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Introduction universitaire
aux mathématiques
Notes de cours
1re année du Bachelier en Sciences chimiques
Introduction
Ce cours se donne comme objectif principal de rappeler et fixer quelques
notions mathématiques essentielles pour aborder les cours d’une première
année universitaire en sciences chimiques.
Deux chapitres y sont abordés : les fonctions exponentielles et logarithmiques
d’une part et les nombres complexes d’autre part. Ces matières ont été étudiées dans l’enseignement secondaire. Votre cours de mathématiques pourra
donc être un bon support pour travailler ce cours.
Ce document reprend de manière très condensée l’essentiel de ce qu’il faut
maîtriser dans chaque chapitre. Il ne peut donc en aucun cas être considéré
comme un cours complet. Il s’agit d’un guide pour votre étude. En particulier,
aucune démonstration n’est proposée ici et les sujets abordés supposent que
vous maîtrisiez certains prérequis dont voici une liste non exhaustive :
. notion de fonction ;
. généralités sur les fonctions (domaine, image, racine, parité, croissance,
...) ;
. manipulations de graphes ;
√
. fonctions de référence (x2 , x3 , 1/x, x, |x|, fonctions affines, fonctions du
second degré...) ;
. équations du second degré ;
. trigonométrie (valeurs du cosinus, du sinus, de la tangente des angles remarquables, trigonométrie dans le triangle rectangle, formules classiques,...) ;
. ...
Le cours n’abordera pas les notions de limite et de dérivée. Aucun exercice
ne fait donc intervenir ces deux notions.
Dans ce cours, une attention particulière est également accordée au raisonnement et aux justifications. Ainsi, vous devrez veiller, dans la résolution des
exercices, à expliquer clairement votre démarche avec des mots, à citer les
définitions et les propriétés que vous utilisez et à détailler vos calculs. Donner
la réponse finale sans aucune explication vous pénalisera lors de la correction
de vos copies.
1
1. Fonctions exponentielles et logarithmiques
1.1
1.1.1
Fonctions exponentielles
Rappel sur les exposants
Soit a un nombre réel strictement positif.
On a :

a.
| a {z. . . a} si n ∈ N0
n
a =
n fois
 0
a =1
Exemple : a5 = a.a.a.a.a
On a aussi :
a−n =
Exemple : a−4 =
1
an
1
.
a4
Pour n ∈ N et d ∈ N0 , on a :
an/d =
√
d
an
√
4
Exemple √
: a7/4 = a7 .
Rappel : d x = r si et seulement si rd = x.
1.1.2
Définition et propriétés
Soit a ∈ R+
0 et a 6= 1 (Voyez-vous pourquoi on travaille sous ces conditions ?).
On appelle fonction exponentielle de base a la fonction f (x) = ax .
2
Les règles de calculs sur les exposants sont d’application pour les fonctions
exponentielles.
Propriétés :
ax .ay = ax+y
ax
= ax−y
y
a
1.1.3
(ax )y = axy
ax a x
=
bx
b
Représentation graphique
a>1
0<a<1
y
y
f (x) = ax
f (x) = ax
1
1
1
x
1
x
Caractéristiques :
. Dom f = R, Im f = R+
0.
. La droite y = 0 est une asymptote horizontale.
. Si a > 1, la fonction f (x) = ax est croissante.
. Si 0 < a < 1, la fonction f (x) = ax est décroissante.
1.1.4
Le nombre e
Le nombre e a été introduit par Euler au 18e siècle (il est d’ailleurs aussi
appelé constante d’Euler ).
On retient en général que e vaut approximativement 2, 7 mais le nombre e
est un nombre irrationnel
: e = 2, 718281828459045....
1 n
. Cette formule est donnée pour votre culture
On a : e = lim 1 +
n→+∞
n
générale, elle ne sera pas utilisée dans le cours.
3
1.2
1.2.1
Fonctions logarithmiques
Définition et propriétés
+
Soit x ∈ R+
0 et a ∈ R0 , a 6= 1.
Le logarithme en base a de x est la puissance à laquelle il faut élever a
pour trouver x.
Autrement dit :
loga x = y si et seulement si ay = x.
Conséquence : le logarithme en base a de x n’est défini que si x est strictement positif. On peut alors considérer la fonction f (x) = loga x, définie sur
R+
0.
Exemples : log2 4 = 2, log3 3 = 1, log5 1 = 0.
Les fonctions exponentielles et les fonctions logarithmiques sont des fonctions
réciproques.
On a donc :
loga ax = x et aloga x = x
Propriétés :
loga 1 = 0
loga a = 1
loga un = n loga u
loga (u.v)
u = loga u + loga v
loga
= loga u − loga v
v
Vous devez être capables de démontrer ces propriétés.
Les propriétés précédentes sont souvent utilisées dans la résolution d’équations (ou d’inéquations) pour éliminer les logarithmes et utiliser la propriété
suivante :
loga u = loga v si et seulement si u = v
Exemple : résoudre l’équation log3 (2x − 5) + log3 (3x + 7) = 4 log3 2.
Comme les fonctions logarithmiques sont définies sur R+
0 , il y a deux conditions d’existence :
2x − 5 > 0 et 3x + 7 > 0
c’est-à-dire
x > 5/2 et x > −7/3
c’est-à-dire
x > 5/2
4
Résolution de l’équation :
log3 (2x − 5) + log3 (3x+ 7) = 4 log3 2
⇔ log3 (2x − 5).(3x + 7) = log3 16
car log3 u + log3 v = log3 (u.v)
et n log3 u = log3 un
2
⇔ log3 (6x − x − 35) = log3 16
par distributivité
⇔ 6x2 − x − 35 = 16
car log3 u = log3 v ssi u = v
2
⇔ 6x − x − 51 = 0
Le discriminant de cette dernière équation vaut 1225 = 352 . Les deux solu= 3 et 1−35
= −34/12 = −17/6 et cette dernière solution est
tions sont 1+35
12
12
à rejeter au vu des conditions d’existence.
L’ensemble des solutions de l’équation est donc {3}.
1.2.2
Représentation graphique
Comme les fonctions exponentielles (g(x) = ax ) et les fonctions logarithmiques (f (x) = loga x) sont des fonctions réciproques, leurs graphes sont
symétriques par rapport à la droite d’équation y = x.
a>1
y
0<a<1
y
g(x) = ax
g(x) = ax
y=x
1
y=x
1
f (x) = loga x
1
x
1
Caractéristiques :
. Dom f = R+
0 , Im f = R.
5
x
f (x) = loga x
. La droite x = 0 est une asymptote verticale.
. Si a > 1, la fonction f (x) = loga x est croissante.
. Si 0 < a < 1, la fonction f (x) = loga x est décroissante.
1.3
Passage d’une base à une autre
Deux bases sont fréquemment utilisées pour les fonctions logarithmiques : la
base e et la base 10.
Lorsque la base est e, on parle du logarithme néperien (du scientifique Napier,
Neper en français). La fonction est alors notée ln x.
La fonction associée à la base 10 est quant à elle notée log x.
Les calculatrices n’utilisent que ces deux bases. Il est donc intéressant de
savoir comment passer d’une base quelconque à une autre.
Propriété :
loga x =
logb x
logb a
En particulier, lorsque b = e, on a :
loga x =
Exemple : log5 x =
ln x
ln 5
6
ln x
ln a
2. Les nombres complexes
2.1
Définitions
Un nombre complexe z est un nombre de la forme z = a + bi où a, b ∈ R
et i2 = −1.
On note C l’ensemble des nombres complexes.
On appelle a la partie réelle de z et b la partie imaginaire de z et on
note a = Re z et b = Im z.
Exemples :
Pour z = 3 − 2i, on Re z = 3 et Im z = −2.
Pour z = −i/2, on a Re z = 0 et Im z = −1/2.
Deux nombres complexes z1 = a1 + b1 i et z2 = a2 + b2 i sont égaux si et
seulement si a1 = a2 et b1 = b2 .
Le conjugué d’un nombre complexe z = a + bi est le nombre complexe
z = a − bi.
Exemple : le conjugué de z = −3 − 7i est z = −3 + 7i.
Le module
d’un nombre complexe z = a + bi est le nombre réel positif
√
|z| = a2 + b2 .
p
√
√
Exemple : pour z = −3−7i, on a |z| = (−3)2 + (−7)2 = 9 + 49 = 58.
2.2
Opérations sur les nombres complexes
Soient z1 = a1 + b1 i et z2 = a2 + b2 i.
Addition : z1 + z2 = (a1 + a2 ) + (b1 + b2 )i.
Multiplication : z1 .z2 = (a1 a2 − b1 b2 ) + (a1 b2 + b1 a2 )i.
En effet,
7
z1 .z2 = (a1 + b1 i)(a2 + b2 i)
= a1 .a2 + a1 .b2 i + b1 .a2 i + b1 .b2 i2
= (a1 .a2 − b1 .b2 ) + (a1 .b2 + b1 .a2 )i
car i2 = −1
Multiplication par le conjugué : si z = a+bi, alors z.z = (a+bi).(a−bi) =
a2 + b2 = |z|2 .
Inverse d’un nombre complexe : pour tout nombre complexe z non nul,
il existe un nombre complexe noté z −1 tel que z.z −1 = z −1 .z = 1.
Si z 6= 0,
z
1
a − bi
= 2
= 2.
2
z
a +b
|z|
En effet, soit z = a + bi. On cherche à mettre le nombre complexe 1/z sous
la forme x + yi.
On a :
1
1
=
z
a + bi
a − bi
= 2
en multipliant par le conjugué au numérateur et au dénominateur
a + b2
z
par définition du conjugué et du module
= 2
|z|
Propriétés :
z1 + z2 = z1 + z2
z1 .z2
|z1 .z2 | = |z1 |.|z2 |
2.3
= z1 .z2
|z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |
Représentation géométrique d’un nombre
complexe
À tout nombre complexe z = a + bi, on associe le couple (a, b) dans le
plan complexe. Réciproquement, à tout couple (a, b) du plan complexe, on
associe le nombre complexe z = a + bi. On dit que z est l’affixe du point
(a, b).
8
axe imaginaire
z = a + bi
b
z = −2 + i
1
z = −i
a axe réel
1
Exemples : le nombre complexe z = −i est représenté dans le plan complexe
par le couple (0, −1) et le nombre complexe z = −2 + i est représenté par le
couple (−2, 1).
2.4
Forme trigonométrique d’un nombre complexe
Soit z = a + bi.
On peut également placer z dans le plan complexe si on connaît son module
|z| et l’angle θ formé par l’axe réel et la demi-droite d’origine (0, 0) et passant
par z. Cet angle est appelé l’argument de z et on travaille avec θ ∈ [0, 2π[.
axe imaginaire
z = a + bi
b
|z|
1
θ
1
a axe réel
On peut déterminer |z| et θ en fonction de a et b grâce aux formules suivantes :
9
|z| =
√
b
a
et sin θ =
a2 + b2 , cos θ =
|z|
|z|
On obtient alors la forme trigonométrique de z :
z = |z|.(cos θ + i sin θ)
Le nombre complexe cos θ + i sin θ se note également cis θ ou encore eiθ .
On a donc
z = |z|. cis θ (Notation)
= |z|.eiθ
(Formule d’Euler)
Exemples : mettre les nombres complexes suivants sous forme trigonométrique.
. z =1+i
√
√
• Module : |z| = 12 + 12 =√ 2
√
• Argument : cos θ = √12 = 22 et sin θ = 22
Donc θ = π/4. √
On a donc
z = 2.eiπ/4
√ :√
. z = − 2 + 6i q
√
√
√
√
√
• Module : |z| = (− 2)2 + ( 6)2 = 2 + 6 = 8 = 2 2
√
.
.
.
.
• Argument : cos θ = −2√22 = −1
et sin θ =
2
Donc θ = 2π/3. √
On a donc : z = 2 2.ei2π/3
2i = 2.eiπ/2 (Faites les détails).
−5i = 5.ei3π/2 (Faites les détails).
3 = 3. cis 0 (Faites les détails).
−4 = 4. cis π (Faites les détails).
√
√6
2 2
√
=
Multiplication de deux nombres complexes :
z1 .z2 = |z1 |.|z2 |.ei(θ1 +θ2 )
10
3
2
Exemple :
√
√
(1 + i).(− 2 + 6i) =
√
√
2 iπ/4
.e .2
2
2.ei2π/3
= 2.ei(π/4+2π/3)
= 2ei(11π/12)
Quotient de deux nombres complexes :
z1
|z1 | i(θ1 −θ2 )
=
.e
z2
|z2 |
Exemple :
√
2 iπ/4
.e
1+i
2
√
√
= √
− 2 + 6i
2 2.ei2π/3
= 41 .ei(π/4−2π/3)
= 41 .ei(−5π/12)
= 41 .ei(19π/12)
car − 5π/12 ∈
/ [0, 2π[
Formule de Moivre :
z n = |z|n .ei(nθ)
Exemple :
(1 + i)4 =
=
√
2.eiπ/4
4
√ 4 i4π/4
2 .e
= 4.eiπ
= 4.(−1)
= −4
11
2.5
2.5.1
Résolution d’équations dans C
Second degré
Forme générale de l’équation : aX 2 + bX + c = 0, où a, b, c ∈ R et a 6= 0.
Procédure de résolution :
– Calculer ∆ = b2 − 4ac,
√
√
−b − ∆
−b + ∆
et x2 =
.
– Si ∆ ≥ 0, alors x1 =
2a p
2a p
−b + i |∆|
−b − i |∆|
Si ∆ < 0, alors x1 =
et x2 =
.
2a
2a
Exemple : résoudre, dans C, l’équation x2 + x + 1 = 0.
∆ = 1 − 4 = −3.
√
−1+i 3
L’équation possède
donc
deux
solutions
complexes
données
par
x
1 =
2
√
3
.
et x2 = −1−i
2
√
√
3 −1−i 3
L’ensemble des solutions de l’équation est { −1+i
,
}.
2
2
2.5.2
Racines de l’unité
Les solutions de l’équation X n = 1 sont les nombres complexes
zk = ei(2kπ/n) où k = 0, 1, ..., n − 1.
Exemple :
Les solutions de l’équation X 3 = 1 sont les nombres complexes
z0 = ei.0 = 1
z1 = ei.2π/3
z2 = ei.4π/3
Les solutions de l’équation X 3 = 1 sont représentées sur le dessin suivant.
12
axe imaginaire
•
z1
1
•
z0 1
z2•
13
axe réel