (car j'ai pu trouver un contre-exemple) !
Exercice [Lyon 1998]
Les multiples de 21 dont l'écriture décimale nécessite deux chiffres exactement, sont : 21, 42, 63,
84. Pour écrire cette liste, il faut 8 caractères d'imprimerie.
Combien en faut-il pour écrire la liste des multiples de 21 dont l'écriture décimale nécessite trois
chiffres exactement ?
Même question avec cinq chiffres.
Solution [Lyon 1998]
Ne pourrais-je obtenir une formule (faisant intervenir la division euclidienne) donnant le nombre de
multiples de b inférieurs où égaux à a ?
Le nombre de multiples (excluant 0) de b inférieurs où égaux à a est donné par le quotient
de la division euclidienne de a par b (i.e. QDE(a,b)).
Cette formule utilise le fait que parmi tout groupe de b nombres entiers naturels consécutifs, on
trouve un et un seul multiple de b.
1. L'ensemble des nombres à deux chiffres exactement est l'ensemble des nombres à deux chiffres
ou moins (i.e. ceux ≤ 99) diminué de l'ensemble des nombres à un chiffre ou moins (i.e. ceux ≤ 9).
Le nombre de multiples de 21 à deux chiffres exactement est donc donné par la formule
QDE(99,21) - QDE(9,21) = 4 - 0 = 4 (on retrouve bien le résultat proposé par l'énoncé).
Le nombre de caractères nécessaires est : 4 x 2 = 8.
2. L'ensemble des nombres à trois chiffres exactement est l'ensemble des nombres à trois chiffres ou
moins (i.e. ceux ≤ 999) diminué de l'ensemble des nombres à deux chiffres ou moins (i.e. ceux ≤
99).
Le nombre de multiples de 21 à trois chiffres exactement est donc donné par la formule
QDE(999,21) - QDE(99,21) = 47 - 4 = 43.
Le nombre de caractères nécessaires est : 43 x 3 = 129.
3. L'ensemble des nombres à cinq chiffres exactement est l'ensemble des nombres à cinq chiffres ou
moins (i.e. ceux ≤ 99999) diminué de l'ensemble des nombres à quatre chiffres ou moins (i.e. ceux
≤ 9999).
Le nombre de multiples de 21 à deux chiffre exactement est donc donné par la formule
QDE(99999,21) - QDE(9999,21) = 4761 - 476 = 4285.
Le nombre de caractères nécessaires est : 4285 x 5 = 21425.
Exercice [Lyon, Grenoble, 1999]
On considère la suite croissante de tous les naturels non multiples de 7 (1 , 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11,
12, 13, 15, 16, 17, ...). 1 est de rang 1, 2 est de rang 2, 3 est de rang 3, 4 est de rang 4, 5 est de rang
5, 6 est de rang 6, 8 est de rang 7, 9 est de rang 8, 10 est de rang 9, 11 est de rang 10, 12 est de rang
11, ...
(1) Quel est le rang de 47 ? Quel est le rang de 741 ?
(2) Quel est le terme de rang 26 ? Quel est le terme de rang 52 ? Quel est le terme de
rang 136 ?
Solution [Lyon, Grenoble, 1999]
(1) Je synthétise le problème dans un tableau.
Nombre
N
1
2
3
4
5
6
8
9
10
11
12
13
15
16
17
18
19
20
22
23
24
25
26
27
29
30
Rang de ce nombre
rang(N)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
En fait, si je regarde bien, il suffit pour trouver rang(N) en fonction de N, de retirer à N le nombre
de multiples de 7 non nuls qui lui sont inférieurs.
Je peux maintenant donner la formule générale.
Je me rappelle que le nombre de multiples de b qui soient non nuls et inférieurs ou égaux à a est
donné par le quotient de la division euclidienne de a par b (i.e. QDE(a,b)) et donc,
rang(N) = N - QDE(N,7).
Le rang de 47 est donc rang(47) = 47 - QDE(47,7) = 47 - 6 = 41 ; le rang de 741 est donc
rang(741) = 741 - QDE(741,7) = 741 - 105 = 636.
(2) Pour la seconde question, je préfère passer par une méthode par tâtonnement
(essais successifs) que de chercher une formule générale.
On me demande d'abord quel est le terme de rang 26. Pour celui-là, c'est facile parce qu'il est dans
mon tableau. Il vient donc sans peine que le terme de rang 26 est 30.
On me demande ensuite quel est le terme de rang 52. Je sais que le terme de rang 26 est 30, je peux
espérer que le terme de rang 52 est, à peu près, 60 (je double les deux) [60 n'est pas un multiple de
7 tout simplement parce que c'est le double d'un nombre qui n'est pas multiple de 7]. Puis, je vérifie
à l'aide de la formule rang(60) = 60 - QDE(60,7) = 60 - 8 = 52, et c'est exact. Je déduis que le
terme de rang 52 est 60.
On me demande enfin quel est le terme de rang 136.
Vais-je pouvoir finir ?
Je sais que le terme de rang 26 est 30, je peux espérer que le terme de rang 130 est, à peu près, 150
(je quintuple les deux) [150 n'est pas un multiple de 7 tout simplement parce que c'est le quintuple
d'un nombre qui n'est pas multiple de 7]. Maintenant, je sais aussi que lorsque j'ajoute 6 au rang de
N, cela revient à ajouter 7 au nombre N (si je ne le sais pas, je peux faire une estimation, car il s'agit
ici de tâtonnement !). Je peux donc espérer que le terme de rang 136 est 157 [150 n'étant pas un
multiple de 7, je déduis que 157 = 150 + 7 n'est pas non plus un multiple de 7]. Je vérifie à l'aide de
la formule rang(157) = 157 - QDE(157,7) = 157 - 22 = 135. C'est faux (d'où l'intérêt de la phase de
vérification !), mais ce n'est pas si loin (d'où l'intérêt de ne pas faire n'importe quel essai !). Le
nombre que je cherche est celui qui suit 157, c'est-à-dire 158. Je pourrais vérifier que rang(158) =
158 - QDE(158,7) = 158 - 22 = 136 [158 n'est pas un multiple de 7]. Je déduis que le terme de rang
136 est 158.
Pour info, voici une formule générale pour répondre à la seconde question :
N = rang(N) + QDE(rang (N) - 1,6).
Exercice [Reims, Strasbourg, 1999]
Vous comptez de 7 en 7, à partir de 38, jusqu'au plus grand nombre inférieur ou égal à 365.
(1) Quel est le dernier nombre atteint ?
(2) Combien y a-t-il de nombres atteints (38 y compris) ?
(3) Par quels nombres puis-je remplacer 365 sans modifier les deux réponses
précédentes ?
Solution [Reims, Strasbourg, 1999]
(1) et (2) Les nombres visités sont de la forme 38 + q x 7 et sont compris entre 38
(inclus) et 365 (inclus).
Quelles sont les valeurs de q pour lesquelles le nombre 38 + q x 7 sera visité ? Je veux que 38 + q x
7 ≤ 365, ce qui équivaut à q x 7 ≤ 365 - 38 = 327.
La plus grande valeur de q telle que q x 7 ≤ 365 - 38 = 327 est, par conséquent, le quotient de la
division euclidienne de 327 par 7, c'est-à-dire 46.
Les nombres visités sont les 38 + q x 7 où q prend ses valeurs parmi 0, 1, 2, 3, ..., 45, 46.
Le dernier nombre visité est 38 + 46 x 7 = 360.
Le nombre de nombres visités est 47.
(3) Si je ne veux pas modifier les deux réponses précédentes lorsque je change le
nombre 365 en x, il faut et il suffit que le quotient de la division euclidienne de x - 38 par 7 soit
encore égal à 46.
Ceci se traduit par
x - 38 = 46 x 7 + r (égalité de la division euclidienne de x - 38 par 7) ;
0 ≤ r < 7 (double-inégalité de la division euclidienne par 7).
x peut donc prendre les valeurs 360 (cas où r = 0), 361 (cas où r = 1), 362 (cas où r = 2), 363 (cas
où r = 3), 364 (cas où r = 4), 365 (cas où r = 5), ou 366 (cas où r = 6).
Exercice : division euclidienne (2)
Soit a un entier naturel. Dans la division euclidienne de a par 7, on obtient un quotient double du
reste. Quelles sont les valeurs de a possibles ?
Solution : division euclidienne (2)
Traduction algébrique de l'énoncé :
a = q x 7 + r (égalité de la division euclidienne de a par 7) ;
0 ≤ r < 7 (double-inégalité de la division euclidienne par 7).
J'ai traduit la division euclidienne, et je vais également écrire q = 2 x r
Ceci donne :
a = 2 x r x 7 + r = 15 x r ;
0 ≤ r < 7.
Les valeurs possibles sont 0 (cas où r = 0), 15 (cas où r = 1), 30 (cas où r = 2), 45 (cas où r = 3),
60 (cas où r = 4), 75 (cas où r = 5), ou 90 (cas où r = 6).
Exercice : nombre de diviseurs
Quel est le plus petit entier naturel qui possède exactement 15 diviseurs ?
Solution : nombre de diviseurs
Le nombre de diviseurs est donné par une écriture multiplicative qui n'utilise pas le nombre 1. Sans
utiliser le 1, je ne connais que deux écritures multiplicatives de 15 : 15 ou 3 x 5 (à l'ordre des
facteurs près).
En utilisant la première écriture multiplicative, je déduis que tout nombre s'écrivant p14 où p est un
nombre premier possède exactement 15 = 14 + 1 diviseurs.
En utilisant la seconde écriture multiplicative, je déduis que tout nombre s'écrivant q2 x r4 où q et r
sont des nombres premiers possède exactement 15 = (2 + 1) x (4 + 1) diviseurs.
Parmi tous ces nombres, il s'agit de trouver le plus petit :
le plus petit parmi ceux qui s'écrivent p14 où p est un nombre premier est celui qui
utilise le plus petit nombre premier (i.e. 2) ; il vaut donc 214 = 16384 ;
le plus petit parmi ceux qui s'écrivent q2 x r4 où q et r sont des nombres premiers est
celui qui utilise le plus petit nombre premier (i.e. 2) le plus de fois possible et aussi le
deuxième plus petit nombre premier (i.e. 3) ; il vaut donc 32 x 24 = 144.
En conclusion, 144 est le plus petit nombre qui possède exactement 15 diviseurs.
Exercice : nombres composés
Montrer que si a (non nul et distinct de 1) est un nombre entier naturel non premier, alors il possède
un diviseur distinct de 1 qui soit inférieur au sens large à √a.
Solution : nombres composés
Si mon nombre de départ a n'est pas premier, c'est qu'il possède un diviseur distinct de 1 et de a
(voir la définition des nombres premiers).
Appelons b ce diviseur distinct de 1 et de a. On peut donc écrire a = b x c où comme b ≠ 1, c ≠ a et
comme b ≠ a, c ≠ 1.
Il me suffit maintenant de traiter le cas où b ≤ √a, puis le cas où b > √a.
Si b ≤ √a, j'ai trouvé un diviseur de a (qui est b) inférieur au sens large à √a.
Si b > √a, j'ai c = a/b < a/√a = √a et j'ai trouvé un diviseur de a (qui est c) inférieur au sens large
(même strict) à √a.
Conclusion : dans tous les cas, j'ai pu trouver un diviseur de a qui soit inférieur au sens large à √a.
Exercice [Amiens, 2003]
Je suis un nombre à trois chiffres qui possède exactement trois diviseurs. La somme de mes chiffres
est de treize. Qui suis-je ?
Solution [Amiens, 2003]
Le nombre de diviseurs est donné par une écriture multiplicative qui n'utilise pas le nombre 1. Sans
utiliser le 1, je ne connais qu'une écriture multiplicative de 3 : 3.
En utilisant cette écriture multiplicative, je déduis que tout nombre s'écrivant p2 où p est un nombre
premier possède exactement 3 = 2 + 1 diviseurs.
Le nombre cherché est le carré d'un nombre premier et il est compris entre 100 (inclus) et 999
(inclus).
Il s'agit donc de 112 = 121, de 132 = 169, de 172 = 289, de 192 = 361, de 232 = 529, de 292 = 841,
ou de 312 = 961.
La somme des chiffres de 121 est 4, celle de 169 est 16, celle de 289 est 19, celle de 361 est 10,
celle de 529 est 16, celle de 841 est 13, et celle de 961 est 16.
Le nombre que je cherche est donc 841.
Exercice [Rouen (1), 1998]
Histoire de boîtes...
L'histoire se limite aux boîtes parallélépipédiques dont les dimensions sont des nombres entiers de
centimètres. L'histoire dit qu'une boîte Q pave une boîte P si la boîte P est exactement et
parfaitement remplie avec un nombre entier (strictement supérieur à un) d'exemplaires de la boîte Q
(après remplissage, il n'y a pas de trou et rien ne dépasse).
I. Deux boîtes B1 et B2 ont les dimensions suivantes :
Boîtes
B1
Dimensions en centimètres
72
36
48
B2
40
60
80
1. Est-il possible de placer une de ces boîtes entièrement dans l'autre ?
2. Est-ce qu'une des boîtes pave l'autre ? Si oui, avec combien d'exemplaires ?
3. Est-ce qu'une des boîtes est un agrandissement de l'autre ? Si oui, à quelle échelle ?
II.
1. Trouvez toutes les boîtes cubiques qui pavent B1.
2. Combien en faut-il à chaque fois pour paver B1 ?
3. Quelle est celle de plus grand volume ?
III.
1. Trouvez toutes les boîtes cubiques qui pavent à la fois B1 et B2.
2. Combien en faut-il à chaque fois pour paver B2 ?
IV. Quelle est la notion mathématique sous-jacente aux questions 2 et 3 ?
Solution [Rouen (1), 1998]
I.1. Est-il possible de placer une de ces boîtes entièrement dans l'autre ?
Oui ! En effet, 36 < 40, 48 < 60 et 72 < 80.
I.2. Est-ce qu'une des boîtes pave l'autre ? Si oui, avec combien d'exemplaires ?
Non ! Il faudrait au minimum que 40 puisse s'écrire sous la forme 40 = a x 36 + b x 48 + c x 72 où
a, b et c seraient des entiers naturels. Ce n'est évidemment pas le cas, car
a) si a = 0, b = 0 et c = 0, alors a x 36 + b x 48 + c x 72 = 0 ≠ 40 ;
b) si a = 1, b = 0 et c = 0, alors a x 36 + b x 48 + c x 72 = 36 ≠ 40 ;
c) et si a > 1, b > 0 ou c > 0, alors a x 36 + b x 48 + c x 72 > 40.
I.3. Est-ce qu'une des boîtes est un agrandissement de l'autre ? Si oui, à quelle échelle ?
Non ! Le tableau
36
48
72
40
60
80
n'est pas un tableau de proportionnalité (en effet, la règle du produit en croix n'est pas satisfaite car
36 x 60 ≠ 40 x 48) et si l'on avait eu proportionnalité sur deux grandeurs positives, l'ordre sur les
deux grandeurs aurait été respecté.
II.1. Trouvez toutes les boîtes cubiques qui pavent B1.
Il faut ainsi trouver toutes les dimensions qui divisent à la fois 36, 48 et 72. Or, on a 36 = 22 x 32,
48 = 24 x 3 et 72 = 23 x 22, donc les diviseurs communs à ces trois nombres s'écrivent 2α x 3β où α
est 0, 1 ou 2 et où β est 0 ou 1. Il résulte de tout cela que les boîtes cubiques qui pavent B1 sont de 1
centimètre de côté, de 2 centimètres de côté, de 3 centimètres de côté, de 4 centimètres de côté, de 6
centimètres de côté ou de 12 centimètres de côté.
II.2. Combien en faut-il à chaque fois pour paver B1 ?
Il suffit de compter ...
Taille des
Nombre
boîtes
pour paver
B1
(en cm)
1
2
3
4
6
12
124416
15552
4608
1944
576
72
II.3. Quelle est celle de plus grand volume ?
C'est évidemment celle de plus grand côté : 12 cm de côté, 1728 cm3 de volume !
III.1. Trouvez toutes les boîtes cubiques qui pavent à la fois B1 et B2.
Il suffit de trouver les boîtes cubiques pavant B1 qui pavent également B2. Ce n'est pas le cas de la
boîte de 3 centimètres de côté (car 20 n'est pas multiple de 3), ni de la boîte de 6 centimètres de côté
(car 20 n'est pas multiple de 6), ni de la boîte de 12 centimètres de côté (car 20 n'est pas multiple de
12). Par contre, les trois autres boites conviennent : celle de 1 centimètre de côté, celle de 2
centimètres de côté, celle de 4 centimètres de côté.
III.2. Combien en faut-il à chaque fois pour paver B2 ?
Là encore, il suffit de compter.
Taille des
Nombre
boîtes
pour paver
B2
(en cm)
1
48000
2
6000
4
750
IV. Quelle est la notion mathématique sous-jacente aux questions 2 et 3 ?
Plusieurs réponses sont possibles : diviseurs (ou multiples), diviseurs communs à plusieurs
nombres, et probablement aussi le plus grand diviseur commun à plusieurs nombres (les diviseurs
communs à plusieurs nombres sont les diviseurs du plus grand diviseur commun à ces nombres ;
propriété importante (qui définit également) du PGCD des trois nombres a, b et c noté PGCD(a,b,c)
: PGCD(a,b,c) = PGCD(a,PGCD(b,c)) = PGCD(b,PGCD(a,c)) = PGCD(c,PGCD(a,b))).
Exercice [Bordeaux, Caen, Clermont, Nantes, Orléans-Tours, Poiriers, La
Réunion, 2000]
Le service des espaces verts veut border un espace rectangulaire de 924 m de long sur 728 m de
large, à l'aide d'arbustes régulièrement espacés. Un arbuste sera planté à chaque angle du terrain. La
distance entre deux arbustes doit être un nombre entier de mètres.
1. Déterminer toutes les valeurs possibles de la distance entre deux arbustes.
2. Déterminez, dans chaque cas, le nombre d'arbustes nécessaires à la plantation.
Solution [Bordeaux, Caen, Clermont, Nantes, Orléans-Tours, Poiriers, La
Réunion, 2000]
Les diviseurs communs à 924 et 728 sont les diviseurs du PGCD(924,728).
Le calcul du PGCD(924,728) est chose aisée.
PGCD(924,728) = PGCD(728,196) = PGCD(196,140) = PGCD(140,56) = PGCD(56,28) =
PGCD(28,0) = 28.
La distance entre les arbustes est donc de 1 mètre, de 2 mètres, de 4 mètres, de 7 mètres, de 14
mètres, ou de 28 mètres.
Distance entre 2 arbustes (en m)
1
2
4
7
14
28
Exercice [Lyon, 2004]
Nombre d'arbustes
3304
1652
826
472
236
118
Toto additionne deux nombres entiers avec la méthode habituelle, et trouve 499 sans faire d'erreur.
Combien de retenues a-t-il effectuées ?
Solution [Lyon, 2004]
Le chiffre 9 des unités du résultat a-t-il pu être obtenu en posant une retenue ?
Si oui, la somme des chiffres des unités des deux nombres additionnés était supérieure ou égale à
19 (au moins 10 pour la retenue additionné au chiffre-nombre 9 des unités du résultat). Cependant,
la somme des chiffres des unités vaut au plus 9 + 9 = 18. Il est donc impossible que le chiffre 9 des
unités du résultat ait été obtenu en posant une retenue !
Le chiffre 9 des dizaines du résultat a-t-il pu être obtenu en posant une retenue ?
Si oui, la somme des chiffres des dizaines des deux nombres additionnés était supérieure ou égale à
19 (au moins 10 pour la retenue additionné au chiffre-nombre 9 des unités du résultat et sachant
qu'aucune retenue ne provient du calcul du chiffre des unités du résultat). Cependant, la somme des
chiffres des unités vaut au plus 9 + 9 = 18. Il est donc impossible que le chiffre 9 des unités du
résultat ait été obtenu en posant une retenue !
L'obtention d'une somme de deux nombres entiers égale à 499 est donc réalisée sans retenue !
Exercice [Créteil, Paris, Versailles, 1999]
On considère le nombre
A = 92865317 x 814975.
1. Déterminer le nombre de chiffres de A.
2. Démontrer que le chiffre des dizaines est 7 et que le chiffre des unités est 5.
3. Les calculatrices courantes ne donnent pas directement tous les chiffres du nombre
A. Sans utiliser la technique opératoire de la multiplication, c'est-à-dire sans poser
l'opération 92865317 x 814975, décrire un procédé qui utilise une calculatrice affichant
dix chiffres et qui permette de déterminer tous les chiffres du nombre A.
Solution [Créteil, Paris, Versailles, 1999]
J'ai A = 92865317 x 814975.
Déterminer le nombre de chiffres de A.
1. Pour déterminer le nombre de chiffres de A, il vaut mieux que je raisonne à l'aide d'encadrements
...
9 x 107 < 92865317 < 108 et 8 x 105 < 814975 < 9 x 105, d'où 72 x 1012 < A < 9 x 1013, ou encore 7
x 1013 < A < 9 x 1013 et le nombre A possède 14 chiffres.
2. Démontrer que le chiffre des dizaines est 7 et que le chiffre des unités est 5.
Pour le chiffre des unités et celui des dizaines, je peux raisonner par troncature des nombres ...
92865317 = a x 100 + 10 + 7 (où a est le nombre de centaines de 92865317), et 814975 = b x 100
+ 70 + 5 (où b est le nombre de centaines de 814975), donc
A = (a x 100 + 10 + 7) x (b x 100 + 70 + 5)
= a x b x 10000 + a x 7 x 1000 + a x 5 x 100 + b x 1000 + 7 x 100 + 5 x 10 + 7 x b x 100 + 7 x
7 x 10 + 7 x 5 (en développant)
= c x 100 + 50 + 490 + 35 (où c est un entier que je ne cherche pas à calculer)
= d x 100 + 75 (où d est un entier que je ne cherche pas à calculer)
et A a 5 pour chiffre des unités et 7 pour chiffre des dizaines.
J'aurais aussi pu poser l'opération avec un cache :
x
Cache +
1
7
8
9
7
7
5
5
5
3. Les calculatrices courantes ne donnent pas directement tous les chiffres du nombre A. Sans
utiliser la technique opératoire de la multiplication, c'est-à-dire sans poser l'opération 92865317 x
814975, décrire un procédé qui utilise une calculatrice affichant dix chiffres et qui permette de
déterminer tous les chiffres du nombre A.
Il me faut encore donner le produit 92865317 x 814975 en utilisant une calculette à 10 chiffres ...
92865317 x 814975
= (9286 x 10000 + 5317) x 814975
= 7567857850 x 10000 + 4333222075 (7567857850 et 4333222075 sont des résultats donnés
par la calculette)
= 75678578500000 + 4333222075
= 75682911722075 (en posant l'addition).
Exercice [Guadeloupe, 2004]
1) On considère un nombre qui s'écrit en base 10 :
Δ 5 Δ 5 Δ 5 Δ 5 Δ 5 Δ.
Quelle valeur donner à Δ pour que la somme des chiffres de ce nombre soit un multiple de 7 ?
2) Un nombre s'écrit en base 10 sous forme : E97F.
a) Donner tous les couples de valeurs possibles pour E et F sachant que la somme des chiffres de ce
nombre est égale à 29.
b) On ajoute les deux conditions suivantes :
Le produit des chiffres de ce nombre est égal à 2268.
7 divise le nombre EF.
Quelles sont alors les valeurs respectives de E et F ?
Solution [Guadeloupe, 2004]
1) On considère un nombre qui s'écrit en base 10 :
Δ 5 Δ 5 Δ 5 Δ 5 Δ 5 Δ.
Quelle valeur donner à Δ pour que la somme des chiffres de ce nombre soit un multiple de 7 ?
La somme des chiffres de ce nombre est 6 x Δ + 25
Δ est un chiffre en base 10, donc 0 ≤ Δ ≤ 9 et 25 ≤ 6 x Δ + 25 ≤ 79.
Le tableau suivant résume les essais successifs ... à partir des multiples de 7 compris au sens large
entre 25 et 7 :
6 x Δ + 25
28
35
42
49
56
63
70
77
Δ
1/2
1 + 2/3
2 + 5/6
4
5 + 1/6
6 + 1/3
7 + 1/2
8 + 2/3
Δ est un chiffre en base 10 et donc un entier. Il s'ensuit que la seule valeur possible pour Δ est 4 et le
nombre cherché est 45454545454.
2) Un nombre s'écrit en base 10 sous forme : E97F.
a) Donner tous les couples de valeurs possibles pour E et F sachant que la somme des chiffres de ce
nombre est égale à 29.
E + 9 + 7 + F = 29, donc E + F = 13.
Cependant, E et F sont des chiffres et donc tels que 0 ≤ E ≤ 9 et 0 ≤ F ≤ 9.
Le tableau suivant résume les essais successifs ... pour chacune des valeurs possibles de E.
E
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
F = 13 - E
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
Impossible car il faut F < 10
Impossible car il faut F < 10
Impossible car il faut F < 10
Impossible car il faut F < 10
Possible auquel cas E97F = 4979
Possible auquel cas E97F = 5978
Possible auquel cas E97F = 6977
Possible auquel cas E97F = 7976
Possible auquel cas E97F = 8975
Possible auquel cas E97F = 9974
b) On ajoute les deux conditions suivantes :
Le produit des chiffres de ce nombre est égal à 2268.
7 divise le nombre EF.
Quelles sont alors les valeurs respectives de E et F ?
Si le produit des chiffres vaut 2268, on obtient 2268 = E x F x 9 x 7 ou encore 2268/63 = 36 = E x
F.
Il reste donc deux couples de valeurs possibles pour E et F : E = 4 et F = 9 (auquel cas E97F =
4979) ; et E = 9 et F = 4 (auquel cas E97F = 9974).
Cependant, 7 divise le nombre EF. Or 7 ne divise que 49 parmi 49 et 94.
Il ne reste donc plus qu'un couple de valeurs possibles pour E et F : E = 4 et F = 9 (auquel cas
E97F = 4979).
Exercice : la preuve par 9
Démontrer le principe de la preuve par 9 dans une multiplication.
Solution : la preuve par 9
Il faut tout d'abord savoir que la preuve par 9 ne s'étend pas uniquement à la multiplication, mais
également à l'addition, la soustraction ou la division euclidienne.
Pour rappel :
Reste dans la
division
euclidienne
par 9
Preuve par 9
5 7
x
8 9 2
1 1 4
+ 5 1 3 + 4 5 6
5 0 8 4 4
multiplicande : 57
r1 = 3
multiplicateur : 892
r2 = 1
produit : 50844
r1 x r2 = 3 r3 = 3
r4 = 3
Et, r4 = r3
La preuve par 9 consiste à vérifier que r3 = r4. Lorsque r3 ≠ r4, je suis certain que le calcul contient
une erreur, mais lorsque r3 = r4, le calcul n'est pas forcément exact. Le mot "preuve" est mal
approprié.
La question posée est de montrer que cette règle proposée sur un exemple est en réalité valable
quelque soit l'exemple.
Je note b le multiplicande et c le multiplicateur.
Pour chacun des deux, on peut écrire la division euclidienne par 9 :
b = 9 x q1 + r1, où 0 ≤ r1 < 9
c = 9 x q2 + r2, où 0 ≤ r2 < 9.
Puis, l'écriture de la division euclidienne de r1 x r2 par 9.
r1 x r2 = 9 x q3 + r3, où 0 ≤ r3 < 9.
Je déduis que b x c = (9 x q1 + r1) x (9 x q2 + r2) = 9 x (9 x q1 x q2 + q1 x r2 + r1 x q2) + r1 x r2.
Et, j'obtiens que b x c = 9 x (9 x q1 x q2 + q1 x r2 + r1 x q2) + 9 x q3 + r3, où 0 ≤ r3 < 9.
Puis, b x c = 9 x (9 x q1 x q2 + q1 x r2 + r1 x q2 + q3) + r3, où 0 ≤ r3 < 9, et donc r3 est le reste de la
division euclidienne de b x c par 9 (i.e. r3 = r4).
Comment puis-je calculer rapidement le reste dans la division euclidienne de N par 9 (ceci
simplifierait la preuve par 9) ?
Simplement en utilisant la propriété : N a même reste dans la division euclidienne par 9 que la
somme de ses chiffres. Démonstration de cette propriété.
Soit N = [ak ak-1 ... a2 a1 a0](10).
Je déduis N = 9 x [11... 11](10) x ak + 9 x [11... 11](10) x ak-1 + ... + 9 x [1](10) x a1 + [ak + ak-1 + ...
+ a1 + a0].
J'écris alors deux divisions euclidiennes par 9 (celle de N et celle de la somme de ses chiffres) :
N = Q x 9 + R, où 0 ≤ R < 9
[ak + ak-1 + ... + a1 + a0] = q x 9 + r, où 0 ≤ r < 9.
Puis, 9 x Q + R = 9 x {[11... 11](10) x ak + [11... 11](10) x ak-1 + ... + [1](10) x a1 + q} + r, où 0 ≤ r
< 9 et où 0 ≤ R < 9.
Enfin, par l'unicité du reste dans une division euclidienne, j'obtiens r = R.
Exercice [Aix, Marseille, Corse, Montpellier, Nice, 1999]
Un nombre à trois chiffres a 4 pour chiffre des centaines. Ce nombre est 26 fois plus grand que le
nombre à deux chiffres obtenu en enlevant le chiffre des centaines. Trouver ce nombre.
Solution [Aix, Marseille, Corse, Montpellier, Nice, 1999]
Je note [4ab](10) le nombre à trois chiffres.
J'ai [4ab](10) = 400 + 10 x a + b.
Le nombre obtenu en enlevant le chiffre des centaines est [ab](10) et [ab](10) = 10 x a + b.
Si je commence par réfléchir sur l'ordre de grandeur de [ab](10), j'obtiens que 16 ≤ [ab](10) ≤ 19
(car 400 ≤ 26 x [ab](10) < 500).
Les calculs donnent : 16 x 26 = 416, 17 x 26 = 442, 18 x 26 = 468, 19 x 26 = 494.
Ceci conduit à [ab](10) = 16 et le nombre à trois chiffres est 416.
Autre résolution : Le nombre à trois chiffres est 400 + x. L'énoncé nous dit que ce nombre vaut 26 x
x. L'équation qui en découle 400 + x = 26 x x fournit x = 16. Ainsi, le nombre à trois chiffres est
416.
Exercice [Nancy, Metz, Reims, Strasbourg, 2001]
Le village de Centville compte 100 habitants. Le plus âgé est né en 1900 et le plus jeune en 1999.
Tous les habitants sont nés à une date différente et tous le premier janvier.
Pierre habite Centville. En cette année 2001, la somme des chiffres de son année de naissance est
égale à son âge.
On se propose de déterminer l'année de naissance de Pierre de deux manières différentes.
1. Résoudre ce problème en utilisant des outils algébriques.
2.a) Démontrer que l'âge de Pierre est inférieur ou égal à 28 ans.
2.b) Sachant que l'âge de Pierre est inférieur ou égal à 28 ans, décrire une procédure qu'un
élève de fin de cycle 3 pourrait mettre en oeuvre pour résoudre ce problème.
Solution [Nancy, Metz, Reims, Strasbourg, 2001]
Je note [19ab](10) la date de naissance de Pierre. La somme des chiffres de la date de naissance de
Pierre est 10 + a + b.
Je déduis que l'âge de Pierre est alors 2001 - 1000 - 900 - 10 x a - b = 101 - 10 x a - b.
J'obtiens l'équation 10 + a + b = 101 - 10 x a - b équivaut à 11 x a + 2 x b = 91.
Je peux maintenant résoudre cette équation.
Si b = 0, on obtient 91 = 11 x a, qui n'admet pas de solution car 91 n'est pas multilpe de 11 ;
si b = 1, on obtient 89 = 11 x a, qui n'admet pas de solution car 89 n'est pas multilpe de 11 ;
si b = 2, on obtient 87 = 11 x a, qui n'admet pas de solution car 87 n'est pas multilpe de 11 ;
si b = 3, on obtient 85 = 11 x a, qui n'admet pas de solution car 85 n'est pas multilpe de 11 ;
si b = 4, on obtient 83 = 11 x a, qui n'admet pas de solution car 83 n'est pas multilpe de 11 ;
si b = 5, on obtient 81 = 11 x a, qui n'admet pas de solution car 81 n'est pas multilpe de 11 ;
si b = 6, on obtient 79 = 11 x a, qui n'admet pas de solution car 79 n'est pas multilpe de 11 ;
si b = 7, on obtient 77 = 11 x a, puis a = 7 ;
si b = 8, on obtient 75 = 11 x a, qui n'admet pas de solution car 75 n'est pas multilpe de 11 ;
si b = 9, on obtient 73 = 11 x a, qui n'admet pas de solution car 73 n'est pas multilpe de 11 ;
Pierre est donc né en 1977. Son âge en 2001 est 24 ans, et on a bien 24 = 1 + 9 + 7 + 7.
Et pour la seconde méthode de résolution exigée ?
Je rappelle que [19ab](10) est la date de naissance de Pierre et que la somme des chiffres de la date
de naissance de Pierre est 10 + a + b.
Chacun des a et b est un chiffre dans la base décimale et est donc compris entre 0 (inclus) et 9
(inclus).
Il s'ensuit que l'âge de Pierre (qui est aussi la somme des chiffres de l'année de naissance de Pierre)
est compris entre 10 (inclus) et 28 (inclus).
Et comment va procéder l'élève de fin de cycle 3 ?
Il va procéder, par exemple, par essais successifs en utilisant un tableau pour la mise en forme ...
Age
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
Date de
naissance
1999
1998
1997
1996
1995
1994
1993
1992
1991
1990
1989
1988
1987
1986
1985
1984
1983
1982
1981
1980
1979
1978
1977
1976
1975
1974
1973
Somme des
chiffres de la
date de
naissance
28
27
26
25
24
23
22
21
20
19
27
26
25
24
23
22
21
20
19
18
26
25
24
23
22
21
20
Une seule année est telle que les première et troisième colonnes coïncident : 1977.
Exercice [Toulouse, 1998]
Déterminer tous les nombres à trois chiffres [abc](10) non multiples de 10 qui vérifient les
conditions suivantes :
le chiffre des dizaines est quadruple de celui des unités ;
en retranchant 297 à ce nombre, on obtient le nombre écrit à l'envers.
Solution [Toulouse, 1998]
Je note N = [abc](10) le nombre à trois chiffres.
Le chiffre des dizaines est quadruple de celui des unités, donc
soit b = 0 et c = 0 (mais ceci est impossible, car, comme N n'est pas multiple de 10, c ≠ 0),
soit b = 4 et c = 1,
soit b = 8 et c = 2.
Il me reste une information à utiliser ...
[abc](10) - [cba](10) = 297, donc 100 x a + 10 x b + c - 100 x c - 10 x b - a = 297, puis 99 x
(a - c) = 297, et enfin a - c = 3.
Que cela me donne-t-il ?
Voyons les deux cas à regarder :
si b = 4 et c = 1,alors a = 4, qui fournit la solution 441.
si b = 8 et c = 2, alors a = 5, qui fournit la solution 582.
Exercice [Bordeaux, Caen, Clermont, Nantes, Orléans-Tours, Poitiers, Rennes,
2001]
Un nombre de trois chiffres est tel que :
la différence entre ce nombre et le nombre retourné est 297 ;
la somme des trois chiffres est 11 ;
la somme du triple du chiffre des centaines et du double du chiffre des dizaines est 22.
Trouver ce nombre.
Indication : si, par exemple, le nombre était 231, le nombre retourné serait 132.
Solution [Bordeaux, Caen, Clermont, Nantes, Orléans-Tours, Poitiers, Rennes,
2001]
Je note N = [abc](10) le nombre à trois chiffres.
[abc](10) - [cba](10) = 297, donc 100 x a + 10 x b + c - 100 x c - 10 x b - a = 297, puis 99 x (a - c) =
297, et enfin a - c = 3.
Que cela me donne-t-il ?
Je sais aussi que a + b + c = 11 et 3 x a + 2 x b = 22.
J'obtiens ainsi un système linéaire à trois équations et à trois inconnues à résoudre.
Je connais des méthodes efficaces pour résoudre des systèmes linéaires (par substitutions, par
opérations élémentaires sur les lignes, ...), mais je vais tenter ma chance par tâtonnement (car a, b et
c sont aussi des entiers naturels compris entre 0 et 9 inclus) ...
Calcul de a par a- Calcul de b par Vérification de
3a+2b=22
a+b+c=11 ?
c variant de 0 à 9 c=3
0
3
6,5
9,5
1
4
5
10
2
5
3,5
10,5
3
6
2
11
4
7
0,5
11,5
5
8
-1
12
6
9
-2,5
12,5
7
10
-4
13
8
11
-5,5
13,5
9
12
-7
14
Valeurs exclues : a,b,c naturels et a,b,c ≤ 9 Phase de vérification invalidante
Phase de vérification validante
Le nombre cherché est donc 623.
Exercice : Numération décimale (1)
Soit n = [abab](10). Montrer que n est divisible par 101.
Solution : Numération décimale (1)
n= [abab](10) = a x 1000 + b x 100 + a x 10 + b.
Et il me reste à faire apparaître 101 multiplicativement ...
n= [abab](10) = a x 1000 + b x 100 + a x 10 + b = 1010 x a + 101 x b = 101 x (10 x a + b).
Je déduis de cette écriture que 101 est diviseur de n.
Exercice : Numération décimale (2)
Soit n = [abcabc](10). Montrer que n est divisible par 7, 11 et 13.
Solution : Numération décimale (2)
n= [abcabc](10) = a x 100000 + b x 10000 + c x 1000 + a x 100 + b x 10 + c.
Et il me reste à faire apparaître 7, 11 et 13 multiplicativement ...
n= [abab](10) = a x 100000 + b x 10000 + c x 1000 + a x 100 + b x 10 + c = 100100 x a + 10010 x
b + 1001 x c = 1001 x (100 x a + 10 x b + c) = 7 x 11 x 13 x (100 x a + 10 x b + c).
Je déduis de cette écriture que 7, 11 et 13 sont diviseurs de n.
Exercice : permutations d'un nombre à trois chiffres distincts
Soient a, b et c trois chiffres distincts en base 10. Quels sont tous les nombres distincts de trois
chiffres que l'on peut composer avec les chiffres a, b et c ? Montrer que la somme de ces nombres
est divisible par a + b + c.
Solution : permutations d'un nombre à trois chiffres distincts
Tous les nombres que je peux former à l'aide des chiffres a, b et c sont : [abc](10), [acb](10),
[bac](10), [bca](10), [cab](10), [cba](10), car les chiffres a, b et c étant distincts, les six nombres sont
distincts également.
Il me reste à sommer ces nombres ...
[abc](10) + [acb](10) + [bac](10) + [bca](10) + [cab](10) + [cba](10) = 100 x a + 10 x b + c + 100 x
a + 10 x c + b + 100 x b + 10 x a + c + 100 x b + 10 x c + a + 100 x c + 10 x a + b + 100 x c + 10
x b + a = 222 x a + 222 x b + 222 x c = 222 x (a + b + c) et a + b + c, comme 222, sont des
diviseurs de cette somme.
Exercice [Dijon, 2001]
Les nombres 2882 et 19591 sont des palindromes (cela signifie qu'en les lisant de gauche à droite
ou de droite à gauche, on a le même nombre). Trouvez tous les palindromes ayant 4 chiffres qui
sont divisibles par 9.
Solution [Dijon, 2001]
Les nombres que je cherche sont de la forme [abba](10).
Par le critère de divisibilité par 9, et ...
Je déduis que a + b + b + a = 2 x a + 2 x b = 2 x (a+b) est divisible par 9, ou encore que a + b l'est.
Cependant, a + b est compris entre 0 et 18 (car a et b sont des chiffres), je déduis donc que a + b
vaut 0, 9 ou 18.
Il ne me reste qu'à conclure ...
a+b
0
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
18
a
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
9
b
0
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
9
Nombre
0
990
1881
2772
3663
4554
5445
6336
7227
8118
9009
9999
refusé car le nombre est à quatre chiffres
validé
Je trouve donc comme solutions 1881, 2772, 3663, 4554, 5445, 6336, 7227, 8118, 9009 et 9999.
Exercice : Numération décimale (3)
Soient les chiffres a et b en base 10. Trouver a et b pour que [37a28b](10) soit divisible par 90.
Solution : Numération décimale (3)
Si [37a28b](10) est divisible par 90, il l'est donc aussi par 9 et par 10 (propriété de transitivité).
S'il est divisible par 10, alors b = 0, d'après le critère de divisibilité par 10.
S'il est divisible par 9, alors la somme de ses chiffres 3 + 7 + a + 2 + 8 + 0 = a + 20 l'est aussi,
d'après le critère de divisibilité par 9. Cependant, a est un chiffre, donc 20 ≤ a + 20 ≤ 29, ce qui
implique que a + 20 = 27, puis a = 7.
L'unique solution est donc 377280.
Exercice : Numération décimale (4)
Donner tous les chiffres a et b possibles en base 10 pour que [a6b5](10) soit divisible par 225.
Solution : Numération décimale (4)
[a6b5](10) est divisible par 225, il l'est donc aussi par 9 et par 25 (propriété de transitivité).
S'il est divisible par 25, alors b = 2 ou b = 7, d'après le critère de divisibilité par 25.
S'il est divisible par 9, alors la somme de ses chiffres a + 6 + b + 5 = a + b + 11 l'est aussi, d'après
le critère de divisibilité par 9. Cependant, a et b sont des chiffres, donc 11 ≤ a + b + 11 ≤ 29, ce qui
implique que a + b + 11 = 18 ou a + b + 11 = 27.
Synthèse :
Si b = 2 et que a + 13 = 18, c'est que a = 5 et 5625 est bien divisible par 225.
Si b = 2 et que a + 13 = 27, c'est que a = 14, qui n'est pas un chiffre et qui n'apporte donc
pas de nouvelle solution.
Si b = 7 et que a + 18 = 18, c'est que a = 0, et 675 est bien divisible par 225 (il est convenu
que le premier chiffre d'un nombre est non nul et cette solution pourrait tout aussi bien être
évincée).
Si b = 7 et que a + 18 = 27, c'est que a = 9 et 9675 est bien divisible par 225.
Exercice [Créteil, Paris, Versailles, 2004]
Un nombre N a pour écriture décimale [72a83b](10).
N est divisible par 6 et 45.
1. Quel est le chiffre b ?
2. Déterminer N.
Solution [Créteil, Paris, Versailles, 2004]
1. Quel est le chiffre b ?
N est divisible par 45 et 45 est divisible par 5, donc, par transitivité, N est divisible par 5, puis, par
le critère de divisibilité par 5, j'obtiens b = 0 ou b = 5.
N est divisible par 6 et 6 est divisible par 2, donc, par transitivité, N est divisible par 2, puis, par le
critère de divisibilité par 2, j'obtiens b = 0 ou b = 2 ou b = 4 ou b = 6 ou b = 8.
En synthèse, j'obtiens b = 0.
2. Déterminer N.
N est divisible par 45 et 45 est divisible par 9, donc, par transitivité, N est divisible par 9, puis, par
le critère de divisibilité par 9, j'obtiens que la somme des chiffres de N est divisible par 9, ce qui
signifie que 7 + 2 + a + 8 + 3 + 0 = 20 + a est divisible par 9. Or, a étant un chiffre en base
décimale, je déduis que 20 ≤ 20 + a ≤ 29. Et, comme le seul multiple de 9 compris au sens large
entre 20 et 29 est 27, j'ai 20 + a = 27, puis a = 7.
Par suite, N = 727830 (je vérifie aisément que 727830 est divisible par 6 et par 45).
Exercice : Numération décimale (5)
Soient les chiffres a et b en base 10. Montrer que si [a801b](10) est divisible par 11, il l'est aussi par
3.
Solution : Numération décimale (5)
Si [a801b](10) est divisible par 11, alors, d'après le critère de divisibilité par 11, (a + 0 + b) - (8 +
1) = a + b - 9 est divisible par 11.
Cependant, a et b sont des chiffres, donc -9 ≤ a + b - 9≤ 9, ce qui implique que a + b - 9 = 0.
Il ne me reste qu'à conclure ...
Le nombre [a801b](10) est-il divisible par 3 ?
Ceci équivaut, d'après le critère de divisibilité par 3, à ce que a + 8 + 0 + 1 + b = a + b + 9 soit
divisible par 3.
Cependant, j'ai montré que a + b = 9.
Ainsi, a + b + 9 = 18 est divisible par 3, puis [a801b](10) est divisible par 3.
Exercice [Aix, Marseille, Corse, Montpellier, Nice, 2000]
Déterminer a = [mcdu](10) tel que a > 7000, que a soit divisible par 45, que a soit impair et que son
chiffre des milliers soit double de celui des centaines.
Solution [Aix, Marseille, Corse, Montpellier, Nice, 2000]
Si a = [mcdu](10) et si a est supérieur à 7000, je déduis que m = 7, m = 8 ou m = 9. L'énoncé me dit
aussi que m = 2 x c, j'en déduis donc que m = 8 (car m est pair), puis que c = 4.
Le nombre s'écrit donc a = [84du](10).
Quels sont les multiples de 45 compris entre 8400 (inclus) et 8499 (inclus) ?
La division euclidienne de 8400 par 45 fournit le quotient 186 et le reste 30. Le premier multiple de
45 plus grand que 8400 (inclus) est donc 187 x 45 = 8415, le suivant est 188 x 45 = 8460 et le
sursuivant est plus grand que 8499 (inclus).
Parmi 8415 et 8460, seul 8415 est impair ! Le nombre cherché est donc 8415.
Exercice [Aix-Marseille, Corse, Montpellier, Nice, La Martinique, 2001]
I. Voici deux propositions concernant des nombres donnés en écriture décimale. Dire pour chacune
d'elles si elle est vraie ou fausse et justifier.
1. Si l'écriture d'un nombre entier se termine par 2, alors l'écriture du carré de ce nombre se termine
par 4.
2. Si l'écriture d'un nombre entier se termine par 4, alors l'écriture du carré de ce nombre se termine
par 16.
II. Soit n = [a5](10) où a est un chiffre en base 10.
1. Montrer que n2 < 9999.
2. Montrer que l'écriture de n2 se termine par 25 et que son nombre de centaines est a x (a + 1).
Solution [Aix-Marseille, Corse, Montpellier, Nice, La Martinique, 2001]
1. Si l'écriture d'un nombre entier se termine par 2, alors l'écriture du carré de ce nombre se termine
par 4.
C'est vrai ! Il me faut le montrer pour justifier !
Soit a un nombre qui se termine par un 2. Celui-ci s'écrit donc a = x x 10 + 2 où x est le nombre de
dizaines de a. Son carré est, par conséquent, a2 = (x x 10 + 2)2 = x2 x 100 + x x 40 + 4 = 10 x (x2 x
10 + x x 4) + 4. Puis, le carré de a se termine par un 4.
On peut également poser l'opération multiplicative avec un cache.
x
Cache 2
2
4
+
4
2. Si l'écriture d'un nombre entier se termine par 4, alors l'écriture du carré de ce nombre se termine
par 16.
C'est faux ! Pour justifier, il me suffit de trouver un contre-exemple.
Par exemple, 142 = 196 ne termine pas par 16, mais par 96.
Soit n = [a5](10) où a est un chiffre en base 10.
1. Montrer que n2 < 9999.
J'ai n ≤ 99, donc n2 ≤ 992 = 9801 < 9999.
2. Montrer que l'écriture de n2 se termine par 25 et que son nombre de centaines est a x (a + 1).
n = [a5](10) = a x 10 + 5, donc n2 = (a x 10 + 5)2 = a2 x 100 + a x 100 + 25 = (a2 + a) x 100 + 2 x
10 + 5 .
Je déduis que ce nombre a :
5 pour chiffre des unités,
2 pour chiffre des dizaines,
a2 + a = a x (a + 1) pour nombre des centaines.
Exercice [Limoges, 2001]
1. Trouver tout entier naturel à un chiffre, égal au chiffre des unités de son carré.
2. Soit A un entier naturel à deux chiffres tel que A et A2 aient à la fois même chiffre des unités et
même chiffre des dizaines.
2.a) Quels sont les chiffres des unités possibles pour A ?
2.b) Donner, en explicitant la démarche suivie, toutes les valeurs possibles pour A.
3. Donner, sans justification, un entier naturel B a trois chiffres tel que B et B2 aient à la fois même
chiffre des unités, même chiffre des dizaines et même chiffre des centaines.
Solution [Limoges, 2001]
1. Trouver tout entier naturel à un chiffre, égal au chiffre des unités de son carré.
Il me suffit de faire un tableau ...
Chiffre
des
unités du
Carré du carré du
Nombre nombre nombre
0
0
0
1
1
1
2
4
4
3
9
9
4
16
6
5
25
5
6
36
6
7
49
9
8
64
4
9
81
1
refusé
validé
Les nombres qui sont égaux au chiffre des unités de leurs carrés sont 0, 1, 5 et 6.
2. Soit A un entier naturel à deux chiffres tel que A et A2 aient à la fois même chiffre des unités et
même chiffre des dizaines.
2.a) Quels sont les chiffres des unités possibles pour A ?
J'ai A = [ab](10) = 10 x a + b, donc A2 = (10 x a + b)2 = a2 x 100 + (2 x a x b) x 10 + b2, et le
chiffre des unités de A2 est le même que celui de b2 (i.e. celui du carré de son chiffre des unités).
Enfin, d'après le question 1., le chiffre des unités de A (i.e. b) est 0, 1, 5 ou 6.
2.b) Donner, en explicitant la démarche suivie, toutes les valeurs possibles pour A.
Je travaille sur les diverses éventualités pour b :
Si b = 0, alors A = [a0](10) = 10 x a et A2 = (10 x a)2 = a2 x 100 et le chiffre des dizaines de
A2 est 0. Ensuite, la condition "A et A2 ont à la fois même chiffre des unités et même chiffre
des dizaines" me fournit a = 0, puis A = 0 (la solution A = 0 est écartée selon l'argument que
ce nombre ne possède pas deux chiffres).
Si b = 1, alors A = [a1](10) = 10 x a + 1 et A2 = (10 x a + 1)2 = a2 x 100 + 2 x a x 10 + 1 et
le chiffre des dizaines de A2 est celui de 2 x a. Ensuite, la condition "A et A2 ont à la fois
même chiffre des unités et même chiffre des dizaines" me fournit a et le chiffre des unités de
2 x a sont égaux.
a
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2a
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
refusé
validé
Chiffre
des
unités de
2a
0
2
4
6
8
0
2
4
6
8
et le cas b = 1 ne fournit pas de solution.
Si b = 5, alors A = [a5](10) = 10 x a + 5 et A2 = (10 x a + 5)2 = a2 x 100 + a x 100 + 2 x 10
+ 5 et le chiffre des dizaines de A2 est 2. Ensuite, la condition "A et A2 ont à la fois même
chiffre des unités et même chiffre des dizaines" me fournit a = 2.
Enfin, A = 25 est solution !
Si b = 6, alors A = [a6](10) = 10 x a + 6 et A2 = (10 x a + 6)2 = a2 x 100 + a x 120 + 3 x 10
+ 6 = (a2 + a) x 100 + (2 x a + 3) x 10 + 6 et le chiffre des dizaines de A2 est celui de 2 x a
+ 3. Ensuite, la condition "A et A2 ont à la fois même chiffre des unités et même chiffre des
dizaines" me fournit a et le chiffre des unités de 2 x a + 3 sont égaux.
a
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Enfin, A = 76 est solution !
Chiffre
des
unités de
2a+3
2a+3
3
3
5
5
7
7
9
9
11
1
13
3
15
5
17
7
19
9
21
1
refusé
validé
Au final les deux solutions sont A = 25 et A = 76.
3. Donner, sans justification, un entier naturel B a trois chiffres tel que B et B2 aient à la fois même
chiffre des unités, même chiffre des dizaines et même chiffre des centaines.
Pour cette question, aucune justification n'est requise : je pourrais me contenter de donner l'une des
deux solutions parmi B = 625 et B = 376.
Cependant, voici quelques pistes pour une éventuelle démonstration :
1° B se termine forcément par 00, par 25 ou par 76 (je pourrais montrer que les seuls deux
derniers chiffres d'un nombres permettent de déterminer les deux derniers chiffres de son
carré, soit par des manipulations algébriques, soit par la pose de l'opération avec cache).
2° Je propose alors un tableau qui présente toutes les éventualités pour B...
B
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
25
125
225
325
425
525
625
725
825
925
76
176
276
376
476
576
676
776
876
976
B2
0
10000
40000
90000
160000
250000
360000
490000
640000
810000
625
15625
50625
105625
180625
275625
390625
525625
680625
855625
5776
30976
76176
141376
226576
331776
456976
602176
767376
952576
Refusé
validé
Trois
derniers
chiffres
de B2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
625
625
625
625
625
625
625
625
625
625
776
976
176
376
576
776
976
176
376
576
3° Je conclus. Au final les deux solutions sont B = 625 et B = 376 (la solution B = 0 est
écartée selon l'argument que ce nombre ne possède pas trois chiffres).
Exercice [Créteil, Paris, Versailles, 2000]
Soit A un entier naturel.
1. Trouver une condition nécessaire sur le dernier chiffre de A pour que A soit le carré d'un
nombre entier naturel. Cette condition est-elle suffisante ?
2. Trouver une condition nécessaire sur le dernier chiffre de A pour que A soit le produit de
deux nombres entiers naturels consécutifs. Cette condition est-elle suffisante ?
Solution [Créteil, Paris, Versailles, 2000]
Propriété : si a est le chiffre des unités de A et si b est le chiffre des unités de B, alors, le chiffre des
unités de A x B est celui de a x b.
Démonstration de cette propriété : soit A = α x 10 + a où α est le nombre de dizaines de A et soit B
= β x 10 + b où β est le nombre de dizaines de B ; alors, A x B = (α x 10 + a) x (β x 10 + b) = (α x β
x 10 + α + β) x 10 + a x b, et le chiffre des unités de A x B est celui de a x b.
On aurait également pu obtenir cette propriété en posant la multiplication avec un cache.
Soit A un entier naturel.
1. Trouver une condition nécessaire sur le dernier chiffre de A pour que A soit le carré d'un
nombre entier naturel (i.e. un carré parfait).
D'après la propriété énoncée ci-haut, il me suffit de voir les éventualités sur le chiffre des unités de
A.
Derinier Dernier
chiffre de chiffre de
A
A2
0
0
1
1
2
4
3
9
4
6
5
5
6
6
7
9
8
4
9
1
Je peux donc énoncer la propriété suivante : si A est un carré parfait, il faut que son chiffre des
unités soit 0, 1, 4, 5, 6 ou 9.
Cette condition "le chiffre des unités est 0, 1, 4, 5, 6 ou 9" est nécessaire comme le montre
l'utilisation du "il faut".
Cette condition est-elle suffisante ?
Autrement dit : est-il vrai que "si le chiffre des unités de A est 0, 1, 4, 5, 6 ou 9, alors A est un carré
parfait" ?
Non : 10 a 0 pour chiffre des unités, mais 10 n'est pas un carré parfait (3 x 3 = 9 (trop petit) et 4 x 4
= 16 (trop grand)) !
Soit A un entier naturel.
2. Trouver une condition nécessaire sur le dernier chiffre de A pour que A soit le produit de
deux nombres entiers naturels consécutifs.
D'après la propriété énoncée ci-haut, il me suffit de voir les éventualités sur le chiffre des unités de
A.
Derinier Dernier
chiffre de chiffre de
A
A(A+1)
0
0
1
2
2
6
3
2
4
0
5
0
6
2
7
6
8
2
9
0
Je peux donc énoncer la propriété suivante : si A est produit de deux entiers naturels consécutifs, il
faut que son chiffre des unités soit 0, 2 ou 6.
Cette condition "le chiffre des unités est 0, 2 ou 6" est nécessaire comme le montre l'utilisation du
"il faut".
Cette condition est-elle suffisante ?
Autrement dit : est-il vrai que "si le chiffre des unités de A est 0, 2 ou 6, alors A est produit de deux
entiers naturels consécutifs" ?
Non : 10 a 0 pour chiffre des unités, mais 10 n'est pas produit de deux entiers naturels consécutifs
(2 x 3 = 6 (trop petit) et 3 x 4 = 12 (trop grand)) !
Exercice [Montpellier, 1998]
En écriture sexagésimale, [(2)(19)(51)](60) = 2 x 3600 + 19 x 60 + 51.
1. Ecrire en base 10 le nombre [(3)(0)(17)(48)](60).
2. Ecrire en base 60 le nombre 54325432.
3. n = [([ab](10))([ba](10))](60).
a) Quelle condition sur a et b ?
b) n est multiple de 5. Que cela apporte-t-il de plus sur a et b ?
c) n = [b21a](10). Que cela apporte-t-il de plus sur a et b ?
Solution [Montpellier, 1998]
1. Ecrire en base 10 le nombre [(3)(0)(17)(48)](60).
[(3)(0)(17)(48)](60) = 3 x 216000 + 17 x 60 + 48 = 649068.
2. Ecrire en base 60 le nombre 54325432.
Je me rappelle qu'il faut réitérer la division euclidienne par 60.
(60)
54325432
52
905423
23
15090
30
251
11
4
Ainsi, 54325432 = [(4)(11)(30)(23)(52)](60).
3. n = [([ab](10))([ba](10))](60).
a) Quelle condition sur a et b ?
[ab](10) doit être un chiffre en base 60, on déduit en particulier que 1 ≤ a ≤ 5 (le cas a = 0 est retiré
car un premier chiffre est, par convention, non nul) ;
[ba](10) doit être un chiffre en base 60, on déduit en particulier que 1 ≤ b ≤ 5 (le cas b = 0 est retiré
car un premier chiffre est, par convention, non nul). On a également n = [([ab](10))([ba](10))](60) =
[ab](10) x 60 + [ba](10) = (a x 10 + b) x 60 + (b x 10 + a) = 601 x a + 70 x b.
b) n est multiple de 5. Que cela apporte-t-il de plus sur a et b ?
Je sais que 5 est diviseur de n et que 5 est diviseur de 70 x b (en effet, 5 étant diviseur de 70, il l'est
aussi de 70 x b), je déduis donc que 5 est diviseur de 601 x a.
Parmi 601 = 1 x 601, 1202 = 2 x 601, 1803 = 3 x 601, 2404 = 4 x 601, et 3005 = 5 x 601 (je sais
d'après la question a que 1 ≤ a ≤ 5), seul 3005 est divisible par 5, et donc a = 5, puis n = [([5b](10))
([b5](10))](60) = 3005 + 70 x b.
n = [b21a](10). Que cela apporte-t-il de plus sur a et b ?
Je sais, d'après la question b, que a = 5, et je déduis que n = [b215](10).
Vais-je pouvoir déterminer b ?
J'ai n = 3005 + 70 x b = b x 1000 + 215, et j'obtiens 2790 = 9300 x b, puis b = 3.
En conclusion : n = 3215 = [([53](10)) ([35](10))](60).
Exercice : Numération décimale (6)
Tous les nombres sont donnés dans le système décimal (en base 10).
On considère un nombre à quatre chiffres que l'on note [a1b1](10) (i.e. a est le chiffre des milliers, 1
est celui des centaines, b est celui des dizaines et 1 est celui des unités). On lui soustrait un nombre
à trois chiffres que l'on note [a0b](10) (i.e. a est le chiffre des centaines, 0 est celui des dizaines et b
est celui des unités). Le résultat est appelé x.
On suppose de plus que le chiffre a est strictement plus grand que 1 et que le chiffre b est
strictement plus grand que le chiffre a. On abrège cette relation en écrivant : b > a > 1.
Question 0 Quelle est la plus petite valeur que peut prendre a ?, la plus petite que peut prendre b ?,
la plus grande que peut prendre b ?, la plus grande que peut prendre a ?, la plus petite que peut
prendre a + b ?, la plus grande que peut prendre a + b ?
On recherche l'ensemble de tous les chiffres a et b tels que x soit divisible par 11.
On rappelle la règle suivante : ''Un nombre est divisible par 11 si l'écart entre la somme des chiffres
de rangs pairs et la somme des chiffres de rangs impairs est divisible par 11, et réciproquement, si
un nombre est divisible par 11, l'écart entre la somme des chiffres de rangs pairs et la somme des
chiffres de rangs impairs est divisible par 11''.
Question 1 Quel est le chiffre des unités de x, en fonction de b ? Expliquer ...
Question 2 Quel est le chiffre des dizaines de x, en fonction de b ? Expliquer ...
Question 3 Quel est le chiffre des centaines de x, en fonction de a ? Expliquer ...
Question 4 Quel est le chiffre des milliers de x, en fonction de a ? Expliquer ...
Question 5 Montrer que si a + b = 12, alors x est divisible par 11.
Question 6 Montrer que si x est divisible par 11, alors a + b = 12.
Question 7 Quels sont tous les a et b tels que x est divisible par 11 ?
Solution : Numération décimale (6)
Il s'agit du calcul de x = [a1b1](10) - [a0b](10) sous la condition b > a > 1.
Je réponds sans grande justification à la question 0 ...
Question 0 Quelle est la plus petite valeur que peut prendre a ?, la plus petite que peut prendre b ?,
la plus grande que peut prendre b ?, la plus grande que peut prendre a ?, la plus petite que peut
prendre a + b ?, la plus grande que peut prendre a + b ?
La plus petite valeur que peut prendre a est 2. Par conséquent, la plus petite valeur que peut prendre
b est 3.
La plus grande valeur que peut prendre b est 9. Par conséquent, la plus grande valeur que peut
prendre a est 8.
De tout cela, il découle que la plus petite valeur que peut prendre a + b est 2 + 3 = 5 et la plus
grande valeur que peut prendre a + b est 8 + 9 = 17.
Je commence par poser l'opération en colonne pour obtenir chacun des chiffres de x.
10
a
-
1
a
1
10
b
0
1
b
1
a-1
11-a
b-1
11-b
Cette pose du calcul est une justification pour répondre aux question 1, 2, 3 et 4.
Question 1 Quel est le chiffre des unités de x, en fonction de b ? 11 - b.
Question 2 Quel est le chiffre des dizaines de x, en fonction de b ? b - 1.
Question 3 Quel est le chiffre des centaines de x, en fonction de a ? 11 - a.
Question 4 Quel est le chiffre des milliers de x, en fonction de a ? a - 1.
Question 5 Montrer que si a + b = 12, alors x est divisible par 11.
Question 6 Montrer que si x est divisible par 11, alors a + b = 12.
Je vais considérer de front ces questions 5 et 6.
x est divisible par 11, équivaut à dire que la différence entre la somme des chiffres de rang pair de x
et la somme des chiffres de rang impair de x est divisible par 11 (et cette différence vaut (11 - b +
11 - a) - (b - 1 + a - 1) = 24 - 2 x a - 2 x b = 24 - 2 x (a + b) au signe près).
Je déduis que si a + b = 12, alors, 24 - 2 x (a + b) = 0 est divisible par 11 et x est divisible par 11.
Je déduis également que si x est divisible par 11, ou si 24 - 2 x (a + b) est divisible par 11 (j'ai,
d'après la question 0, 3 ≤ a + b ≤ 17, d'où j'obtiens - 10 ≤ 24 - 2 x (a + b) ≤ 18), alors 24 - 2 x (a +
b) vaut 0 ou 11. Cependant, la quantité 24 - 2 x (a + b) est trivialement paire et ne peut valoir 11. Il
s'ensuit que 24 - 2 x (a + b) = 0, puis que a + b = 12.
Question 7 Quels sont tous les a et b tels que x est divisible par 11 ?
Il me suffit de faire la synthèse !
a = 3 et b = 9, a = 4 et b = 8, et a = 5 et b = 7 sont les couples solutions (je n'ai pas oublié que a <
b).
Exercice [Orléans-Tours, 1998]
Soit n = [abc](6) (103 = [251](6)).
1.a) Que vaut [132](6) ? Est-il multiple de 6 ? Est-il multiple de 2 ?
1.b) [324](6), [222](6), [550](6) sont-ils multiples de 6 ? Sont-ils multiples de 2 ?
1.c) Enoncer et montrer les critères de divisibilité par 6 et par 2 à partir de l'écriture du nombre
[abc](6) en base 6.
2. Montrer que [325](6), [212](6), [555](6) sont multiples de 5. Enoncer et montrer le critère de
divisibilité par 5 à partir de l'écriture du nombre [abc](6) en base 6.
Solution : [Orléans-Tours, 1998]
1.a) Que vaut [132](6) ? Est-il multiple de 6 ? Est-il multiple de 2 ?
Il me suffit d'utiliser la base 10, dans laquelle je sais reconnaître les multiples de 2 et de 6.
[132](6) = 1 x 36 + 3 x 6 + 2 = 56 qui est multiple de 2, mais qui n'est pas multiple de 6.
1.b) [324](6), [222](6), [550](6) sont-ils multiples de 6 ? Sont-ils multiples de 2 ?
Je recommence comme précédemment ...
[324](6) = 3 x 36 + 2 x 6 + 4 = 124 qui est multiple de 2, mais qui n'est pas multiple de 6.
[222](6) = 2 x 36 + 2 x 6 + 2 = 86 qui est multiple de 2, mais qui n'est pas multiple de 6.
[550](6) = 5 x 36 + 5 x 6 + 0 = 210 qui est multiple de 2 et de 6.
1.c) Enoncer et montrer les critères de divisibilité par 6 et par 2 à partir de l'écriture du nombre
[abc](6) en base 6.
Si [abc](6) est divisible par 6, alors c = 0. Et, réciproquement.
Je démontre le critère de divisibilité par 6 ...
Si [abc](6) est divisible par 6, alors a x 36 + b x 6 + c = 6 x (a x 6 + b) + c est divisible par 6. Par
suite, [abc](6) et 6 x (a x 6 + b) étant divisibles par 6, il vient que c = [abc](6) - 6 x (a x 6 + b) est
divisible par 6 (d'après la propriété de soustraction des multiples). Cependant, c est un entier naturel
tel que 0 ≤ c ≤ 5 (c est un chiffre en base 6) divisible par 6, c est donc nul (i.e. c = 0).
Réciproquement, si c = 0, alors [ab0](6) = a x 36 + b x 6 = 6 x (a x 6 + b) est divisible par 6.
Si [abc](6) est divisible par 2, alors c est pair. Et, réciproquement.
Je démontre maintenant le critère de divisibilité par 2 ...
Si [abc](6) est divisible par 2, alors a x 36 + b x 6 + c = 6 x (a x 6 + b) + c est divisible par 2. Par
suite, [abc](6) et 6 x (a x 6 + b) étant divisibles par 2, il vient que c = [abc](6) - 6 x (a x 6 + b) est
divisible par 2 (d'après la propriété de soustraction des multiples). Cependant, c est un entier naturel
tel que 0 ≤ c ≤ 5 (c est un chiffre en base 6) divisible par 2, c est donc pair (i.e. c = 0, c = 2 ou c =
4).
Réciproquement, si c est divisible par 2 (i.e. c est pair), alors [abc](6) = a x 36 + b x 6 + c = 6 x (a x
6 + b) + c est divisible par 2 (d'après la propriété d'addition des multiples).
2. Montrer que [325](6), [212](6), [555](6) sont multiples de 5. Enoncer et montrer le critère de
divisibilité par 5 à partir de l'écriture du nombre [abc](6) en base 6.
Je commence par la partie calculatoire ...
[325](6) = 3 x 36 + 2 x 6 + 5 = 125 qui est multiple de 5.
[212](6) = 2 x 36 + 1 x 6 + 2 = 80 qui est multiple de 5.
[555](6) = 5 x 36 + 5 x 6 + 5 = 215 qui est multiple de 5.
Si [abc](6) est divisible par 5, alors a + b + c est divisible par 5. Et, réciproquement.
Je montre cela.
Je commence par écrire [abc](6) différemment : [abc](6) = a x 36 + b x 6 + c = a x (35 + 1) + b x (5
+ 1) + c = 5 x (7 x a + b) + (a + b + c).
Si [abc](6) est divisible par 5, alors 5 x (7 x a + b) + (a + b + c) est divisible par 5. Par suite,
[abc](6) et 5 x (7 x a + b) étant divisibles par 5, il vient que a + b + c = [abc](6) - 5 x (7 x a + b) est
divisible par 5 (d'après la propriété de soustraction des multiples).
Réciproquement, si a + b + c est divisible par 5, comme 5 x (7 x a + b) est divisible par 5, il vient
que [abc](6) = 5 x (7 x a + b) + (a + b + c) est divisible par 5 (d'après la propriété d'addition des
multiples).
Exercice : Numération décimale (7)
Soient a, b, et c des chiffres en base 10 non nuls. Montrer que si [ab](10) et [bc](10) sont des
nombres divisibles par 7, alors [ca](10) l'est aussi.
Solution : Numération décimale (7)
Je commence par traduire mathématiquement les données ...
[ab](10) est multiple de 7. Ainsi, on peut trouver un entier naturel k tel que a x 10 + b = 7 x k.
[bc](10) est multiple de 7. Ainsi, on peut trouver un entier naturel l tel que b x 10 + c = 7 x l.
Je travaille ensuite sur ce que je dois démontrer ...
Je dois montrer [bc](10) est multiple de 7 ou trouver un entier naturel m tel que c x 10 + a = 7 x m.
c x 10 + a = (7 x l - b x 10) x 10 + a = (7 x l - (7 x k - a x 10) x 10) x 10 + a = 70 x l - 700 x k + 1001
x a = 7 x (10 x l + 100 x k + 143 x a).
J'ai ainsi montré le résultat.
Exercice : Numération décimale (8)
On considère un nombre à quatre chiffres que l'on note [abcd](10) (i.e. a est le chiffre des milliers, b
celui des centaines, c celui des dizaines et d celui des unités).
On appelle retourné du nombre [abcd](10) le nombre [dcba](10) (i.e. le retourné est obtenu en
intervertissant le chiffre des milliers avec celui des unités et celui des centaines avec celui des
dizaines -par exemple, le nombre 921 est le retourné du nombre 1290, et réciproquement, le nombre
1290 est le retourné du nombre 921-).
Question 1 Quels sont les retournés des nombres 4205, 10 et 444 ?
On considère dorénavant un nombre à quatre chiffres que l'on note [abcd](10) vérifiant les
conditions restrictives : a est soit 5, soit 6, soit 7, soit 8 ou soit 9 ; b aussi est soit 5, soit 6, soit 7,
soit 8 ou soit 9 (b peut être différent de a) ; c est soit 0, soit 1, soit 2, soit 3 ou soit 4 ; d aussi est soit
0, soit 1, soit 2, soit 3 ou soit 4 (d peut être différent de c).
Question 2 Combien existe-t-il de tels nombres ?
On décide de classer ces nombres du plus petit au plus grand.
Question 3 Quel sera le premier de ces nombres ?, le dernier ?, le deux cent dixième ?
On définit maintenant l'algorithme suivant :
"Je prends un nombre [abcd] vérifiant les conditions restrictives, je lui enlève son retourné. Le
résultat ainsi obtenu est appelé résultat intermédiaire. Puis, au résultat intermédiaire, j'ajoute le
retourné du résultat intermédiaire. J'écris le résultat final"
Question 4 Appliquer l'algorithme aux nombres qui, parmi 7209, 1495, 5924, 9904, 4692 et 7637,
vérifient les conditions restrictives.
Question 5 Enoncer de façon claire et concise une propriété relative à cet algorithme.
Question 6 Démontrer cette propriété.
Faire une démonstration exhaustive de cette propriété, consiste à vérifier la propriété pour chacun
des nombres vérifiant les conditions restrictives.
Question 7 Sachant que je mets 15 secondes pour vérifier la propriété pour un nombre, quel temps
(en heures, minutes, secondes) mettrai-je pour effectuer une démonstration exhaustive de cette
propriété ?
Question 8 Si je commence la démonstration exhaustive à 14 heures 54 minutes et 48 secondes, à
quelle heure précisément aurai-je achevé cette tâche ?
Solution : Numération décimale (8)
Mise en bouche ...
Dans un couvent, à la tombée de la nuit, quatre jeunes nonnes s'enfuient car elles n'arrivaient pas à
trouver le sommeil ... En chemin, elles rencontrent le grand sage de la forêt qu'elles s'empressent de
saluer. Elles lui font part de leur problème d'insomnie. Le sage, qui est un peu matheux, un peu
anglais essaye de modéliser le problème en écrivant "SLEEP" (dormir) puis "NIGHT" (la nuit) en
codant les lettres avec des chiffres comme suit :
S L E E P N I G H T
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Il demande alors à l'une des nonnes de choisir deux lettres du mot "NIGHT". Elle choisit le H, puis
le T. Il demande alors à l'autre nonne de choisir deux lettres du mot "SLEEP". Elle choisit le
deuxième E, puis le L. Il code alors H par 8, T par 9, E par 3 et L par 1 (voir tableau). Il effectue
alors le calcul suivant :
8
1
7
9
3
5
3
9
3
1
8
3
(il enlève le nombre
écrit à l'envers)
1
7
3
0
5
3
8
3
5
9
3
7
0
(il ajoute le nombre
écrit à l'envers)
1
0
8
9
+
0
x
4
(il multiplie
4 3 5 6 0
par 4)
Il indique alors aux nonnes qu'il a trouvé la solution et décode "43560".
Les quatre nonnes sont reparties comblées.
Question 1 Quels sont les retournés des nombres 4205, 10 et 444 ?
J'écris juste les retournés ...
Le retourné de 4205 est 5024.
Le retourné de 10 est 100.
Le retourné de 444 est 4440.
Question 2 Combien existe-t-il de tels nombres ?
Un arbre permet de dénombrer aisément ...
5 possibilités pour le premier chiffre, 5 possibilités pour le deuxième chiffre, 5 possibilités pour le
troisième chiffre, 5 possibilités pour le quatrième chiffre, soit un total de 5 x 5 x 5 x 5 = 54 = 625
possibilités pour le nombre.
Question 3 Quel sera le premier de ces nombres ?, le dernier ?, le deux cent dixième ?
Le premier est 5500 et le dernier est 9944.
Je vais chercher sur mon arbre le deux cent dixième.
Du 1° au 125°, les nombres commencent par 5 ;
Du 126° au 250°, les nombres commencent par 6 ;
Du 251° au 375°, les nombres commencent par 7 ;
Du 376° au 500°, les nombres commencent par 8 ;
Du 501° au 625°, les nombres commencent par 9.
Comme je cherche le 210°, il commence par 6.
Du 126° au 150°, les nombres commencent par 65 ;
Du 151° au 175°, les nombres commencent par 66 ;
Du 176° au 200°, les nombres commencent par 67 ;
Du 201° au 225°, les nombres commencent par 68 ;
Du 226° au 250°, les nombres commencent par 69.
Comme je cherche le 210°, il commence par 68.
Du 201° au 205°, les nombres commencent par 680 ;
Du 206° au 210°, les nombres commencent par 681 ;
Du 211° au 215°, les nombres commencent par 682 ;
Du 216° au 220°, les nombres commencent par 683 ;
Du 221° au 225°, les nombres commencent par 684.
Comme je cherche le 210°, il commence par 681.
Le 206° est 6810 ; le 207° est 6811 ; le 208° est 6812 ; le 209° est 6813 ; et le 210° est 6814.
Question 4 Appliquer l'algorithme aux nombres qui, parmi 7209, 1495, 5924, 9904, 4692 et 7637,
vérifient les conditions restrictives.
Je cherche d'abord les nombres qui vérifient les conditions restrictives, puis je leur applique
l'algorithme ...
7209 ne vérifie pas les conditions restrictives, car le deuxième chiffre doit être choisi parmi 5, 6, 7,
8 et 9.
1495 ne vérifie pas les conditions restrictives, car le premier chiffre doit être choisi parmi 5, 6, 7, 8
et 9.
5924 vérifie les conditions restrictives. Je lui applique l'algorithme.
5
4
1
9
2
6
2
9
2
4
5
9
(il enlève le nombre
écrit à l'envers)
1 6 2 9
+
9 2 6 1
(il ajoute le nombre
1 0 8 9 0
écrit à l'envers)
9904 vérifie les conditions restrictives. Je lui applique l'algorithme.
9
4
5
9
0
8
0
9
0
4
9
5
(il enlève le nombre
écrit à l'envers)
5 8 0 5
+
5 0 8 5
(il ajoute le nombre
1 0 8 9 0
écrit à l'envers)
4692 ne vérifie pas les conditions restrictives, car le premier chiffre doit être choisi parmi 5, 6, 7, 8
et 9.
7637 ne vérifie pas les conditions restrictives, car le quatrième chiffre doit être choisi parmi 0, 1, 2,
3 et 4.
Question 5 Enoncer de façon claire et concise une propriété relative à cet algorithme.
Puis-je proposer une propriété après observation des exemples précédents ?
L'algorithme appliqué à un nombre vérifiant les conditions restrictives fournit le résultat 10890.
Question 6 Démontrer cette propriété.
+
1
a
d
a-d
car d<a
b
c
b-c-1
car c<b ; 1
compense
emprunt à
gauche
c
b
10+c-b-1
car c<b ; 10
emprunté à
droite ; 1
compense
emprunt à
gauche
d
a
10+d-a
car d<a ; 10
emprunté à
droite
a-d
10+d-a
0
b-c-1
10+c-b-1
8
10+c-b-1
b-c-1
9
1 de retenue à
droite
10+d-a
a-d
0
(il enlève le nombre
écrit à l'envers)
(il ajoute le nombre
écrit à l'envers)
J'ai donc démontré la propriété proposée.
Question 7 Sachant que je mets 15 secondes pour vérifier la propriété pour un nombre, quel temps
(en heures, minutes, secondes) mettrai-je pour effectuer une démonstration exhaustive de cette
propriété ?
Je me rappelle que 625 nombres vérifient les conditions restrictives.
Ceci compte donc 625 x 15 = 9375 secondes.
(60)
9375
156
2
Et, la tâche dure 2 heures 36 minutes 15 secondes.
15
36
Question 8 Si je commence la démonstration exhaustive à 14 heures 54 minutes et 48 secondes, à
quelle heure précisément aurai-je achevé cette tâche ?
La tâche sera achevée à 17 heures 31 minutes 03 secondes.
Exercice [Amiens, 2002]
Soit N = [mcdu](10) un nombre entier naturel écrit en base dix pour lequel m > c > d > u > 0.
Question 1 Quel est le plus petit entier N possible ?
Question 2 Quel est le plus grand entier N possible ?
Question 3 Dresser la liste des nombres N pour lesquels le chiffre des milliers est 6.
On appelle N' le nombre entier obtenu à partir de N en permutant le chiffre des unités avec celui des
unités de mille et le chiffre des dizaines avec celui des centaines.
On appelle D le nombre obtenu en faisant la différence N-N'.
Question 4 Exprimer D en fonction de m, c, d et u.
Question 5 Montrer que D est multiple de 9.
Question 6 Quelle est la valeur maximale pour D ? Pour quelle(s) valeur(s) de N, D est-il
maximum ?
Question 7 Quelle est la valeur minimale pour D ? Pour quelle(s) valeur(s) de N, D est-il
minimum ?
Solution [Amiens, 2002]
Question 1 Quel est le plus petit entier N possible ?
Je travaille d'abord sur u, ...
N = [mcdu](10) est un nombre entier naturel pour lequel m > c > d > u > 0. Le plus petit u possible
est 1, le plus petit d possible est donc 2, le plus petit c possible est donc 3 et le plus petit m possible
est donc 4. Ceci fait que le plus petit N possible est 4321.
Question 2 Quel est le plus grand entier N possible ?
Je travaille d'abord sur m, ...
N = [mcdu](10) est un nombre entier naturel pour lequel m > c > d > u > 0. Le plus grand m
possible est 9, le plus grand c possible est donc 8, le plus grand d possible est donc 7 et le plus
grand u possible est donc 6. Ceci fait que le plus grand N possible est 9876.
Question 3 Dresser la liste des nombres N pour lesquels le chiffre des milliers est 6.
Tous ceux qui commencent par 65... : 6543, 6542, 6541, 6532, 6531 et 6521.
Tous ceux qui commencent par 64... : 6432, 6431 et 6421.
Tous ceux qui commencent par 63... : 6321.
Et, il n'en existe pas d'autres ...
Question 4 Exprimer D en fonction de m, c, d et u.
Je traduis mathématiquement les données ...
N = [mcdu](10) = m x 1000 + c x 100 + d x 10 + u et N' = [udcm](10) = u x 1000 + d x 100 + c x 10
+ m.
Par différence, il vient que D = N - N' = (m x 1000 + c x 100 + d x 10 + u) - (u x 1000 + d x 100 + c
x 10 + m) = m x 999 + c x 90 - d x 90 - u x 999 = (m - u) x 999 + (c - d) x 90 .
Question 5 Montrer que D est multiple de 9.
Il me suffit donc de mettre 9 en facteur dans D ...
D = (m - u) x 999 + (c - d) x 90 = 9 x ((m - u) x 111 + (c - d) x 10).
Et donc D est multiple de 9.
Question 6 Quelle est la valeur maximale pour D ? Pour quelle(s) valeur(s) de N, D est-il
maximum ?
Il me suffit de réfléchir sur D = (m - u) x 999 + (c - d) x 90 ...
Trouver la valeur maximale de D, est équivalent à trouver m, c, d et u tels que m - u soit maximal et
c - d soit maximal également ...
D est donc maximal lorsque m = 9 et u = 1 et lorsque c = 8 et d = 2, c'est-à-dire pour N = 9821 ;
j'obtiens alors D = 8532.
Question 7 Quelle est la valeur minimale pour D ? Pour quelle(s) valeur(s) de N, D est-il
minimum ?
Il me suffit encore de réfléchir sur D = (m - u) x 999 + (c - d) x 90 ...
Trouver la valeur minimale de D, est équivalent à trouver m, c, d et u tels que m - u soit minimal et
c - d soit minimal également ...
Le minimum de m - u est 3 et le minimum de c - d est 1 et ce minimum est atteint lorsque u, d, c et
m sont des entiers consécutifs.
D est donc maximal lorsque N = 4321, N = 5432, N = 6543, N = 7654, N = 8765 ou N = 9876 ;
j'obtiens alors D = 3087.